初中数学北师大版七年级上册5.1 认识一元一次方程课堂检测

这是一份初中数学北师大版七年级上册5.1 认识一元一次方程课堂检测，共51页。
题型一 判断各式是否是方程
题型二 列方程
题型三 一元一次方程的定义
题型四 方程的解集
题型五 根据方程的解求值
题型六 根据等式的性质判断变形是否正确
题型七 利用等式的性质解方程
题型八 利用等式的性质比较大小
题型九 根据等式的性质检验方程的根
题型十 有规律的方程的解
【知识梳理】
方程的定义
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
方程的解
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
4、等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【经典例题一 判断各式是否是方程】
1．（19·20七年级下·四川巴中·期末）下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（22·23七年级上·安徽阜阳·期末）下列各式中，是方程的个数为（ ）
；；；；；．
A．2个B．3个C．5个D．4个
3．（20·21七年级·全国·假期作业）下列各式是方程的有
①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）；
②＋y＝5；
③x2﹣2x＝1；
④x2﹣2x＝x﹣y；
⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数）
4．（23·24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【经典例题二 列方程】
1．（2021·安徽蚌埠·统考二模）药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（ ）
A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）aB．b＝（1﹣30%﹣10%）a
C．D．
2．（2021上·河北唐山·七年级统考期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（ ）．
A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4）B．π×92×x＝π×92×（x+4）
C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4）D．π×92×x＝π×92×（x-4）
3．（2020上·江苏淮安·七年级统考期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 .
4．（2020下·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是70，鸡、猪的腿数之和是196，设鸡的只数是x，依题意列方程为 。
5．（2020下·六年级课时练习）根据下列条件，列出方程．
（1）x的倒数减去-5的差为9；
（2）5与x的差的绝对值等于4的平方；
（3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40；
（4）y减去13的差的一半为x的．
【经典例题三 一元一次方程的定义】
1．（2019上·湖南常德·七年级统考期中）下列方程中：
①；
②；
③；
④；；，
属于一元一次方程的是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．（2023上·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）已知关于 y 的方程是一元一次方程，则 c 的值为（ ）
A．B．C．2D．1
3．（2023下·四川遂宁·七年级统考期末）若是一元一次方程，则 ．
4．（2022上·广东惠州·七年级校考阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ．
5．（2022上·河南开封·七年级金明中小学校考阶段练习）已知方程是关于的一元一次方程，求和的值．
【经典例题四 方程的解集】
1．（2022上·江苏泰州·七年级统考期末）下列有理数中，不可能是关于的方程的解的是（ ）
A．0B．1C．D．－3
2．（21·22上·湘西·期末）是下列哪个方程的解（ ）
A．B．
C．D．
3．（22·23上·渝中·阶段练习）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ．
4．（21·22七年级上·陕西榆林·期末）某同学在解方程时，去分母时方程右边的没有乘6，其他步骤正确，结果方程的解为，求a的值．
【经典例题五 根据方程的解求值】
1．（22·23上·珠海·期末）已知a是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．2B．C．1D．
2．（21·22上·宝鸡·期末）已知是方程的解，则的值为（ ）
A．0B．6C．D．
3．（23·24上·昆明·期末）若关于的方程的解为，则 ．
4．（21·22七年级下·全国·期中）若x＝1是方程﹣＝1的解．
(1)试判断a与b的关系，并说明理由；
(2)如图是一个正方体的表面展开图，每组相对表面上所标的两个数都互为相反数，求a的值；
(3)求代数式﹣8a﹣2b+5的值．
【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】
1．（2023上·江苏·七年级专题练习）下列等式变形，错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2023下·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）对于等式，下列变形正确的是( )
A．B．C．D．
3．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）由可以得到用表示的式子为 ．
4．（2023下·湖南岳阳·七年级统考期末）对于方程，用含的代数式表示，则 ．
5．（2023上·七年级课时练习）能否从等式得到？为什么？反过来，能否从等式得到为什么？
【经典例题七 利用等式的性质解方程】
1．（2023上·七年级课时练习）利用等式的性质解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2022上·全国·七年级专题练习）用等式性质解下列方程：
(1)
(2)．
3．（2022上·浙江·七年级专题练习）用等式的性质解下列方程：
(1)；
(2)．
4．（2022上·浙江·七年级专题练习）利用等式的性质解方程：
(1)
(2)．
5．（2023上·全国·七年级专题练习）利用等式的性质解方程．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【经典例题八 利用等式的性质比较大小】
1、（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是( )
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定
2、（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a−3b−1=5b−3a，利用等式的基本性质比较a，b的大小.
