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北师大版七年级上册3.3 整式课时作业
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这是一份北师大版七年级上册3.3 整式课时作业，共67页。
【知识梳理】
【经典题型一 代数式的概念与书写方法】
【例1】（2023·江苏·七年级假期作业）在，1，，，中,代数式的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式训练】
1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（ ）
A．B． C．D．
2．（2022秋·全国·七年级期末）下列各式：①②③ ④ ⑤千克 ，不符合代数式书写要求的是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．（2022秋·七年级课时练习）在，0，，，中，代数式有 个.
4．（2022秋·浙江·七年级专题练习）下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个．
5．（2022秋·全国·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：
（1）a×5，应写成 ；
（2）S÷t应写成 ；
（3），应写成 ；
（4）, 应写成 .
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式?
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
7．（2022秋·上海·七年级专题练习）课本告诉我们，同一个代数式可以表示不同的实际意义，这体现了不同背景实际问题中的相同数量关系常常可以用同一个代数式来表示．
下列情境中的字母、表示的是两个不超过100的正整数，且，请解决以下问题：
（1）两根同样长的铁丝，分别围成一个长为、宽为的长方形和一个正方形，长方形的长比正方形的边长大多少？
（2）下列情境：
①、两数的平均数为；
②甲、乙两人分别有元和元，要使两人的钱数一样，则甲需要给乙元；
③小亮在超市买了牛奶和可乐共瓶，其中牛奶比可乐少瓶，则他买了瓶牛奶；
④小红和爷爷从相距的两地相向而行，1后相遇，相遇时小红比爷爷多行了，则爷爷的平均速度是．
上述情境中的、、、也可以用（1）的结果中的代数式表示的是______．（填写所有正确选项前的序号）
【经典题型二 用字母表示数量关系】
【例2】（2022秋·福建宁德·七年级校考期中）小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（ ）
A．78B．87C．23D．12
【变式训练】
1．（2022秋·北京·八年级北京四中校考阶段练习）粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（ ）
A．xB．yC．D．
2．（2023·上海·七年级假期作业）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了B．盈利了C．不亏不盈D．盈亏不确定
3．（2021·重庆·九年级专题练习）一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是 ．
4．（2021·上海·九年级专题练习）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上增加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 元(用含m、a的代数式表示)
5．（2022秋·七年级课时练习）设n为自然数，则奇数表示为 ，能被5整除的数为 ，被4除余3的数为 ．
6．（2022秋·七年级课时练习）某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米．
(1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度；
(2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）．
7．（2022秋·湖北襄阳·七年级统考期中）.A、B两地分别有水泥20吨和30吨，C、D两地分别需要水泥15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表：
（1）若从A地运到C地的水泥为x吨，则用含x的式子表示从A地运到D地的水泥
为 吨，从A地将水泥运到D地的运输费用为 元；
（2）用含x的代数式表示从A、B两地运到C、D两地的总运输费，并化简该式子．
【经典题型三 用代数式表示数、图形的规律】
【例3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）下列各图均是由大小相等的正方形按一定规律进行排列的，若按此规律排列，则图中正方形的个数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．3n-3B．3n+2C．3n+3D．3n-2
2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，在一条笔直的公路上，点M表示一个路标，已知第1棵树与路标M之间的距离为3米，从第2棵树开始，任意相邻的两棵树之间的距离均为5米．则第50棵树与路标M之间的距离为 ；用含n的代数式表示第n棵树与路标M之间的距离为 ．
3．（2023·广东江门·江门市华侨中学校考一模）如图，是一组有规律的图案（后一个图案比前一个图案多2个），第1个图案由1个组成，第2个图案由3个组成，第3个图案由5个组成，第4个图案由7个组成，……，则前n（n为正整数）个图案共有的个数为 ．
4．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）观察下列式子：
第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
第4个式子：；
……
根据上述规律，解决下列问题：
(1)写出第5个式子： ；
(2)写出第（为正整数）个式子 ，并说明：．
5．（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
［观察思考］
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．
［规律总结］
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加______块；
（2）若一条这样的人行道一共有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为__________（用含的代数式表示）．
［问题解决］
（3）现有2023块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【经典题型四 代数式表示的实际意义】
【例4】（2023·河北承德·统考一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【变式训练】
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）
A．降价15元后再打9折B．原价打9折后再降价15元
C．降价15元后再打1折D．原价打1折后再降价15元
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）对单项式可以解释为:一件商品原价为元，若按原价折出售，这种商品现在的售价是元.请你对再赋予一个实际意义: ．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）对单项式“5x”，我们可以这样来解释：某人以5千米/小时的速度走了x小时，他一共走的路程是5x千米，请你对“5x”再给出另一个生活实际方面的解释 元．
4．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带条（）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款______元．（用含的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含的代数式表示）
（2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法及费用
5．（2022秋·天津滨海新·七年级校考期中）某销售办公用品的商店推出两种优惠方案：
①购买一个书包，赠送一支水性笔；②书包和水性笔一律按九折优惠．
已知每个书包定价为20元，每支水性笔定价为5元．
（1）若小明和同学需买4个书包，x支水性笔（不少于4支），请用含x的代数式表示两种优惠方案各需多少元．
（2）当x = 20时，采用哪种方案更划算？
【经典题型五 单项式的概念与判定】
【例5】．（2021秋·浙江绍兴·七年级嵊州市三界镇中学校考期中）代数式中单项式的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式训练】
1．（2021秋·云南文山·七年级校考期中）下列各式，0，，，，中单项式的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2021秋·全国·七年级期中）在下列代数式：2，，，-5yz，中，是单项式的有 个．
3．（2022秋·河南郑州·七年级阶段练习）在代数式：，，，，，，单项式有 个
4．（2021秋·江苏·七年级专题练习）要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果．如对下面给出的七个单项式：，，，，，，进行分类，若按单项式的次数分类：二次单项式有；三次单项式有，，；四次单项式有，，．请你用两种不同的分类方法对上面的七个单项式进行分类．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【经典题型六 多项式的概念与判定】
【例6】（2020秋·福建漳州·七年级校考阶段练习）有下列说法：（）单项式的系数、次数都是；（）多项式的系数是，它是三次二项式；（）单项式与都是七次单项式；（4）单项式和的系数分别是或；（）是二次单项式；（）与都是整式，其中正确的说法有（ ）．
A．个B． C．个D．个
【变式训练】
1．（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．3x2﹣x+1的一次项系数是1B．xyz的系数是0
C．a2b3c是五次单项式D．x5+3x2y4﹣2x3y是六次三项式
2（2023·全国·七年级假期作业）将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
（1）单项式： ；
（2）多项式： ；
（3）整式： ；
（4）二项式： ．
3．（2023·全国·七年级假期作业）在整式：，，，0.2，，中，有 个单项式， 个多项式，多项式分别是 .
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）把下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)单项式有________，多项式有_______．
(2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
(1)当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
(2)当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【经典题型七 多项式系数、指数中字母求值】
【例7】（2022秋·内蒙古·七年级校考阶段练习）若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（ ）
A．0B．1C．0或1D．不能确定
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级期末）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（ ）
①当是关于x的三次三项式时，则；
②当中不含x3时，则；
③当时，；当时，，则，；
④；
⑤．
A．2B．3C．4D．5
2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）若多项式是关于，的三次三项式，则常数 ．
3．（2020秋·江西上饶·七年级校考期中）若关于x的多项式与多项式的次数相同，且m、n互为相反数，则的值为 ．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
5．（2023·江苏·七年级假期作业）已知多项式是关于、的四次三项式．
（1）求的值；
（2）当，时，求此多项式的值．
【经典题型八 多项式中的升幂、降幂问题】
【例8】（2023春·六年级单元测试）多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按的降幂排列，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按m的升幂排列为 ．
3．（2022秋·河南鹤壁·七年级校考期中）把多项式按字母n的降幂排列为 ．
4．（2022秋·四川遂宁·七年级统考期末）已知为自然数，且多项式是严格按字母的升幂排列的．
(1)求的值；
(2)将多项式按字母的升幂排列．
5．（2022秋·四川泸州·七年级统考期中）已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求，的值；
(2)把这个多项式按的降幂排列．
【经典题型十 整式中的数字类规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一只小球落在数轴上的某点处，第一次从处向右跳1个单位到处，第二次从向左跳2个单位到处，第三次从向右跳3个单位到处，第四次从向左跳4个单位到处…，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点处所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（ ）
A．19920B．19921C．19922D．19923
2．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期中）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数． 如：2的差倒数是的差倒数是． 已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是 ．
4．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期中）计算： ．
5．（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）观察下列等式找出规律：①；②；③；…；则的值是 ．
6．（2021秋·广东江门·七年级统考阶段练习）观察下列等式：
；；．
将以上三个等式两边分别相加，得：
．
根据上面的信息，解答下列问题：
(1)填空：_________；
(2)填空：_________；
(3)计算：．
7．（2022秋·安徽安庆·七年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______
(2)写出第（为正整数）个等式：______（用含的等式表示）
(3)利用你发现的规律的值；
(4)计算的值．
【经典题型十一 整式中的图形类规律问题】
【例11】（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）·
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆南川·八年级统考期末）将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“”的个数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式： ．
第1个点阵 1+3+1=12+22，
第2个点阵 1+3+5+3+1=_____+_____，
第3个点阵 1+3+5+7+5+3+1=_____+_____．
4．（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要 根小棒．
5．（2023春·广东广州·七年级统考开学考试）如图所示，以为端点画六条射线后，，，，，，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2022个点在射线 上．
6．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形．
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．
（直接写出答案即可）
7．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的正方形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的正方形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
(1)如果剪n次共能得到个正方形，试用含有n，的等式表示它们之间的数量关系；
(2)若原正方形的边长为1，设表示第n次所剪出的正方形的边长，如．
①试用含n的式子表示 ；
②试用含n的式子表示 ；
(3)运用（2）的结论，计算的值．
专题06 整式重难点题型专训（十一大题型）
【题型目录】
【知识梳理】
【经典题型一 代数式的概念与书写方法】
【例1】（2023·江苏·七年级假期作业）在，1，，，中,代数式的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，根据这一概念逐个进行判定即可．
【详解】解：在，1，，，中，
代数式有：，1，，共4个，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式的概念．注意代数式中不含有关系符号，此为解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】根据代数式的书写要求：
1、书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面；
2、带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数；
3、乘号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的乘号通常简写成点，或省略不写；但数字与数字之间的乘号既不能写成点，也不能省略不写；
4、除号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式；
5、带单位的代数式书写要求：用加号或减号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位；据此即可一一判定．
【详解】解：A.正确的书写为或，故该选项不符合要求；
B.正确的书写为或，故该选项不符合要求；
C.符合代数式的书写要求，故该选项符合要求；
D.正确的书写为，故该选项不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的书写要求，熟练掌握和运用代数式的书写要求是解决本题的关键．
2．（2022秋·全国·七年级期末）下列各式：①②③ ④ ⑤千克 ，不符合代数式书写要求的是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】根据代数式书写要求判断即可．
【详解】解：①，不符合要求；
②，符合要求；
③= ，不符合要求；
④符合要求；
⑤千克= 千克，不符合要求；
因此有3个书写不符合要求，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式，弄清代数式的书写要求是解本题的关键．
3．（2022秋·七年级课时练习）在，0，，，中，代数式有 个.
【答案】3
【分析】代数式是指把数或表示数的字母用+、-、×、÷连接起来的式子，而对于带有=、＞、＜等数量关系的式子则不是代数式．
【详解】解：是不等式，不是代数式；是方程，不是代数式；
，0，，，是代数式，共3个.
故答案是：3.
【点睛】本题考查了代数式的定义，理解定义是关键．
4．（2022秋·浙江·七年级专题练习）下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个．
【答案】2
【分析】根据代数式的书写规则即可得出答案．
【详解】解：应该写成，
应该写成，
，符合书写规范，
综上所述，符合代数式书写规范的有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键．
5．（2022秋·全国·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：
（1）a×5，应写成 ；
（2）S÷t应写成 ；
（3），应写成 ；
（4）, 应写成 .
