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初中北师大版4.5 多边形和圆的初步认识当堂检测题
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这是一份初中北师大版4.5 多边形和圆的初步认识当堂检测题，共57页。
题型一 平面图形形状的识别
题型二 用七巧板拼图形
题型三 多边形的概念与分类
题型四 多边形的周长
题型五 网格中多边形面积比较
题型六 多边形对角线的条数问题
题型七 对角线分成的三角形个数问题
题型八 平面镶嵌
题型九 圆的周长与面积问题
【经典题型一 平面图形形状的识别】
1．下列图形中，空白部分和阴影部分的面积相等但周长不相等的是（ ）．
A． B． C． D．
2．围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（ ）
A．B．C．D．
3．一个正方形去掉一个角后所得到的图形最少有 条边．
4．如图所示是一座房子的图片，其中的图形有 ．
5．如图所示，把一个等腰三角形沿着中间的折痕剪开，得到两个形状和大小完全相同的直角三角形，将这两个直角三角形拼在一起，使得它们有一条相等的边是公共边，能拼出多少种不同形状的平面图形？请画出这些图形．（原三角形不计）
【经典题型二 用七巧板拼图形】
1．用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．
2．七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．
4．“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”：
请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．
四巧板
【经典题型三 多边形的概念与分类】
1．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．
4．我们熟悉的平面图形中的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形、圆等，它们是由若干条 的线段首尾顺次相连组成的 图形．
5．随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．
(1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）
A． B． C． D．
(2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；
(3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．
【经典题型四 多边形的周长】
1．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（ ）
A．88mmB．96mmC．80mmD．84mm
3．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ．
4．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ．
5．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【经典题型五 网格中多边形面积比较】
1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（ ）．
A．8B．6C．6.5D．7.5
2．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
3．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ．
4．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ；
（）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ．
5．小聪同学记得，在作业本中曾介绍了奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形面积的公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，不过，他忘了系数的值，请你运用下面的图形解决问题，下列图形中有四个相邻点围城的正方形面积是个单位面积
（1）计算图①中正方形的面积，并求系数的值
（2）利用面积公式，求出图②、图③的多边形的面积
【经典题型六 多边形对角线的条数问题】
1．为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（ ）场比赛．
A．30B．45C．105D．210
2．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是 （ ）
A．2012边形B．2013边形C．2014边形D．2015边形
3．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
4．过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形．
5．探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【经典题型七 对角线分成的三角形个数问题】
1．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001B．2005C．2004D．2006
2．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
3．从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为 ．
4．过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形．
5．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【经典题型八 平面镶嵌】
1．一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
3．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度．
4．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有 种．
5．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．
图图
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号）
正三角形；正方形；正五边形；正六边形．
(2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形．
如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌．
【经典题型九 圆的周长与面积问题】
1．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
2．如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点B．E点C．F点D．G点
3．“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
4．国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（π取3）．
5．如图，直径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”），这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3
①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
【重难点训练】
1．（2023上·陕西延安·八年级统考阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（ ）
A．14B．28C．24D．20
2．（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
3．（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．（2023下·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点B．E点C．F点D．G点
5．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示是一副正方形七巧板（相同的板规定序号相同）．现从七巧板中取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则可以拼成的序号是（ ）
A．②③③④B．①①②③C．①①②④D．①①②⑤
6．（2023下·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）某装修店里出售下列形状的地砖：（1）正三角形；（2）正方形；（3）正六边形；（4）正八边形，若选购一种或两种地砖来铺满地面，则购买方案共有 种．
7．（2023上·河北保定·七年级保定市第十七中学校考开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
8．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．
9．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
10．（2022下·八年级单元测试）用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是： ．（请用序号表示，只需写出两种即可）
11．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
12．（2023上·江西上饶·八年级校考阶段练习）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．
图图
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号）
正三角形；正方形；正五边形；正六边形．
(2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形．
如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌．
13．（2023下·河南新乡·七年级期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”．
14．（2023下·广东深圳·七年级统考期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．
(1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）
A． B． C． D．
(2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；
(3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．
15．（2023下·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
专题12 多边形与圆的初步认识重难点题型专训（9大题型）
【题型目录】
题型一 平面图形形状的识别
题型二 用七巧板拼图形
题型三 多边形的概念与分类
题型四 多边形的周长
题型五 网格中多边形面积比较
题型六 多边形对角线的条数问题
题型七 对角线分成的三角形个数问题
题型八 平面镶嵌
题型九 圆的周长与面积问题
【经典题型一 平面图形形状的识别】
1．下列图形中，空白部分和阴影部分的面积相等但周长不相等的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】紧密结合图形的特点判断即可．
【详解】A项，空白部分和阴影部分的面积相等，周长也相等，不符合题意；
B项，空白部分和阴影部分的面积相等，周长不相等，符合题意；
C项，空白部分和阴影部分的面积不相等，周长相等，不符合题意；
D项，空白部分和阴影部分的面积不相等，周长也不相等，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了常规图形的识别，掌握相关图形的特点，是解答本题的关键．
2．围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面图形的各点在同一平面上即可判断．
【详解】解：A、球面不是平面，故本选项不符合题意；
B、侧面不是平面，故本选项不符合题意；
C、侧面不是平面，故本选项不符合题意；
D、每个面都是平面，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查平面图形的概念，难度不大，注意掌握平面图形的特点是解答的关键．
3．一个正方形去掉一个角后所得到的图形最少有 条边．
【答案】3
【分析】根据题意画出图形，注意各种情况，不要漏解．
【详解】如图所示：一个正方形去掉一个角后有3种情况，
