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初中数学4.3 角习题
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这是一份初中数学4.3 角习题，共105页。
题型一 角的概念理解
题型二 角的表示方法
题型三 角的分类
题型四 钟面角
题型五 方向角的表示
题型六 与方向角有关的计算
题型七 角的单位与角度制
题型八 角的度数大小比较
题型九 角的比较
题型十 三角板中角度计算问题
题型十一 几何图形中角度计算问题
题型十二 角度的四则运算
题型十三 实际问题中角度计算问题
题型十四 角平分线的有关计算
题型十五 角n等分线的有关计算
【知识梳理】
知识点：角的表示
（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB；
（2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A；
（3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α；
（4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1．
角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形．
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
【经典题型一 角的概念理解】
1．用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于角的说法正确的是（ ）
A．角是由两条射线组成的图形B．在角一边延长线上取一点
C．角的边越长，角越大D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
3．如图，则图中共有 个角．
4．如图，从点O出发的五条射线，可以组成 个角．
5．解答下列各题
（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【经典题型二 角的表示方法】
1．下列四个图中的也可以用,表示的是（ ）
A．B．
C．D．
2如图所示，在∠AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为( )．
A．10B．15C．5D．20
3．按照图填空：
(1)可用一个大写字母表示的角有 .
(2)必须用三个大写字母表示的角有 .
(3)以B为顶点的角共有 个，分别表示为 .
4．如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表．
5．（角的概念与表示）观察图形，解答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角；
(2)写出以为顶点的角；
(3)图中共有几个小于平角的角？
【经典题型三 角的分类】
1．已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确．这名同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
2．若为锐角，为直角，为钝角，则的值可能是（ ）．
A．B．C．D．
3．下列说法中，正确的有 个
①小于的角是锐角；
②等于的角是直角；
③大于的角是钝角；
④平角等于；
⑤周角等于．
4．如图，点O是直线AB上一点，图中共有 个小于平角的角．
5．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题：
（1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O；
（2）画出射线OC和射线OD；
（3）在以上图形中，共有 个锐角，共有 个小于180°的角．
【经典题型四 钟面角】
1．钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是（ ）
A．和B．和C．和D．和
2．钟表盘上时针与分针之间的夹角为，此时钟表盘上指示的时间是（ ）
A．B．C．D．
3．新型冠状病毒疫情期间，同学们参加线上课学习，第一节课上课时间是上午9点，此时分针和时针的夹角（小于的角）是 ．
4．（1）6时整，钟表时针和分针构成的角度是 ．
（2）8时整，钟表时针和分针构成的角度是 ．
（3）8点30分，钟表时针和分针构成的角度是 ．
5．如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．
(1)写出和的度数，并比较两个角的大小；
(2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等．
【经典题型五 方向角的表示】
1．如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（ ）
A．南偏东40°B．北偏东50°C．南偏西40°D．北偏西50°
2．如图，下列判断正确的是（ ）．
A．看的仰角是B．看的俯角是45°
C．C看B的俯角D．在的南偏西
3．如图，点A在点O的 方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是
4．一艘旅游船从点出发沿北偏东方向航行，到达景点后，进行了的转弯，然后沿着方向航行，则为 方向．
5．小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【经典题型六 与方向角有关的计算】
1．从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，甲从处出发沿北偏西方向行走至处，又沿南偏西方向行走至处，此时再沿与出发时一致的方向行走至处，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C．轮船B在点A的北偏东 方向；轮船C在点A的南偏东方向，则 ．
4．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么，从岛看，两岛的视角为 ．
5．如图1，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上．货轮B在码头O的西北方向上．
（1）仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）如图2，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北的OC的方向行驶，货轮D向北偏西的OD方向航行，求∠COD的度数；
（3）令有两艘货轮从码头O出发，货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶，货轮F向北偏西x°的OF方向航行，请直接用等式表示与之间所具有的数量是 ．
【经典题型七 角的单位与角度制】
1．用度、分、秒表示31.21°为（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于度、分、秒的换算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3． ° ；
4．计算： ； °；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为 度．
5．计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【经典题型八 角的度数大小比较】
1．已知，下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
4．比较大小： （填“”，“”或“”）．
5．如图所示表示两块三角板．
（1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；
（2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．
【经典题型九 角的比较】
1．如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．计算：70°39′= °；比较大小:52°52′ 52.52°.(选填“＞”、“＜”或“=”)
4．比较大小：
－（-3.5） ﹣｜－4.5｜，38.15° 38°15′（填“＞”“＜”或“=”）．
5．已知：如图，，平分，且．
（1）_____；
（2）____；
（3）求的度数．
【经典题型十 三角板中角度计算问题】
1．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点与三角尺①的顶点重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．将三角板的直角顶点O放置在直线上（如图），若，射线平分，则的大小为 ．
4．一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．
5．如图是内部的一条射线，把三角板角的顶点放到O处，转动三角板，当三角板的边平分时，三角板的另一边也恰好平分：
(1)求的度数．
(2)射线一定平分吗？若平分，求和度数
【经典题型十一 几何图形中角度计算问题】
1．如图，平分，平分，，，（ ）
A．B．C．D．
2．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（ ）
A．30°B．120°C．30°或120°D．60°或90°
3．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜反射后，沿E方向射出，已知，则 ．
4．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果，，那么的度数是 ．
5．已知，过顶点O作射线，且平分，平分．
(1)如图，若在内．
①当平分时，的度数为
②当时，求的度数．
(2)嘉嘉说∶“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说∶“你说的不对，的度数能算到，且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由
(3)若射线从出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于），请直接写出的度数．
【经典题型十二 角度的四则运算】
1．已知，以为端点作射线，使，则的度数为（ ）．
A．B．
C．或D．或
2．下列度分秒的换算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．计算： .
4． ； ； ； ．
5．计算：
(1)
(2)
【经典题型十三 实际问题中角度计算问题】
1．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
2．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
3双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度．
4．在9点至10点之间的某时刻，钟表的时针与分针构成的夹角是110°，则这时刻是9点 分．
5．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
【经典题型十四 角平分线的有关计算】
1．如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点为线段外一点，点为上任意四点，连接，，则下列结论：①以O为顶点的角共有15个；②若，则；③若为中点，为中点，则；④若平分平分，，则；正确的有( )
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
3．如图，是的平分线，平分，且，则 ．
4．如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．
5．问题提出
如图（1），已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
（1）若，求的长；
（2）若把“点为线段上的一个动点”改为“点为直线的一个动点”，当时，求的长；
知识迁移
（3）如图（2），过的内部任一点画射线，其中分别平分和；试猜想与的大小关系，并说明理由．
【经典题型十五 角n等分线的有关计算】
1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
2．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
3已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ．
4．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．
（1）如图1，若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．
①则 ；
②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
5．解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【重难点训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（ ）度
A．B．C．D．
3．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023下·山东淄博·六年级统考期中）如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·七年级课时练习）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）
A．只有①④B．只有①③④
C．只有③④D．①②③④
6．（2021上·湖北·七年级校考阶段练习）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论①以为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若为的中点，为的中点，则；④若，，则．中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022上·七年级单元测试）如图，以点为端点引条射线时，共有 个角；以点为端点引条射线时，共有 个角以点为端点引条射线时，共有 个角用含的代数式表示．
8．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．
9．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线，交于点．射线平分，若，则等于 ．
10．（2023上·广西防城港·八年级统考期中）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，并能绕点自由旋转，若，则 ．
11．（2023下·河南南阳·七年级统考期中）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．
12．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．
13．（2023上·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)与是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
14．（2023上·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
15．（2022上·云南红河·七年级统考期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数．
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
16．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，已知内部有两条射线，，平分，平分，，的度数分别为，，求的度数．
17．（2022上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，分别平分与．
(1)求的度数；
(2)若，，且，求的度数
18．（2022上·广东珠海·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分．
(1)如图①，与的数量关系为______；
(2)如图①，如果，求的度数；
(3)若将图①中的绕点O旋转至图②的位置，依然平分，若，请猜想的度数（可用表示），并说明理由．
19．（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）【情境探究】
如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是的中点，探究线段的特征．
(1)若，则________；
(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；
(3)如图2，已知，，在内部转动，分别是和的角平分线，求的度数；
(4)请直接写出，和之间的数量关系．
20．（2023上·河北唐山·七年级统考期中）如图1，已知长方形的纸片．
操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______；
操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数：
操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数．
专题11 角与角的计算重难点题型专训（15大题型）
【题型目录】
题型一 角的概念理解
题型二 角的表示方法
题型三 角的分类
题型四 钟面角
题型五 方向角的表示
题型六 与方向角有关的计算
题型七 角的单位与角度制
题型八 角的度数大小比较
题型九 角的比较
题型十 三角板中角度计算问题
题型十一 几何图形中角度计算问题
题型十二 角度的四则运算
题型十三 实际问题中角度计算问题
题型十四 角平分线的有关计算
题型十五 角n等分线的有关计算
【知识梳理】
知识点：角的表示
（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB；
（2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A；
（3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α；
（4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1．
角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形．
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
【经典题型一 角的概念理解】
1．用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变．
【详解】解：放大镜看一个的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变，
故选：D．
【点睛】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质．
2．下列关于角的说法正确的是（ ）
A．角是由两条射线组成的图形B．在角一边延长线上取一点
C．角的边越长，角越大D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
【答案】D
【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的边没有长短之分，分别进行分析．
【详解】解：．角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故错误；
．角的边是射线，不能延长，故错误；
．角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故错误；
．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故正确．
【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
3．如图，则图中共有 个角．
【答案】
【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个．
【详解】解：∵图中有两条射线，
∴图中角的数量为个，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据角中射线的数量求角的个数，根据图形找出规律是解题的关键．
4．如图，从点O出发的五条射线，可以组成 个角．
【答案】10
【分析】由一条射线为边可以得到4个角，共5条射线，考虑重复计算即可求解．
【详解】解：由一条射线为边可以得到4个角，共5条射线，
∴共4×5÷2=10个角．
故答案为：10
【点睛】本题考查了如何求角的数量问题，可以根据详解计算，注意在计算过程中每个角计算了两次，故要除以2，本题也可以按照顺序依次写出来求解．
5．解答下列各题
（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【答案】（1）3，6，10，15；（2）；（3）2043231
【分析】（1）若∠AOB内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；
（2）若∠AOB内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；
（3）把2020代入求解即可．
【详解】解：（1）填表如下：
（2）当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：
，
即内射线的条线是n时，
角总个数为：
（3）当内有射线条数是2020时，
角总个数为：（个）．
【点睛】本题主要考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成n（n-1）个角．
【经典题型二 角的表示方法】
1．下列四个图中的也可以用,表示的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
【详解】A项，可以用表示，但没有办法表示任何角，故该选项不符合题意；
B项，可以用表示，也可以表示∠1，故该选项符合题意；
C项，不能表示，故该选项不符合题意；
D项，可以用表示，但没有办法表示任何角，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
2如图所示，在∠AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为( )．
A．10B．15C．5D．20
【答案】A
【分析】根据图形写出各角即可求解.
【详解】图中的角有∠AOB、∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠EOB、∠EOD、∠EOC、∠COB、∠COD、∠DOB，共10个.
故选A.
【点睛】此题主要考查角的个数，解题的关键是依次写出各角.
