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七年级上册4.1 线段、射线、直线课时作业
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这是一份七年级上册4.1 线段、射线、直线课时作业，共92页。
题型一 直线、射线、线段的联系与区别
题型二 画出直线、射线、线段
题型三 点与线的位置关系
题型四 直线、线段、射线的数量问题
题型五 直线相交的交点个数问题
题型六 两点确定一条直线
题型七 线段中点的有关计算
题型八 线段n等分点的有关计算
题型九 线段之间的数量关系
题型十 与线段有关的动点问题
题型十一 两点之间线段最短
题型十二 两点间的距离
题型十三 最短路径问题
题型十四 线段的和与差问题
【知识梳理】
知识点一：线段、射线、直线
直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
【经典题型一 直线、射线、线段的联系与区别】
1．关于线段的描述正确的有（ ）．
①线段与线段是同一条线段
②线段有两个端点
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线
④画一条线段．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
3．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ．
4下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；
③连接两点的线段叫做两点间的距离；
④射线AB和射线BA是同一条射线；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；
其中错误的有 (填序号)
5．如图，在数轴上，点A表示3，点B表示－.
(1)数轴是什么图形？
(2)数轴上原点O左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？
(3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？
(4)数轴上表示不小于－且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？
【经典题型二 画出直线、射线、线段】
1．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条B．1条C．1条或3条D．0条
2．下列句子中正确的是（ ）
A．.延长直线AB，使它与直线CD相交于点P
B．.OA是∠AOB的一边，在OA的延长线上取一点C
C．.若AB＝BC，则点C为线段AB的中点
D．.直线AB与CD相交有且只有一个交点
3．同一平面内有四点A，B，C，D，经过每两点作一条直线，则可以作 条直线.
4．如图，点为直线外一点，作射线，连接.则图中共含有射线 条.
5．如图，在平面内有A、B、C三个点，完成以下问题：
(1)尺规作图：作射线，作直线，连接并在的延长线上截取（只保留作图痕迹，不写结论）
(2)根据所画图形用“＞”，“＜”或者“＝”填空：
①________
②_________，理由是________．
【经典题型三 点与线的位置关系】
1．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（ ）
A．点一定在直线上B．点一定在直线外
C．点一定在线段上D．点一定在线段外
2．根据下图，下列说法中不正确的是（ ）
A．图①中直线经过点B．图②中直线，相交于点
C．图③中点在线段上D．图④中射线与线段有公共点
3．如图，完成下列填空：
(1)直线a经过点 ，点 ，但不经过点 ，点 ；
(2)点B在直线 上，在直线 外；
(3)点A既在直线 上，又在直线 上．
4．下列说法正确的是 （只填序号）
①画射线cm
②线段和线段不是同一条线段
③点和直线的位置关系有两种
④三条直线两两相交一定有三个交点
⑤到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点．
5．点A，B，C，D的位置如图所示，按下列语句画出图形：
(1)画直线，直线，它们相交于点；
(2)连接，连接，它们相交于点；
(3)画射线，射线，它们相交于点；
(4)作一点，使点既在直线上又在直线上．
【经典题型四 直线、线段、射线的数量问题】
1．平面上有3个点，并且这3个点不在同一直线上，经过每两点画一条直线，则共可以画（ ）条直线．
A．3B．4C．5D．6
2．已知平面上有，，，，五点，现经过任意两点画一条线段，则最多可画（ ）条不同的线段．
A．5B．10C．15D．20
3．如图，有条直线，条射线，条线段，则 ．
4．某高铁线路为往返于A市和E市，全长106千米，全线共设A、B、C、D、E五个车站，任意两站之间的距离都不相等，高铁集团要为乘客准备 种车票，有 种票价．
5．如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点
(1)图中共有 条线段
(2)求线段的长
【经典题型五 直线相交的交点个数问题】
1．如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（ ）
A．23条B．11条C．10条D．9条
2．已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（ ）
A．16B．28C．32D．40
3．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多有 个交点．
4．平面内有两两相交的条直线，如果最多有个交点，最少有个交点，那么 ．
5．按要求完成作图及作答：
(1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ；
(2)如图1，画射线；
(3)如图1，画直线；
(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域．
【经典题型六 两点确定一条直线】
1．下列说法错误的是（ ）
A．直线和直线表示同一条直线B．过一点能作无数条直线
C．射线和射线表示不同射线D．射线比直线短
2．下列生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①②B．①②③C．②④D．③④
3．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ．
4．在下列生活、生产现象中：可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）．
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
5．画图题：
(1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹．
①画射线；
②连接；
③反向延长至D，使得；
④在直线l上确定点E，使得最小；
(2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理．
如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________；
情景二：
同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________．
【经典题型七 线段中点的有关计算】
1．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则\（ ）．
A．16B．12C．8D．6
2．已知线段的长度为9，点C在线段上且有，M是的中点，则等于（ ）．
A．B．C．D．或
3．如图，图中数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点A表示的数是 ，如果点、所表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是 ．
4．如图，线段，在线段上取一点，使，在线段的延长线上取一点，使，在线段的延长线上取一点，使．
(1) ， ；
(2)是线段 的中点．
5．探究题：如图，已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点．
(1)若点C恰好是中点，则____________；
(2)若，求的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变．
【经典题型八 线段n等分点的有关计算】
1．若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（ ）
A．2cm或4cmB．8cmC．10cmD．8cm或10cm
2．把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A．B．C．或D．或
3．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．
4．如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，如果比长，则比长 ．
5．（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；
（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
【经典题型九 线段之间的数量关系】
1．已知点P和线段，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则P是的中点
B．若，则P是的中点
C．若，则P是的中点
D．若，则P是的中点
2．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（ ）
A．B．C．或D．不能确定
3．直线上有两点C、D，点C在A、B之间，满足，若，则 ．
4．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm．
5．如图：、、、四点在同一直线上．
(1)若．
比较线段的大小：___________填“”、“”或“；
若，且，则的长为___________；
(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【经典题型十 与线段有关的动点问题】
1．已知线段，现有一点P满足．有下列说法；①点P必在线段上；②点P必在直线外；③点P必在直线上；④点P可能在直线上；⑤点P可能在直线外，其中正确的说法是（ ）
A．①②B．②③C．④⑤D．①②④
2．如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．秒或秒B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒D．3秒或或7秒或秒
3．如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则= ．
4．数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为 ．
5．如图：、、、四点在同一直线上．
(1)若．
比较线段的大小：___________填“”、“”或“；
若，且，则的长为___________；
(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【经典题型十一 两点之间线段最短】
1．下列说法正确的个数为（ ）
①直线上有三个点、、，若线段，则点是线段的中点；
②两点之间线段的长度叫做两点间的距离；
③两点之间的所有连线中，线段最短；
④射线和射线表示同一条射线．
A．B．C．D．
2．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）
①车站的位置设在C点好于B点；
②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；
③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；
④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．
A．①③B．③④C．②③D．②
3．有下列一些生活中的现象：
①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短；
②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．
其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号）
4．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号．
①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
5．平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图：
(1)作射线；
(2)作直线交射线于点K；
(3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点P到A，B，C，D四点距离之和最短，画出点P的位置，并写出该最短距离：______．
【经典题型十二 两点间的距离】
1．如图，，D为的中点，，则的长为（ ）
A．4cmB．4.5cmC．5cmD．5.5cm
2．下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段，则点C是线段的中点；③射线与射线是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为 cm．
4．如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．
5．如图，已知线段，，按照下列要求作图，并填空，（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
(1)点是线段上一点，作出线段，使得，并用直尺和圆规作出线段的中点；
(2)在（1）的图形中，如果，，那么的长为________．
【经典题型十三 最短路径问题】
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
2．如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，蚂蚁爬行的最短路线有 条．
4．如图，点 A，C，A′在同一直线上，△ABC，△BCB′，△A′B′C 是三个全等的等边三角形，AB=5，D 为线段 B′C 上一动点，则 AD+BD 的最小值是 ．
5．如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点．
(1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由．
(2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）
【经典题型十四 线段的和与差问题】
1．已知直线上两点相距，点是线段的中点，点与点相距，则的长度是（ ）
A．B．C．D．或
2．如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以、、、为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．
（1）若，点与 重合（填、、）；
（2）若为线段中点，，，则的长为 ．
4．如图是一纸条的示意图，第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为．已知，则纸条原长为 cm．
5．已知点C在线段的延长线上，点，N分别是，的中点．
(1)如图，若，则线段_______；_______；_______；_______．（直接写出结果）
(2)若其它条件不变，求线段的长．（用含a的式子表示）
【重难点训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列说法不正确的个数有（ ）
①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式；
②三条直线相交，有三个交点；
③常数项的同类项还是常数项；
④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；
⑤若有理数和互为相反数，则一定有；
⑥若线段，则点是线段的中点．
A．个B．个C．个D．个
2．（2023上·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（ ）种．
A．4B．6C．10D．12
3．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（ ）条线段．
A．125B．140C．155D．160
4．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022上·湖北襄阳·九年级襄阳四中校联考自主招生）两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（ ）
A．45B．46C．50D．60
6．（2023上·河北邢台·七年级校联考期末）如图，是的中点，是的中点，则下列等式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）已知点、、在一条直线上，若线段，，则线段的长为
8．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点依此类推，8条直线最多有 个交点
9．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，点C、D、E在线段上，若点C是线段的中点，，，，则 ．
10．（2020上·湖北武汉·七年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图所示，把一根绳子对折成线段，再从P处剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为18，则绳子的原长为
11．（2021上·福建漳州·七年级校考阶段练习）如图，，两村相距7km，，两村相距6km.现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村庄的距离之和最小，则下列说法：
①自来水厂应建在线段的中点处；
②自来水厂应建在线段与线段的交点处；
③自来水厂到四个村庄的距离之和的最小值为；
④自来水厂到四个村庄的距离之和可能小于．
其中正确的有 .（填所有正确说法的序号）
12．（2023下·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ．
13．（2022上·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知，如图，B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求和的长．
14．（2023上·山东潍坊·七年级校考阶段练习）如图，已知点C在线段上，并且，E、F分别是的中点．
(1)求线段的长度．
(2)在（1）中，如果，其他条件不变，你能求出的长度吗？
(3)对于（1）题，如果把“点C在线段上”：改成“点C在直线上”，其他的语句都不变，结果会有变化吗？如果有，求出变化后的结果．
15．（2023上·天津和平·七年级统考期中）在数轴上，点，分别表示数，．点在，之间，点表示数．
(1)若，，则，之间的距离是_______；
(2)若，则点叫做线段的中点．
①若，，则_______；
②若，将点向右平移10个单位，恰好与点重合，则_______；
③一般地，将用和表示出来为_______；
(3)若（其中）．
①当，，时，_______；
②一般地，将用，和表示出来为______．
16．（2023上·河南郑州·七年级校联考阶段练习）如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
(2)若M为的中点，N为的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长；
(3)若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子是否有最小值．如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
17．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图所示：
(1)试验观察：
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画___________条直线；
第②组最多可以画___________条直线；
第③组最多可以画___________条直线．
(2)探索归纳：
如果平面上有个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画多少条直线（用含n的式子表示）？
(3)解决问题：
某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛．
18．（2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）知识准备：
如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟．
解决问题：
如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动．
（1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度．
（2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．
专题10 线段、射线、直线重难点题型专训（14大题型）
【题型目录】
题型一 直线、射线、线段的联系与区别
题型二 画出直线、射线、线段
题型三 点与线的位置关系
题型四 直线、线段、射线的数量问题
题型五 直线相交的交点个数问题
题型六 两点确定一条直线
题型七 线段中点的有关计算
题型八 线段n等分点的有关计算
题型九 线段之间的数量关系
题型十 与线段有关的动点问题
题型十一 两点之间线段最短
题型十二 两点间的距离
题型十三 最短路径问题
题型十四 线段的和与差问题
【知识梳理】
知识点一：线段、射线、直线
直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
【经典题型一 直线、射线、线段的联系与区别】
1．关于线段的描述正确的有（ ）．
①线段与线段是同一条线段
②线段有两个端点
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线
④画一条线段．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查线段和射线的相关定义以及表示方法，根据线段的定义确定①②，根据线段的延长线确定③正确，根据线段的表示方法确定④．
【详解】解：①线段与线段是同一条线段，正确；
②线段有两个端点，正确；
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线，正确；
④画一条线段，原表述错误．
所以描述正确的有①②③，共3个．
故选：C．
2．如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
【答案】D
【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可．
【详解】线段和线段是同一条线段，
故A正确；
直线和直线是同一条直线，
故B正确；
图中以点A为端点的射线有两条，
故C正确；
射线和射线不是同一条射线，
故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点，熟练掌握各自的特点是解题的关键．
3．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ．
【答案】①③
【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解．
【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确；
②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误；
③射线和射线是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确；
④直线和直线BC相交于点B，直线经过点B，不经过点，故④说法错误，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义．
4下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；
③连接两点的线段叫做两点间的距离；
④射线AB和射线BA是同一条射线；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；
其中错误的有 (填序号)
【答案】②③④⑤
【分析】据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线、线段的中点的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
②在数轴上与表示-1的点距离是3的点表示的数是-4和2，故本小题错误；
③应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；
④射线AB和射线BA不是同一条射线，故本小题错误；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点，错误，因为点A、B、C不一定共线.
