初中数学北师大版七年级上册5.2 求解一元一次方程综合训练题

这是一份初中数学北师大版七年级上册5.2 求解一元一次方程综合训练题，共68页。
题型一 合并同类项与移项解一元一次方程
题型二 去括号解一元一次方程
题型三 去分母解一元一次方程
题型四 解一元一次方程的拓展问题
题型五 一元一次方程的同解问题
题型六 一元一次方程的整数解问题
题型七 一元一次方程的含参问题
题型八 一元一次方程中的错看、错解问题
题型九 一元一次方程的遮挡问题
题型十 一元一次方程中的新定义问题
题型十一 含绝对值计算的一元一次方程
题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解
知识点 解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】
1．（22·23七年级上·河南开封·期中）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（22·23七年级上·湖南长沙·期末）如果单项式与是同类项，那么（ ）
A．B．C．D．
3．（22·23下·哈尔滨·开学考试）当x的值为时，代数式的值是，则当时，这个代数式的值为 ．
4．（23·24上·全国·课堂例题）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【经典例题二 去括号解一元一次方程】
1．（2023上·七年级课时练习）若方程的解比关于的方程的解小1，则的值为（ ）
A．B．C．5D．3
2．（2023上·七年级课时练习）已知关于的方程的解为，则等于（ ）
A．4B．C．3D．
3．（2023上·全国·七年级课堂例题）补全解方程的过程：
解：去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
4．（2023上·贵州铜仁·七年级期末）对于任意两个有理数a，b，规定，若，则x的值为 ．
5．（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）阅读解题过程，解答后续问题
解方程
解：原方程的两边分别去括号，得
①
即 ②
移项，得 ③
即 ④
两边都除以，得 ⑤
(1)指出以上解答过程哪一步出错，并给出正确解答；
(2)结合平时自身实际，请给出一些解一元一次方程的注意事项．
【经典例题三 去分母解一元一次方程】
1．（2023上·河南安阳·七年级校考期中）如果方程的解也是方程的解，那么a的值是（ ）
A．7B．5C．3D．以上都不对
2．（2023下·山西长治·七年级统考阶段练习）小明同学在解方程去分母时，由于方程的右边的忘记了乘以15，因而他求得的解为，该方程的正确的解为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·江西吉安·七年级统考期末），则 ．
4．（2023上·四川达州·七年级校考期末）当 时，式子的值与式子的值的和等于5．
5．（2023上·全国·七年级专题练习）小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】
1．（2023上·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）若关于的方程的解是整数，则整数的值有（ ）
A．4个B．8个C．12个D．16个
2．（2021上·江西九江·七年级校考期中）已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．8B．C．12D．
3（2023下·福建福州·七年级校考开学考试）已知，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ．
4．（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）若关于的方程有无数个解，则的值为 ．
5．（2023上·重庆綦江·七年级校联考期中）在解含有字母系数的方程时，常常将字母系数看作已知数，然后利用解方程的步骤和方法求解，所得的未知数的值常常是含有字母的代数式.
例如：解关于x的一元一次方程其中
解：移项：

合并同类项：
因为，所以 ，
化系数为1，两边同除以，得：
(1)请仿照上面的方法解关于x的方程：
(2)关于x的方程，其中，方程的解为正整数，求符合条件的k的整数值．
【经典例题五 一元一次方程的同解问题】
1．（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）若关于x的一元一次方程与关于x的一元一次方程的解相同，则a的值为（ ）
A．B．9C．3D．
2．（2022上·内蒙古锡林郭勒盟·七年级校考期末）如果方程与方程的解相同，那么（ ）
A．B．C．D．
3．（2021下·上海松江·六年级校考阶段练习）若关于的方程与的解相同，则 ．
4．（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为 ．
5．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知关于的两个方程和．
(1)若方程的解为，求方程的解；
(2)若方程和的解相同，求的值．
【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】
1．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣7D．﹣1
2．（2022上·全国·七年级专题练习）已知整数使关于的方程有整数解，则符合条件的所有值的和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023下·广东广州·七年级统考开学考试）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
4．（2021上·重庆綦江·七年级重庆市綦江中学校考期中）已知为有理数，定义一种新的运算△：△=，若关于的方程△=有正整数解，且为正整数．则符合条件的所有的的值的积为 ．
5．（2022上·湖南郴州·七年级校考阶段练习）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．
(1)若关于的两个方程与是同解方程，求的值；
(2)已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_______．
(3)若关于的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数的值．
【经典例题七 一元一次方程的含参问题】
1．（22·23七年级上·全国·单元测试）当时，关于x的方程的解的情况是（ ）
A．方程只有1个解B．方程有2个解
C．方程有无数个解D．方程无解
2．（22·23七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）已知关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和（ ）
A．B．C．D．0
3．（20·21八年级下·上海浦东新·期中）关于x的方程（其中）的解是 ．
4．（23·24七年级上·重庆綦江·期中）在解含有字母系数的方程时，常常将字母系数看作已知数，然后利用解方程的步骤和方法求解，所得的未知数的值常常是含有字母的代数式.
