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北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算2.2 数轴课堂检测
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这是一份北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算2.2 数轴课堂检测，共69页。
题型一 单动点问题（简单运动类）
题型二 单动点问题（规律变化类）
题型三 双动点问题（匀速运动类）
题型四 双动点问题（变速运动类）
题型五 多动点问题
题型六 新定义类运动问题
【知识梳理】
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高．
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值．
注意：
1、要注意动点是否会来回往返运动．
2、学会用含字母的式子表示运动的距离；
【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】
【例1】（2022秋·广东潮州·七年级潮州市金山实验学校校考期末）如图，已知数轴上的点 A表示的为 6，点B表示的是4的相反数，点 C到点A、点B的距离相等，动点P从点 B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右速运动，设运动时间为t（t>0）秒．
(1)点B表示的数是___________；A、B两点之间的距离为___________；点 C表示的数是___________．
(2)当等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度？
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山东枣庄·七年级校考期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．（用1个单位长度表示）
(1)请你在题中所给的数轴上表示出A、、三点的位置；
(2)把点到点的距离记为，则__________．
(3)一动点从点出发沿数轴正方向移动，且速度保持不变，设点移动的时间为（单位：），当及时，分别求点到点的距离（用含的式子表示）．
【变式2】（2022秋·山西运城·七年级统考期中）如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．
(1)时点P表示的有理数为 ___________；
(2)求点P是的中点时t的值；
(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．
【变式3】（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【经典例题二 单动点问题（规律变化类）】
【例2】（2023·江苏·七年级假期作业）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．
(1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置；
(2)写出点A、B、C三点表示的数；
(3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？
【变式1】（2022秋·广东珠海·七年级校考期中）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为．
(1)由题可知：A，两点之间的距离是 ．
(2)若满足，求．
(3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数．
【变式2】（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）如图，周长为2个单位长度的圆片上的一点A与数轴上的原点O重合，圆片沿数轴来回无滑动地滚动．
(1)把圆片沿数轴向左滚动一周，点A到达数轴上点B的位置，则点B表示的数为__________．
(2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下表：
①第6次滚动a周后，点A距离原点4个单位长度，请求出a的值；
②当圆片结束第6次滚动时，点A一共滚动了多少个单位长度？
【变式3】（2022秋·全国·七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】
【例3】（2022秋·七年级课时练习）在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点.
如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点.
（1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________.
（2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒.
①当PQ=7时，求t值.
②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值.
【变式1】（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为-20，点对应的数为100．
（1）请写出中点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚊从点出发，以6单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
【变式2】（2022秋·全国·七年级专题练习）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍．
（1）求出数轴上点对应的数及的距离．
（2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒．
①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示）
②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．
③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数．
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：
如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．
(1)求m和n的长度；
(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）
①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）；
②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值．
【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】
【例4】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段．
例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．
已知点为数轴原点，点为数轴上的动点．
(1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________；
(2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）．
【变式2】（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．
(1) ______，______，______；
(2)①动点从点运动至点时，求的值；
②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
(3)若点为线段中点，当________秒时，．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．
（1）求，，，的值；
（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度；
（3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值；
（4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【例5】（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40．
【综合运用】（1）点B表示的数是__________．
（2）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离．
（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT－MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏扬州·七年级宝应县城北初级中学校考阶段练习）如图：在数轴上 A 点表示数 a，B 点示数 b，C 点表示数 c，b 是最大的负整数，且 a、b 满足|a+ 3|+（c﹣6）2=0．
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）若将数轴折叠，使得 A点与B 点重合，则点 C与数 表示的点重合；
（3）点 A、B、C开始在数轴上运动，若点 A以每秒 2个单位长度的速度向左运动，同时，点 B和 点 C分别以每秒1个单位长度和 4个单位长度的速度向右运动，假设 t 秒钟过后，若点 A与点 B之间的距离表示为 AB，点 A与点 C之间的距离表示为 AC，点 B与点 C之间的距离表示为 BC．则 AB= ，AC= ，BC= ．（用 含 t的代数式表示）
（4）请问：2BC+AB - AC的值是否随着时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【变式2】（2022秋·七年级单元测试）已知：a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝a+b，请回答下列问题：
（1）请直接写出a，b，c的值：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请在如图的数轴上表示出A，B，C三点；
（3）在（2）的情况下．点A，B，C开始在数轴上运动，若点A，点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB﹣BC的值．
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）如图：在数轴上，点A表示a, 点B表示b, 点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足
________，_________，_____________
若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数____________表示的点重合；
点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，
①请问:的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
②探究:若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【经典例题六 新定义类运动问题】
【例6】（2022秋·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝ ，d2（点D，线段AB）＝ ；
(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·天津和平·七年级耀华中学校考期末）对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【变式2】（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点．
(1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是）
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；
(3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）
【变式3】（2022秋·湖北恩施·七年级统考期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．
(1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为___________；我们把这个模型记为“木棒模型”；
(2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，已知点C表示的数为．求木棒的右端点与点A的距离；
(3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”．请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．
1．（2023·江苏·七年级假期作业）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）A，B两点之间的距离是 ；
（2）设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为 ；
（3）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（4）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（5）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？
2．（2023春·上海·六年级专题练习）已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.
(1) 若b＝－4，则a的值为__________.
(2) 若OA＝3OB，求a的值.
(3) 点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.
3．（2023春·吉林长春·七年级吉林省实验校考阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，与之间的距离记作AB．
已知a=-2，b比a大12，(1)则B点表示的数是_____；
(2)设点在数轴上对应的数为，当PA-PB=4时，求的值；
(3)若点M以每秒1个单位的速度从A点出发向右运动，同时点N以每秒2个单位的速度从B点向左运动．设运动时间是t秒，则运动t秒后，
用含t的代数式表示M点到达的位置表示的数为_____, N点到达的位置表示的数为_____；
当t为多少秒时，M与N之间的距离是9？
4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，数轴上有A， B两点，分别表示的数为，，且．点P从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．
（1）填空： ， ；
（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；
（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；
（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）
5．（2023春·北京海淀·七年级101中学校考开学考试）如图，在数轴上从左往右依次有四个点，其中点表示的数分别是，且.
(1)点D表示的数是 ；（直接写出结果）
(2)线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是（秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.
①求的值;
②线段上是否存在一点，满足?若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由.
6．（2023春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考开学考试）我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．
(1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______；
A．B．
C． D．
(2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）；
(3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（），若P、Q分别从A、C同时出发，点P以1个单位/秒的速度向点C运动，点Q个以0．5单位/秒的速度向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，求运动多少时间时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点？
(4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（3）的外围周长为52，请你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为______．
7．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．
（1）求AB的值；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍成立，求t的值．
8．（2022秋·全国·七年级期末）【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；
(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】
(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】
(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
9．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，在数轴上点表示的数分别为-2，0，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．
（1）填空： ；
（2）点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度，5个单位长度的速度向右运动．
①设运动时间为，请用含有的算式分别表示出；
②在①的条件下，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12．
（1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间．
专题03 数轴中的动点问题专训
【题型目录】
题型一 单动点问题（简单运动类）
题型二 单动点问题（规律变化类）
题型三 双动点问题（匀速运动类）
题型四 双动点问题（变速运动类）
题型五 多动点问题
题型六 新定义类运动问题
【知识梳理】
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高．
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值．
注意：
1、要注意动点是否会来回往返运动．
2、学会用含字母的式子表示运动的距离；
【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】
【例1】（2022秋·广东潮州·七年级潮州市金山实验学校校考期末）如图，已知数轴上的点 A表示的为 6，点B表示的是4的相反数，点 C到点A、点B的距离相等，动点P从点 B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右速运动，设运动时间为t（t>0）秒．
(1)点B表示的数是___________；A、B两点之间的距离为___________；点 C表示的数是___________．
(2)当等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度？
【答案】(1)；；(2)或秒
【分析】（1）分析数轴直接求解即可．
（2）分类讨论点P的位置，直接列关系式求解．
【详解】（1）B表示的数为，
A、B两点之间的距离为，
C为的中点．
（2）由（1）可知，，
当点P在点C的左边时，，则；
当点P在点C的右边时，，则．
综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山东枣庄·七年级校考期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．（用1个单位长度表示）
(1)请你在题中所给的数轴上表示出A、、三点的位置；
(2)把点到点的距离记为，则__________．
(3)一动点从点出发沿数轴正方向移动，且速度保持不变，设点移动的时间为（单位：），当及时，分别求点到点的距离（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)，
【分析】（1）根据题意，在数轴上画出点A、B、C即可．
（2）用C点表示的数减去A点表示的数，即可求解；
（3）先将点P表示的数表示出来，再根据点P和点C的位置关系，即可进行解答．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：；
故答案为：6．
（3）解：由于移动的速度为，时间为，所以点走过的路程为，
当时，点在点左侧，所以点到点的距离为；
当时，点在点右侧，所以点到点的距离为．
【变式2】（2022秋·山西运城·七年级统考期中）如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．
(1)时点P表示的有理数为 ___________；
(2)求点P是的中点时t的值；
(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)0(2)2.5 或7.5(3)或
(4)
【分析】（1）当时，点P的路程与的和即为点表示的有理数；
（2）求出的长，分两种情况：由A到B方向运动时点P是的中点；由B到A方向运动时点P是的中点；
（3）分两种情况：点P由点A到点B的运动过程中，点P到点A的距离即点P的运动路程；点P由点B到点A的运动过程中，点P到点A的距离为与点P运动路程的差；
（4）分两种情况：点P由点A到点B的运动过程中；点P由点B到点A的运动过程中；由（3）的结果及两点间的距离即可求得点P表示的有理数．
【详解】（1）解：点P表示的有理数为；
故答案为：0；
（2）解：，
，
当由A到B方向运动时，，
当由B到A方向运动时，．
综上，点P是的中点时或；
（3）解：当点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离的长度为；当点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离为；
（4）解：在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是；
在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是．
【变式3】（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．
故答案为：－4或－16；
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，
当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，
当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；
第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，
当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，
N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，
当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【经典例题二 单动点问题（规律变化类）】
【例2】（2023·江苏·七年级假期作业）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．
(1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置；
(2)写出点A、B、C三点表示的数；
(3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？
【答案】(1)见解析(2)A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是
(3)向左爬行4个单位长度【分析】（1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解；
（2）根据（1）中所画数轴写出即可；
（3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答．
【详解】（1）如图所示：
（2）A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是；
（3）∵C点坐标是，∴可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4个单位长度得到的．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东珠海·七年级校考期中）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为．
(1)由题可知：A，两点之间的距离是 ．
(2)若满足，求．
(3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数．
【答案】(1)9(2)或(3)
【分析】（1）根据题意可得，，则AB=9；
（2）对点M的位置进行分类讨论，并用m表示出MA和MB的长度，利用“MA+MB=12”列出方程即可求解；
（3）根据题意得到点M每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可．
【详解】（1）由多项式的次数是6可知，又与互为相反数，故．
，两点之间的距离是，
故答案为：9；
（2）①当在A左侧时，
∵，
∴，
解得：
②在A和之间时，
∵，
点不存在；
③点在点右侧时，
∵，
∵
解得：
综上所述，m的值为或．
（3）依题意得：
点对应的有理数为，
故答案为：．
【变式2】（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）如图，周长为2个单位长度的圆片上的一点A与数轴上的原点O重合，圆片沿数轴来回无滑动地滚动．
(1)把圆片沿数轴向左滚动一周，点A到达数轴上点B的位置，则点B表示的数为__________．
(2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下表：
①第6次滚动a周后，点A距离原点4个单位长度，请求出a的值；
②当圆片结束第6次滚动时，点A一共滚动了多少个单位长度？
【答案】(1)-2
(2)①1或-3；②28或32个
【分析】（1）由圆片沿数轴向左滚动1周，得点A表示的数：-2；
（2）①第6次滚动a周后，Q点距离原点是4，得|3-1-2+4-3+a|=4÷2=2，解方程即可求解；
②当a=1时，（3+1+2+4+3+1）×2=28；当a=-3时，（3+1+2+4+3+3）×2=32．
【详解】（1）解：∵圆片沿数轴向左滚动1周，
∴点A表示的数：-2；
故答案为：-2；
（2）解：①∵第6次滚动a周后，Q点距离原点是4，
∴|3-1-2+4-3+a|=4÷2=2，
∴|a+1|=2，
∴a=1或-3；
②当a=1时，（3+1+2+4+3+1）×2=28；
当a=-3时，（3+1+2+4+3+3）×2=32．
答：当圆片结束六次滚动时，Q点一共运动的路程是28或32．
【点睛】本题考查有理数与数轴上的点的对应关系：找出点到原点的距离，点对应的数的正负是关键．
【变式3】（2022秋·全国·七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【答案】(1)4
(2)1
(3)终点表示数是（a﹣m+n）
【分析】（1）根据-3点为A，右移7个单位得到B点为-3+7=4，则可以得出答案；
（2）根据3表示为A点，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点为3-7+5=1，可以得出答案；
（3）方法同（2），根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．．
【详解】（1）∵点A表示数﹣3，
∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4，
故答案是：4；
（2）∵点A表示数3，
∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，
那么终点表示的数是3﹣7+5＝1；
故答案是：1；
（3）∵A点表示的数为a，
∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度，
那么终点表示数是（a﹣m+n）．
【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】
【例3】（2022秋·七年级课时练习）在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点.