故答案为：②③④⑤
【点睛】本题考查了射线、线段的性质，数轴，两点间的距离的定义，熟记各性质与概念是解题的关键．
5．如图，在数轴上，点A表示3，点B表示－.
(1)数轴是什么图形？
(2)数轴上原点O左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？
(3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？
(4)数轴上表示不小于－且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？
【答案】(1)直线;(2)射线，射线OB;(3)非正数，0;(4)线段，线段AB
【分析】（1）数轴是直线；
（2）根据射线的定义，即可解答；
（3）根据负数和0，即可解答；
（4）根据线段的定义，即可解答．
【详解】（1）数轴是直线；
（2）数轴在原点O左边的部分（包括原点）是射线，表示为射线OB；
（3）射线OB上的点表示0和负数，端点表示0；
（4）数轴上表示不小于-，且不大于3的部分是线段，表示为线段AB．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的有关概念．
【经典题型二 画出直线、射线、线段】
1．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条B．1条C．1条或3条D．0条
【答案】C
【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果．
【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，
当A、B、C三点不在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键．
2．下列句子中正确的是（ ）
A．.延长直线AB，使它与直线CD相交于点P
B．.OA是∠AOB的一边，在OA的延长线上取一点C
C．.若AB＝BC，则点C为线段AB的中点
D．.直线AB与CD相交有且只有一个交点
【答案】D
【分析】直线本身是向两方无限延长的，射线是向一方无限延长的，线段有两个端点，不是向两方无限延长的．
【详解】A、直线无法延长，直接利用直线相交得出即可；故不符合题意；
B、延长∠AOB的一边OA，∠AOB的边是射线，射线能向一方无限延长，故不符合题意；
C、若AB＝BC，则点C不一定是线段AB的中点，故不符合题意；
D、直线AB与CD相交有且只有一个交点，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．
3．同一平面内有四点A，B，C，D，经过每两点作一条直线，则可以作 条直线.
【答案】1或4或6
【分析】分四点共线,三点共线和没有三点共线的情况讨论即可解题.
【详解】解：当四点共线时, 可以作1条直线,
当三点共线时,可以作4条直线,
当没有三点共线时,可以作6条直线,
故答案是1或4或6.
【点睛】本题考查了直线的基础知识,属于简单题,熟悉两点确定一条直线的性质是解题关键.
4．如图，点为直线外一点，作射线，连接.则图中共含有射线 条.
【答案】6
【分析】根据射线的定义进行判断，即可得到射线的条数．
【详解】由图可得，图中共含有射线6条：以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以C为端点的射线有1条．
故答案为6．
【点睛】本题需要考查了射线的概念，解题时注意：射线只有一个端点，向一个方向无限延伸．
5．如图，在平面内有A、B、C三个点，完成以下问题：
(1)尺规作图：作射线，作直线，连接并在的延长线上截取（只保留作图痕迹，不写结论）
(2)根据所画图形用“＞”，“＜”或者“＝”填空：
①________
②_________，理由是________．
【答案】(1)见解析
(2)①=，②，两点之间线段最短
【分析】（1）根据直线和射线的定义，即可作出射线和直线，以点C为圆心，为半径画弧，交延长线于点D，点D即为所求；
（2）①根据，点B、C、D在同一直线上，即可解答；②根据两点之间线段最短即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，射线、直线、点D，即为所求，
（2）解：①∵，点B、C、D在同一直线上，
∴，
故答案为：=；
②，
故答案为：，两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用．
【经典题型三 点与线的位置关系】
1．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（ ）
A．点一定在直线上B．点一定在直线外
C．点一定在线段上D．点一定在线段外
【答案】D
【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可．
【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误；
B. 点在线段AB延长线上时，，故错误；
C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误；
D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断．
2．根据下图，下列说法中不正确的是（ ）
A．图①中直线经过点B．图②中直线，相交于点
C．图③中点在线段上D．图④中射线与线段有公共点
【答案】C
【分析】根据点和直线的位置关系、射线和线段的延伸性、直线与直线相交的表示方法等知识点对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、图①中直线l经过点A，正确；
B、图②中直线a、b相交于点A，正确；
C、图③中点C在线段AB外，故本选项错误；
D、图④中射线CD与线段AB有公共点，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查直线、射线、线段，解题关键是熟练掌握点和直线的位置关系，射线和线段的延伸性，直线与直线相交的表示方法等．
3．如图，完成下列填空：
(1)直线a经过点 ，点 ，但不经过点 ，点 ；
(2)点B在直线 上，在直线 外；
(3)点A既在直线 上，又在直线 上．
【答案】 (1)A； C； B； D； (2)b； a； (3)a； b.
【分析】根据点与直线的位置关系回答即可.
【详解】(1)直线a经过点A，点C，但不经过点B，点D；
(2)点B在直线b上，在直线a外；
(3)点A既在直线a上，又在直线b上．
故答案为（1）A； C； B； D;(2)b； a； (3)a； b.
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系：点在直线上，点在直线外.
4．下列说法正确的是 （只填序号）
①画射线cm
②线段和线段不是同一条线段
③点和直线的位置关系有两种
④三条直线两两相交一定有三个交点
⑤到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点．
【答案】③
【分析】根据射线、直线、线段和直线与点的位置关系逐个判断即可
【详解】解：①射线的长度无法度量，故①错误；
②线段和线段是同一条线段，故②错误；
③点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种，故③正确；
④三条直线两两相交最多有三个交点，故④错误；
⑤线段上到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点，故⑤错误．
故答案为：③．
【点睛】本题考查了线段、直线、射线和点和直线的位置关系，解题关键是明确相关性质，准确进行判断．
5．点A，B，C，D的位置如图所示，按下列语句画出图形：
(1)画直线，直线，它们相交于点；
(2)连接，连接，它们相交于点；
(3)画射线，射线，它们相交于点；
(4)作一点，使点既在直线上又在直线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）连接、，画出直线，直线，交点记为即可；
（2）连接、，交点记为即可；
（3）连接、，画出射线，射线，交点记为即可；
（4）根据点既在直线上又在直线上，得出点即是直线与的交点即可．
【详解】（1）如下图，连接、，画出直线，直线，交点记为．
（2）如下图，连接、，交点记为．
（3）如下图，连接、，画出射线，射线，交点记为．
（4）如下图，点既在直线上又在直线上，故点即是直线与的交点．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段、交点的作图，理解题意作图是解题的关键．
【经典题型四 直线、线段、射线的数量问题】
1．平面上有3个点，并且这3个点不在同一直线上，经过每两点画一条直线，则共可以画（ ）条直线．
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他2个点画一条直线，共可以画（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果．
【详解】解：可以画的直线条数为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键．
2．已知平面上有，，，，五点，现经过任意两点画一条线段，则最多可画（ ）条不同的线段．
A．5B．10C．15D．20
【答案】B
【分析】把代入，根据点的个数确定线段的条数即可．
【详解】解：如图
，
依题意，把代入，
则（条），
故选：B．
【点睛】当直线l上有n个点时，共有条射线，条线段；过同一平面上任意三点不在同一直线上的n个点中的两点画线段，可以画条线段．
3．如图，有条直线，条射线，条线段，则 ．
【答案】4
【分析】根据直线，射线，线段的定义得到x、y、z的值，再代入解答即可．
【详解】如图：
∵直线有1条()，
∴，
∵射线有6条()，
∴，
线段有3条()，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了直线，射线，线段，熟记定义是解题的关键．
4．某高铁线路为往返于A市和E市，全长106千米，全线共设A、B、C、D、E五个车站，任意两站之间的距离都不相等，高铁集团要为乘客准备 种车票，有 种票价．
【答案】 20 10
【分析】先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数．
【详解】解：根据线段的定义：可知图中共有线段有，，，，、、、、、共10条，
所以有10种不同的票价；
因车票需要考虑方向性，如，“”与“”票价相同，但车票不同，故需要准备20种车票．
故答案为： 20； 10．
【点睛】本题考查线段的定义，要求学生准确应用；学会查找线段的条数．
5．如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点
(1)图中共有 条线段
(2)求线段的长
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数；
（2）由M是中点可得长度，求出的长，由N是中点知，进而可得长．
【详解】（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条．
故答案为：10；
（2）∵，M是的中点，
∴．
∵，，
∴，
又∵N是的中点，
∴；
∴．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．数形结合是解答本题的关键．
【经典题型五 直线相交的交点个数问题】
1．如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（ ）
A．23条B．11条C．10条D．9条
【答案】C
【分析】根据两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有个交点；四条直线相交，最多有个交点；得出n条直线相交有个交点．
【详解】解：∵两条直线相交，有1个交点；
三条直线相交，最多有个交点；
四条直线相交，最多有个交点；
……
n条直线相交，最多有个交点．
∴当最多的交点个数为45个时，即，
∴，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线交点个数问题，解题的关键是根据已知图形，找出规律，n条直线相交最多有个交点．
2．已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（ ）
A．16B．28C．32D．40
【答案】B
【分析】利用给出的交点个数，推导出规律，再将8代入计算即可．
【详解】解：∵条直线最多有个交点，
条直线最多有个交点，
条直线最多有个交点，
……
∴条直线最多有个交点，
∴时，（个），
∴条直线最多有个交点．
故选：B．
【点睛】本题考查直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值．
3．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多有 个交点．
【答案】 1 15
【分析】根据相交直线的交点找出相应规律求解即可．
【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个；
若平面内有相交的2条直线，则最多有1个交点；（即：）；
若平面内有两两相交的3条直线，则最多有3个交点；（即：）；
若平面内有两两相交的4条直线，则最多有6个交点；（即：）；
若平面内有两两相交的5条直线，则最多有10个交点；（即：）；
则平面内两两相交的6条直线，其交点个数最多有15个交点；（即）；
若平面内有n条直线两两相交，则最多有个交点；
故答案为：1，15，．
【点睛】题目主要考查直线交点问题及规律探索，找出相应规律是解题关键．
4．平面内有两两相交的条直线，如果最多有个交点，最少有个交点，那么 ．
【答案】
【分析】根据题意，画图分类讨论，分别解出的值，代入即可求解．
【详解】解：如图所示：
条直线两两相交，有种情况：
①条直线经过同一点，有一个交点；
②条直线经过同一点，被第条直线所截，有个交点；
③条直线不经过同一点，有个交点．
∴平面内两两相交的条直线，最多有个交点，最少有个交点；
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直线的位置关系与有理数的运算的综合，掌握同一平面内多条直线的位置关系，画图分析，分类讨论，有理数的运算法则是解题的关键．
5．按要求完成作图及作答：
(1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ；
(2)如图1，画射线；
(3)如图1，画直线；
(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域．
【答案】(1)点M在直线l外
(2)见解析
(3)见解析
(4)9
【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空；
（2）根据射线的定义即可画射线；
（3）根据直线的定义即可画直线；
（4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的不同的区域．
【详解】（1）解：点M与直线l的关系：M在直线l外；
故答案为：M在直线l外；
（2）解：如图1，射线即为所求；
（3）解：如图1，直线即为所求；
（4）解：如图，新增的两条直线使得平面内最多新增9个不同的区域．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质．
【经典题型六 两点确定一条直线】
1．下列说法错误的是（ ）
A．直线和直线表示同一条直线B．过一点能作无数条直线
C．射线和射线表示不同射线D．射线比直线短
【答案】D
【分析】题目主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项正确，不符合题意；
B、过一点能作无数条直线，选项正确，不符合题意；
C、射线和射线表示不同射线，选项正确，不符合题意；
D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，符合题意．
故选：D．
2．下列生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①②B．①②③C．②④D．③④
【答案】A
【分析】根据“两点确定一条直线”可直接进行排除选项．
【详解】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，符合题意；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，符合题意；
③从地到地架设电线，总是尽可能沿若直线架设，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意；
④把弯曲的公路改直，就能缩知路程，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线的概念，熟练掌握直线的相关定义是解题的关键．
3．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ．
【答案】②④
【分析】直接利用线段公理以及直线公理分别分析得出答案．
【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是“两点确定一条直线”，故①不合题意；
②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程，可用“两点之间线段最短”来解释，故②符合题意；
③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，利用的是“两点确定一条直线”，故③不合题意；
④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，可用“两点之间线段最短”来解释，故符合④题意；
故答案为：②④．
【点睛】此题主要考查了线段公理和直线公理，解题关键是正确掌握线段公理：两点之间，线段最短；直线公理：两点确定一条直线．
4．在下列生活、生产现象中：可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）．
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
【答案】①④/④①
【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析求解即可．
【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
综上可得：①④可以用“两点确定一条直线”来解释，
故答案为：①④．
【点睛】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
5．画图题：
(1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹．
①画射线；
②连接；
③反向延长至D，使得；
④在直线l上确定点E，使得最小；
(2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理．
如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________；
情景二：
同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________．
【答案】(1)①见解析②见解析③见解析④见解析
(2)图见解析，两点之间线段最短；两点确定一条直线
【分析】（1）根据射线、线段、两点之间线段最短即可解决问题；
（2）利用两点之间线段最短和两点确定一条直线即可解决问题．
【详解】（1）解：①射线，如图所示；
②线段，如图所示；
③线段如图所示；
④点E即为所求；
（2）解：情景一：两点之间线段最短；
如图：线段即为所求；
情景二：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查线段、射线的含义，以及两点之间线段最短和两点确定一条直线，解题的关键是掌握其定义与性质．
【经典题型七 线段中点的有关计算】
1．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则\（ ）．
A．16B．12C．8D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段之间的关系先得到，进而求出，再根据线段中点的定义得到，由此推出，据此求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．已知线段的长度为9，点C在线段上且有，M是的中点，则等于（ ）．
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】先根据“，M是的中点”求出、的长度，然后两者相减即可求解．
【详解】如图，
∵，M是的中点，，
∴， ，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段长度的计算，画出图形更加形象直观，并且有助于问题的解决．
3．如图，图中数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点A表示的数是 ，如果点、所表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是 ．
【答案】
【分析】由点表示的数是，点A、C相距9个单位，即可得出点A表示的数，如果点B、C表示的数的绝对值相等，那么的中点即为坐标原点，依此可求点A表示的数．
【详解】解：点表示的数是，点A、C相距9个单位，点A在点C左边，
点A表示的数是，
点B、C表示的数的绝对值相等，
的中点即为坐标原点，
点B，C相距5个单位，且点B、C表示的数的绝对值相等，
点表示的数是，
点A，C相距9个单位，点A在点C左边，
点A表示的数是．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了数轴有关内容，体现了数形结合的优点，确定数轴的原点是解决本题的关键．
4．如图，线段，在线段上取一点，使，在线段的延长线上取一点，使，在线段的延长线上取一点，使．
(1) ， ；
(2)是线段 的中点．
【答案】
【分析】（1）先根据，可得即，进而可得
（2）根据中点的定义可得是线段的中点，也是线段的中点．
【详解】（1）由，得，
，
，
，
故答案为：，．
（2）是线段的中点，也是线段的中点．
故答案为：,．
【点睛】本题主要考查线段的中点性质和线段和差关系，解决本题的关键是要熟练掌握线段中点的性质和线段和差关系．
5．探究题：如图，已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点．
(1)若点C恰好是中点，则____________；
(2)若，求的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变．
【答案】(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了线段中点的有关计算．
（1）由点D、E分别是和的中点，C点为的中点，求出，，，的长度，运用即可得出答案．
（2）先求出，再利用中点关系求出即可得出的长．