例如：解关于x的一元一次方程其中
解：移项：

合并同类项：
因为，所以 ，
化系数为1，两边同除以，得：
(1)请仿照上面的方法解关于x的方程：
(2)关于x的方程，其中，方程的解为正整数，求符合条件的k的整数值．
【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】
1．（2022九年级下·四川巴中·阶段练习）小李在解方程（x为末知数）时，误将看做，得出方程的解为，则原方程的解为（ ）．
A．B．C．D．
2．（20·21七年级上·河南商丘·期末）已知关于x的方程，马小虎同学在解这个方程时误将看成，得到方程的解为，则原方程的解为（ ）
A．B．C．D．
3．（21·22七年级上·黑龙江黑河·期末）某位同学在解方程5x﹣1＝（ ）x＋11时马马虎虎，把“（ ）”处的数字看成了它的相反数，解得x＝2，则该方程的正确解应为x＝ ．
4．（22·23七年级上·江苏泰州·阶段练习）小红在解关于x的方程：时，误将方程中的“”看成了“”，求得方程的解为，求原方程的正确解．
【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】
1、（2023秋·山西运城·七年级统考期末）小聪解方程3x−12=2x+★时，发现★处一个常数被墨水污染了，答案显示此方程的解是x=−2，则这个常数是（ ）
A．2B．−2C．52D．−52
2、（2023秋·七年级课时练习）马小哈在解一元一次方程“☉x-3=2x+9”时,一不小心将墨水泼在作业本上了,其中有一个未知数x的系数看不清了,他便问邻桌,邻桌不愿意告诉他,并用手遮住解题过程,但邻桌的最后一步“所以原方程的解为x=-2”(邻桌的答案是正确的)露在手外被马小哈看到了,马小哈由此就知道了被墨水遮住的系数,请你帮马小哈算一算,被墨水遮住的系数是多少?
3、（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）计算：6×12−■+2．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是43，请计算6×12−43+2．
(2)如果计算结果等于14，求被污染的数字．
4、（2023秋·江苏·七年级专题练习）小明同学在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=−43，请帮他推算被染了的数字“■”应该是
【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】
1．（22·23六年级上·山东济宁·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（ ）
A．B．C．1D．2
2．（21·22七年级上·河南漯河·期末）定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是（ ）
A．9B．-9C．9或-9D．无法确定
3．（22·23下·福州·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与4，因为，所以与4是一对“友好数”．设（或）的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数：，，，，…，．当时，的值为 ．
4．（22·23下·海淀·开学考试）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”．
(1)若关于的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______；
(2)若关于的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数的值；
(3)若关于的方程与互为“相反方程”，直接写出代数式的值．
【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】
1．（20·21七年级上·浙江·期末）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下两个问题：
（1）解方程：；
（2）试说明关于的方程解的情况．
2．（21·22七年级上·北京西城·期中）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ ＝．
根据上述材料，解决下列问题：
如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m．
（1）AB ＝ 个单位长度；
（2）若点M在A、B之间，则＝ ；
（3）若＝ 20，求m的值；
3．（22·23七年级上·全国·期末）阅读下列有关材料并解决有关问题．
我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式．
通过以上阅读，请你解决问题：
(1)零点值是_________和_________；
(2)化简代数式；
(3)解方程；
(4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________．
4．（2023六年级下·全国·课时练习）先看例子，再解类似的题目：
例：解方程：．
解法一：当时，原方程化为，解方程，得；当时，原方程化为，解方程，得．所以方程的解为或．
解法二：移项，得，合并同类项，得，由绝对值的意义知，．所以原方程的解为或．
问题：用你发现的规律解方程．
【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】
1．（2022上·安徽芜湖·七年级统考期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·全国·七年级专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．y＝1B．y＝﹣2C．y＝﹣3D．y＝﹣4
3．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ．
4．（2022上·山东东营·六年级校考期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．
5．（2023下·福建泉州·七年级石狮市第一中学校考阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，则______；
若“美好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，则______．
(2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【培优检测】
1．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案，求每块地砖的宽．设每块地砖的宽为，则的值为（ ）

A．30B．20C．15D．40
2．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知方程的解是正数，则的最小整数解是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2017上·七年级课时练习）若方程与的解互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023下·四川遂宁·七年级统考期末）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