【答案】 5a
【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果．
（2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果．
（3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果．
（4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果．
【详解】解：（1）a×5=5a，
故答案为∶5a；
（2）S÷t=，
故答案为∶；
（3），
故答案为∶；
（4）
故答案为∶．
【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式?
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【答案】（1）（4）（5）是代数式；（2）（3）（6）不是代数式
【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式，由此进行判断即可．
【详解】解：（1）（4）（5）是代数式；
（2）（3）（6）不是代数式．
【点睛】本题主要考查了代数式的概念，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的概念．
7．（2022秋·上海·七年级专题练习）课本告诉我们，同一个代数式可以表示不同的实际意义，这体现了不同背景实际问题中的相同数量关系常常可以用同一个代数式来表示．
下列情境中的字母、表示的是两个不超过100的正整数，且，请解决以下问题：
（1）两根同样长的铁丝，分别围成一个长为、宽为的长方形和一个正方形，长方形的长比正方形的边长大多少？
（2）下列情境：
①、两数的平均数为；
②甲、乙两人分别有元和元，要使两人的钱数一样，则甲需要给乙元；
③小亮在超市买了牛奶和可乐共瓶，其中牛奶比可乐少瓶，则他买了瓶牛奶；
④小红和爷爷从相距的两地相向而行，1后相遇，相遇时小红比爷爷多行了，则爷爷的平均速度是．
上述情境中的、、、也可以用（1）的结果中的代数式表示的是______．（填写所有正确选项前的序号）
【答案】（1）长方形的长比正方形的边长大；（2）②③④
【分析】（1）分别表示长方形和正方形的边长，再作差即可得出结论；
（2）根据题意逐项列式，即可看出．
【详解】（1）
答：长方形的长比正方形的边长大．
（2）①，
② ，
③，
④ ，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了代数式的意义及列代数式，能够根据题意列出正确的代数式是解决问题的关键．
【经典题型二 用字母表示数量关系】
【例2】（2022秋·福建宁德·七年级校考期中）小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（ ）
A．78B．87C．23D．12
【答案】A
【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案．
【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，
由题意得：，
整理得：，
即小明心里想的那个两位数是78，
故选：A．
【点睛】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·北京·八年级北京四中校考阶段练习）粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（ ）
A．xB．yC．D．
【答案】D
【分析】设从学校到家路程为s，然后表示出从家到学校所用时间，再表示出从学校到家所用时间，然后利用总路程除以总时间可得平均速度．
【详解】设从学校到家路程为s，
平均速度是：
；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是掌握平均速度=路程÷时间．
2．（2023·上海·七年级假期作业）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了B．盈利了C．不亏不盈D．盈亏不确定
【答案】A
【分析】原价提高10%后商品新单价为m×（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为m×（1+10%）×（1-10%），通过计算即可得到答案．
【详解】由题意得，后面的售价为：m×（1+10%）×（1-10%）＝0.99m元
∵m＞0，
∴m＞0.99m，
∴按后面的售价每销售一件商品，为亏损情况
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算、代数式的性质，从而完成求解．
3．（2021·重庆·九年级专题练习）一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是 ．
【答案】10a+11
【分析】先表示出十位上的数字，然后再表达出这个两位数的大小
【详解】∵个位数是1，十位数比个位数大a
∴十位数是1+a
∴这个两位数为：10(a+1)+1=10a+11
故答案为：10a+11
【点睛】本题考查用字母表示数字，解题关键是：若十位数字为a，则应表示为10a
4．（2021·上海·九年级专题练习）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上增加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 元(用含m、a的代数式表示)
【答案】0.17am
【分析】根据题意可以用含a的代数式表示出超市获得的利润，本题得以解决．
【详解】由题意可得，
超市获得的利润是：a(1+30%)×[m(1﹣10%)]﹣am＝0.17am(元)，
故答案为0.17am．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
5．（2022秋·七年级课时练习）设n为自然数，则奇数表示为 ，能被5整除的数为 ，被4除余3的数为 ．
【答案】 或 5n
【分析】能被2整除的数是偶数，因此偶数通常可以表示为2n，偶数2n的前一位或后一位都是奇数，则奇数可以表示为或；同理，能被5整除的数必含5这个因数；能被4除余3的数，应为4的倍数且加上3.
【详解】因为偶数中含有2这个因数，则偶数可以表示为2n，偶数2n的前一位或后一位都是奇数，则奇数可以表示为或；能被5整除的数必含5这个因数，则能被5整除的数可表示为5n；能被4除余3的数可表示为4n+3.
故答案为或；5n；4n+3.
【点睛】本题考查了列代数式的知识点，熟练掌握所求的数的特征是解决本题的关键，属于基础题.注意：能被某数整除的数中必含有除数的因数.
6．（2022秋·七年级课时练习）某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米．
(1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度；
(2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）．
【答案】(1)窗户的面积为（4a2πa2）米2，总长度（15+π）a（米）
(2)498（元）
【分析】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的总长度，将所有线段长度相加即可；
（2）将a＝1代入25（4a2πa2）+20（15+π）a计算可得．
【详解】（1）S＝2a×2aπa2＝4a2πa2
即窗户的面积为（4a2πa2）米2．
15a+πa＝（15+π）a（米）
即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）．
（2）a＝1时，25（4a2πa2）+20（15+π）a
≈25×（4×13×1）+20×（15+3）×1
＝137.5+360
＝497.5
≈498（元），即制作这扇窗户需要498元．
【点睛】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算准确，不遗漏．
7．（2022秋·湖北襄阳·七年级统考期中）.A、B两地分别有水泥20吨和30吨，C、D两地分别需要水泥15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表：
（1）若从A地运到C地的水泥为x吨，则用含x的式子表示从A地运到D地的水泥
为 吨，从A地将水泥运到D地的运输费用为 元；
（2）用含x的代数式表示从A、B两地运到C、D两地的总运输费，并化简该式子．
【答案】（1）20-x，240-x；（2）总运输费=2x+525．
【详解】解：（1）根据题意得出：
从A地运到D地的水泥为：（20-x），
从A地将水泥运到D地的运输费用为：（240-12x）；
故答案为（20-x），（240-12x）；
（2）根据题意得出：15x+12（20-x）+10（15-x）+9[35-（20-x）]=2x+525．
【经典题型三 用代数式表示数、图形的规律】
【例3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）下列各图均是由大小相等的正方形按一定规律进行排列的，若按此规律排列，则图中正方形的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设第n幅图有个小正方形（n为正整数），根据各图形中小正方形个数的变化可得出变化规律．
【详解】设第n幅图有个小正方形（n为正整数），
，
，
，
（ 为正整数），
故选C．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中小正方形个数的变化，找出变化规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．3n-3B．3n+2C．3n+3D．3n-2
【答案】C
【分析】由图形可知：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，…由此得出第n个图形的圆圈个数．
【详解】解：∵第1个图形有3+3×1=6个圆圈，
第2个图形有3+3×2=9个圆圈，
第3个图形有3+3×3=12个圆圈，
…
∴第n个图形有（3+3n）个圆圈．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，再归纳出一般规律．
2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，在一条笔直的公路上，点M表示一个路标，已知第1棵树与路标M之间的距离为3米，从第2棵树开始，任意相邻的两棵树之间的距离均为5米．则第50棵树与路标M之间的距离为 ；用含n的代数式表示第n棵树与路标M之间的距离为 ．
【答案】 248米 米
【分析】先列举第1、2、3、4棵树与路标M之间的距离，然后归纳总结第n棵树与路标M之间的距离的规律，然后运用规律求第50棵树与路标M之间的距离即可．
【详解】解：由题意可知：
第1棵树与路标M之间的距离为：3（米），
第2棵树与路标M之间的距离为：（米），
第3棵树与路标M之间的距离为：（米），
第4棵树与路标M之间的距离为（米），…，
则按此规律，第n棵树与路标M之间的距离为（米），
∴第50棵树与路标M之间的距离为（米）．
故答案为：248米，米．
【点睛】本题主要考查了图形的排列规律，根据题意归纳第n棵树与路标M之间的距离的规律是解答本题的关键．
3．（2023·广东江门·江门市华侨中学校考一模）如图，是一组有规律的图案（后一个图案比前一个图案多2个），第1个图案由1个组成，第2个图案由3个组成，第3个图案由5个组成，第4个图案由7个组成，……，则前n（n为正整数）个图案共有的个数为 ．
【答案】
【分析】根据题意找出图案的规律第n个图案中▲的个数是：，即可解得．
【详解】解：∵第1个图案由1个▲组成，
第2个图案由3个▲组成，
第3个图案由5个▲组成，
第4个图案由7个▲组成，
…，
∴第n个图案中▲的个数是：，
∴前n个图案共有▲的个数为： ．
故答案为：．
【点睛】此题考查了图案规律题，解题的关键是找出规律并列出规律式．
4．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）观察下列式子：
第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
第4个式子：；
……
根据上述规律，解决下列问题：
(1)写出第5个式子： ；
(2)写出第（为正整数）个式子 ，并说明：．
【答案】(1)
(2)，说明见解析
【分析】（1）根据题中材料所呈现的规律，直接代值求解即可得到答案；
（2）根据题中材料所呈现的规律，写出第（为正整数）个式子，结合不等式性质证明即可得到答案．
【详解】（1）解：第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
第4个式子：；
……
第5式子：；
故答案为：；
（2）解：由规律可知，第（为正整数）个式子为；
故答案为：；
说明如下：
，
，
，
…
，
，
为正整数，
，
，即．
【点睛】本题考查代数式规律问题，读懂题意，从所给式子中找出规律并灵活运用是解决问题的关键．
5．（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
［观察思考］
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．
［规律总结］
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加______块；
（2）若一条这样的人行道一共有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为__________（用含的代数式表示）．
［问题解决］
（3）现有2023块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（1）2
（2）
（3）1009
【分析】（1）观察图形1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案；
（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图；图（即；
（3）由于等腰直角三角形地砖块数是偶数，根据现有2023块等腰直角三角形地砖，剩余最少，可得：，即可求得答案．
【详解】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；
（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图；归纳得：（即；
若一条这样的人行道一共有为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为块；
（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数是偶数，
用块，
再由题意得：，
解得：，
等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1009块．
【点睛】本题考查以等腰直角三角形和正方形的拼图为背景，进行图形规律探究，解题关键是探究总结出规律，要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【经典题型四 代数式表示的实际意义】
【例4】（2023·河北承德·统考一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【答案】A
【分析】根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解．
【详解】解：某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，
按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误
按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误
按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）
A．降价15元后再打9折B．原价打9折后再降价15元
C．降价15元后再打1折D．原价打1折后再降价15元
【答案】A
【分析】先根据得到原价减去15元，再根据“折”的含义判断即可．
【详解】将原价x元的衣服以元出售表示：
在原价的基础上先降价15元后再打9折．
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的实际意义，解决本题的关键是明确“折”的含义．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）对单项式可以解释为:一件商品原价为元，若按原价折出售，这种商品现在的售价是元.请你对再赋予一个实际意义: ．
【答案】练习本每本0.8元，小明买了a本，共付款0.8a元．
【分析】根据生活实际作答即可．
【详解】解：答案不唯一，
例如：练习本每本0.8元，小明买了a本，共付款0.8a元．
故答案为：练习本每本0.8元，小明买了a本，共付款0.8a元．
【点睛】本题考查了代数式的意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）对单项式“5x”，我们可以这样来解释：某人以5千米/小时的速度走了x小时，他一共走的路程是5x千米，请你对“5x”再给出另一个生活实际方面的解释 元．
【答案】一斤鸡蛋5元钱，x斤鸡蛋的总售价是5x元（答案不唯一，合理就行）．
【详解】试题分析：答案不唯一，合理就行．如：一斤鸡蛋5元钱，x斤鸡蛋的总售价是5x元．
考点：代数式的意义．
4．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带条（）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款______元．（用含的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含的代数式表示）
（2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法及费用
【答案】（1），；（2）按方案一购买较合算；（3）购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带，23600元
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x=40代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带更合算．
【详解】（1）按方案一购买：，
按方案二购买：；
（2）当时，
方案一：（元）
方案二：（元）
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带．
则（元）
【点睛】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．
5．（2022秋·天津滨海新·七年级校考期中）某销售办公用品的商店推出两种优惠方案：
①购买一个书包，赠送一支水性笔；②书包和水性笔一律按九折优惠．
已知每个书包定价为20元，每支水性笔定价为5元．
（1）若小明和同学需买4个书包，x支水性笔（不少于4支），请用含x的代数式表示两种优惠方案各需多少元．
（2）当x = 20时，采用哪种方案更划算？
【答案】（1）方案①：（）元，方案②：（）元；（2）采用方案①更划算.