∴最少有3条边．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是考虑全面，分类讨论．
4．如图所示是一座房子的图片，其中的图形有 ．
【答案】三角形、四边形、长方形、正方形、梯形、圆
【分析】根据平面图形的概念求解即可．
【详解】根据题意可得，
其中的图形有三角形、四边形、长方形、正方形、梯形、圆．
故答案为：三角形、四边形、长方形、正方形、梯形、圆．
【点睛】此题考查了简单的平面图形，解题的关键是正确认识常见的平面图形．
5．如图所示，把一个等腰三角形沿着中间的折痕剪开，得到两个形状和大小完全相同的直角三角形，将这两个直角三角形拼在一起，使得它们有一条相等的边是公共边，能拼出多少种不同形状的平面图形？请画出这些图形．（原三角形不计）
【答案】5种，图见解析
【分析】由于等腰三角形的两腰相等，且底边的高线即是底边的中线，所以把任意相等的两边重合组成图形即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查的是图形的剪拼，分类讨论是解答此题的关键．
【经典题型二 用七巧板拼图形】
1．用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是1分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可．
【详解】解：如图：
（平方分米）
答：阴影部分的面积为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键是分清阴影部分与整个图形的关系．
2．七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答．
【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的认识与面积的计算，解题的关键是寻找到阴影部分在图形中所属的部分，并熟悉等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式．
3．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．
【答案】
【分析】利用七巧板的各边之间的关系即可求出，，，的长，观察图形即可求出阴影部分面积．
【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的关系是解题的关键．
4．“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”：
请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．
四巧板
【答案】见解析
【分析】根据要求动手操作，画出图形即可．
【详解】解：分割线如图所示：
【点睛】本题考查直角梯形，四巧板，图形的拼剪等知识，解题的关键是学会动手操作，培养动手能力．
【经典题型三 多边形的概念与分类】
1．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．
2．下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．依据正多边形的概念进行判断即可．
【详解】解：（1）菱形各边相等，但不是正四边形，故说法错误；
（2）长方形各角都相等，但不是正四边形，故说法错误；
（3）等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是正多边形，故说法正确；
（4）长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，所以不一定是正多边形，故说法错误．
故正确的有：1个．
故说：A．
【点睛】本题考查了正多边形的概念，各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．
3．如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．
【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形
【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解．
【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形；
故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形．
【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形．
4．我们熟悉的平面图形中的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形、圆等，它们是由若干条 的线段首尾顺次相连组成的 图形．
【答案】 不在同一直线上 封闭平面
5．随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．
(1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）
A． B． C． D．
(2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；
(3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．
【答案】(1)D
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案；
（2）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案；
（3）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图2，阴影部分的区域（含边界）内的点都是完美观测点，
即是完美观测点，
故选：D；
（2）如图，点，点落在图中阴影部分的区域（含边界）即可；
（3）如图所示：阴影部分即为所求.
【点睛】本题考查了多边形的应用，正确理解“完美观测点”的意义是解题的关键．
【经典题型四 多边形的周长】
1．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据长方形周长的计算公式求解．
【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n，
故选C．
【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键．
2．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（ ）
A．88mmB．96mmC．80mmD．84mm
【答案】B
【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可．
【详解】由图形可得出：
该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm），
故该主板的周长是96mm，
故选：B．
【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键．
3．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ．
【答案】20，22，26，28
【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长；
【详解】解：①如图周长=20；
②如图周长=22；
③如图周长=26；
④如图周长=28；
⑤如图周长=22；
∴四边形的周长为：20，22，26，28；
故答案为：20，22，26，28．
【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键．
4．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据周长公式进行计算即可．
【详解】解：左图的周，右图的周长，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查计算图形周长，理解周长的定义以及长方形周长的计算方法是正确解答的前提．
5．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【答案】（1）20（2）不正确
【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数；
（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值.
试题解析：（1）a=60÷3=20；
（2）此说法不正确．
理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b，
但可令a=b，得，
∴60n+420=67n，
解得n=60，
经检验n=60是方程的根．
∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60．
点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点.
【经典题型五 网格中多边形面积比较】
1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（ ）．
A．8B．6C．6.5D．7.5
【答案】B
【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答．
【详解】解：连接和，则
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键．
2．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】D
【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可．
【详解】解：如图，
，
，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键．
3．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为：
=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．
4．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ；
（）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ．
【答案】
【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可；
（2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案.
【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为，即，
∴．
故答案为：；
（）∵菱形边长为，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后面积比为，
∴．
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解.
5．小聪同学记得，在作业本中曾介绍了奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形面积的公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，不过，他忘了系数的值，请你运用下面的图形解决问题，下列图形中有四个相邻点围城的正方形面积是个单位面积
（1）计算图①中正方形的面积，并求系数的值
（2）利用面积公式，求出图②、图③的多边形的面积
【答案】（1）S=9，k=；（2）图②：14，图③：9.5
【分析】（1）根据图像可直接计算出正方形面积，再数出a和b的值，代入公式即可计算k值；
（2）分别得出图②和图③中a和b的值，再利用公式求出面积．
【详解】解：（1）由图可知：图①中正方形的边长为3，
∴面积为3×3=9，
在中，对应a=4，b=12，
∴9=4+12k-1，
解得：k=；
（2）图②中，a=10，b=10，
则S=10+×10-1=14，
图③中，a=5，b=11，
则S=5+×11-1=9.5．
【点睛】本题考查了格点图形的面积的计算，一个单位长度的正方形网格纸中多边形面积的公式：的运用．
【经典题型六 多边形对角线的条数问题】
1．为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（ ）场比赛．
A．30B．45C．105D．210
【答案】C
【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛 m（m-1）．
【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：×15×（15-1）=105．
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答．
2．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是 （ ）
A．2012边形B．2013边形C．2014边形D．2015边形
【答案】B
【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，根据此关系式求边数．
【详解】设多边形有n条边，
则n−2=2011，
解得：n=2013.