如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点.
（1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________.
（2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒.
①当PQ=7时，求t值.
②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值.
【答案】（1）1，-7；（2）① 当PQ=7时，t=1；②t=1.8
【分析】（1）根据内相关点和外相关点的定义列出等式求解即可；
（2）①根据“路程=速度时间”以及点A和B表示的数求出点P和Q表示的数，然后根据列出等式求解即可；
②同（1）的方法一样，分别求出点M，N表示的数，再根据相反数的定义列出等式求解即可.
【详解】（1）设线段AB的内相关点表示的数为a由得，
解得设线段AB的外相关点表示的数为b由得，
解得故答案为：和；
（2）①运动时间为t秒点P对应的数为，点Q对应的数为，并且点P在点Q右侧
则当时，，解得；
②同（1）可得：内相关点M表示的数为外相关点N表示的数为
由相反数的定义得，解得
故t的值为1.8.
【点睛】本题考查了数轴的定义、相反数的定义，理解新定义是解题关键.
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为-20，点对应的数为100．
（1）请写出中点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚊从点出发，以6单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
【答案】（1）40；（2）28；（3）-260．
【分析】(1)直接根据中点坐标公式求出M点对应的数;
(2)①先求出AB的长,再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程, 求出t的值即可; ②由①中t的值可求出P、Q相遇时点P移动的距离,进而可得出C点对应的数;
(3)此题是追及问题,可先求出P追上Q所需的时间, 然后可求出Q所走的路程,根据左减右加的原则,可求出点D所对应的数．
【详解】法一:（1）,点表示的数为：,
（2）它们的相遇时间是（秒）,即相遇时点运动的路程为：,
因此点表示的数为：.
（3）两只蚂蚁相遇时的运动时间为：（秒）,即相遇时点运动的路程为：,
因此点表示的数为：,方法二:（1）,
（2）动点,,相遇,则,,
,,
（3）动点;,相遇，则,
,
,
．
【点睛】本题主要考查的是数轴上点的运动,还有相遇问题与追及问题,解决本题的关键是要熟练掌握行程问题的等量关系.
【变式2】（2022秋·全国·七年级专题练习）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍．
（1）求出数轴上点对应的数及的距离．
（2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒．
①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示）
②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．
③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数．
【答案】（1）点对应的数为30；AC=120；（2）①；②的值为5或20；③相遇2次；点在数轴上对应的数为－15或．
【分析】(1)根据A点对应的数为60，B点在A点的左侧，AB=30求出B点对应的数，根据AC=4AB求出AC的距离；
(2)①当P点在AB之间运动时，根据路程=速度×时间求出AP=3t，根据BP=AB-AP求解；
②分P点是AB的中点和B点是AP的中点两种情况进行讨论即可；
③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次，设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇，第一次相遇是点Q从A点出发，向C点运动的途中，根据AQ-BP=AB列出方程；第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中，根据CQ+BP=BC列出方程，进而求出P点在数轴上的对应的数．
【详解】解（1）点对应的数为60，,点在点的左侧，并且与点的距离为30，
点对应的数为；
点到点距离是,点到点距离的4倍，
;
（2）①当点在之间运动时，
，
．
故答案为；
②当点是、两点的中点时，，
，解得；
当点是两点的中点时，，
，解得．
故所求时间的值为5或20；
③相遇2次．
设点在往返过程中经过秒与点相遇．
第一次相遇是点从出发，向点运动的途中．
，
，
解得，
此时点在数轴上对应的数是：；
第二次相遇是到达点后返回到点的途中．
，
，
解得，
此时点在数轴上对应的数是：．
综上，相遇时点在数轴上对应的数为－15或．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，线段中点的定义，进行分类讨论是解题的关键．
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：
如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．
(1)求m和n的长度；
(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）
①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）；
②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值．
【答案】(1)m＝4，n＝5
(2)①；②6s或11s
【分析】（1）根据非负数的性质可得答案；
（2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可．
【详解】（1）解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，
∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0，
∴a＝﹣5，b＝﹣1
∴m＝-1-（-5）=4
又因为c＝3，d＝8
∴n＝8-3=5
∴m和n的长度分别为4和5；
（2）解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．
∴t＝s，
故答案是：；
②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4，
设t秒重叠2个单位长度，
可得4t＝3t+4+2，
解得t＝6，
m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13，
可得4t＝3t+13﹣2，
解得t＝11，
综上t＝6s或11s．
【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键．
【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】
【例4】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
【答案】(1)22
(2)或
(3)当时的运动时间的值为2或秒
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离；
（2）设点表示的数为．分两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上．根据列出关于的方程，求解即可；
（3）根据点的运动方向分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：、两点之间的距离是：；
（2）解：设点表示的数为．分两种情况：
①当点在线段上时，
，
，
解得；
②当点在线段的延长线上时，
，
，
解得．
综上所述，点表示的数为或；
（3）解：分两种情况：
①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
解得，符合题意；
②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
当时，，
解得；
当时，，
解得，不符合题意，舍去；
综上所述，当时的运动时间的值为2或秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段．
例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．
已知点为数轴原点，点为数轴上的动点．
(1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________；
(2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）．
【答案】(1)1，3(2)或(3)或
【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：，∴（点，线段)=1，
∵点O到线段AB的最小距离为：，∴（点，线段)=3，故答案为：1，3．
（2）当线段在线段左侧时：（线段，线段），
解得：，当线段在线段右侧时：（线段，线段），
解得：，综上：或．
（3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则，
当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立；
当时，点C表示：2，点D表示：，
此时：（线段，线段），符合题意；
当时，点C表示：4，点D表示：，
此时：（线段，线段），不符合题意；
当时，点C表示：，点D表示：，
∴此时：（线段，线段），解得：，∴，
∵时，点C表示：6，点D表示：，
∴（线段，线段），符合题意；
当时，点C表示：，点D表示：，
∴此时：（线段，线段），解得：，
∵当时，点C表示：8，点D表示：，
∴（线段，线段），不符合题意；
当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间，
∴此时：（线段，线段），
或（线段，线段），
解得：，
∴，
当时，点C表示：10，点D表示：，
此时：（线段，线段），不符合题意；
当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间，
∴此时，，则当时，（线段，线段），
综上：或．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
【变式2】（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．
(1) ______，______，______；
(2)①动点从点运动至点时，求的值；
②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
(3)若点为线段中点，当________秒时，．
【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，．
【详解】解：（1）；（2）①∵
∴∴动点从点运动至点时，；
②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为．
易知点落在线段段，依题意有: 解得:
∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为．
（3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5设时间为t时，MD=ND
①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t则MD=15-2t，ND=13-t
即15-2t=13-t，解得t=2；
②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t则MD=10-t，ND=13-t
即10-t=13-t,无解；
③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8)则MD=10-t，ND=5-2(t-8)
即10-t=5-2(t-8)，解得t=11；
④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t则MD=t-10，ND=21-2t
即t-10=21-2t，解得t=；
⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t则MD=2t-25，ND=t-8即2t-25=t-8，解得t=17；
综上所述，当秒时，．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．
（1）求，，，的值；
（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度；
（3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值；
（4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【答案】（1），，，；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）或20；（4），，．
【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可；
（2）设点C运动速度为x，由题意得：，即可得解；
（3）根据题意分别表示出AC，BD，在进行分类讨论计算即可；
（4）根据点A，C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可；
【详解】（1）∵，
∴，
∴，，，；
（2）设点C运动速度为x，由题意得：
，
解得：，
∴点C的运动速度为每秒2个单位；
（3）t秒时，点A数为，点B数为-12，点C数为，点D数为，
∴，，
∵，
∴①时，，解得：；
②20-2t＜0时，即t＞10，，解得：；
∴或20．
（4）C点运动到A点所需时间为，所以A，C相遇时间，由（2）得时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时；
①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，＜10，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得，解得＜10，此时相遇点为；∴A，C相遇时对应的数为：，，．
【经典例题五 多动点问题】
【例5】（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40．
【综合运用】（1）点B表示的数是__________．
（2）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离．
（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT－MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）－20；（2）100；（3）9个单位长度/秒；（4）PT－MN的值不变，值为30．
【分析】（1）根据AB=60，点A对应的数是40，得出点B对应的数；（2）根据AB=60，BC：AC=4：7，得出BC=80，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；（3）假设点R速度为a单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可；（4）分别表示出PT，MN的值，进而求出PT-MN的值；
【详解】解：（1）∵AB=60，点A对应的数是40，∴点B对应的数为：40-60=－20；
故答案为-20；
（2）∵BC：AC=4：7，∴BC：AB=4：3，∵AB=60，∴BC=80，∴AC=140，
∵点A对应的数是40，∴点C对应的数为40-140=-100；
∴C到原点的距离为100；
故答案为100；
（3）设R的速度为a个单位长度/秒，则P的速度为3a个单位长度/秒，Q的速度为（2a－5）个单位长度/秒；
由题意得：，
解得：，
，
答：Q的速度为9个单位长度/秒．
（4）PT－MN的值不变；
理由如下：设运动时间为t 秒，则P：，
T：，
M：，
O：0，
R：，
N：，
PT，
MN，
PT－MN；
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握一元一次方程的应用，数轴是解题的关键.