【分析】（1）按题意分别列式表达即可；
（2）把分别代入（1）中所列代数式计算，然后比较计算结果的大小就可判断哪种方案更划算；
【详解】（1）由题意可得：
方案①：（元）；
方案②：（元）；
答：方案①需（）元，方案②需（）元；
（2）当时，（元），
（元），
∵160<162，
∴采用方案①更划算.
【点睛】本题考查了列代数式和求代数式的值，搞清数量之间的关系是解题的关键．
【经典题型五 单项式的概念与判定】
【例5】．（2021秋·浙江绍兴·七年级嵊州市三界镇中学校考期中）代数式中单项式的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，由此可作出判断．
【详解】解：所给式子中单项式有，共6个．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的概念，解答本题的关键是熟练掌握单项式的定义．
【变式训练】
1．（2021秋·云南文山·七年级校考期中）下列各式，0，，，，中单项式的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据单项式的定义以及性质对各数进行判断即可．
【详解】属于单项式的有，0，，
故有4个单项式
故答案为：B．
【点睛】本题考查了单项式的问题，掌握单项式的定义以及性质是解题的关键．
2．（2021秋·全国·七年级期中）在下列代数式：2，，，-5yz，中，是单项式的有 个．
【答案】2
【分析】单项式就是数与字母的乘积，或单独的数和字母都是单项式，依据定义即可作出判断．
【详解】单项式有：2，-5yz，共有2个．
故答案为2．
【点睛】本题考查了单项式的定义，理解定义是关键．
3．（2022秋·河南郑州·七年级阶段练习）在代数式：，，，，，，单项式有 个
【答案】4
【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，由此可得答案．
【详解】3，3m﹣3，﹣22，﹣，2πb2，中，单项式的个数有3，﹣22，﹣，2πb2共4个．
故答案为4．
【点睛】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义．
4．（2021秋·江苏·七年级专题练习）要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果．如对下面给出的七个单项式：，，，，，，进行分类，若按单项式的次数分类：二次单项式有；三次单项式有，，；四次单项式有，，．请你用两种不同的分类方法对上面的七个单项式进行分类．
【答案】只含一个字母的单项式：，含两个及以上字母的单项式：；系数为正数的单项式；，系数为负数的单项式：
【分析】根据所含的字母，可分为两类；根据根据单项式的次数字母指数和，可分为两类．
【详解】解：只含一个字母的单项式：，
含两个及以上字母的单项式：；
系数为正数的单项式；，
系数为负数的单项式：．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【答案】（1），（3），（4），（5）符合单项式的定义，是单项式；（1）的系数是，次数是1；（3）的系数是，次数是1；（4）的系数是，次数是3；（5）的系数是，次数是7.
【分析】根据单项式的定义找出单项式，再根据单项的系数与次数的概念进行求解即可.
【详解】(1)(3)(4)(5)符合单项式的定义，是单项式．
(1)的系数是，次数是1；
(3)的系数是，次数是1；
(4)的系数是，次数是3；
(5)的系数是，次数是7.
【点睛】本题考查了单项式的概念、单项式的系数与次数，熟练掌握相关概念是解题的关键.
【经典题型六 多项式的概念与判定】
【例6】（2020秋·福建漳州·七年级校考阶段练习）有下列说法：（）单项式的系数、次数都是；（）多项式的系数是，它是三次二项式；（）单项式与都是七次单项式；（4）单项式和的系数分别是或；（）是二次单项式；（）与都是整式，其中正确的说法有（ ）．
A．个B． C．个D．个
【答案】A
【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断．
【详解】根据单项式和多项式的概念可知，单项式的系数是字母前的数字，次数是字母的指数和；多项式是若干个单项式的和．故（1），（2），（3）（4）（5）（6）都错．
其中，（1）单项式的系数、次数都是1；
（2）多项式-3x2+x-1不能说多项式的系数，它是2次3项式；
（3）单项式-34x2y是3次单项式，是6次单项式；
（4）单项式-和-的系数分别是-和-π；
（5）是多项式；
（6）是整式，是分式．
故选A．
【点睛】主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
【变式训练】
1．（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．3x2﹣x+1的一次项系数是1B．xyz的系数是0
C．a2b3c是五次单项式D．x5+3x2y4﹣2x3y是六次三项式
【答案】D
【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可．
【详解】A、3x2﹣x+1的一次项系数是﹣1，故错误；
B、xyz的系数是1，故错误；
C、a2b3c是六次单项式，故错误；
D、正确．
故选D．
【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念．
2（2023·全国·七年级假期作业）将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
（1）单项式： ；
（2）多项式： ；
（3）整式： ；
（4）二项式： ．
【答案】 ③④⑨ ①②⑤ ①②③④⑤⑨ ②⑤
【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解．
【详解】（1）单项式有：③，④0，⑨；
（2）多项式有：①，②，⑤；
（3）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨；
（4）二项式有：②，⑤；
故答案为：（1）③④⑨；（2）①②⑤；（3）①②③④⑤⑨；（4）②⑤
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义．
3．（2023·全国·七年级假期作业）在整式：，，，0.2，，中，有 个单项式， 个多项式，多项式分别是 .
【答案】 2 4 、、、
【分析】根据单项式与多项式的概念即可求出答案．
【详解】解：单项式有2个：，0.2，，
多项式有4个：，，
【点睛】本题考查单项式与多项式的概念，解题的关键是正确理解单项式与多项式之间的联系，本题属于基础题型．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）把下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)单项式有________，多项式有_______．
(2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式．
【答案】(1)③⑤⑦；①②
(2)（答案不唯一）
【分析】（1）根据单项式，多项式的定义即可求解．
（2）根据三次五项式的定义即可求解
【详解】（1）解：单项式有：③；⑤；⑦；
多项式有：①；②；
故答案为：③⑤⑦；①②；
（2）解：选①②，
则是三次五项式．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
(1)当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
(2)当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【答案】(1)m＝﹣1，n≠2
(2)m＝﹣5，n＝2
【分析】（1）根据二次多项式的定义得出m+1＝0，且n﹣2≠0，然后求解即可；
（2）根据多项式是关于x的三次二项式得出m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，然后求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：m+1＝0，且n﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，n≠2，
则m＝﹣1，n≠2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）解：由题意得：m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，
解得：m≠﹣1，n＝2，
把n＝2代入2m+5n＝0得：m＝﹣5，
则m＝﹣5，n＝2时该多项式是关于x的三次二项式．
【点睛】本题考查了多项式的定义，理解多项式的项数与次数是解题的关键．一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
【经典题型七 多项式系数、指数中字母求值】
【例7】（2022秋·内蒙古·七年级校考阶段练习）若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（ ）
A．0B．1C．0或1D．不能确定
【答案】A
【分析】根据题意可得，且，再解即可．
【详解】，
由题意得：，且，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式，关键是掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．注意：容易忽视一次项系数不等于0从而导致错误．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级期末）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（ ）
①当是关于x的三次三项式时，则；
②当中不含x3时，则；
③当时，；当时，，则，；
④；
⑤．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】计算，令常数项为0可判断①；计算，令x3项系数为0可判断②；由当时，；当时，列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和的值，可判断④和⑤．
【详解】解：＝
＝，
∵是关于x的三次三项式，，
∴，
解得，故①正确；
＝，
∵中不含，
∴，
∴，故②正确；
∵时，；当时，，
∴，
解得，，故③正确；
在中，令得：
，
∴，故④正确；
在中，令得：
，
∵，
∴，故⑤正确，
∴正确的有①②③④⑤，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．
2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）若多项式是关于，的三次三项式，则常数 ．
【答案】
【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【详解】解：多项式是关于，的三次三项式，
，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与项数确定方法是解题的关键．
3．（2020秋·江西上饶·七年级校考期中）若关于x的多项式与多项式的次数相同，且m、n互为相反数，则的值为 ．
【答案】或或或
【分析】分和两种情况讨论，根据多项式的定义求得b的值，再利用互为相反数的定义即可求解．
【详解】当时，依题意得：，
解得：或，
当时，依题意得：，
解得：或，
∵m、n互为相反数，
∴，
∴，
∴的值为：或或或．
【点睛】本题考查了整式，解题的关键是正确理解多项式的概念，难点是分类讨论．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
【答案】1
【分析】根据多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式知2+m+1=6，求得m的值，根据单项式3x2ny5-m的次数与这个多项式的次数相同知2n+5-m=6，求得n的值，再代入计算可得．
【详解】解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式，
所以2+m+1=6，
所以m=3，
因为单项式6x2ny5–m的次数也是六次，
所以2n+5-m=6，
所以n=2，
所以m-n=3-2=1．
【点睛】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数的判断，得出m、n的值，难度一般．
5．（2023·江苏·七年级假期作业）已知多项式是关于、的四次三项式．
（1）求的值；
（2）当，时，求此多项式的值．
【答案】（1），（2）
【分析】（1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值；
（2）将x，y的值代入求出答案．
【详解】（1）∵多项式是关于的四次三项式，
∴，，
解得：，
（2）当，时，
此多项式的值为：
．
【点睛】本题主要考查了多项式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【经典题型八 多项式中的升幂、降幂问题】
【例8】（2023春·六年级单元测试）多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题目要求先按字母的降幂排列的出结果，然后选项．
【详解】多项式按字母的降幂排列：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按的降幂排列，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用降幂排列的定义进行排列即可．
【详解】解：将多项式按字母a的降幂排列为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式，注意按a的降幂排列即要把a按从高次到低次排列．
2．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按m的升幂排列为 ．
【答案】
【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式按升幂排列的定义排列．
【详解】解：多项式按m的升幂排列为，
故答案为．
【点睛】本题考查多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
3．（2022秋·河南鹤壁·七年级校考期中）把多项式按字母n的降幂排列为 ．
【答案】
【分析】根据题意按字母n的降幂排列即可求解．
【详解】解：把多项式按字母n的降幂排列为，
故答案为：，
【点睛】本题考查了按降幂排列多项式，理解多项式的项的定义是解题的关键．
4．（2022秋·四川遂宁·七年级统考期末）已知为自然数，且多项式是严格按字母的升幂排列的．
(1)求的值；
(2)将多项式按字母的升幂排列．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据多项式是按字母的升幂排列的定义可得，且为整数，即可求出的值；
（2）结合（1）可得多项式，然后多项式按字母的升幂排列的定义排列即可．
【详解】（1）∵多项式是严格按字母的升幂排列的，
∴，且为整数，
∴，
∴．
（2）当时，多项式为，
∴将多项式按字母的升幂排列为．
【点睛】本题主要考查了多项式和单项式的次数，多项式的升(降)幂排列，理解定义是解题的关键．
5．（2022秋·四川泸州·七年级统考期中）已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求，的值；
(2)把这个多项式按的降幂排列．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，
∴，
解得：，
∵单项式的次数与该多项式的次数相同，
∴，即，
解得：；
（2）解：由（1）得该多项式为，
∴把这个多项式按的降幂排列为．
【点睛】本题考查了多项式，多项式的升幂排列或降幂排列，熟练掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键．
【经典题型九 单项式与多项式的综合问题】
【例9】（2022秋·七年级课时练习）下列说法错误的是( )
A．单项式h的系数是1B．多项式a-2.5的次数是1
C．m+2和3都是整式D．是六次单项式
【答案】D
【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．
【详解】A、B、C说法均是正确的，D中是四次单项式．
【点睛】本题考查单项式知识的相关应用．
【变式训练】
1．（2021秋·上海·七年级期中）下列说法正确的是（ ）．
A．与都是多项式B．的系数与次数分别是与
C．与是同类项D．是单项式
【答案】C
【分析】根据整式的多项式、单项式的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】∵是字母除以数字，不是数字或字母的乘积
∴不是单项式
∴不是多项式，即A错误；
∵的系数与次数分别是与
∴B错误；
∵是多项式
∴D错误；
∵与是同类项
∴C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式多项式和单项式的定义，从而完成求解．
2．（2021春·浙江·七年级期末）下列说法①的系数是-2；②不是单项式；③是多项式；④次数是3次；⑤的次数是5次；⑥是代数式但不是单项式．正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】利用单项式及多项式的定义判定即可．
【详解】①的系数是-，故①不正确；
②是单项式，故②不正确；
③是多项式，故③正确；
④次数是3次，故④正确；
⑤的次数是2次，故⑤不正确；
⑥是代数式但不是整式，也就不是单项式，故⑥正确．
共3个正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了单项式及多项式，解题的关键是熟记单项式及多项式的定义．
3．（2023·全国·七年级假期作业）在式子①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中是整式的有 ，其中是单项式的有 ，是多项式的有 ．
【答案】 ①②③④⑥⑦⑧ ②④ ①③⑥⑦⑧
【分析】根据整式、单项式、多项式的定义，结合所给各式进行判断即可.