3、（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知 4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）．
4、（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m﹣1=34n，试用等式的性质比较m与n的大小．
【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】
1、（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程−mx+n=9的解为（ ）
A．x=−5B．x=−4C．x=−2D．x=1
2、（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x=−2的是（ ）
A．3x−4=2B．3x+1−3=0C．2x=−1D．x+75−1=0
3、（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．
(1)2x+5=10x−3,x=1；
(2)0.52x−1−0.52x=80,x=1000．
4、（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．
【经典例题十 有规律的方程的解】
1、（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：
x4+x−12＝1的解是x＝2；
x6+x−22＝1的解是x＝3；
x8+x−32＝1的解是x＝4；
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ．
2、（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10 +x11=21，解为 ．
3、（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：方程x−1x=112的解是x1=2,x2=−12 ；方程x−1x=223的解是x1=3,x2=−13；方程x−1x=334的解是x1=4,x2=−14……
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1x=101011的解，并进行检验再推广到一般情形.
4、（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3,x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4,x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5,x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1= 和x2= ；
(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？
【培优检测】
1．（2023上·湖南长沙·七年级校联考期中）若，是任意有理数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·河北唐山·七年级统考期中）如图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2023下·山东淄博·八年级统考期末）已知，且，，则下列变形不正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023下·河北沧州·七年级统考期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（ ）

A．25B．21C．20D．19
5．（2022上·广东珠海·九年级统考期末）已知a是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．2B．C．1D．
6．（2023上·广东深圳·七年级深圳市高级中学校考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．（2023上·福建福州·七年级福建师大附中校考期中）若，则式子： ．
8．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是 ．
9．（2022上·湖南长沙·七年级校考阶段练习）关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ．
10．（2021下·上海长宁·六年级上海市延安初级中学校考期中）关于x的方程
（1）当a、b满足 ，此方程为一元一次方程．
（2）当a、b满足 时，此方程无解．
11．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）一列方程及其解如下排列：的解是的解是的解是，…，根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ．
12．（2022上·重庆·七年级重庆南开中学校考期末）某商家主营的，，三种商品在月份的销售单价之比为，其销售数量之比为．随着市场形势的变化，月份时，商品增加的销售额占月份，，三种商品销售总额的，同时，两种商品增加的销售额之比为．如果，两种商品月份销售额相等，那么该商家主营的这三种商品月份与月份的销售总额之比为 ．
13．（2022上·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
14．（2022上·陕西榆林·七年级统考期末）某同学在解方程时，去分母时方程右边的没有乘6，其他步骤正确，结果方程的解为，求a的值．
15．（2022上·江苏扬州·七年级仪征市第三中学校考期中）已知关于的代数式：，，且代数式．
(1)若时，化简代数式；
(2)若代数式是关于的一次多项式，求的值；
(3)当是关于的一元一次方程时，求代数式的值．
16．（2022上·湖北武汉·七年级统考期末）知识背景：已知a，b为有理数，规定，，例如：，．
知识应用：
(1)若，求的值；
(2)求的最值；
知识迁移：
(3)若有理数a，b，c满足，且关于x的方程有无数解，，求的值．
17．（2021上·四川德阳·七年级四川省德阳中学校校考阶段练习）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)判断方程______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
(2)若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
(3)若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．
18．（2022上·四川成都·七年级四川省成都市七中育才学校校考期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．
(1)求、的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有无数解，求，的值．
专题14 认识一元一次方程重难点题型专训（10大题型）
【题型目录】
题型一 判断各式是否是方程
题型二 列方程
题型三 一元一次方程的定义
题型四 方程的解集
题型五 根据方程的解求值
题型六 根据等式的性质判断变形是否正确
题型七 利用等式的性质解方程
题型八 利用等式的性质比较大小
题型九 根据等式的性质检验方程的根
题型十 有规律的方程的解
【知识梳理】
方程的定义
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
方程的解
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
4、等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【经典例题一 判断各式是否是方程】
1．（19·20七年级下·四川巴中·期末）下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据方程的定义可得出正确答案．
【详解】①，是方程；
②，不是等式，不是方程；
③，不是等式，不是方程；
④，是方程；
⑤，是方程．
综上，方程共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
2．（22·23七年级上·安徽阜阳·期末）下列各式中，是方程的个数为（ ）
；；；；；．
A．2个B．3个C．5个D．4个
【答案】C
【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式，即可判断．
【详解】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合题意；
③不是等式，故不是方程，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是方程的定义，解题的关键是依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
3．（20·21七年级·全国·假期作业）下列各式是方程的有
①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）；
②＋y＝5；
③x2﹣2x＝1；
④x2﹣2x＝x﹣y；
⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数）
【答案】②③④
【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断．
【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程；
②＋y＝5，是方程；
③x2﹣2x＝1，是方程；
④x2﹣2x＝x﹣y，是方程；
⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程；
故答案为：②③④．
【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键．
4．（23·24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是方程，见解析
(2)是方程
(3)不是方程，见解析
(4)不是方程，见解析
(5)是方程
(6)不是方程，见解析
【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得．
【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数．
（2）解：是方程．
（3）解：不是方程，理由是：不是等式．
（4）解：不是方程，理由是：不是等式．
（5）解：是方程．
（6）解：不是方程，理由是：不含未知数．
【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键．
【经典例题二 列方程】
1．（2021·安徽蚌埠·统考二模）药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（ ）
A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）aB．b＝（1﹣30%﹣10%）a
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意直接列方程即可
【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a
故选：A
【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键
2．（2021上·河北唐山·七年级统考期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（ ）．
A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4）B．π×92×x＝π×92×（x+4）
C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4）D．π×92×x＝π×92×（x-4）
【答案】A
【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案．
【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4）
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．
3．（2020上·江苏淮安·七年级统考期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 .