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏扬州·七年级宝应县城北初级中学校考阶段练习）如图：在数轴上 A 点表示数 a，B 点示数 b，C 点表示数 c，b 是最大的负整数，且 a、b 满足|a+ 3|+（c﹣6）2=0．
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）若将数轴折叠，使得 A点与B 点重合，则点 C与数 表示的点重合；
（3）点 A、B、C开始在数轴上运动，若点 A以每秒 2个单位长度的速度向左运动，同时，点 B和 点 C分别以每秒1个单位长度和 4个单位长度的速度向右运动，假设 t 秒钟过后，若点 A与点 B之间的距离表示为 AB，点 A与点 C之间的距离表示为 AC，点 B与点 C之间的距离表示为 BC．则 AB= ，AC= ，BC= ．（用 含 t的代数式表示）
（4）请问：2BC+AB - AC的值是否随着时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-3，-1，6；（2）-10；（3）AB=2+3t，AC=6t+9，BC=7+3t；(4)不变，2.5.
【分析】（1）利用|a+3|+（c-6）2=0，得a+3=0，c-6=0，解得a，c的值，由b是最大的负整数，可得b=-1；
（2）先求出对称点，然后再求得点C到对称点的距离，从而求得点C的对称点；
（3）利用数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得AB、AC、BC的长；
（4）根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵|a+3|+（c-6）2=0，∴a+3=0，c-6=0，
∴a=-3，c=6，∵b是最大的负整数，∴b=-1；
（2）点A与点B的中点对应的数为：=-2，
点C到-2的距离为8，所以与点C重合的数是：-2-8=-10．
（3）AB=t+2t+2=3t+2，
AC=2t+4t+9=6t+9，
BC=（4－1）t+7＝3t+7；
（4）∵AB=3t+2,AC=6t+9,BC=3t+7,
∴2BC+AB - AC=2(3t+7)+3t+2-(6t+9)=6t+14+3t+2-9t-13.5=2.5,
∴2BC+AB - AC的值不随着时间t的变化而改变，其值为2.5.
【点睛】考查了实数与数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
【变式2】（2022秋·七年级单元测试）已知：a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝a+b，请回答下列问题：
（1）请直接写出a，b，c的值：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请在如图的数轴上表示出A，B，C三点；
（3）在（2）的情况下．点A，B，C开始在数轴上运动，若点A，点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB﹣BC的值．
【答案】（1）﹣1，1，0；（2）见解析；（3）AB﹣BC的值为1．
【分析】（1）根据题意可得 （2）在数轴上直接标出．（3）先求出AB，BC的值，再计算AB-BC的值，可得AB-BC的值是定值．
【详解】（1）由题意可得a＝﹣1，b＝1，c＝﹣1+1＝0
（2）
（3）∵BC＝（1+5t）﹣（0﹣t）＝1+6t,
AB＝（1+5t）﹣（﹣1﹣t）＝2+6t
∴AB﹣BC＝2+6t﹣（1+6t）＝1,
∴AB﹣BC的值不会随着时间的变化而改变，AB﹣BC的值为1．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，解决本题的关键是要数形结合.
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）如图：在数轴上，点A表示a, 点B表示b, 点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足
________，_________，_____________
若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数____________表示的点重合；
点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，
①请问:的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
②探究:若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-3，-1,5；（2）3；（3）①的值不随着时间的变化而改变，值为14；②当时， 的值随着时间的变化而改变；当时， 的值不随着时间的变化而改变，值为26．
【分析】(1)根据非负数的性质即可得到结论；
（2）先求出对称点，即可得出答案；
(3)①t秒后，，，代入计算即可得到答案；
②先求出，再分当时和当时，讨论求解即可.
【详解】解:∵，
∴a+3=0，c−5=0，
解得a=−3，c=5，
∵b是最大的负整数，
∴b=-1
故答案为：−3，-1，5．
(2)点A与点C的中点对应的数为：，
点B到1的距离为2，所以与点B重合的数是：1+2=3．
故答案为：3．
①t秒后，，
，
．
故的值不随着时间的变化而改变；
②．
，
．
当时，原式的值随着时间的变化而改变；
当时，原式的值不随着时间的变化而改变．
【经典例题六 新定义类运动问题】
【例6】（2022秋·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝ ，d2（点D，线段AB）＝ ；
(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【答案】(1)1，6(2)﹣4或6
【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧．
【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3，
∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，故答案为：1，6；
（2）分两种情况：
当点E在点A的左侧，
d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x，
d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴2﹣x＝3（﹣2﹣x），
∴x＝﹣4，
当点E在点B的右侧，
d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3，
d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴3+x＝3（x﹣3），∴x＝6，
综上所述：x的值为﹣4或6．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·天津和平·七年级耀华中学校考期末）对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【答案】（1），；（2）①－50或或；②50或70或110.
【分析】（1）题目给定的规律，联盟点必须满足其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，根据规律找出即可（2）已知点A的大小，点B的大小，根据不同的位置分别找出点P的坐标即可.
【详解】解：（1），；（2）① 设点P表示的数为x，
如图，当点在点A左侧时，，
则 30－x＝2（－10－x），解得 x＝－50.所以点表示的数为－50；
如图，当点在线段AB上且时，
则 30－x＝2（x＋10），解得 x＝.所以点表示的数为；
如图，当点在线段AB上且时，
则 x＋10＝2（30－x），解得 x＝.
所以点表示的数为.
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为－50或或.
② 50或70或110.
【变式2】（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点．
(1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是）
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；
(3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）
【答案】(1)不是(2)0或(3)当经过5秒或或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点
【详解】（1）解：如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，
根据好点的定义得：，那么点D不是【A，B】的好点；
（2）解：如图2，，，即距离点M为4个单位，距离点N为2个单位的点就是所求的好点0；∴数0所表示的点是【M，N】的好点；，，
同理：数所表示的点也是【M，N】的好点；
∴数0或所表示的点是【M，N】的好点；
（3）解：如图3，由题意得：，，，
点P走完所用的时间为：（秒），分四种情况：
①当时，即，（秒），P是【A，B】的好点，
②当时，即（秒），P是【B，A】的好点，
③当时，即（秒），B是【A，P】的好点，
④当时，即（秒），A是【B，P】的好点，
∴当经过5秒或或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点；
【变式3】（2022秋·湖北恩施·七年级统考期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．
(1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为___________；我们把这个模型记为“木棒模型”；
(2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，已知点C表示的数为．求木棒的右端点与点A的距离；
(3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”．请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．
【答案】(1)5cm(2)或(3)示意图见解析，爷爷现在67岁
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小宇与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小宇大时看作当B点移动到A点时，此时A点对应的数为，小宇比爷爷一样大时看作当A点移动到B点时，此时B点对应的数为，所以可知爷爷与小宇的年龄差为，可求爷爷的年龄．
【详解】（1）解：由题意得：木棒的长为cm．
（2）解：点C表示的数为当木棒的左端点在点C右边3cm时，
此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为
木棒的右端点与点A的距离为当木棒的左端点在点C左边3cm时，
此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为
木棒的右端点与点A的距离为综上所述，木棒的右端点与点A的距离为或
（3）解：木棒模型如图：图中点A表示的数是小宇的年龄，点B表示的数代表爷爷的年龄．
小宇与爹爹年龄差为：
所以，爹爹的年龄为：（岁）
【点睛】本题考查了数轴，解题关键是能用数形结合的思想借助数轴直观求解．
【培优检测】
1．（2023·江苏·七年级假期作业）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）A，B两点之间的距离是 ；
（2）设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为 ；
（3）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（4）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（5）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？
【答案】（1）4；（2）|x+4|；（3）1；（4）-3或5；（5）或8．
【分析】（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB=|a-b|，依此即可求解；
（3）根据中点坐标公式即可求解；
（4）分两种情况：点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解；
（5）分两种情况：点A在点B的左边，点A在点B的右边，进行讨论即可求解．
【详解】（1）A，B两点之间的距离是3-（-1）=4
（2）x与-4之间的距离表示为|x-（-4）|=|x+4|
（3）（-1+3）÷2=1．故点P对应的数是1；
（4）点P在点A的左边，x的值是-1-（8-4）÷2=-3；点P在点B的右边，
x的值是3+（8-4）÷2=5．故x的值是-3或5；
（5）点A在点B的左边，（4-3）÷（2-0.5）×2+（-1）=．
点A所对应的数是点A在点B的右边，
（4+3）÷（2-0.5）×2+（-1）=8．点A所对应的数是8．
故点A所对应的数是或8．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注
2．（2023春·上海·六年级专题练习）已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.