【详解】解：所给式子中整式有：①②③④⑥⑦⑧；
单项式有：②④⑦；
多项式有：①③⑥⑧．
故答案为①②③④⑥⑦⑧、②④、①③⑥⑦⑧．
【点睛】本题考查了多项式、单项式及整式的知识，掌握三者的定义是解题的关键，属于基础知识考察类题目.
4．（2021秋·全国·七年级期中）当x＝1，y＝﹣1时，关于x、y的二次三项式+（m+1）by﹣3值为0，那么当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+的值为 ．
【答案】5
【分析】根据二次三项式的次数和项数的定义，确定m值，再把m代回二次三项式中得到等式，再把x和y值代入所求的式子中，然后把前面所得等式整体代入所求，即可得到结果．
【详解】解：∵+（m+1）by﹣3是关于x、y的二次三项式，
∴当x＝1，y＝﹣1时，有a﹣（m+1）b﹣3＝0，m2＝1，
∴m＝±1，
当m＝﹣1时不合题意，
∴m＝1，
∴a﹣2b﹣3＝0，
∴a﹣2b＝3，
∴，
∴当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+＝＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查多项式的次数项数的定义、多项式的代入求值的相关计算，根据次数项数定义确定m的取值要考虑全面，这是本题的易错点．
5．（2021秋·上海·七年级期中）若关于a,b单项式的系数是,次数是5,则 , ．
【答案】 4
【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
【详解】解：是关于a,b的单项式,系数是,次数是5,
,,
解得：,,
故答案为,4．
【点睛】此题主要考查了单项式,正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．
6．（2023春·上海·六年级专题练习）已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【答案】(1)-1，1，5
(2)①4t＋6；②不会变化，2
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）①分别表示出t秒后点A对应的数，点B对应的数，点C对应的数，即可表示出AC；
（3）先求出AB，BC的值，再计算BC-AB的值，可得BC-AB的值是定值．
【详解】（1）解：由题意得，
单项式-xy2的系数a＝-1，
最小的正整数b＝1，
多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；
故答案为：-1，1，5
（2）①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，
故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；
故答案为：6＋4t
②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t，
AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t；
∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，
故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
7．（2022·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算(��+2)(2��+3)(3��+4)所得多项式的一次项系数．小明想通过计算(��+2)(2��+3)(3��+4)所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找(��+2)(2��+3)所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
也就是说，只需要x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算(��+2)(2��+3)(3��+4)所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3,3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2,3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18，最后将 12,16,18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算（x+1）（4x+3）所得多项式的一次项系数为 .
（2）计算（x+1）（3x-2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为 .
（3）若是的一个因式，求、的值.
【答案】（1）7；（2）1;（3）a=-6；b=-3
【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数求解即可
（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积的和即为所得多项式的一次项系数求解即可
（3）由中4次项系数为1，常数项为2可设另一个因式为：，根据三次项系数为0，二次项系数为a，一次项系数为b列出方程求解即可
【详解】（1）1×4+1×3=7
（2）1×（-2）×5+3×1×5+2×1×（-2）=1
（3）∵中4次项系数为1，常数项为2
∴设另一个因式为：
则（）（）=
∴1×m-3×1=0
1×2+1×1+（-3）×m=a
-3×2+1×m=b
解得：m=3；a=-6；b=-3
【点睛】本题主要考查了多项式的各项系数，根据题意得到多项式乘以多项式系数之间的关系规律是解题关键
【经典题型十 整式中的数字类规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一只小球落在数轴上的某点处，第一次从处向右跳1个单位到处，第二次从向左跳2个单位到处，第三次从向右跳3个单位到处，第四次从向左跳4个单位到处…，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点处所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据跳动规则，分奇数、偶数探索出遵循的基本规律，确定计算即可．
【详解】解：设点所表示的数是a，
则点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
∴点所表示的数是，
∵点处所表示的数恰好是，
∴，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字中的规律问题，根据序号的奇数，偶数分类探索规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（ ）
A．19920B．19921C．19922D．19923
【答案】B
【分析】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n；所以从特殊入手，，…，由此得出一般规律：，从而可求得结果．
【详解】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n，所以，，…，．所以，
，从而
故选：B．
【点睛】本题是一个规律探索题，对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，要求学生善于观察并找出规律，这对学生的归纳能力提出了更高的要求．
2．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期中）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数． 如：2的差倒数是的差倒数是． 已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据差倒数的定义先计算，从而得到规律每3次一个循环，再计算2023除以3，看余数即可得出答案.
【详解】解：∵是的差倒数，
∴，
∵是的差倒数，
∴，
∵是的差倒数，
∴，
∴每3次一个循环，
∵，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的运算和规律探寻，正确计算、得出规律是解题关键.
3．（2022秋·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是 ．
【答案】
【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上，奇数的个数等于底数，然后找出所在的奇数的范围，即可得解.
【详解】解：∵
∴分裂后的第一个数是，共有个奇数，
∵，
∴奇数是底数为的数的立方分裂后的一个奇数，
∴
故答案为：
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．
4．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据，，，…，计算．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了规律式子的计算．熟练掌握（，且n为整数），合并计算，是解题的关键．
5．（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）观察下列等式找出规律：①；②；③；…；则的值是 ．
【答案】
【分析】根据所给算式找出规律求解即可．
【详解】解：∵：①；
②；
③；
…；
∴，
∴
，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
6．（2021秋·广东江门·七年级统考阶段练习）观察下列等式：
；；．
将以上三个等式两边分别相加，得：
．
根据上面的信息，解答下列问题：
(1)填空：_________；
(2)填空：_________；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出规律，然后变形计算即可；
（2）根据（1）中得出规律变形，计算即可；
（3）首先把原式转化为，然后再计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
可得规律为：，
；
故答案为：；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了数字的变化规律、有理数的混合运算，解本题的关键在总结出规律等式．
7．（2022秋·安徽安庆·七年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______
(2)写出第（为正整数）个等式：______（用含的等式表示）
(3)利用你发现的规律的值；
(4)计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题干中给定的式子，写出第5个式子即可；
（2）根据给定的式子，写出第（为正整数）个等式即可；
（3）将转化为，利用前面等式的特点转化为，进行求解即可；
（4）将转化为，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：
（2）
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到．
【经典题型十一 整式中的图形类规律问题】
【例11】（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）·
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第个图案中涂有阴影的小正方形个数．
【详解】第一个图案有个：，
第二个图案有个：，
第三个图案有个：，
则第个图形有：个，
故第个图案中有(个)，
故选：．
【点睛】此题考查了图案的变化规律问题，解题的关键是找到正确的变化规律即可．
2．（2023春·重庆南川·八年级统考期末）将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“”的个数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】A
【分析】本题是一道关于图形变化来进行数字猜想的问题，通过归纳与总结，下一个图形中字母“”的个数是上一个图形中字母“”的个数加2，得到其中的规律．
【详解】解：第①个图形中字母“”的个数是4，
第②个图形中字母“”的个数是6，
第③个图形中字母“”的个数是8，下一个图形中字母“”的个数是上一个图形中字母“”的个数加2，
则第④个图形中字母“”的个数是10，
故选：A．
【点睛】本题考查了从图形规律到数字猜想的问题，需要通过归纳总结，得到其中的规律需要考生细心观察，仔细求证解决本题．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式： ．
第1个点阵 1+3+1=12+22，
第2个点阵 1+3+5+3+1=_____+_____，
第3个点阵 1+3+5+7+5+3+1=_____+_____．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据等号左边的图形，即可得出结论；
（2）根据（1）中的三个等式，总结出一般规律即可．
【详解】解：（1）第1个点阵 ，
第2个点阵 ，
第3个点阵 ．
故答案为：；
（2）第n个点阵相对应的等式为：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是观察图形，根据前几个图形的变化总结出一般规律．
4．（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要 根小棒．
【答案】51
【分析】根据所给的图形不难得出第n个图形小棒的根数为：，从而可求解．
【详解】解：∵第1个图案中有6根小棒，
第2个图案中有根小棒，
第3个图案中有根小棒，
……
∴第n个图案中小棒的根数为：，
∴第10个图案中小棒的根数为：，
故答案为：51．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n个图案中有根小棒是解决问题的关键．
5．（2023春·广东广州·七年级统考开学考试）如图所示，以为端点画六条射线后，，，，，，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2022个点在射线 上．
【答案】
【分析】根据题意可得，1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，…，每六个一循环．根据，即可求解．
【详解】解∶∵1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，…
∴每六个一循环．
∵，
∴所描的第2022个点所在射线和6所在射线一样．
∴所描的第2022个点在射线上．
故答案为：
【点睛】本题考查了图形规律题，找到规律是解题的关键．
6．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形．
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．
（直接写出答案即可）
【答案】(1)21
(2)
(3)不能，理由见解析
(4)
【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）探究规律，利用规律即可解决问题；
（3）构建方程即可解决问题；
（4）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可．
【详解】（1）解：第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
第次可得个正方形，
第5次可得，
故答案为：21；
（2）由（1）得：第次可得个正方形，
故答案为：；
（3）不能，理由：由，解得，n不是整数，
所以不能将正方形划分成2022个正方形的图形．
（4）由题意．
【点睛】本题考查图形规律题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律方法，属于中考常考题型．
7．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的正方形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的正方形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
(1)如果剪n次共能得到个正方形，试用含有n，的等式表示它们之间的数量关系；
(2)若原正方形的边长为1，设表示第n次所剪出的正方形的边长，如．
①试用含n的式子表示 ；
②试用含n的式子表示 ；
(3)运用（2）的结论，计算的值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）观察图形发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，根据得到的规律得到通项公式即可；
（2）①根据每次将边长一分为二即可得到答案；②结合图形得出答案即可；
（3）利用发现的规律，代入数值即可求得答案．
【详解】（1）解：观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，
剪两次有7个小正方形，
剪三次有10个小正方形，
剪四次有13个小正方形，
规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，
故第n个共有个，
∴用含有n、的等式表示它们之间的数量关系为；
（2）解：①第一次所剪的正方形的边长为，
第二次所剪的正方形的边长为；
第三次所剪的正方形的边长为，
…
第n次所剪的正方形的边长；
②根据图形的变化可知：
＝
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，找到规律并用代数式表示出来是解决本题的关键．
到C地
到D地
A地
每吨15元
每吨12元
B地
每吨10元
每吨9元
到C地
到D地
A地
每吨15元
每吨12元
B地
每吨10元
每吨9元
【知识梳理】
【经典题型一 代数式的概念与书写方法】
【例1】（2023·江苏·七年级假期作业）在，1，，，中,代数式的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式训练】
1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（ ）
A．B． C．D．
2．（2022秋·全国·七年级期末）下列各式：①②③ ④ ⑤千克 ，不符合代数式书写要求的是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．（2022秋·七年级课时练习）在，0，，，中，代数式有 个.