【答案】9
【分析】根据大长方形的面积计算出小长方形的面积，由图可知长为宽的3倍，设宽为x，则长为3x，根据长方形的面积公式即可作答．
【详解】解：因为大长方形的面积是135，
所以小长方形的面积是135÷5=27，
设宽为x cm，则长为3x cm，
所以,
即，
所以以小长方形的宽为边长的正方形面积是9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查列方程和等式的性质．在解本题时需注意根据图形可以发现①五个小正方形面积相等且他们面积之和等于大正方形面积；②小长方形的长为宽的3倍．需要注意的是最终只需要算出宽的平方即可．
4．（2020下·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是70，鸡、猪的腿数之和是196，设鸡的只数是x，依题意列方程为 。
【答案】2x＋4（70−x）＝196
【分析】鸡的只数是x，则猪的头数为（70−x）头，根据鸡、猪的腿数之和是196，列方程．
【详解】解：∵鸡的只数是x，则猪的头数为（70−x）头，
由题意得，2x＋4（70−x）＝196
故答案是：2x＋4（70−x）＝196.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
5．（2020下·六年级课时练习）根据下列条件，列出方程．
（1）x的倒数减去-5的差为9；
（2）5与x的差的绝对值等于4的平方；
（3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40；
（4）y减去13的差的一半为x的．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）表示出x的倒数，再表示出这个倒数与-5差等于9，即可得方程；
（2）表示出5与x差，根据差的绝对值等于4的平方，即可得方程；
（3）根据长方形周长公式即可得方程；
（4）表示出y与13差，再表示出这个差的一半，以及x的，即可得方程．
【详解】（1）根据题意，得：，
故答案为：；
（2）根据题意，得：，
故答案为：；
（3）根据题意，得：，
故答案为：；
（4）根据题意，得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出方程，建立方程要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的相等关系关系．
【经典例题三 一元一次方程的定义】
1．（2019上·湖南常德·七年级统考期中）下列方程中：
①；
②；
③；
④；；，
属于一元一次方程的是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断即可得．
【详解】解：①是一元一次方程，符合题意；
②，含有3个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
③中的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
④中的次数是2，不是一元一次方程；含有2个未知数，不是一元一次方程；不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
综上，属于一元一次方程的是1个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
2．（2023上·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）已知关于 y 的方程是一元一次方程，则 c 的值为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义：一个未知数，未知数的项的次数为1，列式求解即可．
【详解】解：∵关于 y 的方程是一元一次方程，
∴，
∴，
又∵，即，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．
3．（2023下·四川遂宁·七年级统考期末）若是一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义求出m的值，再将m的值代入，求解方程即可．
【详解】解：∵是一元一次方程，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．
4．（2022上·广东惠州·七年级校考阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ．
【答案】2
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可；
【详解】关于的方程是一元一次方程，
故答案为2
【点睛】该题考查了一元一次方程的定义，解答该题的关键是掌握一元一次方程的定义，一元一次方程满足只含有一个未知数，未知数最高次数为2，利用这些条件即可解答．
5．（2022上·河南开封·七年级金明中小学校考阶段练习）已知方程是关于的一元一次方程，求和的值．
【答案】，
【分析】由一元一次方程的定义可知，求得的值，将的值代入得到关于的方程，即可得到的值．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，解得，
将代入，
得，解得．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和解法，依据一元一次方程的定义求得的值是解题的关键．
【经典例题四 方程的解集】
1．（2022上·江苏泰州·七年级统考期末）下列有理数中，不可能是关于的方程的解的是（ ）
A．0B．1C．D．－3
【答案】A
【分析】把x的值代入方程ax+4=1，求出所得方程的解，再得出选项即可．
【详解】A．当x=0时，a•0+4=1，即4=1，此时不成立，即x=0不是方程ax+4=1的解，故本选项符合题意；
B．当x=1时，a•1+4=1，解得：a=-3，即x=1可以是方程的解，故本选项不符合题意；
C．当x=时，a•+4=1，解得：a=-2，即x=可以是方程的解，故本选项不符合题意；