(1) 若b＝－4，则a的值为__________.
(2) 若OA＝3OB，求a的值.
(3) 点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.
【答案】(1)10；(2)；(3)
【分析】(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a的值为10.
(2)分两种情况,点A在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA的长度,从而得出a的值.同理可求出当点A在原点的左侧时,a的值.
(3)画数轴,结合数轴分四种情况讨论计算即可.
【详解】(1)解：若b＝－4，则a的值为 10
(2)解：当A在原点O的右侧时（如图）：
设OB=m,列方程得：m+3m=14，解这个方程得，，
所以，OA=，点A在原点O的右侧，a的值为.
当A在原点的左侧时（如图)，
a=－综上，a的值为±.
(3)解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图), c=－.
当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图), c=－8.
当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c=.
当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.
综上，点c的值为：±8，±.
3．（2023春·吉林长春·七年级吉林省实验校考阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，与之间的距离记作AB．
已知a=-2，b比a大12，(1)则B点表示的数是_____；
(2)设点在数轴上对应的数为，当PA-PB=4时，求的值；
(3)若点M以每秒1个单位的速度从A点出发向右运动，同时点N以每秒2个单位的速度从B点向左运动．设运动时间是t秒，则运动t秒后，
用含t的代数式表示M点到达的位置表示的数为_____, N点到达的位置表示的数为_____；
当t为多少秒时，M与N之间的距离是9？
【答案】（1）10；（2）x=6；（3）-2+t , 10-2t； 当t值为1秒或7秒时M与N之间的距离为9
【分析】(1)根据两点间距离公式可以求解；
(2)根据两点间距离公式列出方程，可以求解；
(3)M与N之间的距离是9，应该分追上和超过两种情况，列出方程可计算求出答案.
【详解】（1）10
（2）
x=6
（3）-2+t , 10-2t
（10-2t）-（-2+t）=9
t=1
（-2+t）-（10-2t）=9
t=7
综上，当t值为1秒或7秒时M与N之间的距离为9.
【点睛】分类探讨两点之间的距离与两点之间的位置关系是解题的关键.
4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，数轴上有A， B两点，分别表示的数为，，且．点P从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．
（1）填空： ， ；
（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；
（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；
（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）
【答案】（1） ， （2）运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27 ；（3）5;(4) 一共相遇了7次.
【分析】（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题；（3）根据点Q达到A点时，点P，Q停止运动求出运动时间即可解题；（4）根据第三问点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题.
【详解】解：（1） ，
（2）设运动时间为秒
解得
答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27
（3）运动总时间：60÷2=30（秒），13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,
∵，
∴点P所在的位置表示的数为5 .
（4）由（3）得：点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,
∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次.
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.
5．（2023春·北京海淀·七年级101中学校考开学考试）如图，在数轴上从左往右依次有四个点，其中点表示的数分别是，且.
(1)点D表示的数是 ；（直接写出结果）
(2)线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是（秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.
①求的值;
②线段上是否存在一点，满足?若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）16；（2）①t的值为3或秒；②存在，P表示的数为.
【详解】（1）16（2）①在运动过程中，B点表示的数为3+2t,A点表示的数为2t,C点表示的数为10-t，D点表示的数为16-t.当BC＝2，点B在点C的右边时，由题意得：，
解得：t＝3，当AD=2，点A在点D的左边时，
由题意得：，解得：t＝．综上，t的值为3或秒
②存在，理由如下:当t=3时，A点表示的数为6，B点表示的数为9，C点表示的数为7，D点表示的数为13.则，，，
解得：或，又点在线段AB上，则
.
当时，A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为.
则，
，
∴ ，解得：或，
又，
无解
综上，P表示的数为.
6．（2023春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考开学考试）我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．
(1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______；
A．B．
C． D．
(2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）；
(3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（），若P、Q分别从A、C同时出发，点P以1个单位/秒的速度向点C运动，点Q个以0．5单位/秒的速度向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，求运动多少时间时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点？
(4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（3）的外围周长为52，请你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为______．
【答案】(1)B(2)①②③
(3)当运动时间为或或或或或或或或或或时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点(4)70
【详解】（1）解：正方体的所有展开图，如下图所示：
只有B属于这11种中的一个，故选：B．
（2）解：由长方体展开图的特点可知，可能是该长方体表面展开图的有①②③，故答案为：①②③．
（3）解；设运动的时间为t，如图1所示，由题意得，，
设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为4，点C在数轴上表示的数为7，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，解得；
当P是的中点时，则，解得；
当Q时的中点时，则，解得；
如图2所示，由题意得，，设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为11，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，解得；
当P是的中点时，则，
解得；
当Q时的中点时，则，
解得；
如图3所示，由题意得，，
设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为11，点C在数轴上表示的数为14，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，
解得（舍去）；
当P是的中点时，则，
解得；
当Q时的中点时，则，
解得；
如图4所示，由题意得，，
设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为10，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，
解得；
当P是的中点时，则，
解得；
当Q时的中点时，则，
解得；
如图5所示，由题意得，，
设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为6，点C在数轴上表示的数为9，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，
解得；
当P是的中点时，则，
解得；
当Q时的中点时，则，
解得；
综上所述，当运动时间为或或或或或或或或或或时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点；
（4）解：外围周长最大的表面展开图，如下图：
观察展开图可知，外围周长为，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了平面图形的折叠和立体几何体的展开图，有理数与数轴，熟练掌握几何体的展开图的特征是解题的关键．
7．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．
（1）求AB的值；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍成立，求t的值．
【答案】（1）8；（2）4或10；（3）t的值为和
【详解】解：（1）∵数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6∴AB＝6﹣（﹣2）＝8
答：AB的值为8．
（2）设点C表示的数为x，由题意得|x﹣（﹣2）|＝3|x﹣6|∴|x+2|＝3|x﹣6|
∴x+2＝3x﹣18或x+2＝18﹣3x∴x＝10或x＝4
答：点C表示的数为4或10．
（3）∵点C位于A，B两点之间，
∴点C表示的数为4，点A运动t秒后所表示的数为﹣2+t，
①点C到达B之前，即2＜t＜3时，点C表示的数为4+2（t﹣2）＝2t
∴AC＝t+2，BC＝6﹣2t
∴t+2＝3（2t﹣6）
解得t＝
②点C到达B之后，即t＞3时，点C表示的数为6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t
∴AC＝|﹣2+t﹣（12﹣2t）|＝|3t﹣14|，BC＝6﹣（12﹣2t）＝2t﹣6
∴|3t﹣14|＝3（2t﹣6）
解得t＝或t＝，其中＜3不符合题意舍去
答：t的值为和
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，列一元一次方程和绝对值方程进行求解，是解答本题的关键.
8．（2022秋·全国·七年级期末）【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；
(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】
(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】
(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
【答案】（1）3π+3，=；（2）5或5 π；（3）MN长为π-1；（4）D点表示的数为：或或或
【分析】（1）根据圆周率伴侣线段定义得出线段之间的关系，代值求解，根据定义分别得出AC、BD与AB的关系判断AC与BD的关系；（2）根据圆周率点定义，分两种情况，得到AM与BM的关系，代值求解；（3）设OM=x，由定义得MC=πx，根据OC=OM+MC列方程求解；（4）根据点D是线段OE的圆周率点和点E是线段OD的圆周率点，得出四种线段之间的关系，代值求解.
【详解】解：（1）∵AC=3，BC=π AC，∴AB=AC+BC=3π+3；
∵点D、C都是线段的圆周率点且不重合，∴BC=π AC ，AD=πBD，
∴AB=AC+BC=BD+AD，∴AB=AC+π AC，AB=BD+πBD，
∴AC= ，BD=，∴AC=BD.
（2）设线段AB中点为C，当点M在线段AC之间时，如图1
∵点M是线段的圆周率点，∴BM=π AM ，∵,
∴AM+π AM=5+5π∴AM=5；
当点M在线段BC之间时，如图2
∵点M是线段的圆周率点，∴AM=π BM ，
∵，∴π BM+BM=5+5π，
∴BM=5，∴AM=5 π.综上所述，AM长为5或5 π.
（3）如图，由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，设M点离O点近，且OM=x，
∴MC=πOM=πx
∴x+πx=π+1，
解得x=1，
∴OM=1，
∴OM=CN=1
∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1.
（4）根据题意得点C表示的数为π+2，设点D表示的数为x，
如图1，若OD=πDE，
∴x=π(π+2-x)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图2，若DE=πOD，
∴ π+2-x= πx，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图3，若OE=πDE，
∴π+2=π(x-π-2)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图4，若DE=πOE，
∴x-π-2=π(π+2)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：.
综上所述：D点表示的数为：或或或.
【点睛】本题主要考查了新定义题目，根据定义，借助数轴和一元一次方程求解，读懂题目，用新思路解决问题是解答此题的关键.
9．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，在数轴上点表示的数分别为-2，0，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．
（1）填空： ；
（2）点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度，5个单位长度的速度向右运动．
①设运动时间为，请用含有的算式分别表示出；
②在①的条件下，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）8，（2）见解析．【详解】解：（1）AC=|-2-6|=8，故答案为：8．
（2）①移动t秒后，点A所表示的数为（-2-t），点B所表示的数为2t，点C所表示的数为（6+5t），
因此，AB=2t-（-2-t）=3t+2，BC=（6+5t）-2t=3t+6，AC=6+5t-（-2-t）=6t+8，
②BC-AB=3t+6-（3t+2）=4，
答：BC-AB的值不会随着运动时间t的变化而变化，其值为4．
【点睛】考查数轴表示数的意义，根据数轴上点所表示的数，求两点之间的距离是常见的题型．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12．
（1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间．
【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6．
【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可；
（2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可；
（3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可.
【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，
∴点H表示的数为：，∵两点之间的距离为12，∴点D表示的数为：，
∵长方形的长是4个单位长度，∴点A表示的数为：，
故答案为：；
（2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x；
①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，则有，解得x＝2 ；
②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，则有7﹣3x＝﹣9+4x解得：x＝
综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ；
（3）设长方形ABCD运动的时间y为秒，
①当重叠部分为长方形EFCD时，
DE=−7+2y−5= 2y−12
∴ 2(2y−12) = 6，
解得：y = 7.5；
②当重叠部分为长方形CDHG时，
HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y，
∴ 2(24−2y) = 6，
解得：y =10.5；
综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6.