（3）设，由点D、E分别是和的中点，根据即可得出不论取何值（不超过），的长不变，
【详解】（1），点为的中点，
．
∵点、B分别是和的中点，
，
．
故答案为：6；
（2），，
．
∵点、B分别是和的中点，
，，
；
（3）设，则，
∵点、B分别是和的中点，
∴，
，
不论取何值（不超过），的长不变；
【经典题型八 线段n等分点的有关计算】
1．若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（ ）
A．2cm或4cmB．8cmC．10cmD．8cm或10cm
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．
【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，
∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），
点D是线段AC的三等分点，
①当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；
②当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．
所以线段BD的长为10cm或8cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论的思想的运用是解题的关键；
2．把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
【详解】解：如图
∵，
∴2AP=＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm
∴AP=12×cm
∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
3．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．
【答案】或或
【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案．
【详解】解：∵图中数轴的单位长度为，
∴，
①如图，当点靠近点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
②如图，当点恰好是线段的中点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
③如图，当点靠近点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
综上所述，点代表的数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份．
4．如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，如果比长，则比长 ．
【答案】4cm
【分析】根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵比长，
∴
∴．
故答案为：4cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的性质和线段的和差是解题的关键．
5．（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；
（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；
（2）由，可得，然后根据求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点
∴
∵
∴
（2）①∵
∴
∵
∴；
②
．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【经典题型九 线段之间的数量关系】
1．已知点P和线段，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则P是的中点
B．若，则P是的中点
C．若，则P是的中点
D．若，则P是的中点
【答案】D
【分析】由定义：点在线段上，使得，点叫做线段的中点，据此进行举反例进行判断即可求解．
【详解】解：A.如图
在以为圆心，为半径的圆周上，满足，但不一定是的中点，故此项错误，不符合题意；
B.如图，
在以为圆心，为半径的圆周上，满足，但不一定是的中点，故此项错误，不符合题意；
C.如图，
等腰中，，但不定是的中点，故此项错误，不符合题意；
D.符合线段中点的定义，故此项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，理解定义是解题的关键．
2．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（ ）
A．B．C．或D．不能确定
【答案】B
【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC．
【详解】设运动时间为t，
则AB=2t，BD=10-2t，
∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点，
∴EB= =t，BC= =5-t，
∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm，
故选：B．
【点睛】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键．
3．直线上有两点C、D，点C在A、B之间，满足，若，则 ．
【答案】或
【分析】根据点D位于点C的左侧与右侧，分两种情况讨论．
【详解】∵，
即
解得：．
∴．
以下分两种情况讨论：
①当点D位于点C的左侧时， 如下图．
∴．
∴
②当点D位于点C的右侧时，如下图．
．
∴
【点睛】本题考查了依据同一条直线上的线段之间的比例关系求线段的长，解题的关键是正确画出图形．
4．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm．
【答案】或
【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可．
【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴，．
设，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
②当点C在OB之间时，如图，
由图可知，，．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
综上可知OC的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
5．如图：、、、四点在同一直线上．
(1)若．
比较线段的大小：___________填“”、“”或“；
若，且，则的长为___________；
(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【答案】(1)①，②15
(2)
【分析】（1）①根据等式的性质，得出答案；求出的值，在求出、的长，进而求出的长即可；
（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．
【详解】（1）解：①，
，
即，，
故答案为：；
②∵，且，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
设每份为，则，
是的中点，点是的中点，
，
又，
，
解得，，
．
【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键．
【经典题型十 与线段有关的动点问题】
1．已知线段，现有一点P满足．有下列说法；①点P必在线段上；②点P必在直线外；③点P必在直线上；④点P可能在直线上；⑤点P可能在直线外，其中正确的说法是（ ）
A．①②B．②③C．④⑤D．①②④
【答案】C
【分析】根据线段的和差即可得．
【详解】当点P在线段上时，
则，与题意不符，说法①错误；
，
，
点P可能在直线上，也可能在直线外，
则说法④⑤正确，说法②③错误；
综上，正确的说法是④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键．
2．如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．秒或秒B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒D．3秒或或7秒或秒
【答案】B
【分析】根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用路程÷速度=时间即可得出结论．
【详解】解：∵数轴上的点和点分别表示0和10
∴OA=10
∵是线段的中点，
∴OB=AB=
①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB－PB=3
∴点P运动的时间为3÷2=s；
②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB+PB=7
∴点P运动的时间为7÷2=s；
③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13
∴点P运动的时间为13÷2=s；
④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17
∴点P运动的时间为17÷2=s；
综上所述：当时，则运动时间的值为秒或秒或或秒
故选B．
【点睛】此题考查的是数轴与动点问题和线段的和与差，掌握各线段的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
3．如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则= ．
【答案】或或10
【分析】当点C是线段AB的“巧点”时，可能有BC=2AC、AC=2BC和AB=2AC=2BC三种情况，分类讨论计算即可．
【详解】当点C是线段的“巧点”时，可能有、、
三种情况，
①时，，
②时，，
③时，．
故答案为：，或10．
【点睛】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．
4．数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×9，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×9，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×9，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．
【详解】解：由题可知：，
此第一次跳动到的中点处时，，
同理，第二次从点跳动到处，，
同理，跳动次后，，
故线段的长度为：，
故答案为．
【点睛】本题考查了两点间的距离，是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
5．如图：、、、四点在同一直线上．
(1)若．
比较线段的大小：___________填“”、“”或“；
若，且，则的长为___________；
(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【答案】(1)①，②15
(2)
【分析】（1）①根据等式的性质，得出答案；求出的值，在求出、的长，进而求出的长即可；
（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．
【详解】（1）解：①，
，
即，，
故答案为：；
②∵，且，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
设每份为，则，
是的中点，点是的中点，
，
又，
，
解得，，
．
【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键．
【经典题型十一 两点之间线段最短】
1．下列说法正确的个数为（ ）
①直线上有三个点、、，若线段，则点是线段的中点；
②两点之间线段的长度叫做两点间的距离；
③两点之间的所有连线中，线段最短；
④射线和射线表示同一条射线．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据线段中点的定义，两点间距离，线段的性质，射线的性质，逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：①当点在线段的延长线上时，点不是线段的中点，不符合题意；
②两点之间线段的长度叫做两点间的距离，符合题意；
③两点之间的所有连线中，线段最短，符合题意；
④射线和射线不表示同一条射线，不符合题意，
综上分析可知，说法正确的个数为2，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，两点间距离，线段的性质，射线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
2．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）
①车站的位置设在C点好于B点；
②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；
③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；
④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．
A．①③B．③④C．②③D．②
【答案】A
【分析】可结合题意及图形，逐一对四个选项本身进行分析，确定对错即可．
【详解】解：①车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确，符合题意；
②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果不一样，故原来的结论错误，不符合题意；
③工厂到车站的距离是线段的长，指的是两点之间的距离，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确，符合题意；
④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算．
3．有下列一些生活中的现象：
①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短；
②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．
其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号）
【答案】②③④
【分析】根据“两点之间线段最短”和“两点确定一条直线”两个公理进行分析判断即可．
【详解】解：①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短，其原理能用基本事实“两点之间线段最短”解释，故不符合题意；
②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和两点确定一条直线，理解并掌握两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题关键．
4．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号．
①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
【答案】②④
【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断．
【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；
②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．
故答案为：②④．
【点睛】此题考查了线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键．
5．平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图：
(1)作射线；
(2)作直线交射线于点K；
(3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点P到A，B，C，D四点距离之和最短，画出点P的位置，并写出该最短距离：______．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析，7
【分析】（1）根据射线只有一个端点的特点画射线即可；
（2）根据直线的特点画直线，记与的交点为，从而可得答案；
（3）连接，，交点为，再结合两点之间，线段最短，可得答案．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求作的射线；
．
（2）如图，直线与点K即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
∵，，
∴点P到A，B，C，D四点距离之和的最短距离为：
．
【点睛】本题考查的是画射线，画直线，画线段，两点之间，线段最短，熟记基本概念是解本题的关键．
【经典题型十二 两点间的距离】
1．如图，，D为的中点，，则的长为（ ）
A．4cmB．4.5cmC．5cmD．5.5cm
【答案】A
【分析】设，求出，根据线段中点求出，求出x的值即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了求两点之间的距离\线段的中点等知识点，能选择适当的方法求解是解题的关键．
2．下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段，则点C是线段的中点；③射线与射线是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据直线、线段中点的定义、射线、两点的距离、两点确定一条直线逐个判断即可得．
【详解】解：①经过一点可以画无数条直线，则原说法正确；
②因为点不一定在线段上，所以若线段，则点不一定是线段的中点，则原说法错误；
③射线与射线的端点不同，不是同一条射线，则原说法错误；
④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，则原说法错误；
⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，则原说法正确；
综上，说法正确的有2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线、线段中点、射线、两点的距离、两点确定一条直线，熟练掌握直线、射线与线段的知识是解题关键．
3．如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为 cm．
【答案】5
【分析】由已知条件可知，，又因为M是的中点，N是的中点，则．
【详解】解： 是的中点，是的中点，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
4．如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．
【答案】①②③
【分析】根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：①点是的中点，，，故①正确；
②点是的中点，，又点是的中点，．故②正确；
③点是的中点，．
，故③正确；
④，故④错误．
故正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
5．如图，已知线段，，按照下列要求作图，并填空，（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
(1)点是线段上一点，作出线段，使得，并用直尺和圆规作出线段的中点；
(2)在（1）的图形中，如果，，那么的长为________．
【答案】(1)画图见解析
(2)3
【分析】（1）利用已知线段求出线段，利用垂直平分线的作法可求出位置．
（2）利用两点之间的距离求法求出线段长度，最后利用中点即可求出长度．
【详解】（1）解：在线段上取一点，使，则，如图所示，
作出线段的中点，
作出线段的垂直平分线，如图所示，
（2）解：，，
，
是中点，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了复杂作图，涉及到垂直平分线的作法以及两点之间距离的求法，解题的关键在于正确理解题意和垂直平分线的作法．
【经典题型十三 最短路径问题】
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】C
【分析】首先求得点关于直线的对称点，连接，即可求得答案．
【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，此时最短，
与直线交于点，
点应选点．
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
2．如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可．
【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽，
连接，与另一条河岸相交于F，作于点E，
则且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．
3．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，蚂蚁爬行的最短路线有 条．
【答案】6
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线．
【详解】解：根据两点之间线段最短可知，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线，分6种情况：①前面和下面展开在一起时；②前面和右面展开在一起时；③上面和后面展开在一起时；④上面和右面展开在一起时；⑤左面和后面展开在一起时；⑥左面和下面展开在一起时．
故答案为：6．
【点睛】本题考查正方体的展开图，线段的性质，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
4．如图，点 A，C，A′在同一直线上，△ABC，△BCB′，△A′B′C 是三个全等的等边三角形，AB=5，D 为线段 B′C 上一动点，则 AD+BD 的最小值是 ．
【答案】10
【分析】根据△ABC，△BCB′，是三个全等的等边三角形，即可得出四边形为菱形，进而得出点B关于对称的点是，以此确定当点D与点C重合时，AD＋BD的值最小，代入数据即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC，△BCB′，是三个全等的等边三角形，
∴， ，
∴，
∴四边形A′CBB′为菱形，
∴点B关于对称的点是，
∴当点D与点C重合时，AD＋BD取最小值，