5．（2023上·山东临沂·七年级统考期末）下列解方程变形正确的是（ ）
A．方程，移项，得
B．方程，去分母，得
C．方程，系数化为1，得
D．方程，去括号，得
6．（2023下·河南南阳·七年级统考阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·福建福州·七年级统考期中）已知关于的方程的解与无关，则的值是 ．
8．（2023上·江苏泰州·七年级校考阶段练习）在一列数：，，，，中，，，，且任意相邻的三个数的和都相等．若前个数的和等于，则 ．
9．（2023上·江苏·七年级专题练习）若关于的方程的解为，则 ．
10．（2021上·安徽淮南·七年级统考阶段练习）若方程与方程有相同的解，则m＝ ．
11．（2023上·河北张家口·七年级统考期末）嘉嘉在解关于的一元一次方程时，发现常数“■”被污染了．
（1）若嘉嘉猜“■”是，则原方程的解为 ；
（2）老师说：“此方程的解是正整数且常数■为正整数”，则被污染的常数“■”是 ．
12．（2021下·上海浦东新·六年级上海中学东校校考期中）若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ．
13．（2023上·北京西城·七年级北京十四中校考期中）解方程：
(1)
(2)
14．（2023上·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；
(2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求的值．
16．（2023上·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】表示 与 差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

(1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点，再把点向左移动个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 和 ，，两点间的距离是 ；
(2)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ；
(3)若点表示的整数为，则当为 时，与的值相等；
(4)要使代数式取最小值时，相应的的整数取值有 个．
17．（2023下·福建泉州·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
18．（2023上·湖北荆州·七年级统考期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________；
(2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值．
(3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值．
19．（2023上·湖南长沙·七年级校联考期末）小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”．
(1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）；
(2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值；
(3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值．
专题15 求解一元一次方程重难点题型专训（12大题型）
【题型目录】
题型一 合并同类项与移项解一元一次方程
题型二 去括号解一元一次方程
题型三 去分母解一元一次方程
题型四 解一元一次方程的拓展问题
题型五 一元一次方程的同解问题
题型六 一元一次方程的整数解问题
题型七 一元一次方程的含参问题
题型八 一元一次方程中的错看、错解问题
题型九 一元一次方程的遮挡问题
题型十 一元一次方程中的新定义问题
题型十一 含绝对值计算的一元一次方程
题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解
知识点 解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】
1．（22·23七年级上·河南开封·期中）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同类项得定义，分别得到关于a和关于b的一元一次方程，解之，代入方程，解关于x的一元一次方程，即可得到答案．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得，
把代入，得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和同类项，正确掌握同类项得定义和解一元一次方程的方法是解题的关键．
2．（22·23七年级上·湖南长沙·期末）如果单项式与是同类项，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据同类项的定义可得，从而可得，再代入计算即可得．
【详解】解：单项式与是同类项，
，
解得，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了同类项、一元一次方程的应用，解题的关键是熟记同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．
3．（22·23下·哈尔滨·开学考试）当x的值为时，代数式的值是，则当时，这个代数式的值为 ．
【答案】
【分析】将代入到代数式，得到，再将代入到代数式，再计算即可．
【详解】解：当时，代数式的值为，
，
∴，
当时，代数式得：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的应用，解题的关键是灵活运用整体思想，并正确计算．
4．（23·24上·全国·课堂例题）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解；
（2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解；
（3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解；
（4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解；
（5）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解；
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
，
，
；
（5）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤．
【经典例题二 去括号解一元一次方程】
1．（2023上·七年级课时练习）若方程的解比关于的方程的解小1，则的值为（ ）
A．B．C．5D．3
【答案】A
【分析】先求出的解为，进而可得方程的解为，代入方程即可求出答案.
【详解】解：解方程，得，
则方程的解为，
代入方程可得：，
解得；
故选：A.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键.