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键.
题型一 单动点问题（简单运动类）
题型二 单动点问题（规律变化类）
题型三 双动点问题（匀速运动类）
题型四 双动点问题（变速运动类）
题型五 多动点问题
题型六 新定义类运动问题
【知识梳理】
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高．
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值．
注意：
1、要注意动点是否会来回往返运动．
2、学会用含字母的式子表示运动的距离；
【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】
【例1】（2022秋·广东潮州·七年级潮州市金山实验学校校考期末）如图，已知数轴上的点 A表示的为 6，点B表示的是4的相反数，点 C到点A、点B的距离相等，动点P从点 B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右速运动，设运动时间为t（t>0）秒．
(1)点B表示的数是___________；A、B两点之间的距离为___________；点 C表示的数是___________．
(2)当等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度？
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山东枣庄·七年级校考期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．（用1个单位长度表示）
(1)请你在题中所给的数轴上表示出A、、三点的位置；
(2)把点到点的距离记为，则__________．
(3)一动点从点出发沿数轴正方向移动，且速度保持不变，设点移动的时间为（单位：），当及时，分别求点到点的距离（用含的式子表示）．
【变式2】（2022秋·山西运城·七年级统考期中）如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．
(1)时点P表示的有理数为 ___________；
(2)求点P是的中点时t的值；
(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．
【变式3】（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【经典例题二 单动点问题（规律变化类）】
【例2】（2023·江苏·七年级假期作业）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．
(1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置；
(2)写出点A、B、C三点表示的数；
(3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？
【变式1】（2022秋·广东珠海·七年级校考期中）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为．
(1)由题可知：A，两点之间的距离是 ．
(2)若满足，求．
(3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数．
【变式2】（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）如图，周长为2个单位长度的圆片上的一点A与数轴上的原点O重合，圆片沿数轴来回无滑动地滚动．
(1)把圆片沿数轴向左滚动一周，点A到达数轴上点B的位置，则点B表示的数为__________．
(2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下表：
①第6次滚动a周后，点A距离原点4个单位长度，请求出a的值；
②当圆片结束第6次滚动时，点A一共滚动了多少个单位长度？
【变式3】（2022秋·全国·七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】
【例3】（2022秋·七年级课时练习）在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点.
如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点.
（1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________.
（2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒.
①当PQ=7时，求t值.
②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值.
【变式1】（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为-20，点对应的数为100．
（1）请写出中点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚊从点出发，以6单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
【变式2】（2022秋·全国·七年级专题练习）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍．
（1）求出数轴上点对应的数及的距离．
（2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒．
①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示）
②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．
③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数．
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：
如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．
(1)求m和n的长度；
(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）
①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）；
②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值．
【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】
【例4】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段．
例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．
已知点为数轴原点，点为数轴上的动点．
(1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________；
(2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）．
【变式2】（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．
(1) ______，______，______；
(2)①动点从点运动至点时，求的值；
②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
(3)若点为线段中点，当________秒时，．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．
（1）求，，，的值；
（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度；
（3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值；
（4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【例5】（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40．
【综合运用】（1）点B表示的数是__________．
（2）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离．
（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT－MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏扬州·七年级宝应县城北初级中学校考阶段练习）如图：在数轴上 A 点表示数 a，B 点示数 b，C 点表示数 c，b 是最大的负整数，且 a、b 满足|a+ 3|+（c﹣6）2=0．
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）若将数轴折叠，使得 A点与B 点重合，则点 C与数 表示的点重合；
（3）点 A、B、C开始在数轴上运动，若点 A以每秒 2个单位长度的速度向左运动，同时，点 B和 点 C分别以每秒1个单位长度和 4个单位长度的速度向右运动，假设 t 秒钟过后，若点 A与点 B之间的距离表示为 AB，点 A与点 C之间的距离表示为 AC，点 B与点 C之间的距离表示为 BC．则 AB= ，AC= ，BC= ．（用 含 t的代数式表示）
（4）请问：2BC+AB - AC的值是否随着时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【变式2】（2022秋·七年级单元测试）已知：a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝a+b，请回答下列问题：
（1）请直接写出a，b，c的值：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请在如图的数轴上表示出A，B，C三点；
（3）在（2）的情况下．点A，B，C开始在数轴上运动，若点A，点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB﹣BC的值．
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）如图：在数轴上，点A表示a, 点B表示b, 点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足
________，_________，_____________
若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数____________表示的点重合；
点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，
①请问:的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
②探究:若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【经典例题六 新定义类运动问题】
【例6】（2022秋·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝ ，d2（点D，线段AB）＝ ；
(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·天津和平·七年级耀华中学校考期末）对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【变式2】（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点．
(1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是）
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；
(3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）
【变式3】（2022秋·湖北恩施·七年级统考期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．
(1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为___________；我们把这个模型记为“木棒模型”；
(2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，已知点C表示的数为．求木棒的右端点与点A的距离；
(3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”．请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．
1．（2023·江苏·七年级假期作业）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）A，B两点之间的距离是 ；
（2）设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为 ；
（3）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（4）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（5）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？
2．（2023春·上海·六年级专题练习）已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.
(1) 若b＝－4，则a的值为__________.
(2) 若OA＝3OB，求a的值.
(3) 点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.
3．（2023春·吉林长春·七年级吉林省实验校考阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，与之间的距离记作AB．
已知a=-2，b比a大12，(1)则B点表示的数是_____；
(2)设点在数轴上对应的数为，当PA-PB=4时，求的值；
(3)若点M以每秒1个单位的速度从A点出发向右运动，同时点N以每秒2个单位的速度从B点向左运动．设运动时间是t秒，则运动t秒后，
用含t的代数式表示M点到达的位置表示的数为_____, N点到达的位置表示的数为_____；
当t为多少秒时，M与N之间的距离是9？
4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，数轴上有A， B两点，分别表示的数为，，且．点P从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．
（1）填空： ， ；
（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；
（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；
（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）
5．（2023春·北京海淀·七年级101中学校考开学考试）如图，在数轴上从左往右依次有四个点，其中点表示的数分别是，且.
(1)点D表示的数是 ；（直接写出结果）
(2)线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是（秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.
①求的值;
②线段上是否存在一点，满足?若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由.
6．（2023春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考开学考试）我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．
(1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______；
A．B．
C． D．
(2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）；
(3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（），若P、Q分别从A、C同时出发，点P以1个单位/秒的速度向点C运动，点Q个以0．5单位/秒的速度向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，求运动多少时间时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点？
(4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（3）的外围周长为52，请你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为______．
7．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．
（1）求AB的值；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍成立，求t的值．
8．（2022秋·全国·七年级期末）【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；
(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】
(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】
(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
9．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，在数轴上点表示的数分别为-2，0，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．
（1）填空： ；
（2）点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度，5个单位长度的速度向右运动．
①设运动时间为，请用含有的算式分别表示出；
②在①的条件下，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12．
（1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间．
专题03 数轴中的动点问题专训
【题型目录】
题型一 单动点问题（简单运动类）
题型二 单动点问题（规律变化类）
题型三 双动点问题（匀速运动类）
题型四 双动点问题（变速运动类）
题型五 多动点问题
题型六 新定义类运动问题
【知识梳理】
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高．
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值．
注意：
1、要注意动点是否会来回往返运动．
2、学会用含字母的式子表示运动的距离；
【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】
【例1】（2022秋·广东潮州·七年级潮州市金山实验学校校考期末）如图，已知数轴上的点 A表示的为 6，点B表示的是4的相反数，点 C到点A、点B的距离相等，动点P从点 B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右速运动，设运动时间为t（t>0）秒．
(1)点B表示的数是___________；A、B两点之间的距离为___________；点 C表示的数是___________．
(2)当等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度？
【答案】(1)；；(2)或秒
【分析】（1）分析数轴直接求解即可．
（2）分类讨论点P的位置，直接列关系式求解．
【详解】（1）B表示的数为，
A、B两点之间的距离为，
C为的中点．
（2）由（1）可知，，
当点P在点C的左边时，，则；
当点P在点C的右边时，，则．
综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山东枣庄·七年级校考期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．（用1个单位长度表示）
(1)请你在题中所给的数轴上表示出A、、三点的位置；
(2)把点到点的距离记为，则__________．
(3)一动点从点出发沿数轴正方向移动，且速度保持不变，设点移动的时间为（单位：），当及时，分别求点到点的距离（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)，
【分析】（1）根据题意，在数轴上画出点A、B、C即可．
（2）用C点表示的数减去A点表示的数，即可求解；
（3）先将点P表示的数表示出来，再根据点P和点C的位置关系，即可进行解答．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：；
故答案为：6．
（3）解：由于移动的速度为，时间为，所以点走过的路程为，
当时，点在点左侧，所以点到点的距离为；
当时，点在点右侧，所以点到点的距离为．
【变式2】（2022秋·山西运城·七年级统考期中）如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．
(1)时点P表示的有理数为 ___________；
(2)求点P是的中点时t的值；
(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)0(2)2.5 或7.5(3)或
(4)
【分析】（1）当时，点P的路程与的和即为点表示的有理数；
（2）求出的长，分两种情况：由A到B方向运动时点P是的中点；由B到A方向运动时点P是的中点；
（3）分两种情况：点P由点A到点B的运动过程中，点P到点A的距离即点P的运动路程；点P由点B到点A的运动过程中，点P到点A的距离为与点P运动路程的差；
（4）分两种情况：点P由点A到点B的运动过程中；点P由点B到点A的运动过程中；由（3）的结果及两点间的距离即可求得点P表示的有理数．
【详解】（1）解：点P表示的有理数为；
故答案为：0；
（2）解：，
，
当由A到B方向运动时，，
当由B到A方向运动时，．
综上，点P是的中点时或；
（3）解：当点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离的长度为；当点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离为；
（4）解：在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是；
在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是．
【变式3】（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．
故答案为：－4或－16；
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，
当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，
当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；
第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，
当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，
N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，
当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【经典例题二 单动点问题（规律变化类）】
【例2】（2023·江苏·七年级假期作业）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．
(1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置；
(2)写出点A、B、C三点表示的数；
(3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？
【答案】(1)见解析(2)A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是
(3)向左爬行4个单位长度【分析】（1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解；
（2）根据（1）中所画数轴写出即可；
（3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答．
【详解】（1）如图所示：
（2）A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是；
（3）∵C点坐标是，∴可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4个单位长度得到的．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东珠海·七年级校考期中）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为．
(1)由题可知：A，两点之间的距离是 ．
(2)若满足，求．
(3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数．
【答案】(1)9(2)或(3)
【分析】（1）根据题意可得，，则AB=9；
（2）对点M的位置进行分类讨论，并用m表示出MA和MB的长度，利用“MA+MB=12”列出方程即可求解；
（3）根据题意得到点M每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可．
【详解】（1）由多项式的次数是6可知，又与互为相反数，故．
，两点之间的距离是，
故答案为：9；
（2）①当在A左侧时，
∵，
∴，
解得：
②在A和之间时，
∵，
点不存在；
③点在点右侧时，
∵，
∵
解得：
综上所述，m的值为或．
（3）依题意得：
点对应的有理数为，
故答案为：．
【变式2】（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）如图，周长为2个单位长度的圆片上的一点A与数轴上的原点O重合，圆片沿数轴来回无滑动地滚动．
(1)把圆片沿数轴向左滚动一周，点A到达数轴上点B的位置，则点B表示的数为__________．
(2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下表：
①第6次滚动a周后，点A距离原点4个单位长度，请求出a的值；
②当圆片结束第6次滚动时，点A一共滚动了多少个单位长度？
【答案】(1)-2
(2)①1或-3；②28或32个
【分析】（1）由圆片沿数轴向左滚动1周，得点A表示的数：-2；
（2）①第6次滚动a周后，Q点距离原点是4，得|3-1-2+4-3+a|=4÷2=2，解方程即可求解；
②当a=1时，（3+1+2+4+3+1）×2=28；当a=-3时，（3+1+2+4+3+3）×2=32．
【详解】（1）解：∵圆片沿数轴向左滚动1周，
∴点A表示的数：-2；
故答案为：-2；
（2）解：①∵第6次滚动a周后，Q点距离原点是4，
∴|3-1-2+4-3+a|=4÷2=2，
∴|a+1|=2，
∴a=1或-3；
②当a=1时，（3+1+2+4+3+1）×2=28；
当a=-3时，（3+1+2+4+3+3）×2=32．
答：当圆片结束六次滚动时，Q点一共运动的路程是28或32．
【点睛】本题考查有理数与数轴上的点的对应关系：找出点到原点的距离，点对应的数的正负是关键．
【变式3】（2022秋·全国·七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【答案】(1)4
(2)1
(3)终点表示数是（a﹣m+n）
【分析】（1）根据-3点为A，右移7个单位得到B点为-3+7=4，则可以得出答案；
（2）根据3表示为A点，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点为3-7+5=1，可以得出答案；
（3）方法同（2），根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．．
【详解】（1）∵点A表示数﹣3，
∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4，
故答案是：4；
（2）∵点A表示数3，
∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，
那么终点表示的数是3﹣7+5＝1；
故答案是：1；
（3）∵A点表示的数为a，
∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度，
那么终点表示数是（a﹣m+n）．
【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】
【例3】（2022秋·七年级课时练习）在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点.