此时．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点B关于对称的点是．
5．如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点．
(1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由．
(2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短求解；
（2）把正方体相邻的两个面展开成平面，连接A，C即是最短路线．
【详解】（1）解：从路线长：，
从路线长：，
从路线长：，
根据两点之间，线段最短，
可得，即，
所以，即，
故从到的最短路线长为．
（2）解：从到的最短路线长为，
图中的点为线段的中点，
位置如图．
【点睛】本题主要考查了平面展开中的最短路径问题，一般根据两点之间线段最短求解．
【经典题型十四 线段的和与差问题】
1．已知直线上两点相距，点是线段的中点，点与点相距，则的长度是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据线段中点的性质，可得，分两种情况：当点在点右侧时，当点在点左侧时，分别利用线段的和差关系进行求解．
【详解】解：∵点是线段的中点，，
∴，
当点在点右侧时，
此时，；
当点在点左侧时，
此时，；
即：的长度为或，
故选：D
【点睛】本题考查的是两点间的距离，线段中点定义，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
2．如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以、、、为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是，然后根据，线段的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
图中以、、、这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：
∴以、、、为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，
∴以、、、为端点的所有线段长度和可能为20．
故选B．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．
（1）若，点与 重合（填、、）；
（2）若为线段中点，，，则的长为 ．
【答案】 C 6或14
【分析】（1）由折中点的含义、线段和差关系，可得，即可确定答案；
（2）分两种情况：点D在线段上与点D在线段上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解．
【详解】（1）解：由折中点含义得：，
而，，
∴，
∴，
即点D与点C重合；
故选：C；
（2）解：当点D在线段上时，
则，
∴；
∵E为线段中点，，
∴，
∴；
当点D在线段上时，如图，
则，
∴；
∵E为线段中点，，
∴，
∴；
综上，的长为或；
故答案为：6或14．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键．
4．如图是一纸条的示意图，第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为．已知，则纸条原长为 cm．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得，依题意得出，即可求解．
【详解】解：根据翻折可知：
，
，
，
，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．
5．已知点C在线段的延长线上，点，N分别是，的中点．
(1)如图，若，则线段_______；_______；_______；_______．（直接写出结果）
(2)若其它条件不变，求线段的长．（用含a的式子表示）
【答案】(1)；；5；
(2)
【分析】本题考查了线段中点的相关计算及线段的和与差，利用数形结合思想并求出的值是解题关键．
（1）由题意可得，，，，，计算即可得出答案；
（2）先求出的值，再根据，，求得，的值，最后计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：在线段的延长线上，
，
是中点，
，
是的中点，
，
，
故答案为：40；20；5；15．
（2）解法一：点在线段的延长线上，
，
点分别是的中点，
，，
．
解法二：点在线段的延长线上，
，
点分别是，的中点，
，，
．
【重难点训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列说法不正确的个数有（ ）
①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式；
②三条直线相交，有三个交点；
③常数项的同类项还是常数项；
④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；
⑤若有理数和互为相反数，则一定有；
⑥若线段，则点是线段的中点．
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】分别根据直线的性质、同类项的定义、去括号法则、两点间的距离定义以及线段中点的定义进行判定即可得出答案．
【详解】解：一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式，不符合题意；
三条直线相交，有一个或三个交点，符合题意；
常数项的同类项还是常数项，不符合题意；
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，符合题意；
若有理数和互为相反数，则一定有，不符合题意；
点在线段上，如果，则点是线段的中点，所以原说法符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，同类项的定义、去括号法则、直线的性质，线段的性质，熟练掌握两点间的距离，直线的性质，线段的性质进行求解是解决本题的关键．
2．（2023上·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（ ）种．
A．4B．6C．10D．12
【答案】B
【分析】单程两个站点有一种票，相当于两两组合，根据计算即可．
【详解】解：（种），
∴要为这次列车制作的单程火车票6种．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线、射线、线段，掌握同两个站之间的车票有起点站和终点站的区分是解答本题的关键．
3．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（ ）条线段．
A．125B．140C．155D．160
【答案】B
【分析】根据已知图形，得出一般规律第个图形的线段条数为，据此即可求出第10个图形的线段条数．
【详解】解：观察图形发现第1图形的线段条数为；
第2个图形的线段条数为；
第3个图形的线段条数为；
……
观察可知一般规律，第个图形的线段条数为；
即第10个图形的线段条数为，
故选：B．
【点睛】本题属于规律探索题，考查了线段的数量，根据题意图形正确得出一般规律是解题关键．
4．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
5．（2022上·湖北襄阳·九年级襄阳四中校联考自主招生）两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（ ）
A．45B．46C．50D．60
【答案】A
【分析】根据三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个，然后得出规律，列式计算即可得解．
【详解】解：两条直线相交，只有1个交点，三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个；
10条直线交点最多为．
故选A
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，观察得出最多交点的个数变化规律是解题的关键．
6．（2023上·河北邢台·七年级校联考期末）如图，是的中点，是的中点，则下列等式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据线段的中点性质，结合图形解答即可．
【详解】解：∵是的中点，是的中点，
∴①不符合题意，②符合题意，
∴③符合题意，
∴④不符合题意．
故选：
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，掌握线段中点的概念和性质，灵活运用数形结合思想方法是解此题的关键．
7．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）已知点、、在一条直线上，若线段，，则线段的长为
【答案】2或12/12或2
【分析】分两种情况讨论：点在点的右侧，点在点的左侧．
【详解】解：当点在点的右侧时，如图：
，，
，
当点在点的左侧，如图：
，，
，
故答案为：2或12．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差运算，解题的关键在于分类讨论思想的运用．
8．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点依此类推，8条直线最多有 个交点
【答案】28
【分析】读懂题意，找到规律即可．
【详解】解：由题意得，两条直线最多有个交点，
3条直线最多有个交点，
4条直线最多有个交点，
……
条直线最多有个交点，
8条直线最多有个交点，
故答案为：28．
【点睛】本题主要考查了直线的交点个数，数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
9．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，点C、D、E在线段上，若点C是线段的中点，，，，则 ．
【答案】48
【分析】设，则，进而可得，再利用可得，再根据点C是线段的中点，可得，解出x即可求解．
【详解】解：设，
则，
，
，
，
，
点C是线段的中点，
，即：，
解得：，
，
故答案为：48．
【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．
10．（2020上·湖北武汉·七年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图所示，把一根绳子对折成线段，再从P处剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为18，则绳子的原长为
【答案】30或45
【分析】分两种情况讨论：当为对折点时，最长的一段为，计算出和，进而计算出，则绳子原长为；当为对折点时，最长的一段为，计算出和，进而计算出，则绳子原长为．
【详解】解：当为对折点时，最长的一段为，
∴，
∴，
∴绳子原长为．
当为对折点时，最长的一段为，
∴，
∴，
∴绳子原长为．
综上，绳子原长为30或45．
故答案为：30或45．
【点睛】本题考查两点间的距离，灵活计算线段的长度是本题的关键．
11．（2021上·福建漳州·七年级校考阶段练习）如图，，两村相距7km，，两村相距6km.现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村庄的距离之和最小，则下列说法：
①自来水厂应建在线段的中点处；
②自来水厂应建在线段与线段的交点处；
③自来水厂到四个村庄的距离之和的最小值为；
④自来水厂到四个村庄的距离之和可能小于．
其中正确的有 .（填所有正确说法的序号）
【答案】
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短；结合题意，要使自来水厂与四个村的距离之和最小，就要使它在与的交点处，即可作答．
【详解】解：如图所示，连接，交于点E，在平面内任取一点，连接，，，，
∵，，
∴，
∴当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段最短．
12．（2023下·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况画出图形求解即可．
【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
（厘米）；
（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
（厘米）．
所以两根木条的小圆孔之间的距离是或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
13．（2022上·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知，如图，B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求和的长．
【答案】，
【分析】根据B，C两点把线段分成三部分，设，然后用表示出，求出，再分别求解和即可．
【详解】解：∵B，C两点把线段分成三部分，
∴设，
，
是的中点，
，
，
∵，
，
解得，
，
，
即；．
【点睛】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2023上·山东潍坊·七年级校考阶段练习）如图，已知点C在线段上，并且，E、F分别是的中点．
(1)求线段的长度．
(2)在（1）中，如果，其他条件不变，你能求出的长度吗？
(3)对于（1）题，如果把“点C在线段上”：改成“点C在直线上”，其他的语句都不变，结果会有变化吗？如果有，求出变化后的结果．
【答案】(1)线段的长度为；
(2)线段的长度为；
(3)线段的长度为或．
【分析】（1）根据点E、F分别是的中点，先求出的长度，则；
（2）根据点E、F分别是的中点，同（1）求解即可；
（3）分点C在线段上、点C在延长线上，两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵，E、F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴线段的长度为；
（2）解：∵，E、F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴线段的长度为；
（3）解：当点C在线段上时，由（1）得线段的长度；
当点C在线段延长线上时，
∵，E、F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴线段的长度为；
综上，线段的长度为或．
【点睛】本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离，明确线段中点的定义是解题的关键．
15．（2023上·天津和平·七年级统考期中）在数轴上，点，分别表示数，．点在，之间，点表示数．
(1)若，，则，之间的距离是_______；
(2)若，则点叫做线段的中点．
①若，，则_______；
②若，将点向右平移10个单位，恰好与点重合，则_______；
③一般地，将用和表示出来为_______；
(3)若（其中）．
①当，，时，_______；
②一般地，将用，和表示出来为______．
【答案】(1)
(2)①；②；③
(3)①；②
【分析】（1）根据数轴的意义直接求解即可；
（2）①按所给的关系式及点在数轴上的位置，计算即可；
②根据平移关系用表示出，再按①中关系式计算即可；
③按所给的关系式及点在数轴上的位置，计算即可；
（3）①根据，将，，代入计算即可；
②根据，变形计算即可．
【详解】（1）点，分别表示数，，，，
，之间的距离是．
故答案是：4．
（2）①点，分别表示数，，
，，
是的中点，
故答案为：；
②将点向右平移5个单位，恰好与点重合，点，分别表示数，，
故答案为：；
③点，分别表示数，，
故答案为：；
（3）①，，，，
，
，
．
故答案为：；
②，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点所表示的数和相关线段数量关系，数形结合是解本题的关键．
16．（2023上·河南郑州·七年级校联考阶段练习）如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
(2)若M为的中点，N为的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长；
(3)若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子是否有最小值．如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)点B表示的数为；点P表示的数为
(2)没有变化；画图见解析；
(3)有最小值14
【分析】（1）仔细阅读题意，根据数轴的特征及路程、速度、时间的关系即可得到结果；
（2）分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，根据中点的性质即可得到结果，注意要有整体意识；
（3）根据数轴上两点间的距离公式即可作出判断．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，B是数轴上一点，且，
∴点B表示的数为；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数为；
（2）解：没有变化．分两种情况：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
；
②当点P运动到点B的左侧时：
，
∴综上所述，线段的长度不发生变化，其值为7；
（3）解：∵点D是数轴上一点，点D表示的数是x，
∴表示点D到在数轴上表示的点的距离与点D到8在数轴上表示的点的距离之和，
∴当点D在在数轴上表示的点与8在数轴上表示的点之间时，的值最小，且这个最小值为．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，中点的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式．
17．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图所示：
(1)试验观察：
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画___________条直线；
第②组最多可以画___________条直线；
第③组最多可以画___________条直线．
(2)探索归纳：
如果平面上有个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画多少条直线（用含n的式子表示）？
(3)解决问题：
某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛．
【答案】(1)3，6，10
(2)条
(3)15场
【分析】（1）根据图形画出直线即可；
（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可；
（3）将代入即可求解．
【详解】（1）解：根据图形得，如图，
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画3条直线；
第②组最多可以画6条直线；
第③组最多可以画10条直线，
故答案为：3，6，10；
（2）解：由题意可得，最多可以画出条直线；
（3）解：由题意可得，
当时，（场），
答：预计全部赛完共需15场比赛．
【点睛】本题考查图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的规律．
18．（2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）知识准备：
如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟．
解决问题：
如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动．
（1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度．
（2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．
【答案】（1）18厘米/分钟；（2）22厘米/分钟
【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可；
（2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟，
∴点P的运动时间为：分钟．
∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，
∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米，
∴点Q的速度为厘米/分钟；
（2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了，
∴此时点P的运动时间为：分钟．
∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，
∴点O的路程为厘米．
∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，
∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米，
∴点Q的速度为厘米/分钟．
【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间．
题型一 直线、射线、线段的联系与区别
题型二 画出直线、射线、线段
题型三 点与线的位置关系
题型四 直线、线段、射线的数量问题
题型五 直线相交的交点个数问题
题型六 两点确定一条直线
题型七 线段中点的有关计算
题型八 线段n等分点的有关计算
题型九 线段之间的数量关系
题型十 与线段有关的动点问题
题型十一 两点之间线段最短
题型十二 两点间的距离
题型十三 最短路径问题
题型十四 线段的和与差问题
【知识梳理】
知识点一：线段、射线、直线
直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
【经典题型一 直线、射线、线段的联系与区别】
1．关于线段的描述正确的有（ ）．
①线段与线段是同一条线段
②线段有两个端点
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线
④画一条线段．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
3．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ．
4下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；
③连接两点的线段叫做两点间的距离；
④射线AB和射线BA是同一条射线；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；
其中错误的有 (填序号)
5．如图，在数轴上，点A表示3，点B表示－.