2．（2023上·七年级课时练习）已知关于的方程的解为，则等于（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】A
【分析】把代入方程得，再解方程即可得到答案．
【详解】解：把代入方程得：
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确进行计算是解题的关键．
3．（2023上·全国·七年级课堂例题）补全解方程的过程：
解：去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
【答案】
【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解方程即可求解．
【详解】解：，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
4．（2023上·贵州铜仁·七年级期末）对于任意两个有理数a，b，规定，若，则x的值为 ．
【答案】
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可
【详解】解：根据题意得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
5．（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）阅读解题过程，解答后续问题
解方程
解：原方程的两边分别去括号，得
①
即 ②
移项，得 ③
即 ④
两边都除以，得 ⑤
(1)指出以上解答过程哪一步出错，并给出正确解答；
(2)结合平时自身实际，请给出一些解一元一次方程的注意事项．
【答案】(1)第①步和第③步出错，正确解答见解析
(2)解方程时应该注意解方程的一般步骤：移项时注意变号，去括号时也注意遵循去括号的法则（答案不唯一）
【分析】（1）根据解方程的步骤可知第①步和第③步出错，第①步去括号没有变号，第③步移项没有变号；
（2）根据解一元一次方程时去括号、移项的步骤的注意点解答．
【详解】（1）第步和第步出错，正确解答如下：
原方程的两边分别去括号，得：，
即，
移项，得，
即，
两边都除以，得；
（2）解方程时应该注意解方程的一般步骤：移项时注意变号，去括号时也注意遵循去括号的法则答案不唯一．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
【经典例题三 去分母解一元一次方程】
1．（2023上·河南安阳·七年级校考期中）如果方程的解也是方程的解，那么a的值是（ ）
A．7B．5C．3D．以上都不对
【答案】A
【分析】先求得方程的解，然后根据方程的解的定义将方程的解代入解得a的值即可．
【详解】
去分母得：，
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
将代入得：，
去分母得：
去括号得：
解得：．
故选：A
2．（2023下·山西长治·七年级统考阶段练习）小明同学在解方程去分母时，由于方程的右边的忘记了乘以15，因而他求得的解为，该方程的正确的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据错误的结果，确定出的值，进而求出正确的解即可．
【详解】解：根据小明的错误解法，
去分母得：，
去括号得：，
把代入得：，
解得；
将代入原方程得正确方程为：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得，
解得，
所以原方程正确的解为．
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，注意错误解题的位置，根据错误解，先求出字母的值；再根据正确的方程进行解方程．
3．（2023上·江西吉安·七年级统考期末），则 ．
【答案】
【分析】将方程去分母，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可．
【详解】解：
去分母得，
合并得，
系数化为1，得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键．
4．（2023上·四川达州·七年级校考期末）当 时，式子的值与式子的值的和等于5．
【答案】
【分析】令再根据解一元一次方程的一般步骤，求出m的值是多少即可．
【详解】根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
5．（2023上·全国·七年级专题练习）小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)见解析
(2)，过程见解析
【分析】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解．
【详解】（1）如图：
（2）去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
系数化．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】
1．（2023上·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）若关于的方程的解是整数，则整数的值有（ ）
A．4个B．8个C．12个D．16个
【答案】D
【分析】本题考查的是含参数的一元一次方程的整数解问题，先把方程整理为，再根据方程的解为整数，例举的因数，再建立简单方程求解即可．
【详解】解：，
整理，得，
由于x、k均为整数，
∴当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
当时，或；
所以k的取值共有16个．
故选D．
2．（2021上·江西九江·七年级校考期中）已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．8B．C．12D．
【答案】A
【分析】求得方程的解，根据解是正整数，分类计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程的解是正整数，
∴，
解得
∴积为，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正确理解整数解的意义是解题的关键．
3（2023下·福建福州·七年级校考开学考试）已知，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【分析】将看作一个整体，根据的解为可得，然后即可求出y．
【详解】解：∵关于的方程的解为，
∴关于的方程中可得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，根据方程的解得出是解题的关键．
4．（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）若关于的方程有无数个解，则的值为 ．
【答案】
【分析】方程移项合并，令x系数等于0，求出的值，即可得到结果．
【详解】整理得，
∵有无数个解，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（2023上·重庆綦江·七年级校联考期中）在解含有字母系数的方程时，常常将字母系数看作已知数，然后利用解方程的步骤和方法求解，所得的未知数的值常常是含有字母的代数式.