如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点.
（1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________.
（2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒.
①当PQ=7时，求t值.
②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值.
【答案】（1）1，-7；（2）① 当PQ=7时，t=1；②t=1.8
【分析】（1）根据内相关点和外相关点的定义列出等式求解即可；
（2）①根据“路程=速度时间”以及点A和B表示的数求出点P和Q表示的数，然后根据列出等式求解即可；
②同（1）的方法一样，分别求出点M，N表示的数，再根据相反数的定义列出等式求解即可.
【详解】（1）设线段AB的内相关点表示的数为a由得，
解得设线段AB的外相关点表示的数为b由得，
解得故答案为：和；
（2）①运动时间为t秒点P对应的数为，点Q对应的数为，并且点P在点Q右侧
则当时，，解得；
②同（1）可得：内相关点M表示的数为外相关点N表示的数为
由相反数的定义得，解得
故t的值为1.8.
【点睛】本题考查了数轴的定义、相反数的定义，理解新定义是解题关键.
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为-20，点对应的数为100．
（1）请写出中点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚊从点出发，以6单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
【答案】（1）40；（2）28；（3）-260．
【分析】(1)直接根据中点坐标公式求出M点对应的数;
(2)①先求出AB的长,再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程, 求出t的值即可; ②由①中t的值可求出P、Q相遇时点P移动的距离,进而可得出C点对应的数;
(3)此题是追及问题,可先求出P追上Q所需的时间, 然后可求出Q所走的路程,根据左减右加的原则,可求出点D所对应的数．
【详解】法一:（1）,点表示的数为：,
（2）它们的相遇时间是（秒）,即相遇时点运动的路程为：,
因此点表示的数为：.
（3）两只蚂蚁相遇时的运动时间为：（秒）,即相遇时点运动的路程为：,
因此点表示的数为：,方法二:（1）,
（2）动点,,相遇,则,,
,,
（3）动点;,相遇，则,
,
,
．
【点睛】本题主要考查的是数轴上点的运动,还有相遇问题与追及问题,解决本题的关键是要熟练掌握行程问题的等量关系.
【变式2】（2022秋·全国·七年级专题练习）已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍．
（1）求出数轴上点对应的数及的距离．
（2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒．
①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示）
②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．
③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数．
【答案】（1）点对应的数为30；AC=120；（2）①；②的值为5或20；③相遇2次；点在数轴上对应的数为－15或．
【分析】(1)根据A点对应的数为60，B点在A点的左侧，AB=30求出B点对应的数，根据AC=4AB求出AC的距离；
(2)①当P点在AB之间运动时，根据路程=速度×时间求出AP=3t，根据BP=AB-AP求解；
②分P点是AB的中点和B点是AP的中点两种情况进行讨论即可；
③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次，设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇，第一次相遇是点Q从A点出发，向C点运动的途中，根据AQ-BP=AB列出方程；第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中，根据CQ+BP=BC列出方程，进而求出P点在数轴上的对应的数．
【详解】解（1）点对应的数为60，,点在点的左侧，并且与点的距离为30，
点对应的数为；
点到点距离是,点到点距离的4倍，
;
（2）①当点在之间运动时，
，
．
故答案为；
②当点是、两点的中点时，，
，解得；
当点是两点的中点时，，
，解得．
故所求时间的值为5或20；
③相遇2次．
设点在往返过程中经过秒与点相遇．
第一次相遇是点从出发，向点运动的途中．
，
，
解得，
此时点在数轴上对应的数是：；
第二次相遇是到达点后返回到点的途中．
，
，
解得，
此时点在数轴上对应的数是：．
综上，相遇时点在数轴上对应的数为－15或．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，线段中点的定义，进行分类讨论是解题的关键．
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：
如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．
(1)求m和n的长度；
(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）
①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）；
②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值．
【答案】(1)m＝4，n＝5
(2)①；②6s或11s
【分析】（1）根据非负数的性质可得答案；
（2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可．
【详解】（1）解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，
∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0，
∴a＝﹣5，b＝﹣1
∴m＝-1-（-5）=4
又因为c＝3，d＝8
∴n＝8-3=5
∴m和n的长度分别为4和5；
（2）解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．
∴t＝s，
故答案是：；
②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4，
设t秒重叠2个单位长度，
可得4t＝3t+4+2，
解得t＝6，
m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13，
可得4t＝3t+13﹣2，
解得t＝11，
综上t＝6s或11s．
【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键．
【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】
【例4】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
【答案】(1)22
(2)或
(3)当时的运动时间的值为2或秒
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离；
（2）设点表示的数为．分两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上．根据列出关于的方程，求解即可；
（3）根据点的运动方向分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：、两点之间的距离是：；
（2）解：设点表示的数为．分两种情况：
①当点在线段上时，
，
，
解得；
②当点在线段的延长线上时，
，
，
解得．
综上所述，点表示的数为或；
（3）解：分两种情况：
①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
解得，符合题意；
②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
当时，，
解得；
当时，，
解得，不符合题意，舍去；
综上所述，当时的运动时间的值为2或秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段．
例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．
已知点为数轴原点，点为数轴上的动点．
(1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________；
(2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）．
【答案】(1)1，3(2)或(3)或
【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：，∴（点，线段)=1，
∵点O到线段AB的最小距离为：，∴（点，线段)=3，故答案为：1，3．
（2）当线段在线段左侧时：（线段，线段），
解得：，当线段在线段右侧时：（线段，线段），
解得：，综上：或．
（3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则，
当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立；
当时，点C表示：2，点D表示：，
此时：（线段，线段），符合题意；
当时，点C表示：4，点D表示：，
此时：（线段，线段），不符合题意；
当时，点C表示：，点D表示：，
∴此时：（线段，线段），解得：，∴，
∵时，点C表示：6，点D表示：，
∴（线段，线段），符合题意；
当时，点C表示：，点D表示：，
∴此时：（线段，线段），解得：，
∵当时，点C表示：8，点D表示：，
∴（线段，线段），不符合题意；
当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间，
∴此时：（线段，线段），
或（线段，线段），
解得：，
∴，
当时，点C表示：10，点D表示：，
此时：（线段，线段），不符合题意；
当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间，
∴此时，，则当时，（线段，线段），
综上：或．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
【变式2】（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．
(1) ______，______，______；
(2)①动点从点运动至点时，求的值；
②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
(3)若点为线段中点，当________秒时，．
【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，．
【详解】解：（1）；（2）①∵
∴∴动点从点运动至点时，；
②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为．
易知点落在线段段，依题意有: 解得:
∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为．
（3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5设时间为t时，MD=ND
①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t则MD=15-2t，ND=13-t
即15-2t=13-t，解得t=2；
②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t则MD=10-t，ND=13-t
即10-t=13-t,无解；
③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8)则MD=10-t，ND=5-2(t-8)
即10-t=5-2(t-8)，解得t=11；
④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t则MD=t-10，ND=21-2t
即t-10=21-2t，解得t=；
⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t则MD=2t-25，ND=t-8即2t-25=t-8，解得t=17；
综上所述，当秒时，．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．
（1）求，，，的值；
（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度；
（3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值；
（4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【答案】（1），，，；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）或20；（4），，．
【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可；
（2）设点C运动速度为x，由题意得：，即可得解；
（3）根据题意分别表示出AC，BD，在进行分类讨论计算即可；
（4）根据点A，C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可；
【详解】（1）∵，
∴，
∴，，，；
（2）设点C运动速度为x，由题意得：
，
解得：，
∴点C的运动速度为每秒2个单位；
（3）t秒时，点A数为，点B数为-12，点C数为，点D数为，
∴，，
∵，
∴①时，，解得：；
②20-2t＜0时，即t＞10，，解得：；
∴或20．
（4）C点运动到A点所需时间为，所以A，C相遇时间，由（2）得时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时；
①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，＜10，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得，解得＜10，此时相遇点为；∴A，C相遇时对应的数为：，，．
【经典例题五 多动点问题】
【例5】（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40．
【综合运用】（1）点B表示的数是__________．
（2）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离．
（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT－MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）－20；（2）100；（3）9个单位长度/秒；（4）PT－MN的值不变，值为30．
【分析】（1）根据AB=60，点A对应的数是40，得出点B对应的数；（2）根据AB=60，BC：AC=4：7，得出BC=80，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；（3）假设点R速度为a单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可；（4）分别表示出PT，MN的值，进而求出PT-MN的值；
【详解】解：（1）∵AB=60，点A对应的数是40，∴点B对应的数为：40-60=－20；
故答案为-20；
（2）∵BC：AC=4：7，∴BC：AB=4：3，∵AB=60，∴BC=80，∴AC=140，
∵点A对应的数是40，∴点C对应的数为40-140=-100；
∴C到原点的距离为100；
故答案为100；
（3）设R的速度为a个单位长度/秒，则P的速度为3a个单位长度/秒，Q的速度为（2a－5）个单位长度/秒；
由题意得：，
解得：，
，
答：Q的速度为9个单位长度/秒．
（4）PT－MN的值不变；
理由如下：设运动时间为t 秒，则P：，
T：，
M：，
O：0，
R：，
N：，
PT，
MN，
PT－MN；
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握一元一次方程的应用，数轴是解题的关键.