所以这个多边形的边数是2013.
故选B.
【点睛】本题考查了多边形的知识点，解题的关键是熟练的掌握多边形对角线的性质与运用.
3．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
【答案】500
【分析】若过边形的一个顶点有7条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而．代入解析式就可以求出代数式的值．
【详解】解：边形从一个顶点发出的对角线有条，
，，，；
则．
故答案为：500
【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条．
4．过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形．
【答案】9
【分析】根据过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形，即可求解．
【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，
∴该多边形的边数为8+3=11，
∴这些对角线将这个多边形分成11-2=9个三角形．
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形是解题的关键．
5．探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1) 1 2
(2) 2 3
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2．
（2）解：运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，它把边形分成个三角形；
故答案为：，．
（4）解：∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴代入（3）中的结论：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割，利用题中的条件找出题中的规律是解此题的关键．
【经典题型七 对角线分成的三角形个数问题】
1．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001B．2005C．2004D．2006
【答案】C
【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解．
【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1＝2004．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键．
2．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】A
【分析】根据多边形的定义，多边形对角线，角的大小，周角等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形，判断错误；
②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形，判断正确；
③角的边越长，角越大，判断错误；
④一条射线就是一个周角，判断错误．
故选：A
【点睛】本题考查了多边形、角等知识，理解多边形、多边形对角线、角、周角的概念是解题关键．
3．从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为 ．
【答案】2020
【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形．
【详解】解：由题意可知：n-2=2018，
解得n=2020，
则这个多边形的边数为2020，
故答案为：2020．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n-2）个三角形．
4．过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形．
【答案】
【分析】根据四边形可以条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引条对角线，被分成个三角形．
【详解】从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形
故答案为：，．
【点睛】本题考查了多边形的规律问题，掌握对角线和三角形的性质、多边形的规律是解题的关键．
5．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014
【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；
①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果；
②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解．
【详解】解：填表如下：
故答案为：3，，， ；
把代入得，．
十二边形有条对角线．
能．
由题意得，23，
解得=1014．
多边形的边数n是正整数，
过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014．
【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
【经典题型八 平面镶嵌】
1．一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为，列式求解即可．
【详解】解：正方形的每个内角是，正三角形的每个内角是，
根据题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌时在一个顶点处各个内角和为．
2．垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】C
【分析】从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【详解】解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；
正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面．
故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌．解这类题，根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．
3．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度．
【答案】150
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为，据此求出α即可．
【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为，
∴，
解得．
故答案为：150．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
4．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有 种．
【答案】3
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．因为正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角分别为60°、90°、120°、135°，根据多边形镶嵌成平面图形的条件可知．
【详解】解：①正三角形、正方形，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满；
②正三角形、正六边形，由于 60°×2+120°×2=360°，或60°×4+120°×1=360°，故能铺满；
③正三角形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
④正方形、正六边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
⑤正方形、正八边形，由于90°+135°×2=360°，故能铺满；
⑥正六边形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选择的方式有3种．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决本题的关键是掌握平面镶嵌定义．用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
5．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．
图图
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号）
正三角形；正方形；正五边形；正六边形．
(2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形．
如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌．
【答案】(1)
(2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十．
【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可；
（）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况；
设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌；
正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
故选：；
（2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形，
根据题意得：，
∴，
∵，为正整数，
∴或，
答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；
由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，
则，
整理得：，
∵，，为正整数，
∴应为正整数，
则或，
当时，，此时，无正整数解，
当时，，解得正整数解为：，
故答案为：十．
【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于．
【经典题型九 圆的周长与面积问题】
1．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
【答案】A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
【详解】解：由题意得
解得：，
解得：，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
2．如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点B．E点C．F点D．G点
【答案】A
【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可．
【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为，
∵，，
∴行走后才停下来，那一个点为D点，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置．
3．“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
【答案】 圆周长的一半 半径
【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答．
【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，
圆的面积近似长方形的面积长宽．
故答案为：圆周长的一半，半径，．
【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键．
4．国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（π取3）．
【答案】1270
【分析】根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解．
【详解】解：修剪草坪的面积为：（平方米），
因此所用的人工费为（元），
故答案为：1270．
【点睛】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积-小圆面积=环形面积是关键．
5．如图，直径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”），这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3
①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