4．（2022秋·浙江·七年级专题练习）下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个．
5．（2022秋·全国·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：
（1）a×5，应写成 ；
（2）S÷t应写成 ；
（3），应写成 ；
（4）, 应写成 .
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式?
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
7．（2022秋·上海·七年级专题练习）课本告诉我们，同一个代数式可以表示不同的实际意义，这体现了不同背景实际问题中的相同数量关系常常可以用同一个代数式来表示．
下列情境中的字母、表示的是两个不超过100的正整数，且，请解决以下问题：
（1）两根同样长的铁丝，分别围成一个长为、宽为的长方形和一个正方形，长方形的长比正方形的边长大多少？
（2）下列情境：
①、两数的平均数为；
②甲、乙两人分别有元和元，要使两人的钱数一样，则甲需要给乙元；
③小亮在超市买了牛奶和可乐共瓶，其中牛奶比可乐少瓶，则他买了瓶牛奶；
④小红和爷爷从相距的两地相向而行，1后相遇，相遇时小红比爷爷多行了，则爷爷的平均速度是．
上述情境中的、、、也可以用（1）的结果中的代数式表示的是______．（填写所有正确选项前的序号）
【经典题型二 用字母表示数量关系】
【例2】（2022秋·福建宁德·七年级校考期中）小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（ ）
A．78B．87C．23D．12
【变式训练】
1．（2022秋·北京·八年级北京四中校考阶段练习）粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（ ）
A．xB．yC．D．
2．（2023·上海·七年级假期作业）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了B．盈利了C．不亏不盈D．盈亏不确定
3．（2021·重庆·九年级专题练习）一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是 ．
4．（2021·上海·九年级专题练习）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上增加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 元(用含m、a的代数式表示)
5．（2022秋·七年级课时练习）设n为自然数，则奇数表示为 ，能被5整除的数为 ，被4除余3的数为 ．
6．（2022秋·七年级课时练习）某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米．
(1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度；
(2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）．
7．（2022秋·湖北襄阳·七年级统考期中）.A、B两地分别有水泥20吨和30吨，C、D两地分别需要水泥15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表：
（1）若从A地运到C地的水泥为x吨，则用含x的式子表示从A地运到D地的水泥
为 吨，从A地将水泥运到D地的运输费用为 元；
（2）用含x的代数式表示从A、B两地运到C、D两地的总运输费，并化简该式子．
【经典题型三 用代数式表示数、图形的规律】
【例3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）下列各图均是由大小相等的正方形按一定规律进行排列的，若按此规律排列，则图中正方形的个数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．3n-3B．3n+2C．3n+3D．3n-2
2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，在一条笔直的公路上，点M表示一个路标，已知第1棵树与路标M之间的距离为3米，从第2棵树开始，任意相邻的两棵树之间的距离均为5米．则第50棵树与路标M之间的距离为 ；用含n的代数式表示第n棵树与路标M之间的距离为 ．
3．（2023·广东江门·江门市华侨中学校考一模）如图，是一组有规律的图案（后一个图案比前一个图案多2个），第1个图案由1个组成，第2个图案由3个组成，第3个图案由5个组成，第4个图案由7个组成，……，则前n（n为正整数）个图案共有的个数为 ．
4．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）观察下列式子：
第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
第4个式子：；
……
根据上述规律，解决下列问题：
(1)写出第5个式子： ；
(2)写出第（为正整数）个式子 ，并说明：．
5．（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
［观察思考］
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．
［规律总结］
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加______块；
（2）若一条这样的人行道一共有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为__________（用含的代数式表示）．
［问题解决］
（3）现有2023块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【经典题型四 代数式表示的实际意义】
【例4】（2023·河北承德·统考一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【变式训练】
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）
A．降价15元后再打9折B．原价打9折后再降价15元
C．降价15元后再打1折D．原价打1折后再降价15元
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）对单项式可以解释为:一件商品原价为元，若按原价折出售，这种商品现在的售价是元.请你对再赋予一个实际意义: ．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）对单项式“5x”，我们可以这样来解释：某人以5千米/小时的速度走了x小时，他一共走的路程是5x千米，请你对“5x”再给出另一个生活实际方面的解释 元．
4．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带条（）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款______元．（用含的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含的代数式表示）
（2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法及费用
5．（2022秋·天津滨海新·七年级校考期中）某销售办公用品的商店推出两种优惠方案：
①购买一个书包，赠送一支水性笔；②书包和水性笔一律按九折优惠．
已知每个书包定价为20元，每支水性笔定价为5元．
（1）若小明和同学需买4个书包，x支水性笔（不少于4支），请用含x的代数式表示两种优惠方案各需多少元．
（2）当x = 20时，采用哪种方案更划算？
【经典题型五 单项式的概念与判定】
【例5】．（2021秋·浙江绍兴·七年级嵊州市三界镇中学校考期中）代数式中单项式的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式训练】
1．（2021秋·云南文山·七年级校考期中）下列各式，0，，，，中单项式的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2021秋·全国·七年级期中）在下列代数式：2，，，-5yz，中，是单项式的有 个．
3．（2022秋·河南郑州·七年级阶段练习）在代数式：，，，，，，单项式有 个
4．（2021秋·江苏·七年级专题练习）要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果．如对下面给出的七个单项式：，，，，，，进行分类，若按单项式的次数分类：二次单项式有；三次单项式有，，；四次单项式有，，．请你用两种不同的分类方法对上面的七个单项式进行分类．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【经典题型六 多项式的概念与判定】
【例6】（2020秋·福建漳州·七年级校考阶段练习）有下列说法：（）单项式的系数、次数都是；（）多项式的系数是，它是三次二项式；（）单项式与都是七次单项式；（4）单项式和的系数分别是或；（）是二次单项式；（）与都是整式，其中正确的说法有（ ）．
A．个B． C．个D．个
【变式训练】
1．（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．3x2﹣x+1的一次项系数是1B．xyz的系数是0
C．a2b3c是五次单项式D．x5+3x2y4﹣2x3y是六次三项式
2（2023·全国·七年级假期作业）将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
（1）单项式： ；
（2）多项式： ；
（3）整式： ；
（4）二项式： ．
3．（2023·全国·七年级假期作业）在整式：，，，0.2，，中，有 个单项式， 个多项式，多项式分别是 .
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）把下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)单项式有________，多项式有_______．
(2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
(1)当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
(2)当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【经典题型七 多项式系数、指数中字母求值】
【例7】（2022秋·内蒙古·七年级校考阶段练习）若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（ ）
A．0B．1C．0或1D．不能确定
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级期末）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（ ）
①当是关于x的三次三项式时，则；
②当中不含x3时，则；
③当时，；当时，，则，；
④；
⑤．
A．2B．3C．4D．5
2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）若多项式是关于，的三次三项式，则常数 ．
3．（2020秋·江西上饶·七年级校考期中）若关于x的多项式与多项式的次数相同，且m、n互为相反数，则的值为 ．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
5．（2023·江苏·七年级假期作业）已知多项式是关于、的四次三项式．
（1）求的值；
（2）当，时，求此多项式的值．
【经典题型八 多项式中的升幂、降幂问题】
【例8】（2023春·六年级单元测试）多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按的降幂排列，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按m的升幂排列为 ．
3．（2022秋·河南鹤壁·七年级校考期中）把多项式按字母n的降幂排列为 ．
4．（2022秋·四川遂宁·七年级统考期末）已知为自然数，且多项式是严格按字母的升幂排列的．
(1)求的值；
(2)将多项式按字母的升幂排列．
5．（2022秋·四川泸州·七年级统考期中）已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求，的值；
(2)把这个多项式按的降幂排列．
【经典题型十 整式中的数字类规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一只小球落在数轴上的某点处，第一次从处向右跳1个单位到处，第二次从向左跳2个单位到处，第三次从向右跳3个单位到处，第四次从向左跳4个单位到处…，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点处所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（ ）
A．19920B．19921C．19922D．19923
2．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期中）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数． 如：2的差倒数是的差倒数是． 已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是 ．
4．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期中）计算： ．
5．（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）观察下列等式找出规律：①；②；③；…；则的值是 ．
6．（2021秋·广东江门·七年级统考阶段练习）观察下列等式：
；；．
将以上三个等式两边分别相加，得：
．
根据上面的信息，解答下列问题：
(1)填空：_________；
(2)填空：_________；
(3)计算：．
7．（2022秋·安徽安庆·七年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______
(2)写出第（为正整数）个等式：______（用含的等式表示）
(3)利用你发现的规律的值；
(4)计算的值．
【经典题型十一 整式中的图形类规律问题】
【例11】（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）·
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆南川·八年级统考期末）将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“”的个数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式： ．
第1个点阵 1+3+1=12+22，
第2个点阵 1+3+5+3+1=_____+_____，
第3个点阵 1+3+5+7+5+3+1=_____+_____．
4．（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要 根小棒．
5．（2023春·广东广州·七年级统考开学考试）如图所示，以为端点画六条射线后，，，，，，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2022个点在射线 上．
6．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形．
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．
（直接写出答案即可）
7．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的正方形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的正方形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
(1)如果剪n次共能得到个正方形，试用含有n，的等式表示它们之间的数量关系；
(2)若原正方形的边长为1，设表示第n次所剪出的正方形的边长，如．
①试用含n的式子表示 ；
②试用含n的式子表示 ；
(3)运用（2）的结论，计算的值．
专题06 整式重难点题型专训（十一大题型）
【题型目录】
【知识梳理】
【经典题型一 代数式的概念与书写方法】
【例1】（2023·江苏·七年级假期作业）在，1，，，中,代数式的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，根据这一概念逐个进行判定即可．
【详解】解：在，1，，，中，
代数式有：，1，，共4个，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式的概念．注意代数式中不含有关系符号，此为解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】根据代数式的书写要求：
1、书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面；
2、带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数；
3、乘号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的乘号通常简写成点，或省略不写；但数字与数字之间的乘号既不能写成点，也不能省略不写；
4、除号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式；
5、带单位的代数式书写要求：用加号或减号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位；据此即可一一判定．
【详解】解：A.正确的书写为或，故该选项不符合要求；
B.正确的书写为或，故该选项不符合要求；
C.符合代数式的书写要求，故该选项符合要求；
D.正确的书写为，故该选项不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的书写要求，熟练掌握和运用代数式的书写要求是解决本题的关键．
2．（2022秋·全国·七年级期末）下列各式：①②③ ④ ⑤千克 ，不符合代数式书写要求的是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】根据代数式书写要求判断即可．
【详解】解：①，不符合要求；
②，符合要求；
③= ，不符合要求；
④符合要求；
⑤千克= 千克，不符合要求；
因此有3个书写不符合要求，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式，弄清代数式的书写要求是解本题的关键．
3．（2022秋·七年级课时练习）在，0，，，中，代数式有 个.
【答案】3
【分析】代数式是指把数或表示数的字母用+、-、×、÷连接起来的式子，而对于带有=、＞、＜等数量关系的式子则不是代数式．
【详解】解：是不等式，不是代数式；是方程，不是代数式；
，0，，，是代数式，共3个.
故答案是：3.
【点睛】本题考查了代数式的定义，理解定义是关键．
4．（2022秋·浙江·七年级专题练习）下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个．
【答案】2
【分析】根据代数式的书写规则即可得出答案．
【详解】解：应该写成，
应该写成，
，符合书写规范，
综上所述，符合代数式书写规范的有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键．
5．（2022秋·全国·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：
（1）a×5，应写成 ；
（2）S÷t应写成 ；
（3），应写成 ；
（4）, 应写成 .