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏扬州·七年级宝应县城北初级中学校考阶段练习）如图：在数轴上 A 点表示数 a，B 点示数 b，C 点表示数 c，b 是最大的负整数，且 a、b 满足|a+ 3|+（c﹣6）2=0．
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）若将数轴折叠，使得 A点与B 点重合，则点 C与数 表示的点重合；
（3）点 A、B、C开始在数轴上运动，若点 A以每秒 2个单位长度的速度向左运动，同时，点 B和 点 C分别以每秒1个单位长度和 4个单位长度的速度向右运动，假设 t 秒钟过后，若点 A与点 B之间的距离表示为 AB，点 A与点 C之间的距离表示为 AC，点 B与点 C之间的距离表示为 BC．则 AB= ，AC= ，BC= ．（用 含 t的代数式表示）
（4）请问：2BC+AB - AC的值是否随着时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-3，-1，6；（2）-10；（3）AB=2+3t，AC=6t+9，BC=7+3t；(4)不变，2.5.
【分析】（1）利用|a+3|+（c-6）2=0，得a+3=0，c-6=0，解得a，c的值，由b是最大的负整数，可得b=-1；
（2）先求出对称点，然后再求得点C到对称点的距离，从而求得点C的对称点；
（3）利用数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得AB、AC、BC的长；
（4）根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵|a+3|+（c-6）2=0，∴a+3=0，c-6=0，
∴a=-3，c=6，∵b是最大的负整数，∴b=-1；
（2）点A与点B的中点对应的数为：=-2，
点C到-2的距离为8，所以与点C重合的数是：-2-8=-10．
（3）AB=t+2t+2=3t+2，
AC=2t+4t+9=6t+9，
BC=（4－1）t+7＝3t+7；
（4）∵AB=3t+2,AC=6t+9,BC=3t+7,
∴2BC+AB - AC=2(3t+7)+3t+2-(6t+9)=6t+14+3t+2-9t-13.5=2.5,
∴2BC+AB - AC的值不随着时间t的变化而改变，其值为2.5.
【点睛】考查了实数与数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
【变式2】（2022秋·七年级单元测试）已知：a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝a+b，请回答下列问题：
（1）请直接写出a，b，c的值：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请在如图的数轴上表示出A，B，C三点；
（3）在（2）的情况下．点A，B，C开始在数轴上运动，若点A，点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB﹣BC的值．
【答案】（1）﹣1，1，0；（2）见解析；（3）AB﹣BC的值为1．
【分析】（1）根据题意可得 （2）在数轴上直接标出．（3）先求出AB，BC的值，再计算AB-BC的值，可得AB-BC的值是定值．
【详解】（1）由题意可得a＝﹣1，b＝1，c＝﹣1+1＝0
（2）
（3）∵BC＝（1+5t）﹣（0﹣t）＝1+6t,
AB＝（1+5t）﹣（﹣1﹣t）＝2+6t
∴AB﹣BC＝2+6t﹣（1+6t）＝1,
∴AB﹣BC的值不会随着时间的变化而改变，AB﹣BC的值为1．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，解决本题的关键是要数形结合.
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）如图：在数轴上，点A表示a, 点B表示b, 点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足
________，_________，_____________
若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数____________表示的点重合；
点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，
①请问:的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
②探究:若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-3，-1,5；（2）3；（3）①的值不随着时间的变化而改变，值为14；②当时， 的值随着时间的变化而改变；当时， 的值不随着时间的变化而改变，值为26．
【分析】(1)根据非负数的性质即可得到结论；
（2）先求出对称点，即可得出答案；
(3)①t秒后，，，代入计算即可得到答案；
②先求出，再分当时和当时，讨论求解即可.
【详解】解:∵，
∴a+3=0，c−5=0，
解得a=−3，c=5，
∵b是最大的负整数，
∴b=-1
故答案为：−3，-1，5．
(2)点A与点C的中点对应的数为：，
点B到1的距离为2，所以与点B重合的数是：1+2=3．
故答案为：3．
①t秒后，，
，
．
故的值不随着时间的变化而改变；
②．
，
．
当时，原式的值随着时间的变化而改变；
当时，原式的值不随着时间的变化而改变．
【经典例题六 新定义类运动问题】
【例6】（2022秋·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝ ，d2（点D，线段AB）＝ ；
(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【答案】(1)1，6(2)﹣4或6
【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧．
【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3，
∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，故答案为：1，6；
（2）分两种情况：
当点E在点A的左侧，
d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x，
d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴2﹣x＝3（﹣2﹣x），
∴x＝﹣4，
当点E在点B的右侧，
d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3，
d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴3+x＝3（x﹣3），∴x＝6，
综上所述：x的值为﹣4或6．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·天津和平·七年级耀华中学校考期末）对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 .
【答案】（1），；（2）①－50或或；②50或70或110.
【分析】（1）题目给定的规律，联盟点必须满足其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，根据规律找出即可（2）已知点A的大小，点B的大小，根据不同的位置分别找出点P的坐标即可.
【详解】解：（1），；（2）① 设点P表示的数为x，
如图，当点在点A左侧时，，
则 30－x＝2（－10－x），解得 x＝－50.所以点表示的数为－50；
如图，当点在线段AB上且时，
则 30－x＝2（x＋10），解得 x＝.所以点表示的数为；
如图，当点在线段AB上且时，
则 x＋10＝2（30－x），解得 x＝.
所以点表示的数为.
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为－50或或.
② 50或70或110.
【变式2】（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点．
(1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是）
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；
(3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）
【答案】(1)不是(2)0或(3)当经过5秒或或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点
【详解】（1）解：如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，
根据好点的定义得：，那么点D不是【A，B】的好点；
（2）解：如图2，，，即距离点M为4个单位，距离点N为2个单位的点就是所求的好点0；∴数0所表示的点是【M，N】的好点；，，
同理：数所表示的点也是【M，N】的好点；
∴数0或所表示的点是【M，N】的好点；
（3）解：如图3，由题意得：，，，
点P走完所用的时间为：（秒），分四种情况：
①当时，即，（秒），P是【A，B】的好点，
②当时，即（秒），P是【B，A】的好点，
③当时，即（秒），B是【A，P】的好点，
④当时，即（秒），A是【B，P】的好点，
∴当经过5秒或或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点；
【变式3】（2022秋·湖北恩施·七年级统考期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．
(1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为___________；我们把这个模型记为“木棒模型”；
(2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，已知点C表示的数为．求木棒的右端点与点A的距离；
(3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”．请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．
【答案】(1)5cm(2)或(3)示意图见解析，爷爷现在67岁
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小宇与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小宇大时看作当B点移动到A点时，此时A点对应的数为，小宇比爷爷一样大时看作当A点移动到B点时，此时B点对应的数为，所以可知爷爷与小宇的年龄差为，可求爷爷的年龄．
【详解】（1）解：由题意得：木棒的长为cm．
（2）解：点C表示的数为当木棒的左端点在点C右边3cm时，
此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为
木棒的右端点与点A的距离为当木棒的左端点在点C左边3cm时，
此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为
木棒的右端点与点A的距离为综上所述，木棒的右端点与点A的距离为或
（3）解：木棒模型如图：图中点A表示的数是小宇的年龄，点B表示的数代表爷爷的年龄．
小宇与爹爹年龄差为：
所以，爹爹的年龄为：（岁）
【点睛】本题考查了数轴，解题关键是能用数形结合的思想借助数轴直观求解．
【培优检测】
1．（2023·江苏·七年级假期作业）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）A，B两点之间的距离是 ；
（2）设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为 ；
（3）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（4）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（5）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？
【答案】（1）4；（2）|x+4|；（3）1；（4）-3或5；（5）或8．
【分析】（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB=|a-b|，依此即可求解；
（3）根据中点坐标公式即可求解；
（4）分两种情况：点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解；
（5）分两种情况：点A在点B的左边，点A在点B的右边，进行讨论即可求解．
【详解】（1）A，B两点之间的距离是3-（-1）=4
（2）x与-4之间的距离表示为|x-（-4）|=|x+4|
（3）（-1+3）÷2=1．故点P对应的数是1；
（4）点P在点A的左边，x的值是-1-（8-4）÷2=-3；点P在点B的右边，
x的值是3+（8-4）÷2=5．故x的值是-3或5；
（5）点A在点B的左边，（4-3）÷（2-0.5）×2+（-1）=．
点A所对应的数是点A在点B的右边，
（4+3）÷（2-0.5）×2+（-1）=8．点A所对应的数是8．
故点A所对应的数是或8．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注
2．（2023春·上海·六年级专题练习）已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.