(1)数轴是什么图形？
(2)数轴上原点O左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？
(3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？
(4)数轴上表示不小于－且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？
【经典题型二 画出直线、射线、线段】
1．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条B．1条C．1条或3条D．0条
2．下列句子中正确的是（ ）
A．.延长直线AB，使它与直线CD相交于点P
B．.OA是∠AOB的一边，在OA的延长线上取一点C
C．.若AB＝BC，则点C为线段AB的中点
D．.直线AB与CD相交有且只有一个交点
3．同一平面内有四点A，B，C，D，经过每两点作一条直线，则可以作 条直线.
4．如图，点为直线外一点，作射线，连接.则图中共含有射线 条.
5．如图，在平面内有A、B、C三个点，完成以下问题：
(1)尺规作图：作射线，作直线，连接并在的延长线上截取（只保留作图痕迹，不写结论）
(2)根据所画图形用“＞”，“＜”或者“＝”填空：
①________
②_________，理由是________．
【经典题型三 点与线的位置关系】
1．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（ ）
A．点一定在直线上B．点一定在直线外
C．点一定在线段上D．点一定在线段外
2．根据下图，下列说法中不正确的是（ ）
A．图①中直线经过点B．图②中直线，相交于点
C．图③中点在线段上D．图④中射线与线段有公共点
3．如图，完成下列填空：
(1)直线a经过点 ，点 ，但不经过点 ，点 ；
(2)点B在直线 上，在直线 外；
(3)点A既在直线 上，又在直线 上．
4．下列说法正确的是 （只填序号）
①画射线cm
②线段和线段不是同一条线段
③点和直线的位置关系有两种
④三条直线两两相交一定有三个交点
⑤到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点．
5．点A，B，C，D的位置如图所示，按下列语句画出图形：
(1)画直线，直线，它们相交于点；
(2)连接，连接，它们相交于点；
(3)画射线，射线，它们相交于点；
(4)作一点，使点既在直线上又在直线上．
【经典题型四 直线、线段、射线的数量问题】
1．平面上有3个点，并且这3个点不在同一直线上，经过每两点画一条直线，则共可以画（ ）条直线．
A．3B．4C．5D．6
2．已知平面上有，，，，五点，现经过任意两点画一条线段，则最多可画（ ）条不同的线段．
A．5B．10C．15D．20
3．如图，有条直线，条射线，条线段，则 ．
4．某高铁线路为往返于A市和E市，全长106千米，全线共设A、B、C、D、E五个车站，任意两站之间的距离都不相等，高铁集团要为乘客准备 种车票，有 种票价．
5．如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点
(1)图中共有 条线段
(2)求线段的长
【经典题型五 直线相交的交点个数问题】
1．如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（ ）
A．23条B．11条C．10条D．9条
2．已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（ ）
A．16B．28C．32D．40
3．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多有 个交点．
4．平面内有两两相交的条直线，如果最多有个交点，最少有个交点，那么 ．
5．按要求完成作图及作答：
(1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ；
(2)如图1，画射线；
(3)如图1，画直线；
(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域．
【经典题型六 两点确定一条直线】
1．下列说法错误的是（ ）
A．直线和直线表示同一条直线B．过一点能作无数条直线
C．射线和射线表示不同射线D．射线比直线短
2．下列生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①②B．①②③C．②④D．③④
3．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ．
4．在下列生活、生产现象中：可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）．
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
5．画图题：
(1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹．
①画射线；
②连接；
③反向延长至D，使得；
④在直线l上确定点E，使得最小；
(2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理．
如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________；
情景二：
同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________．
【经典题型七 线段中点的有关计算】
1．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则\（ ）．
A．16B．12C．8D．6
2．已知线段的长度为9，点C在线段上且有，M是的中点，则等于（ ）．
A．B．C．D．或
3．如图，图中数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点A表示的数是 ，如果点、所表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是 ．
4．如图，线段，在线段上取一点，使，在线段的延长线上取一点，使，在线段的延长线上取一点，使．
(1) ， ；
(2)是线段 的中点．
5．探究题：如图，已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点．
(1)若点C恰好是中点，则____________；
(2)若，求的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变．
【经典题型八 线段n等分点的有关计算】
1．若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（ ）
A．2cm或4cmB．8cmC．10cmD．8cm或10cm
2．把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A．B．C．或D．或
3．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．
4．如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，如果比长，则比长 ．
5．（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；
（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
【经典题型九 线段之间的数量关系】
1．已知点P和线段，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则P是的中点
B．若，则P是的中点
C．若，则P是的中点
D．若，则P是的中点
2．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（ ）
A．B．C．或D．不能确定
3．直线上有两点C、D，点C在A、B之间，满足，若，则 ．
4．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm．
5．如图：、、、四点在同一直线上．
(1)若．
比较线段的大小：___________填“”、“”或“；
若，且，则的长为___________；
(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【经典题型十 与线段有关的动点问题】
1．已知线段，现有一点P满足．有下列说法；①点P必在线段上；②点P必在直线外；③点P必在直线上；④点P可能在直线上；⑤点P可能在直线外，其中正确的说法是（ ）
A．①②B．②③C．④⑤D．①②④
2．如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．秒或秒B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒D．3秒或或7秒或秒
3．如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则= ．
4．数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为 ．
5．如图：、、、四点在同一直线上．
(1)若．
比较线段的大小：___________填“”、“”或“；
若，且，则的长为___________；
(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【经典题型十一 两点之间线段最短】
1．下列说法正确的个数为（ ）
①直线上有三个点、、，若线段，则点是线段的中点；
②两点之间线段的长度叫做两点间的距离；
③两点之间的所有连线中，线段最短；
④射线和射线表示同一条射线．
A．B．C．D．
2．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）
①车站的位置设在C点好于B点；
②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；
③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；
④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．
A．①③B．③④C．②③D．②
3．有下列一些生活中的现象：
①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短；
②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．
其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号）
4．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号．
①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
5．平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图：
(1)作射线；
(2)作直线交射线于点K；
(3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点P到A，B，C，D四点距离之和最短，画出点P的位置，并写出该最短距离：______．
【经典题型十二 两点间的距离】
1．如图，，D为的中点，，则的长为（ ）
A．4cmB．4.5cmC．5cmD．5.5cm
2．下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段，则点C是线段的中点；③射线与射线是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为 cm．
4．如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．
5．如图，已知线段，，按照下列要求作图，并填空，（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
(1)点是线段上一点，作出线段，使得，并用直尺和圆规作出线段的中点；
(2)在（1）的图形中，如果，，那么的长为________．
【经典题型十三 最短路径问题】
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
2．如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，蚂蚁爬行的最短路线有 条．
4．如图，点 A，C，A′在同一直线上，△ABC，△BCB′，△A′B′C 是三个全等的等边三角形，AB=5，D 为线段 B′C 上一动点，则 AD+BD 的最小值是 ．
5．如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点．
(1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由．
(2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）
【经典题型十四 线段的和与差问题】
1．已知直线上两点相距，点是线段的中点，点与点相距，则的长度是（ ）
A．B．C．D．或
2．如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以、、、为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．
（1）若，点与 重合（填、、）；
（2）若为线段中点，，，则的长为 ．
4．如图是一纸条的示意图，第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为．已知，则纸条原长为 cm．
5．已知点C在线段的延长线上，点，N分别是，的中点．
(1)如图，若，则线段_______；_______；_______；_______．（直接写出结果）
(2)若其它条件不变，求线段的长．（用含a的式子表示）
【重难点训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列说法不正确的个数有（ ）
①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式；
②三条直线相交，有三个交点；
③常数项的同类项还是常数项；
④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；
⑤若有理数和互为相反数，则一定有；
⑥若线段，则点是线段的中点．
A．个B．个C．个D．个
2．（2023上·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（ ）种．
A．4B．6C．10D．12
3．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（ ）条线段．
A．125B．140C．155D．160
4．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022上·湖北襄阳·九年级襄阳四中校联考自主招生）两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（ ）
A．45B．46C．50D．60
6．（2023上·河北邢台·七年级校联考期末）如图，是的中点，是的中点，则下列等式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）已知点、、在一条直线上，若线段，，则线段的长为
8．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点依此类推，8条直线最多有 个交点
9．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，点C、D、E在线段上，若点C是线段的中点，，，，则 ．
10．（2020上·湖北武汉·七年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图所示，把一根绳子对折成线段，再从P处剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为18，则绳子的原长为
11．（2021上·福建漳州·七年级校考阶段练习）如图，，两村相距7km，，两村相距6km.现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村庄的距离之和最小，则下列说法：
①自来水厂应建在线段的中点处；
②自来水厂应建在线段与线段的交点处；
③自来水厂到四个村庄的距离之和的最小值为；
④自来水厂到四个村庄的距离之和可能小于．
其中正确的有 .（填所有正确说法的序号）
12．（2023下·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ．
13．（2022上·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知，如图，B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求和的长．
14．（2023上·山东潍坊·七年级校考阶段练习）如图，已知点C在线段上，并且，E、F分别是的中点．
(1)求线段的长度．
(2)在（1）中，如果，其他条件不变，你能求出的长度吗？
(3)对于（1）题，如果把“点C在线段上”：改成“点C在直线上”，其他的语句都不变，结果会有变化吗？如果有，求出变化后的结果．
15．（2023上·天津和平·七年级统考期中）在数轴上，点，分别表示数，．点在，之间，点表示数．
(1)若，，则，之间的距离是_______；
(2)若，则点叫做线段的中点．
①若，，则_______；
②若，将点向右平移10个单位，恰好与点重合，则_______；
③一般地，将用和表示出来为_______；
(3)若（其中）．
①当，，时，_______；
②一般地，将用，和表示出来为______．
16．（2023上·河南郑州·七年级校联考阶段练习）如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
(2)若M为的中点，N为的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长；
(3)若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子是否有最小值．如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
17．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图所示：
(1)试验观察：
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画___________条直线；
第②组最多可以画___________条直线；
第③组最多可以画___________条直线．
(2)探索归纳：
如果平面上有个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画多少条直线（用含n的式子表示）？
(3)解决问题：
某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛．
18．（2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）知识准备：
如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟．
解决问题：
如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动．
（1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度．
（2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．
专题10 线段、射线、直线重难点题型专训（14大题型）
【题型目录】
题型一 直线、射线、线段的联系与区别
题型二 画出直线、射线、线段
题型三 点与线的位置关系
题型四 直线、线段、射线的数量问题
题型五 直线相交的交点个数问题
题型六 两点确定一条直线
题型七 线段中点的有关计算
题型八 线段n等分点的有关计算
题型九 线段之间的数量关系
题型十 与线段有关的动点问题
题型十一 两点之间线段最短
题型十二 两点间的距离
题型十三 最短路径问题
题型十四 线段的和与差问题
【知识梳理】
知识点一：线段、射线、直线
直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
【经典题型一 直线、射线、线段的联系与区别】
1．关于线段的描述正确的有（ ）．
①线段与线段是同一条线段
②线段有两个端点
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线
④画一条线段．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查线段和射线的相关定义以及表示方法，根据线段的定义确定①②，根据线段的延长线确定③正确，根据线段的表示方法确定④．
【详解】解：①线段与线段是同一条线段，正确；
②线段有两个端点，正确；
③将线段向一个方向无限延长就形成了射线，正确；
④画一条线段，原表述错误．
所以描述正确的有①②③，共3个．
故选：C．
2．如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
【答案】D
【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可．
【详解】线段和线段是同一条线段，
故A正确；
直线和直线是同一条直线，
故B正确；
图中以点A为端点的射线有两条，
故C正确；
射线和射线不是同一条射线，
故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点，熟练掌握各自的特点是解题的关键．
3．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ．
【答案】①③
【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解．
【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确；
②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误；
③射线和射线是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确；
④直线和直线BC相交于点B，直线经过点B，不经过点，故④说法错误，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义．
4下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；
③连接两点的线段叫做两点间的距离；
④射线AB和射线BA是同一条射线；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；
其中错误的有 (填序号)
【答案】②③④⑤
【分析】据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线、线段的中点的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
②在数轴上与表示-1的点距离是3的点表示的数是-4和2，故本小题错误；
③应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；
④射线AB和射线BA不是同一条射线，故本小题错误；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点，错误，因为点A、B、C不一定共线.
故答案为：②③④⑤
【点睛】本题考查了射线、线段的性质，数轴，两点间的距离的定义，熟记各性质与概念是解题的关键．
5．如图，在数轴上，点A表示3，点B表示－.