D．当x=-3时，a•（-3）+4=1，解得：a=1，即x=-3可以是方程的解，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
2．（21·22上·湘西·期末）是下列哪个方程的解（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把代入各个方程计算求解即可．
【详解】把代入，可得：
，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的解的判定，准确计算分析是解题的关键．
3．（22·23上·渝中·阶段练习）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ．
【答案】8
【分析】把代入方程可得，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：把代入方程可得，
∴
=
=
=8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（21·22七年级上·陕西榆林·期末）某同学在解方程时，去分母时方程右边的没有乘6，其他步骤正确，结果方程的解为，求a的值．
【答案】
【分析】根据错解代入错方程即可得到a的值．
【详解】解：根据题意可得是方程的解，
将代入，得
，
解得．
【点睛】本题考查方程的解：使方程左右两边相等的未知数值，解题关键是题目给的解是错方程的解要代入错方程．
【经典例题五 根据方程的解求值】
1．（22·23上·珠海·期末）已知a是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】把代入方程得到关于a的等式，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程的一个解，
，即
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．
2．（21·22上·宝鸡·期末）已知是方程的解，则的值为（ ）
A．0B．6C．D．
【答案】B
【分析】此题可先把x=-2代入方程然后求出a的值，再把a的值代入a2-a-6求解即可．
【详解】解：将x=-2代入方程
得：-10+12=-1-a；
解得：a=-3；
∴a2-a-6=9-(-3)-6=6．
故选：B．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，先将x的值代入方程求出a的值，再将a的值代入a2-a-6即可解出此题．
3．（23·24上·昆明·期末）若关于的方程的解为，则 ．
【答案】/1.5/
【分析】将代入可得：，从而得到．
【详解】解：关于的方程的解为，
将代入可得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解与代数式求值，理解方程的解的定义是解题的关键．
4．（21·22七年级下·全国·期中）若x＝1是方程﹣＝1的解．
(1)试判断a与b的关系，并说明理由；
(2)如图是一个正方体的表面展开图，每组相对表面上所标的两个数都互为相反数，求a的值；
(3)求代数式﹣8a﹣2b+5的值．
【答案】(1)b＝5﹣4a，见解析；
(2)a＝1；
(3)20.
【分析】（1）把x＝1代入方程，即可解答；
（2）利用正方体及其表面展开图的特点，求出b的值，代入（1）中的式子，即可解答；
（3）把a，b的值代入代数式，即可解答．
【详解】（1）把x＝1代入方程﹣＝1得：
﹣＝1
解得：b＝5﹣4a．
（2）根据正方体的表面展开图，可得b与﹣1是相对的面，
∵每组相对表面上所标的两个数都互为相反数，
∴b＝1，
∴1＝5﹣4a，
解得：a＝1．
（3）当a＝1，b＝1时，
﹣8a﹣2b+5
＝﹣8×1﹣2×1+5
＝25﹣8﹣2+5
＝20．
【点睛】本题考查了方程解的定义，代数式求值，正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】
1．（2023上·江苏·七年级专题练习）下列等式变形，错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立；等式的性质3：等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
B．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
C．∵·，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
D．由能推出或，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，能正确根据等式的基本性质进行变形是解此题的关键．
2．（2023下·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）对于等式，下列变形正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐一判断各选项即可得出答案.
【详解】解：A、将移到等号的左边，将1移动到等号的右边，得到的等式为，故该选项错误；
B、将移到等号的右边，得，故该选项正确；
C、对整理，得，故该选项错误；
D、给等式的两边同时乘以3，得，故该选项错误；
故选B.
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键.
3．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）由可以得到用表示的式子为 ．
【答案】
【分析】根据等式的性质，恒等变形即可得到答案．
【详解】解：，
移项得，
系数化为1得，即
故答案为：．
【点睛】本题考查利用等式的性质恒等变形，读懂题意，按要求恒等变形是解决问题的关键．
4．（2023下·湖南岳阳·七年级统考期末）对于方程，用含的代数式表示，则 ．
【答案】/
【分析】直接移项即可得出结果．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键.