【答案】（1）无理，﹣π；（2）±2π或0；（3）①第四次，第三次；②13π，﹣3π
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）根据圆的直径以及滚动周数分三种情形讨论即可得出答案；
（3）①求出每一次滚动后所表示的数，然后得出最大值和最小值；
②将各数的绝对值进行求和，然后根据圆的周长计算公式得出答案；将各数进行相加，乘以圆的周长得出答案.；
【详解】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是﹣π；
故答案为：无理，﹣π；
（2）分三种情况：
①当把圆片沿数轴向右滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是2π
②当把圆片沿数轴向左滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是－2π
③当先把圆片沿数轴向右滚动1周，再向左滚动1周或者先把圆片沿数轴向左滚动1周，再向右滚动1周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是0
故答案为±4π或0．
（3）①∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3，
∴第4次滚动后，A点距离原点最近，第3次滚动后，A点距离原点最远；
②∵|+2|+|﹣1|+|+3|+|﹣4|+|﹣3|=13，
∴13×π×1=13π，
∴A点运动的路程共有13π；
∵（+2）+（﹣1）+（+3）+（﹣4）+（﹣3）=﹣3，
（﹣3）×π=﹣3π，
∴此时点A所表示的数是：﹣3π．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题、圆的周长公式，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【重难点训练】
1．（2023上·陕西延安·八年级统考阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（ ）
A．14B．28C．24D．20
【答案】A
【分析】根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据边形对角线的总数为，即可求解．
【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，
可知该多边形的边数为，
∴这个多边形对角线的总数为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握边形的相关公式是解题关键．
2．（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
【答案】A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
【详解】解：由题意得
解得：，
解得：，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
3．（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案
【详解】解：设这个多边形的边数是边形，
根据题意可得：，
解得：，
这个多边形的边数是7，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形．
4．（2023下·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点B．E点C．F点D．G点
【答案】A
【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可．
【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为，
∵，，
∴行走后才停下来，那一个点为D点，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置．
5．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示是一副正方形七巧板（相同的板规定序号相同）．现从七巧板中取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则可以拼成的序号是（ ）
A．②③③④B．①①②③C．①①②④D．①①②⑤
【答案】B
【分析】由题意画出图形可求解．
【详解】解：由题意，B选项可拼成一个小正方形（无空隙不重叠）如下：
故选：B．
【点睛】本题考查了几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用．
6．（2023下·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）某装修店里出售下列形状的地砖：（1）正三角形；（2）正方形；（3）正六边形；（4）正八边形，若选购一种或两种地砖来铺满地面，则购买方案共有 种．
【答案】6/六
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件：要密铺地面，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好等于，分别计算即可求出答案．
【详解】∵正三角形的每个内角是，能整除，∴正三角形能密铺；
∵正方形的每个内角是，能整除，∴正方形能密铺；
∵正六边形的每个内角是，能整除，∴正六边形能密铺；
∵正八边形每个内角是，不能整除，∴正八边形不能密铺；
∵，∴正三角形和正方形能密铺；
∵，∴正三角形和正六边形能密铺；
∵，∴正方形和正八边形能密铺；
∴共有6种方案．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
7．（2023上·河北保定·七年级保定市第十七中学校考开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
【答案】 圆周长的一半 半径
【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答．
【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，
圆的面积近似长方形的面积长宽．
故答案为：圆周长的一半，半径，．
【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键．
8．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．
【答案】/
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解．
【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，
∴大正方形面积，
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
9．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
【答案】500
【分析】若过边形的一个顶点有7条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而．代入解析式就可以求出代数式的值．
【详解】解：边形从一个顶点发出的对角线有条，
，，，；
则．
故答案为：500
【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条．
10．（2022下·八年级单元测试）用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是： ．（请用序号表示，只需写出两种即可）
【答案】①②③或①②⑥或②③⑥
【分析】先分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形的每个内角，然后根据平面镶嵌的条件解答即可．
【详解】解：用公式分别计算出正三角形的内角为，正方形的内角为，正六边形的内角为，正八边形内角为，正十边形的内角为，正十二边形的内角为，正十五边形的内角为，
∵，
∴正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌；
∵，
∴正三角形、正方形、正十二边形可以进行平面镶嵌；
∵，
∴正方形、正六边形、正十二边形可以进行平面镶嵌；
故答案为：①②③或①②⑥或②③⑥．
【点睛】本题主要考查了镶嵌的条件，镶嵌的条件是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．
11．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1) 1 2
(2) 2 3
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2．
（2）解：运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，它把边形分成个三角形；
故答案为：，．
（4）解：∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴代入（3）中的结论：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割，利用题中的条件找出题中的规律是解此题的关键．
12．（2023上·江西上饶·八年级校考阶段练习）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．
图图
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号）
正三角形；正方形；正五边形；正六边形．
(2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形．
如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌．
【答案】(1)
(2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十．
【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可；
（）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况；
设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌；
正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
故选：；
（2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形，
根据题意得：，
∴，
∵，为正整数，
∴或，
答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；
由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，
则，
整理得：，
∵，，为正整数，
∴应为正整数，
则或，
当时，，此时，无正整数解，
当时，，解得正整数解为：，
故答案为：十．
【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于．
13．（2023下·河南新乡·七年级期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”．
【答案】
【分析】根据图形分别确定出四边形、五边形、六边形可以被分成的三角形的个数，然后归纳总结即可解答．
【详解】解：三角形时，,有2个三角形，
四边形时，有3个三角形，
五边形时，有4个三角形，
……
n边形时，有个三角形．
故答案为．
【点睛】本题考查了多边形内角和，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键．
14．（2023下·广东深圳·七年级统考期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．
(1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）
A． B． C． D．
(2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；
(3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．
【答案】(1)D
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案；
（2）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案；
（3）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图2，阴影部分的区域（含边界）内的点都是完美观测点，
即是完美观测点，
故选：D；
（2）如图，点，点落在图中阴影部分的区域（含边界）即可；
（3）如图所示：阴影部分即为所求.