3．按照图填空：
(1)可用一个大写字母表示的角有 .
(2)必须用三个大写字母表示的角有 .
(3)以B为顶点的角共有 个，分别表示为 .
【答案】 ， ，，，， 3 ，，
【分析】根据角的表示方法：即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
【详解】（1）∵以A、 C为顶点的角有两个，
∴能用一个大写字母表示的角有， ；
（2）∵只要角的顶点及两边均有大写字母，则此角可用三个大写字母表示，
∴可用三个大写字母表示的角是，，，， ；
（3）由图可知以B为顶点的角共有3个，分别是，，.
【点睛】此题考查角的概念，解题关键在于掌握其概念.
4．如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表．
【答案】
【分析】角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
【详解】解：把同一个角用不同的表示方法表示出来，如下表：
故答案为：，，，，．
【点睛】本题考查了角的概念，解决本题的关键是掌握角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
5．（角的概念与表示）观察图形，解答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角；
(2)写出以为顶点的角；
(3)图中共有几个小于平角的角？
【答案】(1)，；
(2)，，；
(3)9个
【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（3）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．
【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：，；
（2）以为顶点的角有3个：，，；
（3）图中小于平角的角有9个：，，，，，，，，．
【点睛】本题考查了角的概念，从一点引出两条射线组成的图形就叫做角，角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字．
【经典题型三 角的分类】
1．已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确．这名同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】先根据，都是钝角求出的取值范围，再看哪个同学所求结果在范围内即可．
【详解】∵，都是钝角，
∴，
即，
∴，
在甲、乙、丙、丁四名同学的计算结果中，只有乙同学的结果在范围内，
故选B．
【点睛】本题考查了钝角的定义，解题的关键是根据钝角的取值范围求出．
2．若为锐角，为直角，为钝角，则的值可能是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据锐角，直角，钝角的定义得出各角的范围，再根据最大值和最小值求出的范围，选择合适的可能值即可．
【详解】解：∵为锐角，为直角，为钝角，
∴，，，
∴，
即，
∴值可能是，
故选B．
【点睛】本题考查了角的分类，掌握各种角的取值范围是解题的关键．
3．下列说法中，正确的有 个
①小于的角是锐角；
②等于的角是直角；
③大于的角是钝角；
④平角等于；
⑤周角等于．
【答案】3
【分析】根据锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义即可判断．
【详解】解：①小于的角也可能是，不一定是锐角，原说法错误；
②等于的角是直角，说法正确；
③平角大于但不是钝角，原说法错误；
④平角等于，说法正确；
⑤周角等于，说法正确，
故正确有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题，掌握相应的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例．
4．如图，点O是直线AB上一点，图中共有 个小于平角的角．
【答案】5
【分析】根据题意结合角的表示方法，即可得出答案．
【详解】解：如图所示：小于平角的角有：∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠DOB，一共5个．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了平角的定义，熟练掌握180°是平角是解题的关键．
5．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题：
（1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O；
（2）画出射线OC和射线OD；
（3）在以上图形中，共有 个锐角，共有 个小于180°的角．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2，5
【分析】（1）根据直线和线段中点的定义，即可求解；
（2）根据射线的定义，即可求解；
（3）根据题意可得锐角有∠AOC，∠BOD，小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，直线AB，点O即为所求；
（2）射线OC、OD即为所求；
（3）锐角有∠AOC，∠BOD，共有2个，
小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，共5个．
【点睛】本题主要考查了直线、射线和线段中点的定义，角的分类，熟练掌握直线、射线和线段中点的定义，角的分类是解题的关键．
【经典题型四 钟面角】
1．钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．
【详解】解：如图，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为
从到，，钟表上的分针经过40分钟旋转的角度是，
钟表上的时针经过40分钟旋转的角度是 度．
故选：B
【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．钟表问题中的常见结论：①分针每转动1°时针转动 ；②两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°．
2．钟表盘上时针与分针之间的夹角为，此时钟表盘上指示的时间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据钟表盘上，时针一小时是，分针一分钟是，逐一计算角度即可得到答案．
【详解】解：A、钟表盘上指示的时间是，钟表盘上时针与分针之间的夹角为，不符合题意，选项错误；
B、钟表盘上指示的时间是，钟表盘上时针与分针之间的夹角为，不符合题意，选项错误；
C、钟表盘上指示的时间是，钟表盘上时针与分针之间的夹角为，不符合题意，选项错误；
D、钟表盘上指示的时间是，钟表盘上时针与分针之间的夹角为，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时针一小时是，分针一分钟是是解题关键．
3．新型冠状病毒疫情期间，同学们参加线上课学习，第一节课上课时间是上午9点，此时分针和时针的夹角（小于的角）是 ．
【答案】/90度
【分析】根据钟面分12格，每格是，9到12是3格，即可获得答案．
【详解】解：上午9点时，分针指向12，时针指向9，
钟面分12格，每格是，9到12是3格，
所以分针和时针的夹角是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键．
4．（1）6时整，钟表时针和分针构成的角度是 ．
（2）8时整，钟表时针和分针构成的角度是 ．
（3）8点30分，钟表时针和分针构成的角度是 ．
【答案】 /180度 /120度 /75度
【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：（1）6时整，钟表时针和分针构成的角度是，
（2）8时整，钟表时针和分针构成的角度是，
（3）8点30分，钟表时针和分针构成的角度是 ，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数．
5．如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．
(1)写出和的度数，并比较两个角的大小；
(2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等．
【答案】(1)，，
(2)．（答案不唯一）
【分析】（1）根据分针1分钟走，时针1分钟走进行求解即可；
（2）根据（1）写出结合钟面角的特点进行求解即可．
【详解】（1）解：∵分针1分钟走，时针1分钟走，
∴，，
∴；
（2）解：时的时候时针与分针的夹角为，40分钟后，分针指向数字8，则此时时针与分针的夹角为，
∴时，时针、分针所夹的度数与的度数相等．
【点睛】本题主要考查了钟面角的计算，熟知分针1分钟走，时针1分钟走是解题的关键．
【经典题型五 方向角的表示】
1．如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（ ）
A．南偏东40°B．北偏东50°C．南偏西40°D．北偏西50°
【答案】C
【分析】根据B在A的北偏东方向，即可得出直线AB与B点正南方向的夹角为，再根据A的位置即可得到答案．
【详解】解：B在A的北偏东40°方向，
∴小岛A相对于小岛B的方向是南偏西，
故选：C．
【点睛】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法．
2．如图，下列判断正确的是（ ）．
A．看的仰角是B．看的俯角是45°
C．C看B的俯角D．在的南偏西
【答案】C
【分析】根据仰角、俯角以及方位角的定义判断即可．
【详解】A、判断不正确；
B、判断不正确；
C、判断正确；
D、判断不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查俯角、仰角、方位角的定义，正确的识别图形是解题的关键．
3．如图，点A在点O的 方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是
【答案】 北偏东28° 107°
【分析】根据方向角的定义，再求出28°的余角，然后再加上45°，进行计算即可解答．
【详解】解：已知，点A在点O的北偏东28°方向，
由题意得：
90°-28°=62°，
∴∠AOB=62°+45°=107°，
∴点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是107°，
故答案为：北偏东28°，107°．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
4．一艘旅游船从点出发沿北偏东方向航行，到达景点后，进行了的转弯，然后沿着方向航行，则为 方向．
【答案】北偏西或南偏东
【分析】由AE∥BF，可得∠FBG＝∠EAB＝55°，再根据∠C1BG＝∠DBF＝90°，即可得出∠C1BG＝∠C2BH＝35°，即可得出BC的方向．
【详解】解：如图，
∵AE∥BF，
∠FBG＝∠EAB＝55°，
又∵∠C1BG＝∠DBF＝90°，
∴∠C1BG＝∠C2BH＝35°，
∴BC的方向为：北偏西或南偏东
故答案为：北偏西或南偏东．
【点睛】本题考查了方向角，解决本题的关键是利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5．小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【答案】(1)见解析图；
(2)；
(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【分析】（）根据要求画出图形即可；
（）得与正东方向的夹角，从而求得的度数；
（）求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可．
【详解】（1）如图，点即为所求；
（2）∵，
∴与正东方向的夹角为，
；
（3）由（）得与正东方向的夹角为，
∵，
∴与正东方向的夹角为：，
∵正东和正北的夹角为，
∴与正北方向的夹角为：，
∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【经典题型六 与方向角有关的计算】
1．从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出草图，根据图形计算即可
【详解】解：由题意得出图形：
所以，
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是方向角，关键是根据题意准确画出图形，根据图形求角的度数．
2．如图，甲从处出发沿北偏西方向行走至处，又沿南偏西方向行走至处，此时再沿与出发时一致的方向行走至处，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用方向角的定义得出，进而利用平行线的性质得出答案．
【详解】解：如图所示：
，
根据题意可得：，
沿南偏西方向行走至处，此时再沿与出发时一致的方向行走至处，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方向角的定义，根据题意得出是解题的关键．
3．从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C．轮船B在点A的北偏东 方向；轮船C在点A的南偏东方向，则 ．
【答案】
【分析】首先根据题意画出草图，然后由方向角的定义，确定、与正北方向、正南方向的夹角；然后根据角的关系计算，即可求出的度数．
【详解】解：如图，
∵轮船B在点A的北偏东方向；轮船C在点A的南偏西方向，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与方向角有关的计算，解决本题的关键是掌握方向角的定义．
4．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么，从岛看，两岛的视角为 ．
【答案】
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此可求，，从而求出．
【详解】解：岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，
，
岛在岛的北偏东方向，
，
，
从B岛看，两岛的视角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键．
5．如图1，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上．货轮B在码头O的西北方向上．
（1）仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）如图2，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北的OC的方向行驶，货轮D向北偏西的OD方向航行，求∠COD的度数；
（3）令有两艘货轮从码头O出发，货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶，货轮F向北偏西x°的OF方向航行，请直接用等式表示与之间所具有的数量是 ．
【答案】（1）画图见解析；（2）∠COD =90°；（3）．
【分析】(1)根据方向角西北方向上的度数，可得图；
(2)根据余角的关系，可得∠COD的度数；
(3)根据角的和差， ；
【详解】（1）
射线OB的方向就是西北方向，即货轮B所在的方向．
（2）解：由已知可知，∠MOQ=90°，∠COQ=．
所以，∠MOC=∠MOQ-∠COQ =．
又因为∠DOM=，
所以，∠COD =∠MOC+∠DOM =90°．
（3）因为∠FOQ =∠FOM+∠MOQ =90°+x°，∠MOE=∠MOQ-∠QOE =90°-x°
所以．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图,方向角,利用余角与角的和差的关系得出角的度数是解题关键．
【经典题型七 角的单位与角度制】
1．用度、分、秒表示31.21°为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据1度等于60分，1分等于60秒，31.21°由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可.
【详解】解：31.21°=
故选：A
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，掌握换算公式是解题的关键.