(1) 若b＝－4，则a的值为__________.
(2) 若OA＝3OB，求a的值.
(3) 点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.
【答案】(1)10；(2)；(3)
【分析】(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a的值为10.
(2)分两种情况,点A在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA的长度,从而得出a的值.同理可求出当点A在原点的左侧时,a的值.
(3)画数轴,结合数轴分四种情况讨论计算即可.
【详解】(1)解：若b＝－4，则a的值为 10
(2)解：当A在原点O的右侧时（如图）：
设OB=m,列方程得：m+3m=14，解这个方程得，，
所以，OA=，点A在原点O的右侧，a的值为.
当A在原点的左侧时（如图)，
a=－综上，a的值为±.
(3)解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图), c=－.
当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图), c=－8.
当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c=.
当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.
综上，点c的值为：±8，±.
3．（2023春·吉林长春·七年级吉林省实验校考阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，与之间的距离记作AB．
已知a=-2，b比a大12，(1)则B点表示的数是_____；
(2)设点在数轴上对应的数为，当PA-PB=4时，求的值；
(3)若点M以每秒1个单位的速度从A点出发向右运动，同时点N以每秒2个单位的速度从B点向左运动．设运动时间是t秒，则运动t秒后，
用含t的代数式表示M点到达的位置表示的数为_____, N点到达的位置表示的数为_____；
当t为多少秒时，M与N之间的距离是9？
【答案】（1）10；（2）x=6；（3）-2+t , 10-2t； 当t值为1秒或7秒时M与N之间的距离为9
【分析】(1)根据两点间距离公式可以求解；
(2)根据两点间距离公式列出方程，可以求解；
(3)M与N之间的距离是9，应该分追上和超过两种情况，列出方程可计算求出答案.
【详解】（1）10
（2）
x=6
（3）-2+t , 10-2t
（10-2t）-（-2+t）=9
t=1
（-2+t）-（10-2t）=9
t=7
综上，当t值为1秒或7秒时M与N之间的距离为9.
【点睛】分类探讨两点之间的距离与两点之间的位置关系是解题的关键.
4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，数轴上有A， B两点，分别表示的数为，，且．点P从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．
（1）填空： ， ；
（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；
（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；
（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）
【答案】（1） ， （2）运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27 ；（3）5;(4) 一共相遇了7次.
【分析】（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题；（3）根据点Q达到A点时，点P，Q停止运动求出运动时间即可解题；（4）根据第三问点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题.
【详解】解：（1） ，
（2）设运动时间为秒
解得
答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27
（3）运动总时间：60÷2=30（秒），13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,
∵，
∴点P所在的位置表示的数为5 .
（4）由（3）得：点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,
∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次.
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.
5．（2023春·北京海淀·七年级101中学校考开学考试）如图，在数轴上从左往右依次有四个点，其中点表示的数分别是，且.
(1)点D表示的数是 ；（直接写出结果）
(2)线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是（秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.
①求的值;
②线段上是否存在一点，满足?若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）16；（2）①t的值为3或秒；②存在，P表示的数为.
【详解】（1）16（2）①在运动过程中，B点表示的数为3+2t,A点表示的数为2t,C点表示的数为10-t，D点表示的数为16-t.当BC＝2，点B在点C的右边时，由题意得：，
解得：t＝3，当AD=2，点A在点D的左边时，
由题意得：，解得：t＝．综上，t的值为3或秒
②存在，理由如下:当t=3时，A点表示的数为6，B点表示的数为9，C点表示的数为7，D点表示的数为13.则，，，
解得：或，又点在线段AB上，则
.
当时，A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为.
则，
，
∴ ，解得：或，
又，
无解
综上，P表示的数为.
6．（2023春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考开学考试）我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．
(1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______；
A．B．
C． D．
(2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）；
(3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（），若P、Q分别从A、C同时出发，点P以1个单位/秒的速度向点C运动，点Q个以0．5单位/秒的速度向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，求运动多少时间时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点？
(4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（3）的外围周长为52，请你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为______．
【答案】(1)B(2)①②③
(3)当运动时间为或或或或或或或或或或时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点(4)70
【详解】（1）解：正方体的所有展开图，如下图所示：
只有B属于这11种中的一个，故选：B．
（2）解：由长方体展开图的特点可知，可能是该长方体表面展开图的有①②③，故答案为：①②③．
（3）解；设运动的时间为t，如图1所示，由题意得，，
设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为4，点C在数轴上表示的数为7，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，解得；
当P是的中点时，则，解得；
当Q时的中点时，则，解得；
如图2所示，由题意得，，设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为11，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，解得；
当P是的中点时，则，
解得；
当Q时的中点时，则，
解得；
如图3所示，由题意得，，
设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为11，点C在数轴上表示的数为14，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，
解得（舍去）；
当P是的中点时，则，
解得；
当Q时的中点时，则，
解得；
如图4所示，由题意得，，
设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为10，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，
解得；
当P是的中点时，则，
解得；
当Q时的中点时，则，
解得；
如图5所示，由题意得，，
设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为6，点C在数轴上表示的数为9，
∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，
当B是的中点时，则，
解得；
当P是的中点时，则，
解得；
当Q时的中点时，则，
解得；
综上所述，当运动时间为或或或或或或或或或或时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点；
（4）解：外围周长最大的表面展开图，如下图：
观察展开图可知，外围周长为，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了平面图形的折叠和立体几何体的展开图，有理数与数轴，熟练掌握几何体的展开图的特征是解题的关键．
7．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．
（1）求AB的值；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍成立，求t的值．
【答案】（1）8；（2）4或10；（3）t的值为和
【详解】解：（1）∵数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6∴AB＝6﹣（﹣2）＝8
答：AB的值为8．
（2）设点C表示的数为x，由题意得|x﹣（﹣2）|＝3|x﹣6|∴|x+2|＝3|x﹣6|
∴x+2＝3x﹣18或x+2＝18﹣3x∴x＝10或x＝4
答：点C表示的数为4或10．
（3）∵点C位于A，B两点之间，
∴点C表示的数为4，点A运动t秒后所表示的数为﹣2+t，
①点C到达B之前，即2＜t＜3时，点C表示的数为4+2（t﹣2）＝2t
∴AC＝t+2，BC＝6﹣2t
∴t+2＝3（2t﹣6）
解得t＝
②点C到达B之后，即t＞3时，点C表示的数为6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t
∴AC＝|﹣2+t﹣（12﹣2t）|＝|3t﹣14|，BC＝6﹣（12﹣2t）＝2t﹣6
∴|3t﹣14|＝3（2t﹣6）
解得t＝或t＝，其中＜3不符合题意舍去
答：t的值为和
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，列一元一次方程和绝对值方程进行求解，是解答本题的关键.
8．（2022秋·全国·七年级期末）【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；
(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】
(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】
(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
【答案】（1）3π+3，=；（2）5或5 π；（3）MN长为π-1；（4）D点表示的数为：或或或
【分析】（1）根据圆周率伴侣线段定义得出线段之间的关系，代值求解，根据定义分别得出AC、BD与AB的关系判断AC与BD的关系；（2）根据圆周率点定义，分两种情况，得到AM与BM的关系，代值求解；（3）设OM=x，由定义得MC=πx，根据OC=OM+MC列方程求解；（4）根据点D是线段OE的圆周率点和点E是线段OD的圆周率点，得出四种线段之间的关系，代值求解.
【详解】解：（1）∵AC=3，BC=π AC，∴AB=AC+BC=3π+3；
∵点D、C都是线段的圆周率点且不重合，∴BC=π AC ，AD=πBD，
∴AB=AC+BC=BD+AD，∴AB=AC+π AC，AB=BD+πBD，
∴AC= ，BD=，∴AC=BD.
（2）设线段AB中点为C，当点M在线段AC之间时，如图1
∵点M是线段的圆周率点，∴BM=π AM ，∵,
∴AM+π AM=5+5π∴AM=5；
当点M在线段BC之间时，如图2
∵点M是线段的圆周率点，∴AM=π BM ，
∵，∴π BM+BM=5+5π，
∴BM=5，∴AM=5 π.综上所述，AM长为5或5 π.
（3）如图，由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，设M点离O点近，且OM=x，
∴MC=πOM=πx
∴x+πx=π+1，
解得x=1，
∴OM=1，
∴OM=CN=1
∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1.
（4）根据题意得点C表示的数为π+2，设点D表示的数为x，
如图1，若OD=πDE，
∴x=π(π+2-x)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图2，若DE=πOD，
∴ π+2-x= πx，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图3，若OE=πDE，
∴π+2=π(x-π-2)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图4，若DE=πOE，
∴x-π-2=π(π+2)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：.
综上所述：D点表示的数为：或或或.
【点睛】本题主要考查了新定义题目，根据定义，借助数轴和一元一次方程求解，读懂题目，用新思路解决问题是解答此题的关键.
9．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，在数轴上点表示的数分别为-2，0，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．
（1）填空： ；
（2）点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度，5个单位长度的速度向右运动．
①设运动时间为，请用含有的算式分别表示出；
②在①的条件下，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）8，（2）见解析．【详解】解：（1）AC=|-2-6|=8，故答案为：8．
（2）①移动t秒后，点A所表示的数为（-2-t），点B所表示的数为2t，点C所表示的数为（6+5t），
因此，AB=2t-（-2-t）=3t+2，BC=（6+5t）-2t=3t+6，AC=6+5t-（-2-t）=6t+8，
②BC-AB=3t+6-（3t+2）=4，
答：BC-AB的值不会随着运动时间t的变化而变化，其值为4．
【点睛】考查数轴表示数的意义，根据数轴上点所表示的数，求两点之间的距离是常见的题型．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12．
（1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间．
【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6．
【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可；
（2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可；
（3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可.
【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，
∴点H表示的数为：，∵两点之间的距离为12，∴点D表示的数为：，
∵长方形的长是4个单位长度，∴点A表示的数为：，
故答案为：；
（2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x；
①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，则有，解得x＝2 ；
②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，则有7﹣3x＝﹣9+4x解得：x＝
综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ；
（3）设长方形ABCD运动的时间y为秒，
①当重叠部分为长方形EFCD时，
DE=−7+2y−5= 2y−12
∴ 2(2y−12) = 6，
解得：y = 7.5；
②当重叠部分为长方形CDHG时，
HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y，
∴ 2(24−2y) = 6，
解得：y =10.5；
综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6.
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键.
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