【点睛】本题考查了多边形的应用，正确理解“完美观测点”的意义是解题的关键．
15．（2023下·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014
【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；
①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果；
②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解．
【详解】解：填表如下：
故答案为：3，，， ；
把代入得，．
十二边形有条对角线．
能．
由题意得，23，
解得=1014．
多边形的边数n是正整数，
过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014．
【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
______
______
多边形对角线的总条数
______
______
______
（注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形）
如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（ ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理．
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
______
______
多边形对角线的总条数
______
______
______
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
______
______
多边形对角线的总条数
______
______
______
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
3
多边形对角线的总条数
5
9
（注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形）
如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（ ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理．
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
______
______
多边形对角线的总条数
______
______
______
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
3
多边形对角线的总条数
5
9
题型一 平面图形形状的识别
题型二 用七巧板拼图形
题型三 多边形的概念与分类
题型四 多边形的周长
题型五 网格中多边形面积比较
题型六 多边形对角线的条数问题
题型七 对角线分成的三角形个数问题
题型八 平面镶嵌
题型九 圆的周长与面积问题
【经典题型一 平面图形形状的识别】
1．下列图形中，空白部分和阴影部分的面积相等但周长不相等的是（ ）．
A． B． C． D．
2．围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（ ）
A．B．C．D．
3．一个正方形去掉一个角后所得到的图形最少有 条边．
4．如图所示是一座房子的图片，其中的图形有 ．
5．如图所示，把一个等腰三角形沿着中间的折痕剪开，得到两个形状和大小完全相同的直角三角形，将这两个直角三角形拼在一起，使得它们有一条相等的边是公共边，能拼出多少种不同形状的平面图形？请画出这些图形．（原三角形不计）
【经典题型二 用七巧板拼图形】
1．用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．
2．七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．
4．“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”：
请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．
四巧板
【经典题型三 多边形的概念与分类】
1．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．
4．我们熟悉的平面图形中的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形、圆等，它们是由若干条 的线段首尾顺次相连组成的 图形．
5．随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．
(1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）
A． B． C． D．
(2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；
(3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．
【经典题型四 多边形的周长】
1．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（ ）
A．88mmB．96mmC．80mmD．84mm
3．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ．
4．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ．
5．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【经典题型五 网格中多边形面积比较】
1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（ ）．
A．8B．6C．6.5D．7.5
2．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
3．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ．
4．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ；
（）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ．
5．小聪同学记得，在作业本中曾介绍了奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形面积的公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，不过，他忘了系数的值，请你运用下面的图形解决问题，下列图形中有四个相邻点围城的正方形面积是个单位面积
（1）计算图①中正方形的面积，并求系数的值
（2）利用面积公式，求出图②、图③的多边形的面积
【经典题型六 多边形对角线的条数问题】
1．为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（ ）场比赛．
A．30B．45C．105D．210
2．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是 （ ）
A．2012边形B．2013边形C．2014边形D．2015边形
3．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
4．过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形．
5．探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【经典题型七 对角线分成的三角形个数问题】
1．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001B．2005C．2004D．2006
2．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
3．从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为 ．
4．过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形．
5．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【经典题型八 平面镶嵌】
1．一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
3．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度．
4．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有 种．
5．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．
图图
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号）
正三角形；正方形；正五边形；正六边形．
(2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形．
如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌．
【经典题型九 圆的周长与面积问题】
1．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
2．如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点B．E点C．F点D．G点
3．“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
4．国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（π取3）．
5．如图，直径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”），这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3
①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
【重难点训练】
1．（2023上·陕西延安·八年级统考阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（ ）
A．14B．28C．24D．20
2．（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
3．（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．（2023下·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点B．E点C．F点D．G点
5．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示是一副正方形七巧板（相同的板规定序号相同）．现从七巧板中取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则可以拼成的序号是（ ）
A．②③③④B．①①②③C．①①②④D．①①②⑤
6．（2023下·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）某装修店里出售下列形状的地砖：（1）正三角形；（2）正方形；（3）正六边形；（4）正八边形，若选购一种或两种地砖来铺满地面，则购买方案共有 种．
7．（2023上·河北保定·七年级保定市第十七中学校考开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
8．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．
9．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
10．（2022下·八年级单元测试）用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是： ．（请用序号表示，只需写出两种即可）
11．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
12．（2023上·江西上饶·八年级校考阶段练习）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．
图图
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号）
正三角形；正方形；正五边形；正六边形．
(2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形．
如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌．
13．（2023下·河南新乡·七年级期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”．
14．（2023下·广东深圳·七年级统考期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．
(1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）
A． B． C． D．
(2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；
(3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．
15．（2023下·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
专题12 多边形与圆的初步认识重难点题型专训（9大题型）
【题型目录】
题型一 平面图形形状的识别
题型二 用七巧板拼图形
题型三 多边形的概念与分类
题型四 多边形的周长
题型五 网格中多边形面积比较
题型六 多边形对角线的条数问题
题型七 对角线分成的三角形个数问题
题型八 平面镶嵌
题型九 圆的周长与面积问题
【经典题型一 平面图形形状的识别】
1．下列图形中，空白部分和阴影部分的面积相等但周长不相等的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】紧密结合图形的特点判断即可．