2．下列关于度、分、秒的换算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据1°=60′，1′=60″进行计算即可．
【详解】解：A、83.3°=83°18ˊ，故A错误；
B、26°12ˊ15″≈37.2°，故B错误；
C、15°18ˊ18″=15.31°，故C错误；
D、41.15°=41°9ˊ，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握1°=60′，1′=60″是解题的关键．
3． ° ；
【答案】 26 52
【分析】根据1度分，即，1分秒，即进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算．
【详解】．
故答案为：①26，②52．
【点睛】考查了度分秒的换算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
4．计算： ； °；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为 度．
【答案】
【分析】①利用角度的四则运算即可得到答案；②根据、进行换算，即可得到答案；③根据时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转，分别计算时针、分针与0点的夹角，计算角度差即可得到答案．
【详解】解：①，
故答案为：；
②，
，
，
，
故答案为：；
③当时钟指向时间为时，时针走过小时，分钟走过分钟，
时针与0点的夹角为，
分针与0点的夹角为，
钟表上的时针与分针的夹角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角度的四则运算，角的单位换算，钟面角，解题关键是掌握角度的加法法则：进行角度的加法运算时，同单位相加，即度与度相加、分与分相加、秒与秒相加，秒够60进1分，分够60进1度；同时也要掌握时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转．
5．计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据度分秒的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：．
【点睛】本题主要考查了度分秒的计算，掌握度分秒的运算法则是解答本题的关键．
【经典题型八 角的度数大小比较】
1．已知，下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将转化为，即可得出答案．
【详解】由，
又因为，
所以．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键．
2．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论．
【详解】∵，，=25°，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键．
3．比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【分析】将化为，再进行比较即可得出答案．
【详解】解：，
，
，即，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查度、分、秒换算，掌握度、分、秒的换算方法是得出正确的前提．
4．比较大小： （填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】先把单位化统一，再比较大小即可到答案．
【详解】解：，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了角的大小比较，注意单位要化统一，掌握是解题关键．
5．如图所示表示两块三角板．
（1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；
（2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．
【答案】（1）∠2＝∠1＞∠α；（2）∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ
【分析】1）将角的顶点重合，角的两边重合，看第三边的位置关系，分类判断即可；
（2）用量角器测量比较即可．
【详解】解：（1）如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，
可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．
（2）用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，
把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．
【点睛】本题考查了了角的大小比较的方法，熟练掌握叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较，是解题的关键．
【经典题型九 角的比较】
1．如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据角的和与差进行比较，，即；利用，选项D正确，再减去共同角，可得，由此得到正确选项．
【详解】∵
∴即，所以A正确；
∵
∴，所以D正确；
∴即，所以B正确．
故选C．
【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键．
2．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求得∠COB的值；OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则可求得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，计算得出结果．
【详解】∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，
∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=65°，
∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=∠AOC=20°，
∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．
∴∠MON的度数是45°．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．
3．计算：70°39′= °；比较大小:52°52′ 52.52°.(选填“＞”、“＜”或“=”)
【答案】 70.65° ＞
【分析】将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论.
【详解】70°39′=70°+39′60=70°+0.65°=70.65°，
∵0.52×60=31.2，0.2×60=12，
∴52.52°=52°31′12″，
52°52′＞52°31′12″，
故答案为：70.65°；＞．
【点睛】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较．
4．比较大小：
－（-3.5） ﹣｜－4.5｜，38.15° 38°15′（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】 ＞ ＜
【分析】第一空先根据相反数，绝对值求出每个式子的值，再比较即可；第二空先把38.15°转化成度、分的形式，再进行比较．
【详解】∵-（-3.5）=3.5，-|-4.5|=-4.5，3.5>-4.5，
∴-（-3.5）＞-|-4.5|，
∵1°=60′，
∴38.15°=38°+（0.15×60）′=38°9′，
∴38°15′＜38.15′．
故答案为＞；＜.
【点睛】此类题实际上是进行度、分、秒的转化运算，然后再进行比较，相对比较简单，注意以60为进制即可．
5．已知：如图，，平分，且．
（1）_____；
（2）____；
（3）求的度数．
【答案】（1）3；（2）；（3）
【分析】(1)根据∠COB=2∠AOC，∠COB+∠AOC=∠AOB可得∠AOB=3∠AOC，
(2)由OD平分 ∠AOB ，∠COD=∠AOD-∠AOC可得∠COD与∠AOC的关系．
(3)由OD平分∠AOB得到∠AOD=∠AOB又由∠AOD=∠AOC+∠COD，可得∠COD与∠AOB
的关系，从而求出∠AOB的度数．
【详解】解：(1)∵∠COB=2∠AOC， ∠COB+∠AOC=∠AOB
∴∠AOB=∠AOC+2∠AOC=3∠AOC
(2)∵∠COD=∠AOD-∠AOC
= ∠AOB- ∠AOB= ∠AOB
又∵∠AOB=3∠AOC
∴∠COD=∠AOB=×3∠AOC=∠AOC
(3)∵OD平分∠AOB
∴∠AOD=∠AOB
又∵∠AOD=∠AOC+∠COD
∴∠AOB=∠AOB+19°
∠AOB=19°
∠AOB=114°
故答案为：（1） 3；（2） ；（3） ∠AOB=114°
【点睛】本题考查角的平分线，角的和差倍分，学会根据图形和题意，理清各个角之间的和差倍分，掌握角的平分线性质是解题关键．
【经典题型十 三角板中角度计算问题】
1．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点与三角尺①的顶点重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论即可．
【详解】解：（1）当与边的夹角为时，
①当在下方时，
∵，
∴；
∵，
∴，
②当在上方时，
∵，
∴；
（2）当与边的夹角为时，
①当在下方时，
∵，
∴，
∴，
②当在上方时，
∵，
∴，
综上：另一条直角边与边的夹角可能是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握三角板的各个角度，以及正确画出图形，具有分类讨论的思想．
2．如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令为，为，，根据即可得到与满足的数量关系．
【详解】解：令为，为，，
恰好是的角平分线，
，
，
，
，即，
．
故选B．
【点睛】此题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，旋转的性质有关知识．
3．将三角板的直角顶点O放置在直线上（如图），若，射线平分，则的大小为 ．
【答案】/32度
【分析】由题意可知，，得到，再根据角平分线的定义得到，从而得到，即可求出的大小．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了平角的性质，角平分线的定义，角的和差计算，根据题意找出各角之间的数量关系是解题关键．
4．一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．
【答案】105
【分析】根据角平分线的性质分别求出，的值，计算即可．
【详解】解：如图1：
∵，，，
∴，
，
∵平分，平分，
∴，
，
∵，
即，
∴；
如图2：
∵，，，
∴，
，
∵平分，平分，
∴，
，
∵，
即，
∴；
∴；
故答案为：105．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．如图是内部的一条射线，把三角板角的顶点放到O处，转动三角板，当三角板的边平分时，三角板的另一边也恰好平分：
(1)求的度数．
(2)射线一定平分吗？若平分，求和度数
【答案】(1)
(2)射线不一定平分，的度数为，的度数为
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差关系进行计算即可解答；
（2）根据和不一定相等，从而可得射线不一定平分，然后利用角平分线的定义可得，再利用（1）的结论进行计算即可解答．
【详解】（1）∵边平分，平分，
∴，，
∵，
∴
，
∴的度数为；
（2）射线不一定平分，
∵平分，
∴，
由（1）可得：
，，
∴的度数为，的度数为．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握双角平分线模型是解题的关键．
【经典题型十一 几何图形中角度计算问题】
1．如图，平分，平分，，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义和角的运算求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和角度的运算，熟练掌握与角平分线的有关的角度运算是解答的关键．
2．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（ ）
A．30°B．120°C．30°或120°D．60°或90°
【答案】C
【分析】分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案．
【详解】解：如图1所示，当在内部时，
∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
如图2所示，当在外部时，
∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
综上所述，的角度是30度或120度，
故选C．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
3．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜反射后，沿E方向射出，已知，则 ．
【答案】/度
【分析】根据条件可得，在中，可求，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相交线，得到是关键．
4．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果，，那么的度数是 ．
【答案】/度
【分析】根据，利用正方形的角都是直角，即可求得和的度数从而求解．
【详解】，
，
又，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角度的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键．
5．已知，过顶点O作射线，且平分，平分．
(1)如图，若在内．
①当平分时，的度数为
②当时，求的度数．
(2)嘉嘉说∶“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说∶“你说的不对，的度数能算到，且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由
(3)若射线从出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于），请直接写出的度数．
【答案】(1)①；②
(2)琪琪的说法正确，的度数不变为，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差运算，以及数形结合的数学思想，分类讨论是解（3）的关键．
（1）①根据角平分线的定义先求的度数，再求的度数即可；
②先求，再求，然后根据角平分线的定义即可；
（2）由角平分线的定义得，，然后根据求解即可；
（3）设旋转角为，分两种情况解答：①当时；②当时，在的下方，分别根据角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）①∵，平分，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：；
②∵，，
∴．
∴．
∵平分，
∴；
（2）琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∴
；
（3）设旋转角为，
①当时，如图，
∵平分，平分，
∴．
∵，，
∴；
②当时，在的下方，如图，
∵平分，平分，
∴．
∵，，
∴.
【经典题型十二 角度的四则运算】
1．已知，以为端点作射线，使，则的度数为（ ）．
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】分两种情况，射线在内部或外部，分别讨论即可．
【详解】解：当射线在内部时，
；
当射线在外部时，
．
的度数为或．
故选：C．
【点睛】本题考查角的计算，关键是分两种情况讨论．
2．下列度分秒的换算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故A不符合题意；
B.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故B不符合题意；
C.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故C不符合题意；
D.∵，
∴，
∴，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
3．计算： .