5．（2023上·七年级课时练习）能否从等式得到？为什么？反过来，能否从等式得到为什么？
【答案】由不一定能得到；反过来，能从等式得到（；理由见解析
【分析】利用等式的性质2进行判断即可．
【详解】由不一定能得到．
因为当时，，根据等式的基本性质2，等式的两边不能同时除以0，此时不能得到．
当时，，此时，
根据等式的基本性质2，能得到．
反过来，能从等式得到（．
理由：由知，两边同时乘，得．
【点睛】本题主要考查的是等式的性质，明确利用等式性质2对等式进行变形时，除数不能为0是解题的关键．
【经典例题七 利用等式的性质解方程】
1．（2023上·七年级课时练习）利用等式的性质解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）等式的两边同时加5即可得出结论；
（2）先把等式的两边同时加4， 再把两边同时除以2即可得出结论；
（3）先把等式的两边同时加，再把两边同时除以3即可得出结论；
（4）先把等式的两边同时加2，再把两边同时乘以，即可得出结论．
【详解】（1）解：两边同时加5，得．
（2）解：两边同时加4，得，两边同时除以2，得．
（3）解：两边同时加，得，两边同时除以3，得．
（4）解：两边同时加2，得，两边同时乘，得．
【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的2个基本性质是解答此题的关键，等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等．
2．（2022上·全国·七年级专题练习）用等式性质解下列方程：
(1)
(2)．
【答案】(1)x=5
(2)
【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可；
（2）利用等式的基本性质分别化简得出即可．
【详解】（1）解：
方程两边都加上7，得，即，
方程两边同时除以4得：；
（2）
方程两边都减去2，得，即，
方程两边都减去x，得，即，
方程两边同时除以2得：．
【点睛】本题考查了等式的基本性质的应用，解题的关键是掌握基本性质：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍是等式；等式两边加上（或减去）同一个数（除数不等于0），结果仍是等式．
3．（2022上·浙江·七年级专题练习）用等式的性质解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等式的两边都加或都减同一个数，结果仍是等式，等式的两边都除以同除以一个不为零的数，可得答案；
（2）根据等式的两边都乘以同一个不为零的数，结果仍是等式，可得答案．
【详解】（1）解：，
方程两边都减7，得，
方程两边都除以4，得．
（2）解：，
方程两边都乘以6，得，
∴．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，利用了等式的性质解方程，解题的关键是熟练掌握等式的性质，等式两边同加上或减去一个整式等式仍然成立，等式两边同乘以或除以一个不为0的数等式仍然成立．
4．（2022上·浙江·七年级专题练习）利用等式的性质解方程：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在等式的两边同时减去5；
（2）在等式的两边同时加上，然后再除以5即可．
【详解】（1）解：，
等式两边同减去5得：，
即；
（2）解：，
等式两边同加上得：，
等式两边同除以5得：．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
5．（2023上·全国·七年级专题练习）利用等式的性质解方程．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据等式性质1、2求解，再检验即可；
（2）根据等式性质2求解，再检验即可；
（3）根据等式性质1、2求解，再检验即可；
（4）根据等式性质1、2求解，再检验即可．
【详解】（1）解：方程两边加上6得：，即，
方程两边除以4得：，
则是方程的解；
（2）解：方程两边除以得：，
则是方程的解；
（3）解：方程两边减去得：，即，
两边除以5得：，
则是方程的解；
（4）解：方程两边减去得：，即，
则是方程的解．
【点睛】本题考查运用等式性质解方程，熟练掌握等式性质是解题的关键．
【经典例题八 利用等式的性质比较大小】
1、（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是( )
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定
【答案】A
【分析】等式两边同时除以2，减去n，加上12，即可得到答案．
【详解】等式两边同时除以2得：
m﹣12＝n，
等式两边同时减去n得：
m﹣n﹣12＝0，
等式两边同时加上12得：
m﹣n＝12，
即m﹣n＞0，
即m＞n，
故选A．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式.
2、（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a−3b−1=5b−3a，利用等式的基本性质比较a，b的大小.
【答案】a>b
【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断．
【详解】解：等式两边同时加3b+1，得5a=8b-3a+1．
等式两边同时加3a，得8a=8b+1．
等式两边同时除以8，得a=b+18，
所以a＞b．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
3、（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知 4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】>
【分析】利用等式的性质两边同时减去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的两边再同时除以3可得，m-n=53，据此进行判断.
【详解】解：等式的两边同时减去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的两边再同时除以3可得，
m-n=53＞0，故m＞n.
故答案为＞.
【点睛】本题考查了等式的性质.
4、（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m﹣1=34n，试用等式的性质比较m与n的大小．
【答案】m＞n．
【详解】试题分析：根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断.
试题解析：等式两边同时乘以4得：3m-4=3n，
整理得：3（m-n）=4，
∴m-n＞0，
则m＞n．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】
1、（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程−mx+n=9的解为（ ）
A．x=−5B．x=−4C．x=−2D．x=1
【答案】D
【分析】根据等式的性质把−mx+n=9变形为mx−n=−9；再根据表格中的数据求解即可．
【详解】解：关于x的方程−mx+n=9变形为mx−n=−9，
由表格中的数据可知，当−mx+n=9时，x=1；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解．
2、（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x=−2的是（ ）
A．3x−4=2B．3x+1−3=0C．2x=−1D．x+75−1=0
【答案】D
【分析】把x=−2分别代入各选项左边代数式求值，然后比较判定即可；
【详解】解：A.当x=-2时，3x−4=−6−4=−0≠2，故不符合题意；
B. 当x=-2时，3x+1−3=3×−2+1−3=−6≠0，故不符合题意；
C. 当x=-2时， 2x=2×−2=−4≠−1，故不符合题意；
D. 当x=-2时，x+75−1=−2+75−1=1−1=0，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3、（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．
(1)2x+5=10x−3,x=1；
(2)0.52x−1−0.52x=80,x=1000．
【答案】(1)是
(2)不是
【分析】（1）将x=1分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则x=1是该方程的解，否则不是；
（2）将x=1000分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则x=1000是该方程的解，否则不是．
【详解】（1）解：当x=1时，
左边=2x+5=7，
右边=10x−3=7，
左边=右边，
∴x=1是该方程的解．
（2）解：当x=1000时，
左边=0.52x−1−0.52x=520−480=40，
右边=80，
左边≠右边，
∴x=1000不是方程的解．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
4、（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．
【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由见解析.