【详解】A项，空白部分和阴影部分的面积相等，周长也相等，不符合题意；
B项，空白部分和阴影部分的面积相等，周长不相等，符合题意；
C项，空白部分和阴影部分的面积不相等，周长相等，不符合题意；
D项，空白部分和阴影部分的面积不相等，周长也不相等，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了常规图形的识别，掌握相关图形的特点，是解答本题的关键．
2．围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面图形的各点在同一平面上即可判断．
【详解】解：A、球面不是平面，故本选项不符合题意；
B、侧面不是平面，故本选项不符合题意；
C、侧面不是平面，故本选项不符合题意；
D、每个面都是平面，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查平面图形的概念，难度不大，注意掌握平面图形的特点是解答的关键．
3．一个正方形去掉一个角后所得到的图形最少有 条边．
【答案】3
【分析】根据题意画出图形，注意各种情况，不要漏解．
【详解】如图所示：一个正方形去掉一个角后有3种情况，
∴最少有3条边．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是考虑全面，分类讨论．
4．如图所示是一座房子的图片，其中的图形有 ．
【答案】三角形、四边形、长方形、正方形、梯形、圆
【分析】根据平面图形的概念求解即可．
【详解】根据题意可得，
其中的图形有三角形、四边形、长方形、正方形、梯形、圆．
故答案为：三角形、四边形、长方形、正方形、梯形、圆．
【点睛】此题考查了简单的平面图形，解题的关键是正确认识常见的平面图形．
5．如图所示，把一个等腰三角形沿着中间的折痕剪开，得到两个形状和大小完全相同的直角三角形，将这两个直角三角形拼在一起，使得它们有一条相等的边是公共边，能拼出多少种不同形状的平面图形？请画出这些图形．（原三角形不计）
【答案】5种，图见解析
【分析】由于等腰三角形的两腰相等，且底边的高线即是底边的中线，所以把任意相等的两边重合组成图形即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查的是图形的剪拼，分类讨论是解答此题的关键．
【经典题型二 用七巧板拼图形】
1．用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是1分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可．
【详解】解：如图：
（平方分米）
答：阴影部分的面积为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键是分清阴影部分与整个图形的关系．
2．七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答．
【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的认识与面积的计算，解题的关键是寻找到阴影部分在图形中所属的部分，并熟悉等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式．
3．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．
【答案】
【分析】利用七巧板的各边之间的关系即可求出，，，的长，观察图形即可求出阴影部分面积．
【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的关系是解题的关键．
4．“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”：
请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．
四巧板
【答案】见解析
【分析】根据要求动手操作，画出图形即可．
【详解】解：分割线如图所示：
【点睛】本题考查直角梯形，四巧板，图形的拼剪等知识，解题的关键是学会动手操作，培养动手能力．
【经典题型三 多边形的概念与分类】
1．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．
2．下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．依据正多边形的概念进行判断即可．
【详解】解：（1）菱形各边相等，但不是正四边形，故说法错误；
（2）长方形各角都相等，但不是正四边形，故说法错误；
（3）等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是正多边形，故说法正确；
（4）长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，所以不一定是正多边形，故说法错误．
故正确的有：1个．
故说：A．
【点睛】本题考查了正多边形的概念，各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．
3．如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．
【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形
【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解．
【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形；
故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形．
【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形．
4．我们熟悉的平面图形中的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形、圆等，它们是由若干条 的线段首尾顺次相连组成的 图形．
【答案】 不在同一直线上 封闭平面
5．随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．
(1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）
A． B． C． D．
(2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；
(3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．
【答案】(1)D
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案；
（2）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案；
（3）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图2，阴影部分的区域（含边界）内的点都是完美观测点，
即是完美观测点，
故选：D；
（2）如图，点，点落在图中阴影部分的区域（含边界）即可；
（3）如图所示：阴影部分即为所求.
【点睛】本题考查了多边形的应用，正确理解“完美观测点”的意义是解题的关键．
【经典题型四 多边形的周长】
1．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据长方形周长的计算公式求解．
【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n，
故选C．
【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键．
2．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（ ）
A．88mmB．96mmC．80mmD．84mm
【答案】B
【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可．
【详解】由图形可得出：
该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm），
故该主板的周长是96mm，
故选：B．
【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键．
3．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ．
【答案】20，22，26，28
【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长；
【详解】解：①如图周长=20；
②如图周长=22；
③如图周长=26；
④如图周长=28；
⑤如图周长=22；
∴四边形的周长为：20，22，26，28；
故答案为：20，22，26，28．
【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键．
4．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据周长公式进行计算即可．
【详解】解：左图的周，右图的周长，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查计算图形周长，理解周长的定义以及长方形周长的计算方法是正确解答的前提．
5．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【答案】（1）20（2）不正确
【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数；
（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值.
试题解析：（1）a=60÷3=20；
（2）此说法不正确．
理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b，
但可令a=b，得，
∴60n+420=67n，
解得n=60，
经检验n=60是方程的根．
∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60．
点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点.
【经典题型五 网格中多边形面积比较】
1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（ ）．
A．8B．6C．6.5D．7.5
【答案】B
【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答．
【详解】解：连接和，则
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键．
2．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】D
【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可．
【详解】解：如图，
，
，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键．
3．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为：
=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．
4．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ；
（）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ．
【答案】
【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可；
（2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案.
【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为，即，
∴．
故答案为：；
（）∵菱形边长为，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后面积比为，
∴．
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解.
5．小聪同学记得，在作业本中曾介绍了奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形面积的公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，不过，他忘了系数的值，请你运用下面的图形解决问题，下列图形中有四个相邻点围城的正方形面积是个单位面积
（1）计算图①中正方形的面积，并求系数的值
（2）利用面积公式，求出图②、图③的多边形的面积
【答案】（1）S=9，k=；（2）图②：14，图③：9.5
【分析】（1）根据图像可直接计算出正方形面积，再数出a和b的值，代入公式即可计算k值；
（2）分别得出图②和图③中a和b的值，再利用公式求出面积．
【详解】解：（1）由图可知：图①中正方形的边长为3，
∴面积为3×3=9，
在中，对应a=4，b=12，
∴9=4+12k-1，
解得：k=；
（2）图②中，a=10，b=10，
则S=10+×10-1=14，
图③中，a=5，b=11，
则S=5+×11-1=9.5．
【点睛】本题考查了格点图形的面积的计算，一个单位长度的正方形网格纸中多边形面积的公式：的运用．
【经典题型六 多边形对角线的条数问题】
1．为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（ ）场比赛．
A．30B．45C．105D．210
【答案】C
【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛 m（m-1）．
【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：×15×（15-1）=105．
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答．
2．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是 （ ）
A．2012边形B．2013边形C．2014边形D．2015边形
【答案】B
【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形，根据此关系式求边数．
【详解】设多边形有n条边，
则n−2=2011，
解得：n=2013.