【答案】
【分析】度分秒的计算，分别对度、分进行减法运算即可．
【详解】解答：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了角度制的计算，熟知角度制的运算法则是解题关键．
4． ； ； ； ．
【答案】 114 25 28 51 36 158 46 40
【分析】根据，逐个计算即可解答．注意：高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
【详解】解：
；
；
；
，
故答案为：；114；25；28；51；36；158；46；40．
【点睛】此题主要考查了度、分、秒的换算，此类题是进行度、分、秒的加、减、乘、除计算，注意以60为进制即可．
5．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查角的运算，掌握角的运算法则是解题的关键
【经典题型十三 实际问题中角度计算问题】
1．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可．
【详解】解：如图：
∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处
∴∠2=∠3=，∠1=
∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．
2．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
【答案】C
【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误．
【详解】解：由题意知，；当时，；当时，；
令，即，解得秒，
∴存在的情况；
故A错误，不符合题意；
令，即，解得秒，
令，即，解得秒，
∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；
故B、D错误，不符合题意；
当时，，
∴，
∵，
∴射线恰好平分，
故C正确，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度．
3双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度．
【答案】5
【分析】根据时针每小时转，每分钟转，得出9点50分时针转过，分针每分钟转，得出分针一共转过，据此即可求解．
【详解】解：时钟指示9时50分时，分针指到10，时针指到9与10之间．
∵时针从12到这个位置经过了50分钟，时针每小时转，每分钟转，因而转过，
分针每分钟转过，因而转过了，
∴时针和分针所成的夹角是．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键．
4．在9点至10点之间的某时刻，钟表的时针与分针构成的夹角是110°，则这时刻是9点 分．
【答案】或
【分析】设分针转的度数为x，则时针转的度数为,根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：设分针转的度数为x，则时针转的度数为,
当时，，
∴
当时，
∴
故答案为：或
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用----钟面角，正确的理解题意是解题的关键．
5．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
【答案】(1)90
(2)正确，代数式的值为；
(3)①；②当时，；当时，．
【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出；
（2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论；
（3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：90；
（2）∵，
设，则，
∴，，
∴．
∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为；
（3）解：∵，
∴，，
设运动时间为，则，则．
①运动停止时，即时，OA旋转的角度为，
∴，
故答案为：；
②当点C，O，A三点共线时，；
∴当时，，，
∴；
当时，，
，
∴．
综上，当时，；当时，．
【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键．
【经典题型十四 角平分线的有关计算】
1．如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出．
【详解】解：由折叠知：，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算．
2．如图，点为线段外一点，点为上任意四点，连接，，则下列结论：①以O为顶点的角共有15个；②若，则；③若为中点，为中点，则；④若平分平分，，则；正确的有( )
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】握手定理求出以O为顶点的角的个数，判断①；根据，，得到，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③，根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断④．
【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确；
，，
，
，即 ，故②错误；
由中点定义可得：，，
，
，
，故③正确；
由角平分线的定义可得：，，
，
，
，
，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力．握手定理内容：有n个人握手，每人握手x次，握手总次数为．
3．如图，是的平分线，平分，且，则 ．
【答案】72°/72度
【分析】根据角平分线的概念进行计算即可．
【详解】解：平分，，
，
又是的平分线，
，
故答案为：72°．
【点睛】本题考查角平分线，理解角平分线的概念是正确计算的前提．
4．如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．
【答案】
【分析】由角的和差关系可得，根据角的平分线的行医可得，，结合即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出、、的度数和得出．
5．问题提出
如图（1），已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
（1）若，求的长；
（2）若把“点为线段上的一个动点”改为“点为直线的一个动点”，当时，求的长；
知识迁移
（3）如图（2），过的内部任一点画射线，其中分别平分和；试猜想与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由，点D、E分别是和的中点，即可推出；
（2）分两种情况：①当点C在线段上；②当点C在A的左边；根据线段的中点与和差关系可得的长；
（3）由分别平分和，即可推出，即可得结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵点D、E分别是和的中点，
∴，，
∴；
（2）分两种情况： ①当点C在线段上，由（1）得；
②当点C在直线的左边，如图所示，
∴，
∵，且D是的中点，
∴，
又∵E分别是的中点，
∴，
∴，
∴当C在直线上时，线段的长度是；
综上，的长是．
（3），理由如下：
∵、分别平分和，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和线段的中点的性质，线段的和差运算，角的和差运算，关键在于认真地进行计算，熟练运用相关的性质定理．
【经典题型十五 角n等分线的有关计算】
1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
综上，为或或，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
2．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，射线为的三等分线．
∴或，
∴，
∴的度数为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
3已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ．
【答案】或
【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可．
【详解】解：∵射线是的三等分线，
∴或，
当时，如图：
∵，，
∴，
∵射线为的平分线，
∴，
∴；
当时，如图：
∵，，
∴，
∵射线为的平分线，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．
4．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．
（1）如图1，若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．
①则 ；
②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】 /度 /度 或
【分析】（1）根据三分线的定义计算即可；
（2）①根据三分线的定义计算即可；
②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可．
【详解】（1）解：∵，则是的一条三分线．
∵
∴,
故答案为：
（2）①∵，是的两条三分线，，
∴，
故答案为：；
②∵，，是的两条三分线，
∴，
由旋转得：，
分两种情况：
当是的三分线，且时，可得，
∴，
∴，即；
当是的三分线，且时，可得，
∴，即；
故答案为：或．
【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
5．解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是
(2)30°，20°或40°
(3)或或
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；
(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；
(3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵平分，
∴,
∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．
故答案为：是．
（2）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
（3）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
【重难点训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据方位角的概念即可求解．
【详解】解：如图所示，
甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角，根据方向角的概念正确画出图形是解答此题的关键．
2．（2022上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（ ）度
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据钟面，每小时一个大格，每个度数为，即可得出图①钟面的角的度数，从而列式求解即可得到答案．根据钟面，的时针与时针之间间隔度数为，即可得出时的时针与分针之间间隔度数．
【详解】解：图①钟面的角的度数为：；
的时针与时针之间间隔度数为，
∴时的时针与分针之间间隔度数为，
∴图②钟面的角的度数为：．
故选：C．
【点睛】本题考查钟面角的应用，掌握钟面每一个大格的角度是解决问题的关键．
3．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2023下·山东淄博·六年级统考期中）如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出．
【详解】解：由折叠知：，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算．
5．（2023上·七年级课时练习）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）
A．只有①④B．只有①③④
C．只有③④D．①②③④
【答案】B
【分析】根据补角以及角平分线的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴，
∴与互为余角，
故①正确．
∵平分，
∴，
∴无法推断得到，
故②错误．
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确．
∵，
∴．
∵平分，
∴
故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查角平分线、补角，熟练掌握角平分线的定义以及补角的定义是解决本题的关键．
6．（2021上·湖北·七年级校考阶段练习）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论①以为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若为的中点，为的中点，则；④若，，则．中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】依据题意，以O为顶点的角的边有6条，得出角的个数为，①正确；设，则，得出，由角平分线求出，得出，得出②正确；求出，③正确；求出，得不出，④错误；即可得出结论．
【详解】解：∵以O为顶点的角的边有6条，
∴角的个数为：，①正确；
，
设，则，
，
平分，平分，
，
，
，②正确；
为中点，N为中点，
，，
，③正确；
，，
，
，
，
得不出，④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段中点的定义、角的个数的计算等知识；熟练掌握角平分线的定义、线段中点的定义是解题的关键．
7．（2022上·七年级单元测试）如图，以点为端点引条射线时，共有 个角；以点为端点引条射线时，共有 个角以点为端点引条射线时，共有 个角用含的代数式表示．
【答案】 3 6
【分析】有公共顶点的n条射线，可构成个角，依据规律解答即可．
【详解】解：以点为端点引条射线时，共有个角；；
以点为端点引条射线时，共有6个角；；
以点为端点引5条射线时，共有个10角；；
……
以点为端点引条射线时，共有个角；
故答案为：3，6，．
【点睛】本题考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键：有公共顶点的n条射线，可构成个角．
8．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．
【答案】66
【分析】根据折叠的性质得到，由平均的定义得到，再根据，，可得，即可得答案．
【详解】解：由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了折叠的性质，余角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线，交于点．射线平分，若，则等于 ．
【答案】/156度
【分析】根据对顶角相等得到，利用角平分线的性质求出的度数，再根据邻补角求出，利用角的和，即可解答．
【详解】解：根据对顶角相等，得：，
射线平分，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查对顶角和邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是熟记对顶角和邻补角的定义．
10．（2023上·广西防城港·八年级统考期中）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，并能绕点自由旋转，若，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了角的计算，根据角度和差即可求解，解题的关键是熟练掌握角度和差计算．
【详解】由，
故答案为：．
11．（2023下·河南南阳·七年级统考期中）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．
【答案】或
【分析】设转动秒，与的夹角是，进行分情况画图 ，列方程即可得到结论．
【详解】设秒后，与的夹角是，
如图，
，
∴，，
∵，
∴，即有，
解得：，
如图，
∴，，
∵，
∴，即有，
解得：，
综上可知：或，与的夹角是，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，角的有关计算，解题的关键是确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
12．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．
【答案】或
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得，由翻折变换的性质可知，，由可得答案；当点N在点M的上方时，设，，则可以得到，由翻折变换的性质可知，，根据即可求解．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
∵，
∴，
由翻折变换的性质可知，，
∴，
∴．
当点N在点M的下方时，设，，
则，
由翻折变换的性质可知，，
∴．
综上所述，满足条件的或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
13．（2023上·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)与是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
【答案】(1)不正确，可表示为
(2)
(3)3个，见解析
(4)见解析
(5)11个
【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根据角的定义和表示方法回答即可．
【详解】（1）不正确，因为以为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示为；
（2）图中可以用一个字母表示；
（3）以A为顶点的角有3个，分别是、、；
（4）因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角．
（5）图中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11个小于平角的角．
【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键．
14．（2023上·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【答案】(1)见解析图；
(2)；
(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【分析】（）根据要求画出图形即可；
（）得与正东方向的夹角，从而求得的度数；
（）求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可．
【详解】（1）如图，点即为所求；
（2）∵，
∴与正东方向的夹角为，
；
（3）由（）得与正东方向的夹角为，
∵，
∴与正东方向的夹角为：，
∵正东和正北的夹角为，
∴与正北方向的夹角为：，
∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2022上·云南红河·七年级统考期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数．
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）先求解，再证明结合，从而可得答案；
（2）证明，，结合，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴
（2），理由如下：
∵
∴，
∵平分，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键．
16．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，已知内部有两条射线，，平分，平分，，的度数分别为，，求的度数．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得，根据已知可得，进而得出，根据即可求解．
【详解】解：∵平分，平分，
∴
∴
∵，，的度数分别为，，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角的和差倍分，数形结合是解题的关键．
17．（2022上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，分别平分与．
(1)求的度数；
(2)若，，且，求的度数
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质，平分，平分，得出，，由，进而求出∠MON的度数；
（2）根据角平分线的定义，可得出，根据，从而得出∠MOB的度数．
【详解】（1）∵平分，平分，，，
∴，，
∴
；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查了角的计算和角平分线的定义，得出，，是解决问题的关键．
18．（2022上·广东珠海·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分．
(1)如图①，与的数量关系为______；
(2)如图①，如果，求的度数；
(3)若将图①中的绕点O旋转至图②的位置，依然平分，若，请猜想的度数（可用表示），并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件和图形可知：，，从而可以得到与的数量关系；
（2）先求出，根据射线平分，得到，再利用即可求解；
（3）利用，表示出，再利用平分，得到，再写出的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）
理由如下：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
19．（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）【情境探究】
如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是的中点，探究线段的特征．
(1)若，则________；
(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；
(3)如图2，已知，，在内部转动，分别是和的角平分线，求的度数；
(4)请直接写出，和之间的数量关系．
【答案】(1)18
(2)的长度不变，18cm
(3)
(4)
【分析】（1）根据，求出的长，中点的性质，求出的长，再根据计算即可；
（2）中点得到，，根据，以及，推出，即可；
（3）角平分线得到，，根据，推出，即可；
（4）同（3）即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴cm，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）的长度不变．理由如下：
∵，分别是AC，BD的中点，
∴，，
∴
∵，，
∴．
（3）解：∵，分别平分和，
∴，，
∴
，
∵，，
∴．
（4）∵，分别平分和，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查线段中点有关的计算，与角平分线有关的计算．解题的关键是正确的识图，找准线段之间的和差关系，角之间的和差关系．
20．（2023上·河北唐山·七年级统考期中）如图1，已知长方形的纸片．
操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______；
操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数：
操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由折叠知，再根据即可求解；
（2）由折叠知，，再根据即可求解；
（3）由折叠知，，再根据即可求解．
【详解】解：（1）由折叠知，
由题意得：
；
故答案为：；
（2）由折叠可知： ，
，
，
，
，
，
；
（3）由折叠知：，，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键．
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
______
______
______
______
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
______
______
______
______
内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
3
6
10
15
题型一 角的概念理解
题型二 角的表示方法
题型三 角的分类
题型四 钟面角
题型五 方向角的表示
题型六 与方向角有关的计算
题型七 角的单位与角度制
题型八 角的度数大小比较
题型九 角的比较
题型十 三角板中角度计算问题
题型十一 几何图形中角度计算问题
题型十二 角度的四则运算
题型十三 实际问题中角度计算问题
题型十四 角平分线的有关计算
题型十五 角n等分线的有关计算
【知识梳理】
知识点：角的表示
（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB；
（2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A；
（3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α；
（4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1．
角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形．
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
【经典题型一 角的概念理解】
1．用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于角的说法正确的是（ ）
A．角是由两条射线组成的图形B．在角一边延长线上取一点
C．角的边越长，角越大D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
3．如图，则图中共有 个角．
4．如图，从点O出发的五条射线，可以组成 个角．
5．解答下列各题
（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【经典题型二 角的表示方法】
1．下列四个图中的也可以用,表示的是（ ）
A．B．
C．D．
2如图所示，在∠AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为( )．
A．10B．15C．5D．20
3．按照图填空：
(1)可用一个大写字母表示的角有 .