(1)数轴是什么图形？
(2)数轴上原点O左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？
(3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？
(4)数轴上表示不小于－且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？
【答案】(1)直线;(2)射线，射线OB;(3)非正数，0;(4)线段，线段AB
【分析】（1）数轴是直线；
（2）根据射线的定义，即可解答；
（3）根据负数和0，即可解答；
（4）根据线段的定义，即可解答．
【详解】（1）数轴是直线；
（2）数轴在原点O左边的部分（包括原点）是射线，表示为射线OB；
（3）射线OB上的点表示0和负数，端点表示0；
（4）数轴上表示不小于-，且不大于3的部分是线段，表示为线段AB．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的有关概念．
【经典题型二 画出直线、射线、线段】
1．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条B．1条C．1条或3条D．0条
【答案】C
【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果．
【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，
当A、B、C三点不在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键．
2．下列句子中正确的是（ ）
A．.延长直线AB，使它与直线CD相交于点P
B．.OA是∠AOB的一边，在OA的延长线上取一点C
C．.若AB＝BC，则点C为线段AB的中点
D．.直线AB与CD相交有且只有一个交点
【答案】D
【分析】直线本身是向两方无限延长的，射线是向一方无限延长的，线段有两个端点，不是向两方无限延长的．
【详解】A、直线无法延长，直接利用直线相交得出即可；故不符合题意；
B、延长∠AOB的一边OA，∠AOB的边是射线，射线能向一方无限延长，故不符合题意；
C、若AB＝BC，则点C不一定是线段AB的中点，故不符合题意；
D、直线AB与CD相交有且只有一个交点，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．
3．同一平面内有四点A，B，C，D，经过每两点作一条直线，则可以作 条直线.
【答案】1或4或6
【分析】分四点共线,三点共线和没有三点共线的情况讨论即可解题.
【详解】解：当四点共线时, 可以作1条直线,
当三点共线时,可以作4条直线,
当没有三点共线时,可以作6条直线,
故答案是1或4或6.
【点睛】本题考查了直线的基础知识,属于简单题,熟悉两点确定一条直线的性质是解题关键.
4．如图，点为直线外一点，作射线，连接.则图中共含有射线 条.
【答案】6
【分析】根据射线的定义进行判断，即可得到射线的条数．
【详解】由图可得，图中共含有射线6条：以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以C为端点的射线有1条．
故答案为6．
【点睛】本题需要考查了射线的概念，解题时注意：射线只有一个端点，向一个方向无限延伸．
5．如图，在平面内有A、B、C三个点，完成以下问题：
(1)尺规作图：作射线，作直线，连接并在的延长线上截取（只保留作图痕迹，不写结论）
(2)根据所画图形用“＞”，“＜”或者“＝”填空：
①________
②_________，理由是________．
【答案】(1)见解析
(2)①=，②，两点之间线段最短
【分析】（1）根据直线和射线的定义，即可作出射线和直线，以点C为圆心，为半径画弧，交延长线于点D，点D即为所求；
（2）①根据，点B、C、D在同一直线上，即可解答；②根据两点之间线段最短即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，射线、直线、点D，即为所求，
（2）解：①∵，点B、C、D在同一直线上，
∴，
故答案为：=；
②，
故答案为：，两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用．
【经典题型三 点与线的位置关系】
1．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（ ）
A．点一定在直线上B．点一定在直线外
C．点一定在线段上D．点一定在线段外
【答案】D
【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可．
【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误；
B. 点在线段AB延长线上时，，故错误；
C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误；
D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断．
2．根据下图，下列说法中不正确的是（ ）
A．图①中直线经过点B．图②中直线，相交于点
C．图③中点在线段上D．图④中射线与线段有公共点
【答案】C
【分析】根据点和直线的位置关系、射线和线段的延伸性、直线与直线相交的表示方法等知识点对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、图①中直线l经过点A，正确；
B、图②中直线a、b相交于点A，正确；
C、图③中点C在线段AB外，故本选项错误；
D、图④中射线CD与线段AB有公共点，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查直线、射线、线段，解题关键是熟练掌握点和直线的位置关系，射线和线段的延伸性，直线与直线相交的表示方法等．
3．如图，完成下列填空：
(1)直线a经过点 ，点 ，但不经过点 ，点 ；
(2)点B在直线 上，在直线 外；
(3)点A既在直线 上，又在直线 上．
【答案】 (1)A； C； B； D； (2)b； a； (3)a； b.
【分析】根据点与直线的位置关系回答即可.
【详解】(1)直线a经过点A，点C，但不经过点B，点D；
(2)点B在直线b上，在直线a外；
(3)点A既在直线a上，又在直线b上．
故答案为（1）A； C； B； D;(2)b； a； (3)a； b.
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系：点在直线上，点在直线外.
4．下列说法正确的是 （只填序号）
①画射线cm
②线段和线段不是同一条线段
③点和直线的位置关系有两种
④三条直线两两相交一定有三个交点
⑤到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点．
【答案】③
【分析】根据射线、直线、线段和直线与点的位置关系逐个判断即可
【详解】解：①射线的长度无法度量，故①错误；
②线段和线段是同一条线段，故②错误；
③点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种，故③正确；
④三条直线两两相交最多有三个交点，故④错误；
⑤线段上到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点，故⑤错误．
故答案为：③．
【点睛】本题考查了线段、直线、射线和点和直线的位置关系，解题关键是明确相关性质，准确进行判断．
5．点A，B，C，D的位置如图所示，按下列语句画出图形：
(1)画直线，直线，它们相交于点；
(2)连接，连接，它们相交于点；
(3)画射线，射线，它们相交于点；
(4)作一点，使点既在直线上又在直线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）连接、，画出直线，直线，交点记为即可；
（2）连接、，交点记为即可；
（3）连接、，画出射线，射线，交点记为即可；
（4）根据点既在直线上又在直线上，得出点即是直线与的交点即可．
【详解】（1）如下图，连接、，画出直线，直线，交点记为．
（2）如下图，连接、，交点记为．
（3）如下图，连接、，画出射线，射线，交点记为．
（4）如下图，点既在直线上又在直线上，故点即是直线与的交点．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段、交点的作图，理解题意作图是解题的关键．
【经典题型四 直线、线段、射线的数量问题】
1．平面上有3个点，并且这3个点不在同一直线上，经过每两点画一条直线，则共可以画（ ）条直线．
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他2个点画一条直线，共可以画（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果．
【详解】解：可以画的直线条数为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键．
2．已知平面上有，，，，五点，现经过任意两点画一条线段，则最多可画（ ）条不同的线段．
A．5B．10C．15D．20
【答案】B
【分析】把代入，根据点的个数确定线段的条数即可．
【详解】解：如图
，
依题意，把代入，
则（条），
故选：B．
【点睛】当直线l上有n个点时，共有条射线，条线段；过同一平面上任意三点不在同一直线上的n个点中的两点画线段，可以画条线段．
3．如图，有条直线，条射线，条线段，则 ．
【答案】4
【分析】根据直线，射线，线段的定义得到x、y、z的值，再代入解答即可．
【详解】如图：
∵直线有1条()，
∴，
∵射线有6条()，
∴，
线段有3条()，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了直线，射线，线段，熟记定义是解题的关键．
4．某高铁线路为往返于A市和E市，全长106千米，全线共设A、B、C、D、E五个车站，任意两站之间的距离都不相等，高铁集团要为乘客准备 种车票，有 种票价．
【答案】 20 10
【分析】先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数．
【详解】解：根据线段的定义：可知图中共有线段有，，，，、、、、、共10条，
所以有10种不同的票价；
因车票需要考虑方向性，如，“”与“”票价相同，但车票不同，故需要准备20种车票．
故答案为： 20； 10．
【点睛】本题考查线段的定义，要求学生准确应用；学会查找线段的条数．
5．如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点
(1)图中共有 条线段
(2)求线段的长
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数；
（2）由M是中点可得长度，求出的长，由N是中点知，进而可得长．
【详解】（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条．
故答案为：10；
（2）∵，M是的中点，
∴．
∵，，
∴，
又∵N是的中点，
∴；
∴．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．数形结合是解答本题的关键．
【经典题型五 直线相交的交点个数问题】
1．如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（ ）
A．23条B．11条C．10条D．9条
【答案】C
【分析】根据两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有个交点；四条直线相交，最多有个交点；得出n条直线相交有个交点．
【详解】解：∵两条直线相交，有1个交点；
三条直线相交，最多有个交点；
四条直线相交，最多有个交点；
……
n条直线相交，最多有个交点．
∴当最多的交点个数为45个时，即，
∴，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线交点个数问题，解题的关键是根据已知图形，找出规律，n条直线相交最多有个交点．
2．已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（ ）
A．16B．28C．32D．40
【答案】B
【分析】利用给出的交点个数，推导出规律，再将8代入计算即可．
【详解】解：∵条直线最多有个交点，
条直线最多有个交点，
条直线最多有个交点，
……
∴条直线最多有个交点，
∴时，（个），
∴条直线最多有个交点．
故选：B．
【点睛】本题考查直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值．
3．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个，n条直线两两相交的直线最多有 个交点．
【答案】 1 15
【分析】根据相交直线的交点找出相应规律求解即可．
【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个；
若平面内有相交的2条直线，则最多有1个交点；（即：）；
若平面内有两两相交的3条直线，则最多有3个交点；（即：）；
若平面内有两两相交的4条直线，则最多有6个交点；（即：）；
若平面内有两两相交的5条直线，则最多有10个交点；（即：）；
则平面内两两相交的6条直线，其交点个数最多有15个交点；（即）；
若平面内有n条直线两两相交，则最多有个交点；
故答案为：1，15，．
【点睛】题目主要考查直线交点问题及规律探索，找出相应规律是解题关键．
4．平面内有两两相交的条直线，如果最多有个交点，最少有个交点，那么 ．
【答案】
【分析】根据题意，画图分类讨论，分别解出的值，代入即可求解．
【详解】解：如图所示：
条直线两两相交，有种情况：
①条直线经过同一点，有一个交点；
②条直线经过同一点，被第条直线所截，有个交点；
③条直线不经过同一点，有个交点．
∴平面内两两相交的条直线，最多有个交点，最少有个交点；
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直线的位置关系与有理数的运算的综合，掌握同一平面内多条直线的位置关系，画图分析，分类讨论，有理数的运算法则是解题的关键．
5．按要求完成作图及作答：
(1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ；
(2)如图1，画射线；
(3)如图1，画直线；
(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域．
【答案】(1)点M在直线l外
(2)见解析
(3)见解析
(4)9
【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空；
（2）根据射线的定义即可画射线；
（3）根据直线的定义即可画直线；
（4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的不同的区域．
【详解】（1）解：点M与直线l的关系：M在直线l外；
故答案为：M在直线l外；
（2）解：如图1，射线即为所求；
（3）解：如图1，直线即为所求；
（4）解：如图，新增的两条直线使得平面内最多新增9个不同的区域．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质．
【经典题型六 两点确定一条直线】
1．下列说法错误的是（ ）
A．直线和直线表示同一条直线B．过一点能作无数条直线
C．射线和射线表示不同射线D．射线比直线短
【答案】D
【分析】题目主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项正确，不符合题意；
B、过一点能作无数条直线，选项正确，不符合题意；
C、射线和射线表示不同射线，选项正确，不符合题意；
D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，符合题意．
故选：D．
2．下列生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①②B．①②③C．②④D．③④
【答案】A
【分析】根据“两点确定一条直线”可直接进行排除选项．
【详解】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，符合题意；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，符合题意；
③从地到地架设电线，总是尽可能沿若直线架设，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意；
④把弯曲的公路改直，就能缩知路程，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线的概念，熟练掌握直线的相关定义是解题的关键．
3．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ．
【答案】②④
【分析】直接利用线段公理以及直线公理分别分析得出答案．
【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是“两点确定一条直线”，故①不合题意；
②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程，可用“两点之间线段最短”来解释，故②符合题意；
③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，利用的是“两点确定一条直线”，故③不合题意；
④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，可用“两点之间线段最短”来解释，故符合④题意；
故答案为：②④．
【点睛】此题主要考查了线段公理和直线公理，解题关键是正确掌握线段公理：两点之间，线段最短；直线公理：两点确定一条直线．
4．在下列生活、生产现象中：可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）．
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
【答案】①④/④①
【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析求解即可．
【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
综上可得：①④可以用“两点确定一条直线”来解释，
故答案为：①④．
【点睛】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
5．画图题：
(1)按下列要求，运用无刻度直尺或圆规画图，保留痕迹．
①画射线；
②连接；
③反向延长至D，使得；
④在直线l上确定点E，使得最小；
(2)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理．
如图，从A地到B地有4条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短路线，理由是________________；
情景二：
同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，其道理是___________________．
【答案】(1)①见解析②见解析③见解析④见解析
(2)图见解析，两点之间线段最短；两点确定一条直线
【分析】（1）根据射线、线段、两点之间线段最短即可解决问题；
（2）利用两点之间线段最短和两点确定一条直线即可解决问题．
【详解】（1）解：①射线，如图所示；
②线段，如图所示；
③线段如图所示；
④点E即为所求；
（2）解：情景一：两点之间线段最短；
如图：线段即为所求；
情景二：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查线段、射线的含义，以及两点之间线段最短和两点确定一条直线，解题的关键是掌握其定义与性质．
【经典题型七 线段中点的有关计算】
1．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则\（ ）．
A．16B．12C．8D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段之间的关系先得到，进而求出，再根据线段中点的定义得到，由此推出，据此求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．已知线段的长度为9，点C在线段上且有，M是的中点，则等于（ ）．
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】先根据“，M是的中点”求出、的长度，然后两者相减即可求解．
【详解】如图，
∵，M是的中点，，
∴， ，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段长度的计算，画出图形更加形象直观，并且有助于问题的解决．
3．如图，图中数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点A表示的数是 ，如果点、所表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是 ．
【答案】
【分析】由点表示的数是，点A、C相距9个单位，即可得出点A表示的数，如果点B、C表示的数的绝对值相等，那么的中点即为坐标原点，依此可求点A表示的数．
【详解】解：点表示的数是，点A、C相距9个单位，点A在点C左边，
点A表示的数是，
点B、C表示的数的绝对值相等，
的中点即为坐标原点，
点B，C相距5个单位，且点B、C表示的数的绝对值相等，
点表示的数是，
点A，C相距9个单位，点A在点C左边，
点A表示的数是．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了数轴有关内容，体现了数形结合的优点，确定数轴的原点是解决本题的关键．
4．如图，线段，在线段上取一点，使，在线段的延长线上取一点，使，在线段的延长线上取一点，使．
(1) ， ；
(2)是线段 的中点．
【答案】
【分析】（1）先根据，可得即，进而可得
（2）根据中点的定义可得是线段的中点，也是线段的中点．
【详解】（1）由，得，
，
，
，
故答案为：，．
（2）是线段的中点，也是线段的中点．
故答案为：,．
【点睛】本题主要考查线段的中点性质和线段和差关系，解决本题的关键是要熟练掌握线段中点的性质和线段和差关系．
5．探究题：如图，已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点．
(1)若点C恰好是中点，则____________；
(2)若，求的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变．