所以这个多边形的边数是2013.
故选B.
【点睛】本题考查了多边形的知识点，解题的关键是熟练的掌握多边形对角线的性质与运用.
3．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
【答案】500
【分析】若过边形的一个顶点有7条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而．代入解析式就可以求出代数式的值．
【详解】解：边形从一个顶点发出的对角线有条，
，，，；
则．
故答案为：500
【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条．
4．过某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形．
【答案】9
【分析】根据过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形，即可求解．
【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出8条对角线，
∴该多边形的边数为8+3=11，
∴这些对角线将这个多边形分成11-2=9个三角形．
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n-2）个三角形是解题的关键．
5．探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1) 1 2
(2) 2 3
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2．
（2）解：运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，它把边形分成个三角形；
故答案为：，．
（4）解：∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴代入（3）中的结论：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割，利用题中的条件找出题中的规律是解此题的关键．
【经典题型七 对角线分成的三角形个数问题】
1．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001B．2005C．2004D．2006
【答案】C
【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解．
【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1＝2004．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键．
2．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】A
【分析】根据多边形的定义，多边形对角线，角的大小，周角等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形，判断错误；
②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形，判断正确；
③角的边越长，角越大，判断错误；
④一条射线就是一个周角，判断错误．
故选：A
【点睛】本题考查了多边形、角等知识，理解多边形、多边形对角线、角、周角的概念是解题关键．
3．从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为 ．
【答案】2020
【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形．
【详解】解：由题意可知：n-2=2018，
解得n=2020，
则这个多边形的边数为2020，
故答案为：2020．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n-2）个三角形．
4．过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形．
【答案】
【分析】根据四边形可以条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引条对角线，被分成个三角形．
【详解】从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形
故答案为：，．
【点睛】本题考查了多边形的规律问题，掌握对角线和三角形的性质、多边形的规律是解题的关键．
5．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014
【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；
①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果；
②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解．
【详解】解：填表如下：
故答案为：3，，， ；
把代入得，．
十二边形有条对角线．
能．
由题意得，23，
解得=1014．
多边形的边数n是正整数，
过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014．
【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
【经典题型八 平面镶嵌】
1．一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为，列式求解即可．
【详解】解：正方形的每个内角是，正三角形的每个内角是，
根据题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌时在一个顶点处各个内角和为．
2．垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】C
【分析】从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【详解】解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；
正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面．
故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌．解这类题，根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．
3．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度．
【答案】150
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为，据此求出α即可．
【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为，
∴，
解得．
故答案为：150．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
4．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有 种．
【答案】3
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．因为正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角分别为60°、90°、120°、135°，根据多边形镶嵌成平面图形的条件可知．
【详解】解：①正三角形、正方形，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满；
②正三角形、正六边形，由于 60°×2+120°×2=360°，或60°×4+120°×1=360°，故能铺满；
③正三角形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
④正方形、正六边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
⑤正方形、正八边形，由于90°+135°×2=360°，故能铺满；
⑥正六边形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选择的方式有3种．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决本题的关键是掌握平面镶嵌定义．用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
5．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．
图图
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号）
正三角形；正方形；正五边形；正六边形．
(2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形．
如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌．
【答案】(1)
(2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十．
【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可；
（）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况；
设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌；
正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
故选：；
（2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形，
根据题意得：，
∴，
∵，为正整数，
∴或，
答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；
由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，
则，
整理得：，
∵，，为正整数，
∴应为正整数，
则或，
当时，，此时，无正整数解，
当时，，解得正整数解为：，
故答案为：十．
【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于．
【经典题型九 圆的周长与面积问题】
1．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
【答案】A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
【详解】解：由题意得
解得：，
解得：，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
2．如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点B．E点C．F点D．G点
【答案】A
【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可．
【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为，
∵，，
∴行走后才停下来，那一个点为D点，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置．
3．“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
【答案】 圆周长的一半 半径
【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答．
【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，
圆的面积近似长方形的面积长宽．
故答案为：圆周长的一半，半径，．
【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键．
4．国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（π取3）．
【答案】1270
【分析】根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解．
【详解】解：修剪草坪的面积为：（平方米），
因此所用的人工费为（元），
故答案为：1270．
【点睛】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积-小圆面积=环形面积是关键．
5．如图，直径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”），这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3
①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
【答案】（1）无理，﹣π；（2）±2π或0；（3）①第四次，第三次；②13π，﹣3π
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）根据圆的直径以及滚动周数分三种情形讨论即可得出答案；
（3）①求出每一次滚动后所表示的数，然后得出最大值和最小值；
②将各数的绝对值进行求和，然后根据圆的周长计算公式得出答案；将各数进行相加，乘以圆的周长得出答案.；
【详解】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是﹣π；
故答案为：无理，﹣π；
（2）分三种情况：
①当把圆片沿数轴向右滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是2π
②当把圆片沿数轴向左滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是－2π
③当先把圆片沿数轴向右滚动1周，再向左滚动1周或者先把圆片沿数轴向左滚动1周，再向右滚动1周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是0
故答案为±4π或0．
（3）①∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3，
∴第4次滚动后，A点距离原点最近，第3次滚动后，A点距离原点最远；
②∵|+2|+|﹣1|+|+3|+|﹣4|+|﹣3|=13，