【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可．
【详解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为：
∵x=2是方程ax﹣4=0的解，
∴把x=2代入得：2a﹣4=0，
解得：a=2，
将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8，
将x=3代入该方程左边，则左边=7，
代入右边，则右边=1，
左边≠右边，
则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解．
【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【经典例题十 有规律的方程的解】
1、（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：
x4+x−12＝1的解是x＝2；
x6+x−22＝1的解是x＝3；
x8+x−32＝1的解是x＝4；
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ．
【答案】x40+x−192=1
【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可．
【详解】解：∵一列方程如下排列：
x4+x−12=1的解是x=2；
x6+x−22=1的解是x=3；
x8+x−32=1的解是x=4；
∴一列方程如下排列：
x2×2+x−(2−1)2=1的解是x=2；
x2×3+x−(3−1)2=1的解是x=3；
x2×4+x−(4−1)2=1的解是x=4；
…，
由此可得：解为x=20的方程为：
x2×20+x−(20−1)2=1，
即x40+x−192=1．
故答案为：x40+x−192=1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键．
2、（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10 +x11=21，解为 ．
【答案】x=110
【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为xn+xn+1=2n+1，其解为n(n+1),将n=10带入即可得到答案．
【详解】解：第1个方程是x+x2=3，解为x=2×1=2；
第2个方程是x2+x3=5，解为x=2×3=6；
第3个方程是x3+x4=7，解为x=3×4=12；
…
可以发现,第n个方程为xn+xn+1=2n+1，
解为n(n+1) ．
∴第10个方程x10+x11=21的解为：x=10×11=110．
故答案为x=110．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，关键在于通过观察题干中给出的一系列方程，总结归纳出规律，然后用含n的式子表示出来.此题难度适中，属于中档题．
3、（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知：方程x−1x=112的解是x1=2,x2=−12 ；方程x−1x=223的解是x1=3,x2=−13；方程x−1x=334的解是x1=4,x2=−14……
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1x=101011的解，并进行检验再推广到一般情形.
【答案】见解析
【详解】试题分析：
我们分析题中的几个例子可得：上述方程的结构符合：“x−1x=n+nn+1，其中n为正整数”，而其解为：x1=n+1，x2=−1n+1.
试题解析：
（1）猜想得：x−1x=101011的解为x1=11，x2=−111，验证如下：
当x=11时，原方程左边=11−111=101011=方程是右边，∴x=11是原方程的解；
当x=−111时，原方程左边=−111−[1÷(−111)]=−111+11=101011=方程右边，
∴x=−111是原方程的解；即猜想是正确的；
（2）一般情形：方程x−1x=n+nn+1的解为x1=n+1，x2=−1n+1.
4、（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3,x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4,x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5,x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1= 和x2= ；
(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？
【答案】(1)11，211
(2)x1=12，x2=1311
【分析】（1）根据规律可直接得到答案；
（2）将原方程进行变形，变成x−1+2x−1=11+211即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c,x2=2c，
∴方程x+2x=11+211的两个解是x1=11，x2=211，
故答案为：11，211；
（2）∵x+2x−1=12+211，
∴x−1+2x−1=12+211−1，
∴x−1+2x−1=11+211，
∴x1−1=11，x2−1=211，
∴x1=12，x2=1311．
【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解．
【培优检测】
1．（2023上·湖南长沙·七年级校联考期中）若，是任意有理数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【详解】、利用等式性质，两边都加，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、利用等式性质，两边都减去，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、利用等式性质，两边都乘，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、成立的条件是，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质，等式的性质：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数(或式子)，结果仍相等．
2．（2023上·河北唐山·七年级统考期中）如图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据有理数的分类，绝对值的性质，倒数的定义，单项式与多项式的次数及一元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：有理数包括正有理数，0和负有理数，则1作答正确；