【答案】(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了线段中点的有关计算．
（1）由点D、E分别是和的中点，C点为的中点，求出，，，的长度，运用即可得出答案．
（2）先求出，再利用中点关系求出即可得出的长．
（3）设，由点D、E分别是和的中点，根据即可得出不论取何值（不超过），的长不变，
【详解】（1），点为的中点，
．
∵点、B分别是和的中点，
，
．
故答案为：6；
（2），，
．
∵点、B分别是和的中点，
，，
；
（3）设，则，
∵点、B分别是和的中点，
∴，
，
不论取何值（不超过），的长不变；
【经典题型八 线段n等分点的有关计算】
1．若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（ ）
A．2cm或4cmB．8cmC．10cmD．8cm或10cm
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．
【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，
∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），
点D是线段AC的三等分点，
①当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；
②当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．
所以线段BD的长为10cm或8cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论的思想的运用是解题的关键；
2．把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
【详解】解：如图
∵，
∴2AP=＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm
∴AP=12×cm
∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
3．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．
【答案】或或
【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案．
【详解】解：∵图中数轴的单位长度为，
∴，
①如图，当点靠近点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
②如图，当点恰好是线段的中点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
③如图，当点靠近点时，
∵原点为的四等分点，
∴，
∴点代表的数为；
综上所述，点代表的数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份．
4．如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，如果比长，则比长 ．
【答案】4cm
【分析】根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵比长，
∴
∴．
故答案为：4cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的性质和线段的和差是解题的关键．
5．（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；
（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；
（2）由，可得，然后根据求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点
∴
∵
∴
（2）①∵
∴
∵
∴；
②
．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【经典题型九 线段之间的数量关系】
1．已知点P和线段，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则P是的中点
B．若，则P是的中点
C．若，则P是的中点
D．若，则P是的中点
【答案】D
【分析】由定义：点在线段上，使得，点叫做线段的中点，据此进行举反例进行判断即可求解．
【详解】解：A.如图
在以为圆心，为半径的圆周上，满足，但不一定是的中点，故此项错误，不符合题意；
B.如图，
在以为圆心，为半径的圆周上，满足，但不一定是的中点，故此项错误，不符合题意；
C.如图，
等腰中，，但不定是的中点，故此项错误，不符合题意；
D.符合线段中点的定义，故此项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，理解定义是解题的关键．
2．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（ ）
A．B．C．或D．不能确定
【答案】B
【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC．
【详解】设运动时间为t，
则AB=2t，BD=10-2t，
∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点，
∴EB= =t，BC= =5-t，
∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm，
故选：B．
【点睛】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键．
3．直线上有两点C、D，点C在A、B之间，满足，若，则 ．
【答案】或
【分析】根据点D位于点C的左侧与右侧，分两种情况讨论．
【详解】∵，
即
解得：．
∴．
以下分两种情况讨论：
①当点D位于点C的左侧时， 如下图．
∴．
∴
②当点D位于点C的右侧时，如下图．
．
∴
【点睛】本题考查了依据同一条直线上的线段之间的比例关系求线段的长，解题的关键是正确画出图形．
4．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm．
【答案】或
【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可．
【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴，．
设，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
②当点C在OB之间时，如图，
由图可知，，．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
综上可知OC的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
5．如图：、、、四点在同一直线上．
(1)若．
比较线段的大小：___________填“”、“”或“；
若，且，则的长为___________；
(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【答案】(1)①，②15
(2)
【分析】（1）①根据等式的性质，得出答案；求出的值，在求出、的长，进而求出的长即可；
（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．
【详解】（1）解：①，
，
即，，
故答案为：；
②∵，且，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
设每份为，则，
是的中点，点是的中点，
，
又，
，
解得，，
．
【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键．
【经典题型十 与线段有关的动点问题】
1．已知线段，现有一点P满足．有下列说法；①点P必在线段上；②点P必在直线外；③点P必在直线上；④点P可能在直线上；⑤点P可能在直线外，其中正确的说法是（ ）
A．①②B．②③C．④⑤D．①②④
【答案】C
【分析】根据线段的和差即可得．
【详解】当点P在线段上时，
则，与题意不符，说法①错误；
，
，
点P可能在直线上，也可能在直线外，
则说法④⑤正确，说法②③错误；
综上，正确的说法是④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键．
2．如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．秒或秒B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒D．3秒或或7秒或秒
【答案】B
【分析】根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用路程÷速度=时间即可得出结论．
【详解】解：∵数轴上的点和点分别表示0和10
∴OA=10
∵是线段的中点，
∴OB=AB=
①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB－PB=3
∴点P运动的时间为3÷2=s；
②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB+PB=7
∴点P运动的时间为7÷2=s；
③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13
∴点P运动的时间为13÷2=s；
④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17
∴点P运动的时间为17÷2=s；
综上所述：当时，则运动时间的值为秒或秒或或秒
故选B．
【点睛】此题考查的是数轴与动点问题和线段的和与差，掌握各线段的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
3．如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则= ．
【答案】或或10
【分析】当点C是线段AB的“巧点”时，可能有BC=2AC、AC=2BC和AB=2AC=2BC三种情况，分类讨论计算即可．
【详解】当点C是线段的“巧点”时，可能有、、
三种情况，
①时，，
②时，，
③时，．
故答案为：，或10．
【点睛】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．
4．数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×9，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×9，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×9，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．
【详解】解：由题可知：，
此第一次跳动到的中点处时，，
同理，第二次从点跳动到处，，
同理，跳动次后，，
故线段的长度为：，
故答案为．
【点睛】本题考查了两点间的距离，是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
5．如图：、、、四点在同一直线上．
(1)若．
比较线段的大小：___________填“”、“”或“；
若，且，则的长为___________；
(2)若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【答案】(1)①，②15
(2)
【分析】（1）①根据等式的性质，得出答案；求出的值，在求出、的长，进而求出的长即可；
（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．
【详解】（1）解：①，
，
即，，
故答案为：；
②∵，且，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
设每份为，则，
是的中点，点是的中点，
，
又，
，
解得，，
．
【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键．
【经典题型十一 两点之间线段最短】
1．下列说法正确的个数为（ ）
①直线上有三个点、、，若线段，则点是线段的中点；
②两点之间线段的长度叫做两点间的距离；
③两点之间的所有连线中，线段最短；
④射线和射线表示同一条射线．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据线段中点的定义，两点间距离，线段的性质，射线的性质，逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：①当点在线段的延长线上时，点不是线段的中点，不符合题意；
②两点之间线段的长度叫做两点间的距离，符合题意；
③两点之间的所有连线中，线段最短，符合题意；
④射线和射线不表示同一条射线，不符合题意，
综上分析可知，说法正确的个数为2，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，两点间距离，线段的性质，射线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
2．如图，在公路MN两侧分别有，七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）
①车站的位置设在C点好于B点；
②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；
③车站位置的设置与各段小公路的长度无关；
④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B及点C处．
A．①③B．③④C．②③D．②
【答案】A
【分析】可结合题意及图形，逐一对四个选项本身进行分析，确定对错即可．
【详解】解：①车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，通过测量发现车站的位置设在C点好于B点，故原来的结论正确，符合题意；
②车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3个工厂，所以在这一段任何一点，效果不一样，故原来的结论错误，不符合题意；
③工厂到车站的距离是线段的长，指的是两点之间的距离，和各段的弯曲的小公路无关，故原来的结论正确，符合题意；
④车站的位置设在BC段公路的最中间处要好于设在点B处，车站的位置设在BC段公路的最中间处不好于设在点C处，故原来的结论错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短的问题，解题关键是具有较强的理解能力及分析能力，实际这道题根本不需要计算．
3．有下列一些生活中的现象：
①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短；
②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．
其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号）
【答案】②③④
【分析】根据“两点之间线段最短”和“两点确定一条直线”两个公理进行分析判断即可．
【详解】解：①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短，其原理能用基本事实“两点之间线段最短”解释，故不符合题意；
②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和两点确定一条直线，理解并掌握两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题关键．
4．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号．
①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
【答案】②④
【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断．
【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；
②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．
故答案为：②④．
【点睛】此题考查了线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键．
5．平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图：
(1)作射线；
(2)作直线交射线于点K；
(3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点P到A，B，C，D四点距离之和最短，画出点P的位置，并写出该最短距离：______．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析，7
【分析】（1）根据射线只有一个端点的特点画射线即可；
（2）根据直线的特点画直线，记与的交点为，从而可得答案；
（3）连接，，交点为，再结合两点之间，线段最短，可得答案．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求作的射线；
．
（2）如图，直线与点K即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
∵，，
∴点P到A，B，C，D四点距离之和的最短距离为：
．
【点睛】本题考查的是画射线，画直线，画线段，两点之间，线段最短，熟记基本概念是解本题的关键．
【经典题型十二 两点间的距离】
1．如图，，D为的中点，，则的长为（ ）
A．4cmB．4.5cmC．5cmD．5.5cm
【答案】A
【分析】设，求出，根据线段中点求出，求出x的值即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了求两点之间的距离\线段的中点等知识点，能选择适当的方法求解是解题的关键．
2．下列说法：①经过一点可以画无数条直线；②若线段，则点C是线段的中点；③射线与射线是同一条射线；④连接两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据直线、线段中点的定义、射线、两点的距离、两点确定一条直线逐个判断即可得．
【详解】解：①经过一点可以画无数条直线，则原说法正确；
②因为点不一定在线段上，所以若线段，则点不一定是线段的中点，则原说法错误；
③射线与射线的端点不同，不是同一条射线，则原说法错误；
④连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，则原说法错误；
⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线，则原说法正确；
综上，说法正确的有2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线、线段中点、射线、两点的距离、两点确定一条直线，熟练掌握直线、射线与线段的知识是解题关键．
3．如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为 cm．
【答案】5
【分析】由已知条件可知，，又因为M是的中点，N是的中点，则．
【详解】解： 是的中点，是的中点，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
4．如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．
【答案】①②③
【分析】根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：①点是的中点，，，故①正确；
②点是的中点，，又点是的中点，．故②正确；
③点是的中点，．
，故③正确；
④，故④错误．
故正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
5．如图，已知线段，，按照下列要求作图，并填空，（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
(1)点是线段上一点，作出线段，使得，并用直尺和圆规作出线段的中点；
(2)在（1）的图形中，如果，，那么的长为________．
【答案】(1)画图见解析
(2)3
【分析】（1）利用已知线段求出线段，利用垂直平分线的作法可求出位置．
（2）利用两点之间的距离求法求出线段长度，最后利用中点即可求出长度．
【详解】（1）解：在线段上取一点，使，则，如图所示，
作出线段的中点，
作出线段的垂直平分线，如图所示，
（2）解：，，
，
是中点，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了复杂作图，涉及到垂直平分线的作法以及两点之间距离的求法，解题的关键在于正确理解题意和垂直平分线的作法．
【经典题型十三 最短路径问题】
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】C
【分析】首先求得点关于直线的对称点，连接，即可求得答案．
【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，此时最短，
与直线交于点，
点应选点．
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
2．如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可．
【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽，
连接，与另一条河岸相交于F，作于点E，
则且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．
3．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，蚂蚁爬行的最短路线有 条．
【答案】6
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线．
【详解】解：根据两点之间线段最短可知，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线，分6种情况：①前面和下面展开在一起时；②前面和右面展开在一起时；③上面和后面展开在一起时；④上面和右面展开在一起时；⑤左面和后面展开在一起时；⑥左面和下面展开在一起时．
故答案为：6．