(2)必须用三个大写字母表示的角有 .
(3)以B为顶点的角共有 个，分别表示为 .
4．如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表．
5．（角的概念与表示）观察图形，解答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角；
(2)写出以为顶点的角；
(3)图中共有几个小于平角的角？
【经典题型三 角的分类】
1．已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确．这名同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
2．若为锐角，为直角，为钝角，则的值可能是（ ）．
A．B．C．D．
3．下列说法中，正确的有 个
①小于的角是锐角；
②等于的角是直角；
③大于的角是钝角；
④平角等于；
⑤周角等于．
4．如图，点O是直线AB上一点，图中共有 个小于平角的角．
5．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题：
（1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O；
（2）画出射线OC和射线OD；
（3）在以上图形中，共有 个锐角，共有 个小于180°的角．
【经典题型四 钟面角】
1．钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是（ ）
A．和B．和C．和D．和
2．钟表盘上时针与分针之间的夹角为，此时钟表盘上指示的时间是（ ）
A．B．C．D．
3．新型冠状病毒疫情期间，同学们参加线上课学习，第一节课上课时间是上午9点，此时分针和时针的夹角（小于的角）是 ．
4．（1）6时整，钟表时针和分针构成的角度是 ．
（2）8时整，钟表时针和分针构成的角度是 ．
（3）8点30分，钟表时针和分针构成的角度是 ．
5．如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．
(1)写出和的度数，并比较两个角的大小；
(2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等．
【经典题型五 方向角的表示】
1．如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（ ）
A．南偏东40°B．北偏东50°C．南偏西40°D．北偏西50°
2．如图，下列判断正确的是（ ）．
A．看的仰角是B．看的俯角是45°
C．C看B的俯角D．在的南偏西
3．如图，点A在点O的 方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是
4．一艘旅游船从点出发沿北偏东方向航行，到达景点后，进行了的转弯，然后沿着方向航行，则为 方向．
5．小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【经典题型六 与方向角有关的计算】
1．从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，甲从处出发沿北偏西方向行走至处，又沿南偏西方向行走至处，此时再沿与出发时一致的方向行走至处，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C．轮船B在点A的北偏东 方向；轮船C在点A的南偏东方向，则 ．
4．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么，从岛看，两岛的视角为 ．
5．如图1，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上．货轮B在码头O的西北方向上．
（1）仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）如图2，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北的OC的方向行驶，货轮D向北偏西的OD方向航行，求∠COD的度数；
（3）令有两艘货轮从码头O出发，货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶，货轮F向北偏西x°的OF方向航行，请直接用等式表示与之间所具有的数量是 ．
【经典题型七 角的单位与角度制】
1．用度、分、秒表示31.21°为（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于度、分、秒的换算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3． ° ；
4．计算： ； °；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为 度．
5．计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【经典题型八 角的度数大小比较】
1．已知，下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
4．比较大小： （填“”，“”或“”）．
5．如图所示表示两块三角板．
（1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；
（2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．
【经典题型九 角的比较】
1．如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．计算：70°39′= °；比较大小:52°52′ 52.52°.(选填“＞”、“＜”或“=”)
4．比较大小：
－（-3.5） ﹣｜－4.5｜，38.15° 38°15′（填“＞”“＜”或“=”）．
5．已知：如图，，平分，且．
（1）_____；
（2）____；
（3）求的度数．
【经典题型十 三角板中角度计算问题】
1．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点与三角尺①的顶点重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．将三角板的直角顶点O放置在直线上（如图），若，射线平分，则的大小为 ．
4．一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．
5．如图是内部的一条射线，把三角板角的顶点放到O处，转动三角板，当三角板的边平分时，三角板的另一边也恰好平分：
(1)求的度数．
(2)射线一定平分吗？若平分，求和度数
【经典题型十一 几何图形中角度计算问题】
1．如图，平分，平分，，，（ ）
A．B．C．D．
2．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（ ）
A．30°B．120°C．30°或120°D．60°或90°
3．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜反射后，沿E方向射出，已知，则 ．
4．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果，，那么的度数是 ．
5．已知，过顶点O作射线，且平分，平分．
(1)如图，若在内．
①当平分时，的度数为
②当时，求的度数．
(2)嘉嘉说∶“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说∶“你说的不对，的度数能算到，且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由
(3)若射线从出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于），请直接写出的度数．
【经典题型十二 角度的四则运算】
1．已知，以为端点作射线，使，则的度数为（ ）．
A．B．
C．或D．或
2．下列度分秒的换算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．计算： .
4． ； ； ； ．
5．计算：
(1)
(2)
【经典题型十三 实际问题中角度计算问题】
1．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
2．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
3双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度．
4．在9点至10点之间的某时刻，钟表的时针与分针构成的夹角是110°，则这时刻是9点 分．
5．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
【经典题型十四 角平分线的有关计算】
1．如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点为线段外一点，点为上任意四点，连接，，则下列结论：①以O为顶点的角共有15个；②若，则；③若为中点，为中点，则；④若平分平分，，则；正确的有( )
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
3．如图，是的平分线，平分，且，则 ．
4．如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．
5．问题提出
如图（1），已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
（1）若，求的长；
（2）若把“点为线段上的一个动点”改为“点为直线的一个动点”，当时，求的长；
知识迁移
（3）如图（2），过的内部任一点画射线，其中分别平分和；试猜想与的大小关系，并说明理由．
【经典题型十五 角n等分线的有关计算】
1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
2．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
3已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ．
4．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．
（1）如图1，若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．
①则 ；
②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
5．解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【重难点训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（ ）度
A．B．C．D．
3．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023下·山东淄博·六年级统考期中）如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·七年级课时练习）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）
A．只有①④B．只有①③④
C．只有③④D．①②③④
6．（2021上·湖北·七年级校考阶段练习）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论①以为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若为的中点，为的中点，则；④若，，则．中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022上·七年级单元测试）如图，以点为端点引条射线时，共有 个角；以点为端点引条射线时，共有 个角以点为端点引条射线时，共有 个角用含的代数式表示．
8．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．
9．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线，交于点．射线平分，若，则等于 ．
10．（2023上·广西防城港·八年级统考期中）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，并能绕点自由旋转，若，则 ．
11．（2023下·河南南阳·七年级统考期中）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．
12．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．
13．（2023上·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)与是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
14．（2023上·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
15．（2022上·云南红河·七年级统考期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数．
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
16．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，已知内部有两条射线，，平分，平分，，的度数分别为，，求的度数．
17．（2022上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，分别平分与．
(1)求的度数；
(2)若，，且，求的度数
18．（2022上·广东珠海·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分．
(1)如图①，与的数量关系为______；
(2)如图①，如果，求的度数；
(3)若将图①中的绕点O旋转至图②的位置，依然平分，若，请猜想的度数（可用表示），并说明理由．
19．（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）【情境探究】
如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是的中点，探究线段的特征．
(1)若，则________；
(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；
(3)如图2，已知，，在内部转动，分别是和的角平分线，求的度数；
(4)请直接写出，和之间的数量关系．
20．（2023上·河北唐山·七年级统考期中）如图1，已知长方形的纸片．
操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______；
操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数：
操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数．
专题11 角与角的计算重难点题型专训（15大题型）
【题型目录】
题型一 角的概念理解
题型二 角的表示方法
题型三 角的分类
题型四 钟面角
题型五 方向角的表示
题型六 与方向角有关的计算
题型七 角的单位与角度制
题型八 角的度数大小比较
题型九 角的比较
题型十 三角板中角度计算问题
题型十一 几何图形中角度计算问题
题型十二 角度的四则运算
题型十三 实际问题中角度计算问题
题型十四 角平分线的有关计算
题型十五 角n等分线的有关计算
【知识梳理】
知识点：角的表示
（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB；
（2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A；
（3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α；
（4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1．
角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形．
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
【经典题型一 角的概念理解】
1．用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变．
【详解】解：放大镜看一个的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变，
故选：D．
【点睛】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质．
2．下列关于角的说法正确的是（ ）
A．角是由两条射线组成的图形B．在角一边延长线上取一点
C．角的边越长，角越大D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
【答案】D
【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的边没有长短之分，分别进行分析．
【详解】解：．角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故错误；
．角的边是射线，不能延长，故错误；
．角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故错误；
．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故正确．
【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
3．如图，则图中共有 个角．
【答案】
【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个．
【详解】解：∵图中有两条射线，
∴图中角的数量为个，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据角中射线的数量求角的个数，根据图形找出规律是解题的关键．
4．如图，从点O出发的五条射线，可以组成 个角．
【答案】10
【分析】由一条射线为边可以得到4个角，共5条射线，考虑重复计算即可求解．
【详解】解：由一条射线为边可以得到4个角，共5条射线，
∴共4×5÷2=10个角．
故答案为：10
【点睛】本题考查了如何求角的数量问题，可以根据详解计算，注意在计算过程中每个角计算了两次，故要除以2，本题也可以按照顺序依次写出来求解．
5．解答下列各题
（1）如图，在中，以O为顶点引射线，填表：
（2）若内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论．
（3）若内有射线条数是2020，则角的总个数为多少？
【答案】（1）3，6，10，15；（2）；（3）2043231
【分析】（1）若∠AOB内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；
（2）若∠AOB内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可；
（3）把2020代入求解即可．
【详解】解：（1）填表如下：
（2）当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：，
当时，角总个数为：
，
即内射线的条线是n时，
角总个数为：
（3）当内有射线条数是2020时，
角总个数为：（个）．
【点睛】本题主要考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成n（n-1）个角．
【经典题型二 角的表示方法】
1．下列四个图中的也可以用,表示的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
【详解】A项，可以用表示，但没有办法表示任何角，故该选项不符合题意；
B项，可以用表示，也可以表示∠1，故该选项符合题意；
C项，不能表示，故该选项不符合题意；
D项，可以用表示，但没有办法表示任何角，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
2如图所示，在∠AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为( )．
A．10B．15C．5D．20
【答案】A
【分析】根据图形写出各角即可求解.
【详解】图中的角有∠AOB、∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠EOB、∠EOD、∠EOC、∠COB、∠COD、∠DOB，共10个.
故选A.
【点睛】此题主要考查角的个数，解题的关键是依次写出各角.
3．按照图填空：
(1)可用一个大写字母表示的角有 .
(2)必须用三个大写字母表示的角有 .
(3)以B为顶点的角共有 个，分别表示为 .