【答案】 5a
【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果．
（2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果．
（3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果．
（4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果．
【详解】解：（1）a×5=5a，
故答案为∶5a；
（2）S÷t=，
故答案为∶；
（3），
故答案为∶；
（4）
故答案为∶．
【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式?
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【答案】（1）（4）（5）是代数式；（2）（3）（6）不是代数式
【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式，由此进行判断即可．
【详解】解：（1）（4）（5）是代数式；
（2）（3）（6）不是代数式．
【点睛】本题主要考查了代数式的概念，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的概念．
7．（2022秋·上海·七年级专题练习）课本告诉我们，同一个代数式可以表示不同的实际意义，这体现了不同背景实际问题中的相同数量关系常常可以用同一个代数式来表示．
下列情境中的字母、表示的是两个不超过100的正整数，且，请解决以下问题：
（1）两根同样长的铁丝，分别围成一个长为、宽为的长方形和一个正方形，长方形的长比正方形的边长大多少？
（2）下列情境：
①、两数的平均数为；
②甲、乙两人分别有元和元，要使两人的钱数一样，则甲需要给乙元；
③小亮在超市买了牛奶和可乐共瓶，其中牛奶比可乐少瓶，则他买了瓶牛奶；
④小红和爷爷从相距的两地相向而行，1后相遇，相遇时小红比爷爷多行了，则爷爷的平均速度是．
上述情境中的、、、也可以用（1）的结果中的代数式表示的是______．（填写所有正确选项前的序号）
【答案】（1）长方形的长比正方形的边长大；（2）②③④
【分析】（1）分别表示长方形和正方形的边长，再作差即可得出结论；
（2）根据题意逐项列式，即可看出．
【详解】（1）
答：长方形的长比正方形的边长大．
（2）①，
② ，
③，
④ ，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了代数式的意义及列代数式，能够根据题意列出正确的代数式是解决问题的关键．
【经典题型二 用字母表示数量关系】
【例2】（2022秋·福建宁德·七年级校考期中）小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（ ）
A．78B．87C．23D．12
【答案】A
【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案．
【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，
由题意得：，
整理得：，
即小明心里想的那个两位数是78，
故选：A．
【点睛】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·北京·八年级北京四中校考阶段练习）粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（ ）
A．xB．yC．D．
【答案】D
【分析】设从学校到家路程为s，然后表示出从家到学校所用时间，再表示出从学校到家所用时间，然后利用总路程除以总时间可得平均速度．
【详解】设从学校到家路程为s，
平均速度是：
；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是掌握平均速度=路程÷时间．
2．（2023·上海·七年级假期作业）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了B．盈利了C．不亏不盈D．盈亏不确定
【答案】A
【分析】原价提高10%后商品新单价为m×（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为m×（1+10%）×（1-10%），通过计算即可得到答案．
【详解】由题意得，后面的售价为：m×（1+10%）×（1-10%）＝0.99m元
∵m＞0，
∴m＞0.99m，
∴按后面的售价每销售一件商品，为亏损情况
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算、代数式的性质，从而完成求解．
3．（2021·重庆·九年级专题练习）一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是 ．
【答案】10a+11
【分析】先表示出十位上的数字，然后再表达出这个两位数的大小
【详解】∵个位数是1，十位数比个位数大a
∴十位数是1+a
∴这个两位数为：10(a+1)+1=10a+11
故答案为：10a+11
【点睛】本题考查用字母表示数字，解题关键是：若十位数字为a，则应表示为10a
4．（2021·上海·九年级专题练习）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上增加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 元(用含m、a的代数式表示)
【答案】0.17am
【分析】根据题意可以用含a的代数式表示出超市获得的利润，本题得以解决．
【详解】由题意可得，
超市获得的利润是：a(1+30%)×[m(1﹣10%)]﹣am＝0.17am(元)，
故答案为0.17am．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
5．（2022秋·七年级课时练习）设n为自然数，则奇数表示为 ，能被5整除的数为 ，被4除余3的数为 ．
【答案】 或 5n
【分析】能被2整除的数是偶数，因此偶数通常可以表示为2n，偶数2n的前一位或后一位都是奇数，则奇数可以表示为或；同理，能被5整除的数必含5这个因数；能被4除余3的数，应为4的倍数且加上3.
【详解】因为偶数中含有2这个因数，则偶数可以表示为2n，偶数2n的前一位或后一位都是奇数，则奇数可以表示为或；能被5整除的数必含5这个因数，则能被5整除的数可表示为5n；能被4除余3的数可表示为4n+3.
故答案为或；5n；4n+3.
【点睛】本题考查了列代数式的知识点，熟练掌握所求的数的特征是解决本题的关键，属于基础题.注意：能被某数整除的数中必含有除数的因数.
6．（2022秋·七年级课时练习）某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米．
(1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度；
(2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）．
【答案】(1)窗户的面积为（4a2πa2）米2，总长度（15+π）a（米）
(2)498（元）
【分析】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的总长度，将所有线段长度相加即可；
（2）将a＝1代入25（4a2πa2）+20（15+π）a计算可得．
【详解】（1）S＝2a×2aπa2＝4a2πa2
即窗户的面积为（4a2πa2）米2．
15a+πa＝（15+π）a（米）
即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）．
（2）a＝1时，25（4a2πa2）+20（15+π）a
≈25×（4×13×1）+20×（15+3）×1
＝137.5+360
＝497.5
≈498（元），即制作这扇窗户需要498元．
【点睛】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算准确，不遗漏．
7．（2022秋·湖北襄阳·七年级统考期中）.A、B两地分别有水泥20吨和30吨，C、D两地分别需要水泥15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表：
（1）若从A地运到C地的水泥为x吨，则用含x的式子表示从A地运到D地的水泥
为 吨，从A地将水泥运到D地的运输费用为 元；
（2）用含x的代数式表示从A、B两地运到C、D两地的总运输费，并化简该式子．
【答案】（1）20-x，240-x；（2）总运输费=2x+525．
【详解】解：（1）根据题意得出：
从A地运到D地的水泥为：（20-x），
从A地将水泥运到D地的运输费用为：（240-12x）；
故答案为（20-x），（240-12x）；
（2）根据题意得出：15x+12（20-x）+10（15-x）+9[35-（20-x）]=2x+525．
【经典题型三 用代数式表示数、图形的规律】
【例3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）下列各图均是由大小相等的正方形按一定规律进行排列的，若按此规律排列，则图中正方形的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设第n幅图有个小正方形（n为正整数），根据各图形中小正方形个数的变化可得出变化规律．
【详解】设第n幅图有个小正方形（n为正整数），
，
，
，
（ 为正整数），
故选C．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中小正方形个数的变化，找出变化规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．3n-3B．3n+2C．3n+3D．3n-2
【答案】C
【分析】由图形可知：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，…由此得出第n个图形的圆圈个数．
【详解】解：∵第1个图形有3+3×1=6个圆圈，
第2个图形有3+3×2=9个圆圈，
第3个图形有3+3×3=12个圆圈，
…
∴第n个图形有（3+3n）个圆圈．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，再归纳出一般规律．
2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，在一条笔直的公路上，点M表示一个路标，已知第1棵树与路标M之间的距离为3米，从第2棵树开始，任意相邻的两棵树之间的距离均为5米．则第50棵树与路标M之间的距离为 ；用含n的代数式表示第n棵树与路标M之间的距离为 ．
【答案】 248米 米
【分析】先列举第1、2、3、4棵树与路标M之间的距离，然后归纳总结第n棵树与路标M之间的距离的规律，然后运用规律求第50棵树与路标M之间的距离即可．
【详解】解：由题意可知：
第1棵树与路标M之间的距离为：3（米），
第2棵树与路标M之间的距离为：（米），
第3棵树与路标M之间的距离为：（米），
第4棵树与路标M之间的距离为（米），…，
则按此规律，第n棵树与路标M之间的距离为（米），
∴第50棵树与路标M之间的距离为（米）．
故答案为：248米，米．
【点睛】本题主要考查了图形的排列规律，根据题意归纳第n棵树与路标M之间的距离的规律是解答本题的关键．
3．（2023·广东江门·江门市华侨中学校考一模）如图，是一组有规律的图案（后一个图案比前一个图案多2个），第1个图案由1个组成，第2个图案由3个组成，第3个图案由5个组成，第4个图案由7个组成，……，则前n（n为正整数）个图案共有的个数为 ．
【答案】
【分析】根据题意找出图案的规律第n个图案中▲的个数是：，即可解得．
【详解】解：∵第1个图案由1个▲组成，
第2个图案由3个▲组成，
第3个图案由5个▲组成，
第4个图案由7个▲组成，
…，
∴第n个图案中▲的个数是：，
∴前n个图案共有▲的个数为： ．
故答案为：．
【点睛】此题考查了图案规律题，解题的关键是找出规律并列出规律式．
4．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）观察下列式子：
第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
第4个式子：；
……
根据上述规律，解决下列问题：
(1)写出第5个式子： ；
(2)写出第（为正整数）个式子 ，并说明：．
【答案】(1)
(2)，说明见解析
【分析】（1）根据题中材料所呈现的规律，直接代值求解即可得到答案；
（2）根据题中材料所呈现的规律，写出第（为正整数）个式子，结合不等式性质证明即可得到答案．
【详解】（1）解：第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
第4个式子：；
……
第5式子：；
故答案为：；
（2）解：由规律可知，第（为正整数）个式子为；
故答案为：；
说明如下：
，
，
，
…
，
，
为正整数，
，
，即．
【点睛】本题考查代数式规律问题，读懂题意，从所给式子中找出规律并灵活运用是解决问题的关键．
5．（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
［观察思考］
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．
［规律总结］
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加______块；
（2）若一条这样的人行道一共有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为__________（用含的代数式表示）．
［问题解决］
（3）现有2023块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（1）2
（2）
（3）1009
【分析】（1）观察图形1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案；
（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图；图（即；
（3）由于等腰直角三角形地砖块数是偶数，根据现有2023块等腰直角三角形地砖，剩余最少，可得：，即可求得答案．
【详解】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；
（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图；归纳得：（即；
若一条这样的人行道一共有为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为块；
（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数是偶数，
用块，
再由题意得：，
解得：，
等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1009块．
【点睛】本题考查以等腰直角三角形和正方形的拼图为背景，进行图形规律探究，解题关键是探究总结出规律，要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【经典题型四 代数式表示的实际意义】
【例4】（2023·河北承德·统考一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【答案】A
【分析】根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解．
【详解】解：某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，
按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误
按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误
按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）
A．降价15元后再打9折B．原价打9折后再降价15元
C．降价15元后再打1折D．原价打1折后再降价15元
【答案】A
【分析】先根据得到原价减去15元，再根据“折”的含义判断即可．
【详解】将原价x元的衣服以元出售表示：
在原价的基础上先降价15元后再打9折．
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的实际意义，解决本题的关键是明确“折”的含义．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）对单项式可以解释为:一件商品原价为元，若按原价折出售，这种商品现在的售价是元.请你对再赋予一个实际意义: ．
【答案】练习本每本0.8元，小明买了a本，共付款0.8a元．
【分析】根据生活实际作答即可．
【详解】解：答案不唯一，
例如：练习本每本0.8元，小明买了a本，共付款0.8a元．
故答案为：练习本每本0.8元，小明买了a本，共付款0.8a元．
【点睛】本题考查了代数式的意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）对单项式“5x”，我们可以这样来解释：某人以5千米/小时的速度走了x小时，他一共走的路程是5x千米，请你对“5x”再给出另一个生活实际方面的解释 元．
【答案】一斤鸡蛋5元钱，x斤鸡蛋的总售价是5x元（答案不唯一，合理就行）．
【详解】试题分析：答案不唯一，合理就行．如：一斤鸡蛋5元钱，x斤鸡蛋的总售价是5x元．
考点：代数式的意义．
4．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带条（）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款______元．（用含的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含的代数式表示）
（2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法及费用
【答案】（1），；（2）按方案一购买较合算；（3）购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带，23600元
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x=40代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带更合算．
【详解】（1）按方案一购买：，
按方案二购买：；
（2）当时，
方案一：（元）
方案二：（元）
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带．
则（元）
【点睛】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．
5．（2022秋·天津滨海新·七年级校考期中）某销售办公用品的商店推出两种优惠方案：
①购买一个书包，赠送一支水性笔；②书包和水性笔一律按九折优惠．
已知每个书包定价为20元，每支水性笔定价为5元．
（1）若小明和同学需买4个书包，x支水性笔（不少于4支），请用含x的代数式表示两种优惠方案各需多少元．
（2）当x = 20时，采用哪种方案更划算？
【答案】（1）方案①：（）元，方案②：（）元；（2）采用方案①更划算.