∴13×π×1=13π，
∴A点运动的路程共有13π；
∵（+2）+（﹣1）+（+3）+（﹣4）+（﹣3）=﹣3，
（﹣3）×π=﹣3π，
∴此时点A所表示的数是：﹣3π．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题、圆的周长公式，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【重难点训练】
1．（2023上·陕西延安·八年级统考阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（ ）
A．14B．28C．24D．20
【答案】A
【分析】根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据边形对角线的总数为，即可求解．
【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，
可知该多边形的边数为，
∴这个多边形对角线的总数为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握边形的相关公式是解题关键．
2．（2023上·黑龙江绥化·六年级校考期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
【答案】A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
【详解】解：由题意得
解得：，
解得：，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
3．（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案
【详解】解：设这个多边形的边数是边形，
根据题意可得：，
解得：，
这个多边形的边数是7，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形．
4．（2023下·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点B．E点C．F点D．G点
【答案】A
【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可．
【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为，
∵，，
∴行走后才停下来，那一个点为D点，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置．
5．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示是一副正方形七巧板（相同的板规定序号相同）．现从七巧板中取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则可以拼成的序号是（ ）
A．②③③④B．①①②③C．①①②④D．①①②⑤
【答案】B
【分析】由题意画出图形可求解．
【详解】解：由题意，B选项可拼成一个小正方形（无空隙不重叠）如下：
故选：B．
【点睛】本题考查了几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用．
6．（2023下·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）某装修店里出售下列形状的地砖：（1）正三角形；（2）正方形；（3）正六边形；（4）正八边形，若选购一种或两种地砖来铺满地面，则购买方案共有 种．
【答案】6/六
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件：要密铺地面，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好等于，分别计算即可求出答案．
【详解】∵正三角形的每个内角是，能整除，∴正三角形能密铺；
∵正方形的每个内角是，能整除，∴正方形能密铺；
∵正六边形的每个内角是，能整除，∴正六边形能密铺；
∵正八边形每个内角是，不能整除，∴正八边形不能密铺；
∵，∴正三角形和正方形能密铺；
∵，∴正三角形和正六边形能密铺；
∵，∴正方形和正八边形能密铺；
∴共有6种方案．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
7．（2023上·河北保定·七年级保定市第十七中学校考开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
【答案】 圆周长的一半 半径
【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答．
【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，
圆的面积近似长方形的面积长宽．
故答案为：圆周长的一半，半径，．
【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键．
8．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．
【答案】/
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解．
【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，
∴大正方形面积，
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
9．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ．
【答案】500
【分析】若过边形的一个顶点有7条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而．代入解析式就可以求出代数式的值．
【详解】解：边形从一个顶点发出的对角线有条，
，，，；
则．
故答案为：500
【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条．
10．（2022下·八年级单元测试）用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是： ．（请用序号表示，只需写出两种即可）
【答案】①②③或①②⑥或②③⑥
【分析】先分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形的每个内角，然后根据平面镶嵌的条件解答即可．
【详解】解：用公式分别计算出正三角形的内角为，正方形的内角为，正六边形的内角为，正八边形内角为，正十边形的内角为，正十二边形的内角为，正十五边形的内角为，
∵，
∴正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌；
∵，
∴正三角形、正方形、正十二边形可以进行平面镶嵌；
∵，
∴正方形、正六边形、正十二边形可以进行平面镶嵌；
故答案为：①②③或①②⑥或②③⑥．
【点睛】本题主要考查了镶嵌的条件，镶嵌的条件是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．
11．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1) 1 2
(2) 2 3
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2．
（2）解：运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，它把边形分成个三角形；
故答案为：，．
（4）解：∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴代入（3）中的结论：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割，利用题中的条件找出题中的规律是解此题的关键．
12．（2023上·江西上饶·八年级校考阶段练习）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．
图图
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号）
正三角形；正方形；正五边形；正六边形．
(2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形．
如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌．
【答案】(1)
(2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十．
【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可；
（）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况；
设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌；
正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
故选：；
（2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形，
根据题意得：，
∴，
∵，为正整数，
∴或，
答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；
由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，
则，
整理得：，
∵，，为正整数，
∴应为正整数，
则或，
当时，，此时，无正整数解，
当时，，解得正整数解为：，
故答案为：十．
【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于．
13．（2023下·河南新乡·七年级期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”．
【答案】
【分析】根据图形分别确定出四边形、五边形、六边形可以被分成的三角形的个数，然后归纳总结即可解答．
【详解】解：三角形时，,有2个三角形，
四边形时，有3个三角形，
五边形时，有4个三角形，
……
n边形时，有个三角形．
故答案为．
【点睛】本题考查了多边形内角和，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键．
14．（2023下·广东深圳·七年级统考期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．
(1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）
A． B． C． D．
(2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；
(3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．
【答案】(1)D
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案；
（2）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案；
（3）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图2，阴影部分的区域（含边界）内的点都是完美观测点，
即是完美观测点，
故选：D；
（2）如图，点，点落在图中阴影部分的区域（含边界）即可；
（3）如图所示：阴影部分即为所求.
【点睛】本题考查了多边形的应用，正确理解“完美观测点”的意义是解题的关键．
15．（2023下·山东聊城·七年级校联考期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014
【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；
①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果；
②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解．
【详解】解：填表如下：
故答案为：3，，， ；
把代入得，．
十二边形有条对角线．
能．
由题意得，23，
解得=1014．
多边形的边数n是正整数，
过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014．
【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
______
______
多边形对角线的总条数
______
______
______
（注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形）
如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（ ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理．
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
______
______
多边形对角线的总条数
______
______
______
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
______
______
多边形对角线的总条数
______
______
______
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
3
多边形对角线的总条数
5
9
（注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形）
如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（ ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理．
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
______
______
多边形对角线的总条数
______
______
______
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发
3
多边形对角线的总条数
5
9
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