【答案】 ， ，，，， 3 ，，
【分析】根据角的表示方法：即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
【详解】（1）∵以A、 C为顶点的角有两个，
∴能用一个大写字母表示的角有， ；
（2）∵只要角的顶点及两边均有大写字母，则此角可用三个大写字母表示，
∴可用三个大写字母表示的角是，，，， ；
（3）由图可知以B为顶点的角共有3个，分别是，，.
【点睛】此题考查角的概念，解题关键在于掌握其概念.
4．如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表．
【答案】
【分析】角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
【详解】解：把同一个角用不同的表示方法表示出来，如下表：
故答案为：，，，，．
【点睛】本题考查了角的概念，解决本题的关键是掌握角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
5．（角的概念与表示）观察图形，解答下列问题：
(1)写出能用一个字母表示的角；
(2)写出以为顶点的角；
(3)图中共有几个小于平角的角？
【答案】(1)，；
(2)，，；
(3)9个
【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；
（3）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．
【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：，；
（2）以为顶点的角有3个：，，；
（3）图中小于平角的角有9个：，，，，，，，，．
【点睛】本题考查了角的概念，从一点引出两条射线组成的图形就叫做角，角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字．
【经典题型三 角的分类】
1．已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确．这名同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】先根据，都是钝角求出的取值范围，再看哪个同学所求结果在范围内即可．
【详解】∵，都是钝角，
∴，
即，
∴，
在甲、乙、丙、丁四名同学的计算结果中，只有乙同学的结果在范围内，
故选B．
【点睛】本题考查了钝角的定义，解题的关键是根据钝角的取值范围求出．
2．若为锐角，为直角，为钝角，则的值可能是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据锐角，直角，钝角的定义得出各角的范围，再根据最大值和最小值求出的范围，选择合适的可能值即可．
【详解】解：∵为锐角，为直角，为钝角，
∴，，，
∴，
即，
∴值可能是，
故选B．
【点睛】本题考查了角的分类，掌握各种角的取值范围是解题的关键．
3．下列说法中，正确的有 个
①小于的角是锐角；
②等于的角是直角；
③大于的角是钝角；
④平角等于；
⑤周角等于．
【答案】3
【分析】根据锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义即可判断．
【详解】解：①小于的角也可能是，不一定是锐角，原说法错误；
②等于的角是直角，说法正确；
③平角大于但不是钝角，原说法错误；
④平角等于，说法正确；
⑤周角等于，说法正确，
故正确有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题，掌握相应的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例．
4．如图，点O是直线AB上一点，图中共有 个小于平角的角．
【答案】5
【分析】根据题意结合角的表示方法，即可得出答案．
【详解】解：如图所示：小于平角的角有：∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠DOB，一共5个．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了平角的定义，熟练掌握180°是平角是解题的关键．
5．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题：
（1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O；
（2）画出射线OC和射线OD；
（3）在以上图形中，共有 个锐角，共有 个小于180°的角．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2，5
【分析】（1）根据直线和线段中点的定义，即可求解；
（2）根据射线的定义，即可求解；
（3）根据题意可得锐角有∠AOC，∠BOD，小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，直线AB，点O即为所求；
（2）射线OC、OD即为所求；
（3）锐角有∠AOC，∠BOD，共有2个，
小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，共5个．
【点睛】本题主要考查了直线、射线和线段中点的定义，角的分类，熟练掌握直线、射线和线段中点的定义，角的分类是解题的关键．
【经典题型四 钟面角】
1．钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．
【详解】解：如图，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为
从到，，钟表上的分针经过40分钟旋转的角度是，
钟表上的时针经过40分钟旋转的角度是 度．
故选：B
【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．钟表问题中的常见结论：①分针每转动1°时针转动 ；②两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°．
2．钟表盘上时针与分针之间的夹角为，此时钟表盘上指示的时间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据钟表盘上，时针一小时是，分针一分钟是，逐一计算角度即可得到答案．
【详解】解：A、钟表盘上指示的时间是，钟表盘上时针与分针之间的夹角为，不符合题意，选项错误；
B、钟表盘上指示的时间是，钟表盘上时针与分针之间的夹角为，不符合题意，选项错误；
C、钟表盘上指示的时间是，钟表盘上时针与分针之间的夹角为，不符合题意，选项错误；
D、钟表盘上指示的时间是，钟表盘上时针与分针之间的夹角为，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时针一小时是，分针一分钟是是解题关键．
3．新型冠状病毒疫情期间，同学们参加线上课学习，第一节课上课时间是上午9点，此时分针和时针的夹角（小于的角）是 ．
【答案】/90度
【分析】根据钟面分12格，每格是，9到12是3格，即可获得答案．
【详解】解：上午9点时，分针指向12，时针指向9，
钟面分12格，每格是，9到12是3格，
所以分针和时针的夹角是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键．
4．（1）6时整，钟表时针和分针构成的角度是 ．
（2）8时整，钟表时针和分针构成的角度是 ．
（3）8点30分，钟表时针和分针构成的角度是 ．
【答案】 /180度 /120度 /75度
【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：（1）6时整，钟表时针和分针构成的角度是，
（2）8时整，钟表时针和分针构成的角度是，
（3）8点30分，钟表时针和分针构成的角度是 ，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数．
5．如图①、图②两个钟表表示的时间分别为．
(1)写出和的度数，并比较两个角的大小；
(2)在时到时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与的度数相等．
【答案】(1)，，
(2)．（答案不唯一）
【分析】（1）根据分针1分钟走，时针1分钟走进行求解即可；
（2）根据（1）写出结合钟面角的特点进行求解即可．
【详解】（1）解：∵分针1分钟走，时针1分钟走，
∴，，
∴；
（2）解：时的时候时针与分针的夹角为，40分钟后，分针指向数字8，则此时时针与分针的夹角为，
∴时，时针、分针所夹的度数与的度数相等．
【点睛】本题主要考查了钟面角的计算，熟知分针1分钟走，时针1分钟走是解题的关键．
【经典题型五 方向角的表示】
1．如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（ ）
A．南偏东40°B．北偏东50°C．南偏西40°D．北偏西50°
【答案】C
【分析】根据B在A的北偏东方向，即可得出直线AB与B点正南方向的夹角为，再根据A的位置即可得到答案．
【详解】解：B在A的北偏东40°方向，
∴小岛A相对于小岛B的方向是南偏西，
故选：C．
【点睛】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法．
2．如图，下列判断正确的是（ ）．
A．看的仰角是B．看的俯角是45°
C．C看B的俯角D．在的南偏西
【答案】C
【分析】根据仰角、俯角以及方位角的定义判断即可．
【详解】A、判断不正确；
B、判断不正确；
C、判断正确；
D、判断不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查俯角、仰角、方位角的定义，正确的识别图形是解题的关键．
3．如图，点A在点O的 方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是
【答案】 北偏东28° 107°
【分析】根据方向角的定义，再求出28°的余角，然后再加上45°，进行计算即可解答．
【详解】解：已知，点A在点O的北偏东28°方向，
由题意得：
90°-28°=62°，
∴∠AOB=62°+45°=107°，
∴点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数是107°，
故答案为：北偏东28°，107°．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
4．一艘旅游船从点出发沿北偏东方向航行，到达景点后，进行了的转弯，然后沿着方向航行，则为 方向．
【答案】北偏西或南偏东
【分析】由AE∥BF，可得∠FBG＝∠EAB＝55°，再根据∠C1BG＝∠DBF＝90°，即可得出∠C1BG＝∠C2BH＝35°，即可得出BC的方向．
【详解】解：如图，
∵AE∥BF，
∠FBG＝∠EAB＝55°，
又∵∠C1BG＝∠DBF＝90°，
∴∠C1BG＝∠C2BH＝35°，
∴BC的方向为：北偏西或南偏东
故答案为：北偏西或南偏东．
【点睛】本题考查了方向角，解决本题的关键是利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5．小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【答案】(1)见解析图；
(2)；
(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【分析】（）根据要求画出图形即可；
（）得与正东方向的夹角，从而求得的度数；
（）求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可．
【详解】（1）如图，点即为所求；
（2）∵，
∴与正东方向的夹角为，
；
（3）由（）得与正东方向的夹角为，
∵，
∴与正东方向的夹角为：，
∵正东和正北的夹角为，
∴与正北方向的夹角为：，
∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【经典题型六 与方向角有关的计算】
1．从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出草图，根据图形计算即可
【详解】解：由题意得出图形：
所以，
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是方向角，关键是根据题意准确画出图形，根据图形求角的度数．
2．如图，甲从处出发沿北偏西方向行走至处，又沿南偏西方向行走至处，此时再沿与出发时一致的方向行走至处，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用方向角的定义得出，进而利用平行线的性质得出答案．
【详解】解：如图所示：
，
根据题意可得：，
沿南偏西方向行走至处，此时再沿与出发时一致的方向行走至处，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方向角的定义，根据题意得出是解题的关键．
3．从海岛A 点观察海上两艘轮船 B、C．轮船B在点A的北偏东 方向；轮船C在点A的南偏东方向，则 ．
【答案】
【分析】首先根据题意画出草图，然后由方向角的定义，确定、与正北方向、正南方向的夹角；然后根据角的关系计算，即可求出的度数．
【详解】解：如图，
∵轮船B在点A的北偏东方向；轮船C在点A的南偏西方向，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与方向角有关的计算，解决本题的关键是掌握方向角的定义．
4．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么，从岛看，两岛的视角为 ．
【答案】
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此可求，，从而求出．
【详解】解：岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，
，
岛在岛的北偏东方向，
，
，
从B岛看，两岛的视角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键．
5．如图1，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上．货轮B在码头O的西北方向上．
（1）仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）如图2，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北的OC的方向行驶，货轮D向北偏西的OD方向航行，求∠COD的度数；
（3）令有两艘货轮从码头O出发，货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶，货轮F向北偏西x°的OF方向航行，请直接用等式表示与之间所具有的数量是 ．
【答案】（1）画图见解析；（2）∠COD =90°；（3）．
【分析】(1)根据方向角西北方向上的度数，可得图；
(2)根据余角的关系，可得∠COD的度数；
(3)根据角的和差， ；
【详解】（1）
射线OB的方向就是西北方向，即货轮B所在的方向．
（2）解：由已知可知，∠MOQ=90°，∠COQ=．
所以，∠MOC=∠MOQ-∠COQ =．
又因为∠DOM=，
所以，∠COD =∠MOC+∠DOM =90°．
（3）因为∠FOQ =∠FOM+∠MOQ =90°+x°，∠MOE=∠MOQ-∠QOE =90°-x°
所以．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图,方向角,利用余角与角的和差的关系得出角的度数是解题关键．
【经典题型七 角的单位与角度制】
1．用度、分、秒表示31.21°为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据1度等于60分，1分等于60秒，31.21°由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可.
【详解】解：31.21°=
故选：A
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，掌握换算公式是解题的关键.