【分析】（1）按题意分别列式表达即可；
（2）把分别代入（1）中所列代数式计算，然后比较计算结果的大小就可判断哪种方案更划算；
【详解】（1）由题意可得：
方案①：（元）；
方案②：（元）；
答：方案①需（）元，方案②需（）元；
（2）当时，（元），
（元），
∵160<162，
∴采用方案①更划算.
【点睛】本题考查了列代数式和求代数式的值，搞清数量之间的关系是解题的关键．
【经典题型五 单项式的概念与判定】
【例5】．（2021秋·浙江绍兴·七年级嵊州市三界镇中学校考期中）代数式中单项式的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，由此可作出判断．
【详解】解：所给式子中单项式有，共6个．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的概念，解答本题的关键是熟练掌握单项式的定义．
【变式训练】
1．（2021秋·云南文山·七年级校考期中）下列各式，0，，，，中单项式的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据单项式的定义以及性质对各数进行判断即可．
【详解】属于单项式的有，0，，
故有4个单项式
故答案为：B．
【点睛】本题考查了单项式的问题，掌握单项式的定义以及性质是解题的关键．
2．（2021秋·全国·七年级期中）在下列代数式：2，，，-5yz，中，是单项式的有 个．
【答案】2
【分析】单项式就是数与字母的乘积，或单独的数和字母都是单项式，依据定义即可作出判断．
【详解】单项式有：2，-5yz，共有2个．
故答案为2．
【点睛】本题考查了单项式的定义，理解定义是关键．
3．（2022秋·河南郑州·七年级阶段练习）在代数式：，，，，，，单项式有 个
【答案】4
【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，由此可得答案．
【详解】3，3m﹣3，﹣22，﹣，2πb2，中，单项式的个数有3，﹣22，﹣，2πb2共4个．
故答案为4．
【点睛】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义．
4．（2021秋·江苏·七年级专题练习）要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果．如对下面给出的七个单项式：，，，，，，进行分类，若按单项式的次数分类：二次单项式有；三次单项式有，，；四次单项式有，，．请你用两种不同的分类方法对上面的七个单项式进行分类．
【答案】只含一个字母的单项式：，含两个及以上字母的单项式：；系数为正数的单项式；，系数为负数的单项式：
【分析】根据所含的字母，可分为两类；根据根据单项式的次数字母指数和，可分为两类．
【详解】解：只含一个字母的单项式：，
含两个及以上字母的单项式：；
系数为正数的单项式；，
系数为负数的单项式：．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【答案】（1），（3），（4），（5）符合单项式的定义，是单项式；（1）的系数是，次数是1；（3）的系数是，次数是1；（4）的系数是，次数是3；（5）的系数是，次数是7.
【分析】根据单项式的定义找出单项式，再根据单项的系数与次数的概念进行求解即可.
【详解】(1)(3)(4)(5)符合单项式的定义，是单项式．
(1)的系数是，次数是1；
(3)的系数是，次数是1；
(4)的系数是，次数是3；
(5)的系数是，次数是7.
【点睛】本题考查了单项式的概念、单项式的系数与次数，熟练掌握相关概念是解题的关键.
【经典题型六 多项式的概念与判定】
【例6】（2020秋·福建漳州·七年级校考阶段练习）有下列说法：（）单项式的系数、次数都是；（）多项式的系数是，它是三次二项式；（）单项式与都是七次单项式；（4）单项式和的系数分别是或；（）是二次单项式；（）与都是整式，其中正确的说法有（ ）．
A．个B． C．个D．个
【答案】A
【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断．
【详解】根据单项式和多项式的概念可知，单项式的系数是字母前的数字，次数是字母的指数和；多项式是若干个单项式的和．故（1），（2），（3）（4）（5）（6）都错．
其中，（1）单项式的系数、次数都是1；
（2）多项式-3x2+x-1不能说多项式的系数，它是2次3项式；
（3）单项式-34x2y是3次单项式，是6次单项式；
（4）单项式-和-的系数分别是-和-π；
（5）是多项式；
（6）是整式，是分式．
故选A．
【点睛】主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
【变式训练】
1．（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．3x2﹣x+1的一次项系数是1B．xyz的系数是0
C．a2b3c是五次单项式D．x5+3x2y4﹣2x3y是六次三项式
【答案】D
【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可．
【详解】A、3x2﹣x+1的一次项系数是﹣1，故错误；
B、xyz的系数是1，故错误；
C、a2b3c是六次单项式，故错误；
D、正确．
故选D．
【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念．
2（2023·全国·七年级假期作业）将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
（1）单项式： ；
（2）多项式： ；
（3）整式： ；
（4）二项式： ．
【答案】 ③④⑨ ①②⑤ ①②③④⑤⑨ ②⑤
【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解．
【详解】（1）单项式有：③，④0，⑨；
（2）多项式有：①，②，⑤；
（3）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨；
（4）二项式有：②，⑤；
故答案为：（1）③④⑨；（2）①②⑤；（3）①②③④⑤⑨；（4）②⑤
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义．
3．（2023·全国·七年级假期作业）在整式：，，，0.2，，中，有 个单项式， 个多项式，多项式分别是 .
【答案】 2 4 、、、
【分析】根据单项式与多项式的概念即可求出答案．
【详解】解：单项式有2个：，0.2，，
多项式有4个：，，
【点睛】本题考查单项式与多项式的概念，解题的关键是正确理解单项式与多项式之间的联系，本题属于基础题型．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）把下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)单项式有________，多项式有_______．
(2)利用上面的部分代数式写出一个三次五项式．
【答案】(1)③⑤⑦；①②
(2)（答案不唯一）
【分析】（1）根据单项式，多项式的定义即可求解．
（2）根据三次五项式的定义即可求解
【详解】（1）解：单项式有：③；⑤；⑦；
多项式有：①；②；
故答案为：③⑤⑦；①②；
（2）解：选①②，
则是三次五项式．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
(1)当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
(2)当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【答案】(1)m＝﹣1，n≠2
(2)m＝﹣5，n＝2
【分析】（1）根据二次多项式的定义得出m+1＝0，且n﹣2≠0，然后求解即可；
（2）根据多项式是关于x的三次二项式得出m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，然后求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：m+1＝0，且n﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，n≠2，
则m＝﹣1，n≠2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）解：由题意得：m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，
解得：m≠﹣1，n＝2，
把n＝2代入2m+5n＝0得：m＝﹣5，
则m＝﹣5，n＝2时该多项式是关于x的三次二项式．
【点睛】本题考查了多项式的定义，理解多项式的项数与次数是解题的关键．一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
【经典题型七 多项式系数、指数中字母求值】
【例7】（2022秋·内蒙古·七年级校考阶段练习）若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（ ）
A．0B．1C．0或1D．不能确定
【答案】A
【分析】根据题意可得，且，再解即可．
【详解】，
由题意得：，且，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式，关键是掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．注意：容易忽视一次项系数不等于0从而导致错误．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·七年级期末）关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（ ）
①当是关于x的三次三项式时，则；
②当中不含x3时，则；
③当时，；当时，，则，；
④；
⑤．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】计算，令常数项为0可判断①；计算，令x3项系数为0可判断②；由当时，；当时，列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和的值，可判断④和⑤．
【详解】解：＝
＝，
∵是关于x的三次三项式，，
∴，
解得，故①正确；
＝，
∵中不含，
∴，
∴，故②正确；
∵时，；当时，，
∴，
解得，，故③正确；
在中，令得：
，
∴，故④正确；
在中，令得：
，
∵，
∴，故⑤正确，
∴正确的有①②③④⑤，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．
2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）若多项式是关于，的三次三项式，则常数 ．
【答案】
【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【详解】解：多项式是关于，的三次三项式，
，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与项数确定方法是解题的关键．
3．（2020秋·江西上饶·七年级校考期中）若关于x的多项式与多项式的次数相同，且m、n互为相反数，则的值为 ．
【答案】或或或
【分析】分和两种情况讨论，根据多项式的定义求得b的值，再利用互为相反数的定义即可求解．
【详解】当时，依题意得：，
解得：或，
当时，依题意得：，
解得：或，
∵m、n互为相反数，
∴，
∴，
∴的值为：或或或．
【点睛】本题考查了整式，解题的关键是正确理解多项式的概念，难点是分类讨论．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
【答案】1
【分析】根据多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式知2+m+1=6，求得m的值，根据单项式3x2ny5-m的次数与这个多项式的次数相同知2n+5-m=6，求得n的值，再代入计算可得．
【详解】解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式，
所以2+m+1=6，
所以m=3，
因为单项式6x2ny5–m的次数也是六次，
所以2n+5-m=6，
所以n=2，
所以m-n=3-2=1．
【点睛】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数的判断，得出m、n的值，难度一般．
5．（2023·江苏·七年级假期作业）已知多项式是关于、的四次三项式．
（1）求的值；
（2）当，时，求此多项式的值．
【答案】（1），（2）
【分析】（1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值；
（2）将x，y的值代入求出答案．
【详解】（1）∵多项式是关于的四次三项式，
∴，，
解得：，
（2）当，时，
此多项式的值为：
．
【点睛】本题主要考查了多项式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【经典题型八 多项式中的升幂、降幂问题】
【例8】（2023春·六年级单元测试）多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题目要求先按字母的降幂排列的出结果，然后选项．
【详解】多项式按字母的降幂排列：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按的降幂排列，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用降幂排列的定义进行排列即可．
【详解】解：将多项式按字母a的降幂排列为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式，注意按a的降幂排列即要把a按从高次到低次排列．
2．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按m的升幂排列为 ．
【答案】
【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式按升幂排列的定义排列．
【详解】解：多项式按m的升幂排列为，
故答案为．
【点睛】本题考查多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
3．（2022秋·河南鹤壁·七年级校考期中）把多项式按字母n的降幂排列为 ．
【答案】
【分析】根据题意按字母n的降幂排列即可求解．
【详解】解：把多项式按字母n的降幂排列为，
故答案为：，
【点睛】本题考查了按降幂排列多项式，理解多项式的项的定义是解题的关键．
4．（2022秋·四川遂宁·七年级统考期末）已知为自然数，且多项式是严格按字母的升幂排列的．
(1)求的值；
(2)将多项式按字母的升幂排列．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据多项式是按字母的升幂排列的定义可得，且为整数，即可求出的值；
（2）结合（1）可得多项式，然后多项式按字母的升幂排列的定义排列即可．
【详解】（1）∵多项式是严格按字母的升幂排列的，
∴，且为整数，
∴，
∴．
（2）当时，多项式为，
∴将多项式按字母的升幂排列为．
【点睛】本题主要考查了多项式和单项式的次数，多项式的升(降)幂排列，理解定义是解题的关键．
5．（2022秋·四川泸州·七年级统考期中）已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求，的值；
(2)把这个多项式按的降幂排列．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，
∴，
解得：，
∵单项式的次数与该多项式的次数相同，
∴，即，
解得：；
（2）解：由（1）得该多项式为，
∴把这个多项式按的降幂排列为．
【点睛】本题考查了多项式，多项式的升幂排列或降幂排列，熟练掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键．
【经典题型九 单项式与多项式的综合问题】
【例9】（2022秋·七年级课时练习）下列说法错误的是( )
A．单项式h的系数是1B．多项式a-2.5的次数是1
C．m+2和3都是整式D．是六次单项式
【答案】D
【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．
【详解】A、B、C说法均是正确的，D中是四次单项式．
【点睛】本题考查单项式知识的相关应用．
【变式训练】
1．（2021秋·上海·七年级期中）下列说法正确的是（ ）．
A．与都是多项式B．的系数与次数分别是与
C．与是同类项D．是单项式
【答案】C
【分析】根据整式的多项式、单项式的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】∵是字母除以数字，不是数字或字母的乘积
∴不是单项式
∴不是多项式，即A错误；
∵的系数与次数分别是与
∴B错误；
∵是多项式
∴D错误；
∵与是同类项
∴C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式多项式和单项式的定义，从而完成求解．
2．（2021春·浙江·七年级期末）下列说法①的系数是-2；②不是单项式；③是多项式；④次数是3次；⑤的次数是5次；⑥是代数式但不是单项式．正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】利用单项式及多项式的定义判定即可．
【详解】①的系数是-，故①不正确；
②是单项式，故②不正确；
③是多项式，故③正确；
④次数是3次，故④正确；
⑤的次数是2次，故⑤不正确；
⑥是代数式但不是整式，也就不是单项式，故⑥正确．
共3个正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了单项式及多项式，解题的关键是熟记单项式及多项式的定义．
3．（2023·全国·七年级假期作业）在式子①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中是整式的有 ，其中是单项式的有 ，是多项式的有 ．
【答案】 ①②③④⑥⑦⑧ ②④ ①③⑥⑦⑧
【分析】根据整式、单项式、多项式的定义，结合所给各式进行判断即可.