绝对值是它本身的数是0和正数，则2作答错误；
若，则他没有倒数，则3作答错误；
多项式的次数是；单项式的次数是，则4作答错误；
若是关于的一元一次方程，则，，则5作答正确；
综上，他做对的题数是2个，
故选：．
【点睛】本题考查有理数的分类，绝对值的性质，倒数的定义，单项式与多项式的次数及一元一次方程的定义，它们均为基础且重要知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
3．（2023下·山东淄博·八年级统考期末）已知，且，，则下列变形不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，对各选项分析判断，即可得解．
【详解】∵，且，，
∴两边同乘以6，得，；
∴A. ，不正确，符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
∵两边同乘以，得，；
∴C. ，正确，不符合题意；
∵两边同乘以，得，；
∴D. ，正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的变换，熟练掌握等式的性质，是解决本题的关键．
4．（2023下·河北沧州·七年级统考期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（ ）

A．25B．21C．20D．19
【答案】D
【分析】根据题意可知3个比2个加1个20砝码轻，易得1个比20砝码轻，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可知3个比1个加1个50砝码轻，1个加1个50砝码比2个加1个20砝码轻，
所以，3个比2个加1个20砝码轻，
即1个比20砝码轻，
所以的质量可能为19．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
5．（2022上·广东珠海·九年级统考期末）已知a是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】把代入方程得到关于a的等式，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程的一个解，
，即
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．
6．（2023上·广东深圳·七年级深圳市高级中学校考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A．若，而，则，选项正确，不符合题意；
B．若，则，选项正确，不符合题意；
C．若，则，选项错误，符合题意；
D．若，则，选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解决问题的关键．
7．（2023上·福建福州·七年级福建师大附中校考期中）若，则式子： ．
【答案】
【分析】将等式两边同时乘2023得，再整体代入计算即可．
【详解】解：，
等式两边同时乘2023得：，
原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，根据题意化为是解题的关键，注意整体代入思想的运用．
8．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是 ．
【答案】5
【分析】根据一元一次方程解的定义,把 代入原方程得到关于 的方程,求出 的值，然后解关于 的方程即可；
【详解】解：把 代入方程 ，
得 ，
解得 ，
把 代入方程 ，
得 ，
，
，
，
；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等
9．（2022上·湖南长沙·七年级校考阶段练习）关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ．
【答案】
【分析】把代入方程得到关于a与b的关系式，再将关系式代入即可求解．
【详解】把代入方程，得：，即，
代入所求方程，得：，
整理得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
10．（2021下·上海长宁·六年级上海市延安初级中学校考期中）关于x的方程
（1）当a、b满足 ，此方程为一元一次方程．
（2）当a、b满足 时，此方程无解．
【答案】 为任意数
【分析】（1）方程移项合并整理得到结果，根据一元一次方程的定义即可得出答案；
（2）方程移项合并整理得到结果，由方程无解，确定出a的值，及b的范围即可．
【详解】解：（1）
移项得：，
合并同类项得：，
∴为任意数，此方程为一元一次方程，
故答案为：为任意数．
解：（2）由原方程得，
则时，此方程无解，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）一列方程及其解如下排列：的解是的解是的解是，…，根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ．
【答案】
【分析】由已有方程可探索出规律：对于整数，方程的解是，将代入即可．
【详解】解：由已知的方程知，
即，解为；
即，解为；
即，解为；
所以
对于整数，方程的解是，
所以的方程是．
故答案为：
【点睛】本题考查规律探索，根据已有的方程探索出解与方程中常数之间的关系是解题的关键．
12．（2022上·重庆·七年级重庆南开中学校考期末）某商家主营的，，三种商品在月份的销售单价之比为，其销售数量之比为．随着市场形势的变化，月份时，商品增加的销售额占月份，，三种商品销售总额的，同时，两种商品增加的销售额之比为．如果，两种商品月份销售额相等，那么该商家主营的这三种商品月份与月份的销售总额之比为 ．
【答案】
【分析】设A商品的单价为4y，月份的销售数量为，用代数式分别表示出三种商品月份的销售额，进而求出月份销售总额，再设月份销售总额为m，得出月份A商品增加的销售额为，B和C两种商品增加的销售额为，进而用代数式表达出B，C两种商品月份的销售额，再根据B，C两种商品月份销售额相等列等式，求出m与的关系，即可得出答案．
【详解】∵，，三种商品在月份的销售单价之比为，
设在月份A商品的单价为，则B，C商品的单价分别为，；
设A商品月份的销售数量为，则B、C商品月份的销售数量分别为：、．由此可得，
月份A商品的销售额为：，
月份B商品的销售额为：，
月份C商品的销售额为：，
月份A，B，C三种商品销售总额为：；
设月份A，B，C三种商品销售总额为：m，
则月份A商品增加的销售额为，B和C两种商品增加的销售额为，
又B，C两种商品增加的销售额之比为，
因此B商品增加的销售额为：，
C商品增加的销售额为：，
由此可得：
月份B商品的销售额为：，