2．下列关于度、分、秒的换算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据1°=60′，1′=60″进行计算即可．
【详解】解：A、83.3°=83°18ˊ，故A错误；
B、26°12ˊ15″≈37.2°，故B错误；
C、15°18ˊ18″=15.31°，故C错误；
D、41.15°=41°9ˊ，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握1°=60′，1′=60″是解题的关键．
3． ° ；
【答案】 26 52
【分析】根据1度分，即，1分秒，即进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算．
【详解】．
故答案为：①26，②52．
【点睛】考查了度分秒的换算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
4．计算： ； °；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为 度．
【答案】
【分析】①利用角度的四则运算即可得到答案；②根据、进行换算，即可得到答案；③根据时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转，分别计算时针、分针与0点的夹角，计算角度差即可得到答案．
【详解】解：①，
故答案为：；
②，
，
，
，
故答案为：；
③当时钟指向时间为时，时针走过小时，分钟走过分钟，
时针与0点的夹角为，
分针与0点的夹角为，
钟表上的时针与分针的夹角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角度的四则运算，角的单位换算，钟面角，解题关键是掌握角度的加法法则：进行角度的加法运算时，同单位相加，即度与度相加、分与分相加、秒与秒相加，秒够60进1分，分够60进1度；同时也要掌握时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转．
5．计算下列各题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据度分秒的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：．
【点睛】本题主要考查了度分秒的计算，掌握度分秒的运算法则是解答本题的关键．
【经典题型八 角的度数大小比较】
1．已知，下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将转化为，即可得出答案．
【详解】由，
又因为，
所以．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键．
2．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论．
【详解】∵，，=25°，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键．
3．比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【分析】将化为，再进行比较即可得出答案．
【详解】解：，
，
，即，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查度、分、秒换算，掌握度、分、秒的换算方法是得出正确的前提．
4．比较大小： （填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】先把单位化统一，再比较大小即可到答案．
【详解】解：，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了角的大小比较，注意单位要化统一，掌握是解题关键．
5．如图所示表示两块三角板．
（1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；
（2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．
【答案】（1）∠2＝∠1＞∠α；（2）∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ
【分析】1）将角的顶点重合，角的两边重合，看第三边的位置关系，分类判断即可；
（2）用量角器测量比较即可．
【详解】解：（1）如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，
可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．
（2）用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，
把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．
【点睛】本题考查了了角的大小比较的方法，熟练掌握叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较，是解题的关键．
【经典题型九 角的比较】
1．如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据角的和与差进行比较，，即；利用，选项D正确，再减去共同角，可得，由此得到正确选项．
【详解】∵
∴即，所以A正确；
∵
∴，所以D正确；
∴即，所以B正确．
故选C．
【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键．
2．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求得∠COB的值；OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则可求得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，计算得出结果．
【详解】∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，
∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=65°，
∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=∠AOC=20°，
∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．
∴∠MON的度数是45°．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．
3．计算：70°39′= °；比较大小:52°52′ 52.52°.(选填“＞”、“＜”或“=”)
【答案】 70.65° ＞
【分析】将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论.
【详解】70°39′=70°+39′60=70°+0.65°=70.65°，
∵0.52×60=31.2，0.2×60=12，
∴52.52°=52°31′12″，
52°52′＞52°31′12″，
故答案为：70.65°；＞．
【点睛】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较．
4．比较大小：
－（-3.5） ﹣｜－4.5｜，38.15° 38°15′（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】 ＞ ＜
【分析】第一空先根据相反数，绝对值求出每个式子的值，再比较即可；第二空先把38.15°转化成度、分的形式，再进行比较．
【详解】∵-（-3.5）=3.5，-|-4.5|=-4.5，3.5>-4.5，
∴-（-3.5）＞-|-4.5|，
∵1°=60′，
∴38.15°=38°+（0.15×60）′=38°9′，
∴38°15′＜38.15′．
故答案为＞；＜.
【点睛】此类题实际上是进行度、分、秒的转化运算，然后再进行比较，相对比较简单，注意以60为进制即可．
5．已知：如图，，平分，且．
（1）_____；
（2）____；
（3）求的度数．
【答案】（1）3；（2）；（3）
【分析】(1)根据∠COB=2∠AOC，∠COB+∠AOC=∠AOB可得∠AOB=3∠AOC，
(2)由OD平分 ∠AOB ，∠COD=∠AOD-∠AOC可得∠COD与∠AOC的关系．
(3)由OD平分∠AOB得到∠AOD=∠AOB又由∠AOD=∠AOC+∠COD，可得∠COD与∠AOB
的关系，从而求出∠AOB的度数．
【详解】解：(1)∵∠COB=2∠AOC， ∠COB+∠AOC=∠AOB
∴∠AOB=∠AOC+2∠AOC=3∠AOC
(2)∵∠COD=∠AOD-∠AOC
= ∠AOB- ∠AOB= ∠AOB
又∵∠AOB=3∠AOC
∴∠COD=∠AOB=×3∠AOC=∠AOC
(3)∵OD平分∠AOB
∴∠AOD=∠AOB
又∵∠AOD=∠AOC+∠COD
∴∠AOB=∠AOB+19°
∠AOB=19°
∠AOB=114°
故答案为：（1） 3；（2） ；（3） ∠AOB=114°
【点睛】本题考查角的平分线，角的和差倍分，学会根据图形和题意，理清各个角之间的和差倍分，掌握角的平分线性质是解题关键．
【经典题型十 三角板中角度计算问题】
1．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点与三角尺①的顶点重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论即可．
【详解】解：（1）当与边的夹角为时，
①当在下方时，
∵，
∴；
∵，
∴，
②当在上方时，
∵，
∴；
（2）当与边的夹角为时，
①当在下方时，
∵，
∴，
∴，
②当在上方时，
∵，
∴，
综上：另一条直角边与边的夹角可能是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握三角板的各个角度，以及正确画出图形，具有分类讨论的思想．
2．如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令为，为，，根据即可得到与满足的数量关系．
【详解】解：令为，为，，
恰好是的角平分线，
，
，
，
，即，
．
故选B．
【点睛】此题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，旋转的性质有关知识．
3．将三角板的直角顶点O放置在直线上（如图），若，射线平分，则的大小为 ．
【答案】/32度
【分析】由题意可知，，得到，再根据角平分线的定义得到，从而得到，即可求出的大小．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了平角的性质，角平分线的定义，角的和差计算，根据题意找出各角之间的数量关系是解题关键．
4．一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．
【答案】105
【分析】根据角平分线的性质分别求出，的值，计算即可．
【详解】解：如图1：
∵，，，
∴，
，
∵平分，平分，
∴，
，
∵，
即，
∴；
如图2：
∵，，，
∴，
，
∵平分，平分，
∴，
，
∵，
即，
∴；
∴；
故答案为：105．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．如图是内部的一条射线，把三角板角的顶点放到O处，转动三角板，当三角板的边平分时，三角板的另一边也恰好平分：
(1)求的度数．
(2)射线一定平分吗？若平分，求和度数
【答案】(1)
(2)射线不一定平分，的度数为，的度数为
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差关系进行计算即可解答；
（2）根据和不一定相等，从而可得射线不一定平分，然后利用角平分线的定义可得，再利用（1）的结论进行计算即可解答．
【详解】（1）∵边平分，平分，
∴，，
∵，
∴
，
∴的度数为；
（2）射线不一定平分，
∵平分，
∴，
由（1）可得：
，，
∴的度数为，的度数为．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握双角平分线模型是解题的关键．
【经典题型十一 几何图形中角度计算问题】
1．如图，平分，平分，，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义和角的运算求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和角度的运算，熟练掌握与角平分线的有关的角度运算是解答的关键．
2．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（ ）
A．30°B．120°C．30°或120°D．60°或90°
【答案】C
【分析】分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案．
【详解】解：如图1所示，当在内部时，
∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
如图2所示，当在外部时，
∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
综上所述，的角度是30度或120度，
故选C．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
3．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜反射后，沿E方向射出，已知，则 ．
【答案】/度
【分析】根据条件可得，在中，可求，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相交线，得到是关键．
4．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果，，那么的度数是 ．
【答案】/度
【分析】根据，利用正方形的角都是直角，即可求得和的度数从而求解．
【详解】，
，
又，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角度的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键．
5．已知，过顶点O作射线，且平分，平分．
(1)如图，若在内．
①当平分时，的度数为
②当时，求的度数．
(2)嘉嘉说∶“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说∶“你说的不对，的度数能算到，且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由
(3)若射线从出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于），请直接写出的度数．
【答案】(1)①；②
(2)琪琪的说法正确，的度数不变为，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差运算，以及数形结合的数学思想，分类讨论是解（3）的关键．
（1）①根据角平分线的定义先求的度数，再求的度数即可；
②先求，再求，然后根据角平分线的定义即可；
（2）由角平分线的定义得，，然后根据求解即可；
（3）设旋转角为，分两种情况解答：①当时；②当时，在的下方，分别根据角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）①∵，平分，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：；
②∵，，
∴．
∴．
∵平分，
∴；
（2）琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∴
；
（3）设旋转角为，
①当时，如图，
∵平分，平分，
∴．
∵，，
∴；
②当时，在的下方，如图，
∵平分，平分，
∴．
∵，，
∴.
【经典题型十二 角度的四则运算】
1．已知，以为端点作射线，使，则的度数为（ ）．
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】分两种情况，射线在内部或外部，分别讨论即可．
【详解】解：当射线在内部时，
；
当射线在外部时，
．
的度数为或．
故选：C．
【点睛】本题考查角的计算，关键是分两种情况讨论．
2．下列度分秒的换算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故A不符合题意；
B.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故B不符合题意；
C.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故C不符合题意；
D.∵，
∴，
∴，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
3．计算： .