【点睛】本题考查正方体的展开图，线段的性质，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
4．如图，点 A，C，A′在同一直线上，△ABC，△BCB′，△A′B′C 是三个全等的等边三角形，AB=5，D 为线段 B′C 上一动点，则 AD+BD 的最小值是 ．
【答案】10
【分析】根据△ABC，△BCB′，是三个全等的等边三角形，即可得出四边形为菱形，进而得出点B关于对称的点是，以此确定当点D与点C重合时，AD＋BD的值最小，代入数据即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC，△BCB′，是三个全等的等边三角形，
∴， ，
∴，
∴四边形A′CBB′为菱形，
∴点B关于对称的点是，
∴当点D与点C重合时，AD＋BD取最小值，
此时．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点B关于对称的点是．
5．如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点．
(1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由．
(2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据两点之间线段最短求解；
（2）把正方体相邻的两个面展开成平面，连接A，C即是最短路线．
【详解】（1）解：从路线长：，
从路线长：，
从路线长：，
根据两点之间，线段最短，
可得，即，
所以，即，
故从到的最短路线长为．
（2）解：从到的最短路线长为，
图中的点为线段的中点，
位置如图．
【点睛】本题主要考查了平面展开中的最短路径问题，一般根据两点之间线段最短求解．
【经典题型十四 线段的和与差问题】
1．已知直线上两点相距，点是线段的中点，点与点相距，则的长度是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据线段中点的性质，可得，分两种情况：当点在点右侧时，当点在点左侧时，分别利用线段的和差关系进行求解．
【详解】解：∵点是线段的中点，，
∴，
当点在点右侧时，
此时，；
当点在点左侧时，
此时，；
即：的长度为或，
故选：D
【点睛】本题考查的是两点间的距离，线段中点定义，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
2．如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以、、、为端点的所有线段长度和可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是，然后根据，线段的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
图中以、、、这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：
∴以、、、为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，
∴以、、、为端点的所有线段长度和可能为20．
故选B．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．
（1）若，点与 重合（填、、）；
（2）若为线段中点，，，则的长为 ．
【答案】 C 6或14
【分析】（1）由折中点的含义、线段和差关系，可得，即可确定答案；
（2）分两种情况：点D在线段上与点D在线段上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解．
【详解】（1）解：由折中点含义得：，
而，，
∴，
∴，
即点D与点C重合；
故选：C；
（2）解：当点D在线段上时，
则，
∴；
∵E为线段中点，，
∴，
∴；
当点D在线段上时，如图，
则，
∴；
∵E为线段中点，，
∴，
∴；
综上，的长为或；
故答案为：6或14．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键．
4．如图是一纸条的示意图，第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为．已知，则纸条原长为 cm．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得，依题意得出，即可求解．
【详解】解：根据翻折可知：
，
，
，
，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．
5．已知点C在线段的延长线上，点，N分别是，的中点．
(1)如图，若，则线段_______；_______；_______；_______．（直接写出结果）
(2)若其它条件不变，求线段的长．（用含a的式子表示）
【答案】(1)；；5；
(2)
【分析】本题考查了线段中点的相关计算及线段的和与差，利用数形结合思想并求出的值是解题关键．
（1）由题意可得，，，，，计算即可得出答案；
（2）先求出的值，再根据，，求得，的值，最后计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：在线段的延长线上，
，
是中点，
，
是的中点，
，
，
故答案为：40；20；5；15．
（2）解法一：点在线段的延长线上，
，
点分别是的中点，
，，
．
解法二：点在线段的延长线上，
，
点分别是，的中点，
，，
．
【重难点训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列说法不正确的个数有（ ）
①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式；
②三条直线相交，有三个交点；
③常数项的同类项还是常数项；
④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；
⑤若有理数和互为相反数，则一定有；
⑥若线段，则点是线段的中点．
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】分别根据直线的性质、同类项的定义、去括号法则、两点间的距离定义以及线段中点的定义进行判定即可得出答案．
【详解】解：一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式，不符合题意；
三条直线相交，有一个或三个交点，符合题意；
常数项的同类项还是常数项，不符合题意；
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，符合题意；
若有理数和互为相反数，则一定有，不符合题意；
点在线段上，如果，则点是线段的中点，所以原说法符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，同类项的定义、去括号法则、直线的性质，线段的性质，熟练掌握两点间的距离，直线的性质，线段的性质进行求解是解决本题的关键．
2．（2023上·山东聊城·七年级校联考阶段练习）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（ ）种．
A．4B．6C．10D．12
【答案】B
【分析】单程两个站点有一种票，相当于两两组合，根据计算即可．
【详解】解：（种），
∴要为这次列车制作的单程火车票6种．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线、射线、线段，掌握同两个站之间的车票有起点站和终点站的区分是解答本题的关键．
3．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图图形是按一定的规律排列的，依照此规律，第10个图形有（ ）条线段．
A．125B．140C．155D．160
【答案】B
【分析】根据已知图形，得出一般规律第个图形的线段条数为，据此即可求出第10个图形的线段条数．
【详解】解：观察图形发现第1图形的线段条数为；
第2个图形的线段条数为；
第3个图形的线段条数为；
……
观察可知一般规律，第个图形的线段条数为；
即第10个图形的线段条数为，
故选：B．
【点睛】本题属于规律探索题，考查了线段的数量，根据题意图形正确得出一般规律是解题关键．
4．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
5．（2022上·湖北襄阳·九年级襄阳四中校联考自主招生）两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（ ）
A．45B．46C．50D．60
【答案】A
【分析】根据三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个，然后得出规律，列式计算即可得解．
【详解】解：两条直线相交，只有1个交点，三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个；
10条直线交点最多为．
故选A
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，观察得出最多交点的个数变化规律是解题的关键．
6．（2023上·河北邢台·七年级校联考期末）如图，是的中点，是的中点，则下列等式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据线段的中点性质，结合图形解答即可．
【详解】解：∵是的中点，是的中点，
∴①不符合题意，②符合题意，
∴③符合题意，
∴④不符合题意．
故选：
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，掌握线段中点的概念和性质，灵活运用数形结合思想方法是解此题的关键．
7．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）已知点、、在一条直线上，若线段，，则线段的长为
【答案】2或12/12或2
【分析】分两种情况讨论：点在点的右侧，点在点的左侧．
【详解】解：当点在点的右侧时，如图：
，，
，
当点在点的左侧，如图：
，，
，
故答案为：2或12．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差运算，解题的关键在于分类讨论思想的运用．
8．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点依此类推，8条直线最多有 个交点
【答案】28
【分析】读懂题意，找到规律即可．
【详解】解：由题意得，两条直线最多有个交点，
3条直线最多有个交点，
4条直线最多有个交点，
……
条直线最多有个交点，
8条直线最多有个交点，
故答案为：28．
【点睛】本题主要考查了直线的交点个数，数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
9．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，点C、D、E在线段上，若点C是线段的中点，，，，则 ．
【答案】48
【分析】设，则，进而可得，再利用可得，再根据点C是线段的中点，可得，解出x即可求解．
【详解】解：设，
则，
，
，
，
，
点C是线段的中点，
，即：，
解得：，
，
故答案为：48．
【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．
10．（2020上·湖北武汉·七年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图所示，把一根绳子对折成线段，再从P处剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为18，则绳子的原长为
【答案】30或45
【分析】分两种情况讨论：当为对折点时，最长的一段为，计算出和，进而计算出，则绳子原长为；当为对折点时，最长的一段为，计算出和，进而计算出，则绳子原长为．
【详解】解：当为对折点时，最长的一段为，
∴，
∴，
∴绳子原长为．
当为对折点时，最长的一段为，
∴，
∴，
∴绳子原长为．
综上，绳子原长为30或45．
故答案为：30或45．
【点睛】本题考查两点间的距离，灵活计算线段的长度是本题的关键．
11．（2021上·福建漳州·七年级校考阶段练习）如图，，两村相距7km，，两村相距6km.现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村庄的距离之和最小，则下列说法：
①自来水厂应建在线段的中点处；
②自来水厂应建在线段与线段的交点处；
③自来水厂到四个村庄的距离之和的最小值为；
④自来水厂到四个村庄的距离之和可能小于．
其中正确的有 .（填所有正确说法的序号）
【答案】
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短；结合题意，要使自来水厂与四个村的距离之和最小，就要使它在与的交点处，即可作答．
【详解】解：如图所示，连接，交于点E，在平面内任取一点，连接，，，，
∵，，
∴，
∴当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段最短．
12．（2023下·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况画出图形求解即可．
【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
（厘米）；
（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
（厘米）．
所以两根木条的小圆孔之间的距离是或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
13．（2022上·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知，如图，B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求和的长．
【答案】，
【分析】根据B，C两点把线段分成三部分，设，然后用表示出，求出，再分别求解和即可．
【详解】解：∵B，C两点把线段分成三部分，
∴设，
，
是的中点，
，
，
∵，
，
解得，
，
，
即；．
【点睛】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2023上·山东潍坊·七年级校考阶段练习）如图，已知点C在线段上，并且，E、F分别是的中点．
(1)求线段的长度．
(2)在（1）中，如果，其他条件不变，你能求出的长度吗？
(3)对于（1）题，如果把“点C在线段上”：改成“点C在直线上”，其他的语句都不变，结果会有变化吗？如果有，求出变化后的结果．
【答案】(1)线段的长度为；
(2)线段的长度为；
(3)线段的长度为或．
【分析】（1）根据点E、F分别是的中点，先求出的长度，则；
（2）根据点E、F分别是的中点，同（1）求解即可；
（3）分点C在线段上、点C在延长线上，两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵，E、F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴线段的长度为；
（2）解：∵，E、F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴线段的长度为；
（3）解：当点C在线段上时，由（1）得线段的长度；
当点C在线段延长线上时，
∵，E、F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴线段的长度为；
综上，线段的长度为或．
【点睛】本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离，明确线段中点的定义是解题的关键．
15．（2023上·天津和平·七年级统考期中）在数轴上，点，分别表示数，．点在，之间，点表示数．
(1)若，，则，之间的距离是_______；
(2)若，则点叫做线段的中点．
①若，，则_______；
②若，将点向右平移10个单位，恰好与点重合，则_______；
③一般地，将用和表示出来为_______；
(3)若（其中）．
①当，，时，_______；
②一般地，将用，和表示出来为______．
【答案】(1)
(2)①；②；③
(3)①；②
【分析】（1）根据数轴的意义直接求解即可；
（2）①按所给的关系式及点在数轴上的位置，计算即可；
②根据平移关系用表示出，再按①中关系式计算即可；
③按所给的关系式及点在数轴上的位置，计算即可；
（3）①根据，将，，代入计算即可；
②根据，变形计算即可．
【详解】（1）点，分别表示数，，，，
，之间的距离是．
故答案是：4．
（2）①点，分别表示数，，
，，
是的中点，
故答案为：；
②将点向右平移5个单位，恰好与点重合，点，分别表示数，，
故答案为：；
③点，分别表示数，，
故答案为：；
（3）①，，，，
，
，
．
故答案为：；
②，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点所表示的数和相关线段数量关系，数形结合是解本题的关键．
16．（2023上·河南郑州·七年级校联考阶段练习）如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
(2)若M为的中点，N为的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长；
(3)若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子是否有最小值．如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)点B表示的数为；点P表示的数为
(2)没有变化；画图见解析；
(3)有最小值14
【分析】（1）仔细阅读题意，根据数轴的特征及路程、速度、时间的关系即可得到结果；
（2）分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，根据中点的性质即可得到结果，注意要有整体意识；
（3）根据数轴上两点间的距离公式即可作出判断．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，B是数轴上一点，且，
∴点B表示的数为；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数为；
（2）解：没有变化．分两种情况：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
；
②当点P运动到点B的左侧时：
，
∴综上所述，线段的长度不发生变化，其值为7；
（3）解：∵点D是数轴上一点，点D表示的数是x，
∴表示点D到在数轴上表示的点的距离与点D到8在数轴上表示的点的距离之和，
∴当点D在在数轴上表示的点与8在数轴上表示的点之间时，的值最小，且这个最小值为．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，中点的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式．
17．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图所示：
(1)试验观察：
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画___________条直线；
第②组最多可以画___________条直线；
第③组最多可以画___________条直线．
(2)探索归纳：
如果平面上有个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画多少条直线（用含n的式子表示）？
(3)解决问题：
某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛．
【答案】(1)3，6，10
(2)条
(3)15场
【分析】（1）根据图形画出直线即可；
（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可；
（3）将代入即可求解．
【详解】（1）解：根据图形得，如图，
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画3条直线；
第②组最多可以画6条直线；
第③组最多可以画10条直线，
故答案为：3，6，10；
（2）解：由题意可得，最多可以画出条直线；
（3）解：由题意可得，
当时，（场），
答：预计全部赛完共需15场比赛．
【点睛】本题考查图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的规律．
18．（2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）知识准备：
如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟．
解决问题：
如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动．
（1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度．
（2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．
【答案】（1）18厘米/分钟；（2）22厘米/分钟
【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可；
（2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟，
∴点P的运动时间为：分钟．
∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，
∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米，
∴点Q的速度为厘米/分钟；
（2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了，
∴此时点P的运动时间为：分钟．
∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，
∴点O的路程为厘米．
∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，
∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米，
∴点Q的速度为厘米/分钟．
【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间．
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