月份C商品的销售额为：，
由B，C两种商品月份销售额相等可得：
解得：，
所以这三种商品月份与月份的销售总额之比为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查列代数式和等式的实际应用，未知数较多，有一定难度，依据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
13．（2022上·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用等式基本性质，在方程两边同时乘以2即可得解；
（2）利用等式基本性质，在方程两边同时乘以即可得解；
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查了解方程，掌握等式的基本性质是解答本题的关键．
14．（2022上·陕西榆林·七年级统考期末）某同学在解方程时，去分母时方程右边的没有乘6，其他步骤正确，结果方程的解为，求a的值．
【答案】
【分析】根据错解代入错方程即可得到a的值．
【详解】解：根据题意可得是方程的解，
将代入，得
，
解得．
【点睛】本题考查方程的解：使方程左右两边相等的未知数值，解题关键是题目给的解是错方程的解要代入错方程．
15．（2022上·江苏扬州·七年级仪征市第三中学校考期中）已知关于的代数式：，，且代数式．
(1)若时，化简代数式；
(2)若代数式是关于的一次多项式，求的值；
(3)当是关于的一元一次方程时，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先化简代数式，再把代入即可；
（2）依据一次多项式指的是最高次为一次的多项式求解可得值，代入即可即可；
（3）依据一元一次方程是只含一个未知数并且未知数的次数为1的方程可得值代入即可．
【详解】（1）解：
把代入上式得：
故答案为：．
（2）解：由（1）可知：，
由题意是关于的一次多项式得：，，
解得：，，
将，代入，
故答案为：9．
（3）解：因为是关于的一元一次方程，
所以：，，
解得：，，，
将，代入
把代入
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了代数式求值及解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则是关键．
16．（2022上·湖北武汉·七年级统考期末）知识背景：已知a，b为有理数，规定，，例如：，．
知识应用：
(1)若，求的值；
(2)求的最值；
知识迁移：
(3)若有理数a，b，c满足，且关于x的方程有无数解，，求的值．
【答案】(1)21；
(2)有最小值5；
(3)﹣5；
【分析】（1）根据题意列出等式，由绝对值的非负性求出a，b的值，再求代数式的值；
（2）由题意列出代数式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的意义求出最小值；
（3）由关于x的方程有无数解，整理方程，得出a＋c=0；从而由，得到b≥3；再由求出b≠3；进而化简绝对值求代数式的值；
【详解】（1）解：若，则|a－2|＋|b＋3|=0，
∴a=2，b=﹣3，
∴3a－5b=3×2－5×（﹣3）=21；
（2）解：=|a－1－2|＋|a－1＋3|=|a－3|＋|a＋2|，
∵|a－3|＋|a＋2|，在数轴上表示点a到3和﹣2的距离之和，
∴|a－3|＋|a＋2|≥5，
∴有最小值5；
（3）解：整理得（a＋c）x=2（a＋c），
∵方程有无数解，则a＋c=0，
∵|a－b＋c＋3|=a＋b＋c－3，
即|﹣b＋3|=b－3，
∴b≥3，
∵f（2b－4）≠0，
∴|2b－4－2|≠0，
∴b≠3，
∴b＞3，
∴
=|2b＋5|－|b＋7|－|﹣3－b|
=2b＋5－（b＋7）－（b＋3）
=﹣5；
【点睛】本题考查代数式的理解，绝对值的定义和性质，一元一次方程的解，根据题意求出a，b，c，满足的关系化简绝对值是解题的关键．
17．（2021上·四川德阳·七年级四川省德阳中学校校考阶段练习）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)判断方程______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
(2)若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
(3)若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．
【答案】(1)不是
(2)有，b=
(3)
【分析】（1）解方程，并计算对应b-a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程；
（2）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可；
（3）根据奇异方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解．
【详解】（1）∵5x=-8，
∴x=-，
∵-8-5=-13，
-≠−13，
∴5x=-8不是奇异方程；
故答案为：不是；
（2）∵a=3，
∴x=b-3，
∴b−3＝，
∴b＝，
即b=时有符合要求的“奇异方程”；
（3）∵关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，
∴mn+m=4，mn+n=-，
两式相减得，m-n=，
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．
18．（2022上·四川成都·七年级四川省成都市七中育才学校校考期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．
(1)求、的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有无数解，求，的值．
【答案】(1)，
(2)或，
【分析】（1）根据题意利用一元一次方程的定义即可求出a的值，根据两个方程同解可得b的值；
（2）由题意直接把a和b的值代入方程求出方程的解，根据方程有无数解的条件列式可得m ，n的值．
【详解】（1）解：∵关于的方程为一元一次方程，
∴，解得：，
当，方程为，解得：，
又∵两个方程同解，
∴，解得：.
（2）解：把，代入，
可得：，变形得：，
∵关于的方程有无数解，即与y的取值无关，
∴，
∴或，.
【点睛】本题考查一元一次方程的解以及一元一次方程的定义，注意掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
mx−n
9
6
3
0
−3
−9
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
mx−n
9
6
3
0
−3
−9