【答案】
【分析】度分秒的计算，分别对度、分进行减法运算即可．
【详解】解答：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了角度制的计算，熟知角度制的运算法则是解题关键．
4． ； ； ； ．
【答案】 114 25 28 51 36 158 46 40
【分析】根据，逐个计算即可解答．注意：高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
【详解】解：
；
；
；
，
故答案为：；114；25；28；51；36；158；46；40．
【点睛】此题主要考查了度、分、秒的换算，此类题是进行度、分、秒的加、减、乘、除计算，注意以60为进制即可．
5．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查角的运算，掌握角的运算法则是解题的关键
【经典题型十三 实际问题中角度计算问题】
1．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可．
【详解】解：如图：
∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处
∴∠2=∠3=，∠1=
∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．
2．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
【答案】C
【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误．
【详解】解：由题意知，；当时，；当时，；
令，即，解得秒，
∴存在的情况；
故A错误，不符合题意；
令，即，解得秒，
令，即，解得秒，
∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；
故B、D错误，不符合题意；
当时，，
∴，
∵，
∴射线恰好平分，
故C正确，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度．
3双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度．
【答案】5
【分析】根据时针每小时转，每分钟转，得出9点50分时针转过，分针每分钟转，得出分针一共转过，据此即可求解．
【详解】解：时钟指示9时50分时，分针指到10，时针指到9与10之间．
∵时针从12到这个位置经过了50分钟，时针每小时转，每分钟转，因而转过，
分针每分钟转过，因而转过了，
∴时针和分针所成的夹角是．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键．
4．在9点至10点之间的某时刻，钟表的时针与分针构成的夹角是110°，则这时刻是9点 分．
【答案】或
【分析】设分针转的度数为x，则时针转的度数为,根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：设分针转的度数为x，则时针转的度数为,
当时，，
∴
当时，
∴
故答案为：或
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用----钟面角，正确的理解题意是解题的关键．
5．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
【答案】(1)90
(2)正确，代数式的值为；
(3)①；②当时，；当时，．
【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出；
（2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论；
（3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：90；
（2）∵，
设，则，
∴，，
∴．
∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为；
（3）解：∵，
∴，，
设运动时间为，则，则．
①运动停止时，即时，OA旋转的角度为，
∴，
故答案为：；
②当点C，O，A三点共线时，；
∴当时，，，
∴；
当时，，
，
∴．
综上，当时，；当时，．
【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键．
【经典题型十四 角平分线的有关计算】
1．如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出．
【详解】解：由折叠知：，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算．
2．如图，点为线段外一点，点为上任意四点，连接，，则下列结论：①以O为顶点的角共有15个；②若，则；③若为中点，为中点，则；④若平分平分，，则；正确的有( )
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】握手定理求出以O为顶点的角的个数，判断①；根据，，得到，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③，根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断④．
【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确；
，，
，
，即 ，故②错误；
由中点定义可得：，，
，
，
，故③正确；
由角平分线的定义可得：，，
，
，
，
，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力．握手定理内容：有n个人握手，每人握手x次，握手总次数为．
3．如图，是的平分线，平分，且，则 ．
【答案】72°/72度
【分析】根据角平分线的概念进行计算即可．
【详解】解：平分，，
，
又是的平分线，
，
故答案为：72°．
【点睛】本题考查角平分线，理解角平分线的概念是正确计算的前提．
4．如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．
【答案】
【分析】由角的和差关系可得，根据角的平分线的行医可得，，结合即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出、、的度数和得出．
5．问题提出
如图（1），已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
（1）若，求的长；
（2）若把“点为线段上的一个动点”改为“点为直线的一个动点”，当时，求的长；
知识迁移
（3）如图（2），过的内部任一点画射线，其中分别平分和；试猜想与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由，点D、E分别是和的中点，即可推出；
（2）分两种情况：①当点C在线段上；②当点C在A的左边；根据线段的中点与和差关系可得的长；
（3）由分别平分和，即可推出，即可得结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵点D、E分别是和的中点，
∴，，
∴；
（2）分两种情况： ①当点C在线段上，由（1）得；
②当点C在直线的左边，如图所示，
∴，
∵，且D是的中点，
∴，
又∵E分别是的中点，
∴，
∴，
∴当C在直线上时，线段的长度是；
综上，的长是．
（3），理由如下：
∵、分别平分和，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和线段的中点的性质，线段的和差运算，角的和差运算，关键在于认真地进行计算，熟练运用相关的性质定理．
【经典题型十五 角n等分线的有关计算】
1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
综上，为或或，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
2．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，射线为的三等分线．
∴或，
∴，
∴的度数为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
3已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ．
【答案】或
【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可．
【详解】解：∵射线是的三等分线，
∴或，
当时，如图：
∵，，
∴，
∵射线为的平分线，
∴，
∴；
当时，如图：
∵，，
∴，
∵射线为的平分线，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．
4．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．
（1）如图1，若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．
①则 ；
②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】 /度 /度 或
【分析】（1）根据三分线的定义计算即可；
（2）①根据三分线的定义计算即可；
②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可．
【详解】（1）解：∵，则是的一条三分线．
∵
∴,
故答案为：
（2）①∵，是的两条三分线，，
∴，
故答案为：；
②∵，，是的两条三分线，
∴，
由旋转得：，
分两种情况：
当是的三分线，且时，可得，
∴，
∴，即；
当是的三分线，且时，可得，
∴，即；
故答案为：或．
【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
5．解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．
(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是
(2)30°，20°或40°
(3)或或
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；
(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；
(3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵平分，
∴,
∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．
故答案为：是．
（2）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
（3）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
【重难点训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据方位角的概念即可求解．
【详解】解：如图所示，
甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角，根据方向角的概念正确画出图形是解答此题的关键．
2．（2022上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（ ）度
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据钟面，每小时一个大格，每个度数为，即可得出图①钟面的角的度数，从而列式求解即可得到答案．根据钟面，的时针与时针之间间隔度数为，即可得出时的时针与分针之间间隔度数．
【详解】解：图①钟面的角的度数为：；
的时针与时针之间间隔度数为，
∴时的时针与分针之间间隔度数为，
∴图②钟面的角的度数为：．
故选：C．
【点睛】本题考查钟面角的应用，掌握钟面每一个大格的角度是解决问题的关键．
3．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2023下·山东淄博·六年级统考期中）如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A对应点，点D对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出．
【详解】解：由折叠知：，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算．
5．（2023上·七年级课时练习）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）
A．只有①④B．只有①③④
C．只有③④D．①②③④
【答案】B
【分析】根据补角以及角平分线的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴，
∴与互为余角，
故①正确．
∵平分，
∴，
∴无法推断得到，
故②错误．
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确．
∵，
∴．
∵平分，
∴
故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查角平分线、补角，熟练掌握角平分线的定义以及补角的定义是解决本题的关键．
6．（2021上·湖北·七年级校考阶段练习）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论①以为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若为的中点，为的中点，则；④若，，则．中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】依据题意，以O为顶点的角的边有6条，得出角的个数为，①正确；设，则，得出，由角平分线求出，得出，得出②正确；求出，③正确；求出，得不出，④错误；即可得出结论．
【详解】解：∵以O为顶点的角的边有6条，
∴角的个数为：，①正确；
，
设，则，
，
平分，平分，
，
，
，②正确；
为中点，N为中点，
，，
，③正确；
，，
，
，
，
得不出，④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段中点的定义、角的个数的计算等知识；熟练掌握角平分线的定义、线段中点的定义是解题的关键．
7．（2022上·七年级单元测试）如图，以点为端点引条射线时，共有 个角；以点为端点引条射线时，共有 个角以点为端点引条射线时，共有 个角用含的代数式表示．
【答案】 3 6
【分析】有公共顶点的n条射线，可构成个角，依据规律解答即可．
【详解】解：以点为端点引条射线时，共有个角；；
以点为端点引条射线时，共有6个角；；
以点为端点引5条射线时，共有个10角；；
……
以点为端点引条射线时，共有个角；
故答案为：3，6，．
【点睛】本题考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键：有公共顶点的n条射线，可构成个角．
8．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．
【答案】66
【分析】根据折叠的性质得到，由平均的定义得到，再根据，，可得，即可得答案．
【详解】解：由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了折叠的性质，余角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图，直线，交于点．射线平分，若，则等于 ．
【答案】/156度
【分析】根据对顶角相等得到，利用角平分线的性质求出的度数，再根据邻补角求出，利用角的和，即可解答．
【详解】解：根据对顶角相等，得：，
射线平分，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查对顶角和邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是熟记对顶角和邻补角的定义．
10．（2023上·广西防城港·八年级统考期中）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，并能绕点自由旋转，若，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了角的计算，根据角度和差即可求解，解题的关键是熟练掌握角度和差计算．
【详解】由，
故答案为：．
11．（2023下·河南南阳·七年级统考期中）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．
【答案】或
【分析】设转动秒，与的夹角是，进行分情况画图 ，列方程即可得到结论．
【详解】设秒后，与的夹角是，
如图，
，
∴，，
∵，
∴，即有，
解得：，
如图，
∴，，
∵，
∴，即有，
解得：，
综上可知：或，与的夹角是，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，角的有关计算，解题的关键是确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
12．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．
【答案】或
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得，由翻折变换的性质可知，，由可得答案；当点N在点M的上方时，设，，则可以得到，由翻折变换的性质可知，，根据即可求解．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
∵，
∴，
由翻折变换的性质可知，，
∴，
∴．
当点N在点M的下方时，设，，
则，
由翻折变换的性质可知，，
∴．
综上所述，满足条件的或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
13．（2023上·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：
(1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)与是同一个角吗？请说明理由．
(5)图中共有几个小于平角的角？
【答案】(1)不正确，可表示为
(2)
(3)3个，见解析
(4)见解析
(5)11个
【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根据角的定义和表示方法回答即可．
【详解】（1）不正确，因为以为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示为；
（2）图中可以用一个字母表示；
（3）以A为顶点的角有3个，分别是、、；
（4）因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角．
（5）图中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11个小于平角的角．
【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键．
14．（2023上·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【答案】(1)见解析图；
(2)；
(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【分析】（）根据要求画出图形即可；
（）得与正东方向的夹角，从而求得的度数；
（）求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可．
【详解】（1）如图，点即为所求；
（2）∵，
∴与正东方向的夹角为，
；
（3）由（）得与正东方向的夹角为，
∵，
∴与正东方向的夹角为：，
∵正东和正北的夹角为，
∴与正北方向的夹角为：，
∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（2022上·云南红河·七年级统考期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数．
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）先求解，再证明结合，从而可得答案；
（2）证明，，结合，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴
（2），理由如下：
∵
∴，
∵平分，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键．
16．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，已知内部有两条射线，，平分，平分，，的度数分别为，，求的度数．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得，根据已知可得，进而得出，根据即可求解．
【详解】解：∵平分，平分，
∴
∴
∵，，的度数分别为，，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角的和差倍分，数形结合是解题的关键．
17．（2022上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，分别平分与．
(1)求的度数；
(2)若，，且，求的度数
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质，平分，平分，得出，，由，进而求出∠MON的度数；
（2）根据角平分线的定义，可得出，根据，从而得出∠MOB的度数．
【详解】（1）∵平分，平分，，，
∴，，
∴
；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查了角的计算和角平分线的定义，得出，，是解决问题的关键．
18．（2022上·广东珠海·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，以O为顶点作，射线平分．
(1)如图①，与的数量关系为______；
(2)如图①，如果，求的度数；
(3)若将图①中的绕点O旋转至图②的位置，依然平分，若，请猜想的度数（可用表示），并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件和图形可知：，，从而可以得到与的数量关系；
（2）先求出，根据射线平分，得到，再利用即可求解；
（3）利用，表示出，再利用平分，得到，再写出的度数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）
理由如下：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
19．（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）【情境探究】
如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是的中点，探究线段的特征．
(1)若，则________；
(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；
(3)如图2，已知，，在内部转动，分别是和的角平分线，求的度数；
(4)请直接写出，和之间的数量关系．
【答案】(1)18
(2)的长度不变，18cm
(3)
(4)
【分析】（1）根据，求出的长，中点的性质，求出的长，再根据计算即可；
（2）中点得到，，根据，以及，推出，即可；
（3）角平分线得到，，根据，推出，即可；
（4）同（3）即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴cm，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）的长度不变．理由如下：
∵，分别是AC，BD的中点，
∴，，
∴
∵，，
∴．
（3）解：∵，分别平分和，
∴，，
∴
，
∵，，
∴．
（4）∵，分别平分和，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查线段中点有关的计算，与角平分线有关的计算．解题的关键是正确的识图，找准线段之间的和差关系，角之间的和差关系．
20．（2023上·河北唐山·七年级统考期中）如图1，已知长方形的纸片．
操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______；
操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数：
操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由折叠知，再根据即可求解；
（2）由折叠知，，再根据即可求解；
（3）由折叠知，，再根据即可求解．
【详解】解：（1）由折叠知，
由题意得：
；
故答案为：；
（2）由折叠可知： ，
，
，
，
，
，
；
（3）由折叠知：，，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键．
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
内射线的条数
1
2
3
4
角的总个数
______
______
______
______
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
内射线的条数
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角的总个数
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