【详解】解：所给式子中整式有：①②③④⑥⑦⑧；
单项式有：②④⑦；
多项式有：①③⑥⑧．
故答案为①②③④⑥⑦⑧、②④、①③⑥⑦⑧．
【点睛】本题考查了多项式、单项式及整式的知识，掌握三者的定义是解题的关键，属于基础知识考察类题目.
4．（2021秋·全国·七年级期中）当x＝1，y＝﹣1时，关于x、y的二次三项式+（m+1）by﹣3值为0，那么当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+的值为 ．
【答案】5
【分析】根据二次三项式的次数和项数的定义，确定m值，再把m代回二次三项式中得到等式，再把x和y值代入所求的式子中，然后把前面所得等式整体代入所求，即可得到结果．
【详解】解：∵+（m+1）by﹣3是关于x、y的二次三项式，
∴当x＝1，y＝﹣1时，有a﹣（m+1）b﹣3＝0，m2＝1，
∴m＝±1，
当m＝﹣1时不合题意，
∴m＝1，
∴a﹣2b﹣3＝0，
∴a﹣2b＝3，
∴，
∴当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+＝＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查多项式的次数项数的定义、多项式的代入求值的相关计算，根据次数项数定义确定m的取值要考虑全面，这是本题的易错点．
5．（2021秋·上海·七年级期中）若关于a,b单项式的系数是,次数是5,则 , ．
【答案】 4
【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
【详解】解：是关于a,b的单项式,系数是,次数是5,
,,
解得：,,
故答案为,4．
【点睛】此题主要考查了单项式,正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．
6．（2023春·上海·六年级专题练习）已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【答案】(1)-1，1，5
(2)①4t＋6；②不会变化，2
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）①分别表示出t秒后点A对应的数，点B对应的数，点C对应的数，即可表示出AC；
（3）先求出AB，BC的值，再计算BC-AB的值，可得BC-AB的值是定值．
【详解】（1）解：由题意得，
单项式-xy2的系数a＝-1，
最小的正整数b＝1，
多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；
故答案为：-1，1，5
（2）①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，
故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；
故答案为：6＋4t
②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t，
AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t；
∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，
故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
7．（2022·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算(��+2)(2��+3)(3��+4)所得多项式的一次项系数．小明想通过计算(��+2)(2��+3)(3��+4)所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找(��+2)(2��+3)所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
也就是说，只需要x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算(��+2)(2��+3)(3��+4)所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3,3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2,3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18，最后将 12,16,18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算（x+1）（4x+3）所得多项式的一次项系数为 .
（2）计算（x+1）（3x-2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为 .
（3）若是的一个因式，求、的值.
【答案】（1）7；（2）1;（3）a=-6；b=-3
【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数求解即可
（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积的和即为所得多项式的一次项系数求解即可
（3）由中4次项系数为1，常数项为2可设另一个因式为：，根据三次项系数为0，二次项系数为a，一次项系数为b列出方程求解即可
【详解】（1）1×4+1×3=7
（2）1×（-2）×5+3×1×5+2×1×（-2）=1
（3）∵中4次项系数为1，常数项为2
∴设另一个因式为：
则（）（）=
∴1×m-3×1=0
1×2+1×1+（-3）×m=a
-3×2+1×m=b
解得：m=3；a=-6；b=-3
【点睛】本题主要考查了多项式的各项系数，根据题意得到多项式乘以多项式系数之间的关系规律是解题关键
【经典题型十 整式中的数字类规律问题】
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一只小球落在数轴上的某点处，第一次从处向右跳1个单位到处，第二次从向左跳2个单位到处，第三次从向右跳3个单位到处，第四次从向左跳4个单位到处…，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点处所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据跳动规则，分奇数、偶数探索出遵循的基本规律，确定计算即可．
【详解】解：设点所表示的数是a，
则点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
∴点所表示的数是，
∵点处所表示的数恰好是，
∴，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字中的规律问题，根据序号的奇数，偶数分类探索规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为（ ）
A．19920B．19921C．19922D．19923
【答案】B
【分析】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n；所以从特殊入手，，…，由此得出一般规律：，从而可求得结果．
【详解】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第个数大n，所以，，…，．所以，
，从而
故选：B．
【点睛】本题是一个规律探索题，对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，要求学生善于观察并找出规律，这对学生的归纳能力提出了更高的要求．
2．（2022秋·河南驻马店·七年级统考期中）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数． 如：2的差倒数是的差倒数是． 已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据差倒数的定义先计算，从而得到规律每3次一个循环，再计算2023除以3，看余数即可得出答案.
【详解】解：∵是的差倒数，
∴，
∵是的差倒数，
∴，
∵是的差倒数，
∴，
∴每3次一个循环，
∵，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的运算和规律探寻，正确计算、得出规律是解题关键.
3．（2022秋·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是 ．
【答案】
【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上，奇数的个数等于底数，然后找出所在的奇数的范围，即可得解.
【详解】解：∵
∴分裂后的第一个数是，共有个奇数，
∵，
∴奇数是底数为的数的立方分裂后的一个奇数，
∴
故答案为：
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．
4．（2022秋·湖南怀化·七年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据，，，…，计算．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了规律式子的计算．熟练掌握（，且n为整数），合并计算，是解题的关键．
5．（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）观察下列等式找出规律：①；②；③；…；则的值是 ．
【答案】
【分析】根据所给算式找出规律求解即可．
【详解】解：∵：①；
②；
③；
…；
∴，
∴
，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
6．（2021秋·广东江门·七年级统考阶段练习）观察下列等式：
；；．
将以上三个等式两边分别相加，得：
．
根据上面的信息，解答下列问题：
(1)填空：_________；
(2)填空：_________；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出规律，然后变形计算即可；
（2）根据（1）中得出规律变形，计算即可；
（3）首先把原式转化为，然后再计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
可得规律为：，
；
故答案为：；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了数字的变化规律、有理数的混合运算，解本题的关键在总结出规律等式．
7．（2022秋·安徽安庆·七年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______
(2)写出第（为正整数）个等式：______（用含的等式表示）
(3)利用你发现的规律的值；
(4)计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题干中给定的式子，写出第5个式子即可；
（2）根据给定的式子，写出第（为正整数）个等式即可；
（3）将转化为，利用前面等式的特点转化为，进行求解即可；
（4）将转化为，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：
（2）
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到．
【经典题型十一 整式中的图形类规律问题】
【例11】（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）·
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第个图案中涂有阴影的小正方形个数．
【详解】第一个图案有个：，
第二个图案有个：，
第三个图案有个：，
则第个图形有：个，
故第个图案中有(个)，
故选：．
【点睛】此题考查了图案的变化规律问题，解题的关键是找到正确的变化规律即可．
2．（2023春·重庆南川·八年级统考期末）将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“”的个数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】A
【分析】本题是一道关于图形变化来进行数字猜想的问题，通过归纳与总结，下一个图形中字母“”的个数是上一个图形中字母“”的个数加2，得到其中的规律．
【详解】解：第①个图形中字母“”的个数是4，
第②个图形中字母“”的个数是6，
第③个图形中字母“”的个数是8，下一个图形中字母“”的个数是上一个图形中字母“”的个数加2，
则第④个图形中字母“”的个数是10，
故选：A．
【点睛】本题考查了从图形规律到数字猜想的问题，需要通过归纳总结，得到其中的规律需要考生细心观察，仔细求证解决本题．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式： ．
第1个点阵 1+3+1=12+22，
第2个点阵 1+3+5+3+1=_____+_____，
第3个点阵 1+3+5+7+5+3+1=_____+_____．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据等号左边的图形，即可得出结论；
（2）根据（1）中的三个等式，总结出一般规律即可．
【详解】解：（1）第1个点阵 ，
第2个点阵 ，
第3个点阵 ．
故答案为：；
（2）第n个点阵相对应的等式为：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是观察图形，根据前几个图形的变化总结出一般规律．
4．（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要 根小棒．
【答案】51
【分析】根据所给的图形不难得出第n个图形小棒的根数为：，从而可求解．
【详解】解：∵第1个图案中有6根小棒，
第2个图案中有根小棒，
第3个图案中有根小棒，
……
∴第n个图案中小棒的根数为：，
∴第10个图案中小棒的根数为：，
故答案为：51．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n个图案中有根小棒是解决问题的关键．
5．（2023春·广东广州·七年级统考开学考试）如图所示，以为端点画六条射线后，，，，，，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2022个点在射线 上．
【答案】
【分析】根据题意可得，1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，…，每六个一循环．根据，即可求解．
【详解】解∶∵1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，…
∴每六个一循环．
∵，
∴所描的第2022个点所在射线和6所在射线一样．
∴所描的第2022个点在射线上．
故答案为：
【点睛】本题考查了图形规律题，找到规律是解题的关键．
6．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形．
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．
（直接写出答案即可）
【答案】(1)21
(2)
(3)不能，理由见解析
(4)
【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）探究规律，利用规律即可解决问题；
（3）构建方程即可解决问题；
（4）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可．
【详解】（1）解：第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
第次可得个正方形，
第5次可得，
故答案为：21；
（2）由（1）得：第次可得个正方形，
故答案为：；
（3）不能，理由：由，解得，n不是整数，
所以不能将正方形划分成2022个正方形的图形．
（4）由题意．
【点睛】本题考查图形规律题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律方法，属于中考常考题型．
7．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的正方形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的正方形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
(1)如果剪n次共能得到个正方形，试用含有n，的等式表示它们之间的数量关系；
(2)若原正方形的边长为1，设表示第n次所剪出的正方形的边长，如．
①试用含n的式子表示 ；
②试用含n的式子表示 ；
(3)运用（2）的结论，计算的值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）观察图形发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，根据得到的规律得到通项公式即可；
（2）①根据每次将边长一分为二即可得到答案；②结合图形得出答案即可；
（3）利用发现的规律，代入数值即可求得答案．
【详解】（1）解：观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，
剪两次有7个小正方形，
剪三次有10个小正方形，
剪四次有13个小正方形，
规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，
故第n个共有个，
∴用含有n、的等式表示它们之间的数量关系为；
（2）解：①第一次所剪的正方形的边长为，
第二次所剪的正方形的边长为；
第三次所剪的正方形的边长为，
…
第n次所剪的正方形的边长；
②根据图形的变化可知：
＝
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，找到规律并用代数式表示出来是解决本题的关键．
到C地
到D地
A地
每吨15元
每吨12元
B地
每吨10元
每吨9元
到C地
到D地
A地
每吨15元
每吨12元
B地
每吨10元
每吨9元
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