例如：解关于x的一元一次方程其中
解：移项：

合并同类项：
因为，所以 ，
化系数为1，两边同除以，得：
(1)请仿照上面的方法解关于x的方程：
(2)关于x的方程，其中，方程的解为正整数，求符合条件的k的整数值．
【答案】(1)
(2)0或1或3
【分析】（1）先移项，合并同类项，然后将未知数系数化为1即可；
（2）先解方程得出，然后再根据方程的解为正整数，求出整数k的值即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
移项，合并同类项得：，
∵其中，
∴，
系数化为1得：，
∵方程的解为正整数，
∴整数或1或3．
【经典例题五 一元一次方程的同解问题】
1．（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）若关于x的一元一次方程与关于x的一元一次方程的解相同，则a的值为（ ）
A．B．9C．3D．
【答案】C
【分析】先求出方程的解，然后代入方程，可解出a的值；
【详解】解：
解得：
将代入方程可得：，
解得：
故选：C
【点睛】本题考查了同解方程的知识，属于基础题，解答本题的关键是理解方程解的含义．
2．（2022上·内蒙古锡林郭勒盟·七年级校考期末）如果方程与方程的解相同，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出第二个方程的解确定出第一个方程的解，代入计算即可求出a的值．
【详解】解：解方程，得，
将代入到，得，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是得出关于a的一元一次方程．
3．（2021下·上海松江·六年级校考阶段练习）若关于的方程与的解相同，则 ．
【答案】
【分析】把当成已知数，求得，根据解相等，得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：由可得：
，
，
，
．
由可得：
，
，
，
．
又因为解相同，所以，
，
，
．
故答案为：
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是正确的用表示出两个方程的解．
4．（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】先求出的解，将其代入，求出的值，再将的值代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，整理得：，
∴，
将代入，得：，
解得：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，代数式求值．熟练掌握解一元一次方程的步骤，准确的求出方程的解，是解题的关键．
5．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知关于的两个方程和．
(1)若方程的解为，求方程的解；
(2)若方程和的解相同，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的解的定义，将方程的解代入方程，求得，再将的值代入方程，求解即可得到答案；
（2）分别求解两个方程，得到和，再根据两个方程的解相同，得到，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入方程，
得：，
解得：，
把代入方程，
得：，
去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：，
即方程的解是；
（2）解：解方程，得：，
解方程，得：，
方程和的解相同，
，
解得：．
【点睛】本题考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．
【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】
1．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣7D．﹣1
【答案】A
【分析】先求出方程的解是，根据方程有整数解和为整数得出或或或，求出的值，再求出和即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当时，，
整数使关于的方程有整数解，
或或或，
解得：或或或0，
和为，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
2．（2022上·全国·七年级专题练习）已知整数使关于的方程有整数解，则符合条件的所有值的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出方程的解是，根据方程有整数解和为整数得出或或或，求出的值，再求出和即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当时，，
整数使关于的方程有整数解，
或或或，
解得：或或或0，
和为，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的一裔步骤是解题的关键．
3．（2023下·广东广州·七年级统考开学考试）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【分析】先根据等式的性质求出方程的解是，根据方程的解是负整数得出或或或或或，求出方程的解，再求出整数，最后求出答案即可．
【详解】解：，
，
，
，
当时，，
关于的方程有负整数解，
或或或或或，
解得：的值是，，，，，，
为整数，
只能为，，，
整数的值之和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
4．（2021上·重庆綦江·七年级重庆市綦江中学校考期中）已知为有理数，定义一种新的运算△：△=，若关于的方程△=有正整数解，且为正整数．则符合条件的所有的的值的积为 ．
【答案】10
【分析】先根据新定义运算得出关于x的方程，再解关于x的方程，然后根据方程的解和a是正整数求出a值，即可求解．
【详解】解：∵ x△a=19，
∴2ax-x+1=19，
∴x=,
∵x为正整数，
∴2a-1=1，2，3，6，9，18，
∵a为正整数，
∴a=1，2，5，
∴1×2×5=10，
故答案为；10．
【点睛】本题考查新定义，一元一次方程的解法，理解新运算，掌握根据方程的整数解求参是解题的关键．
5．（2022上·湖南郴州·七年级校考阶段练习）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．
(1)若关于的两个方程与是同解方程，求的值；
(2)已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_______．
(3)若关于的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】(1)根据题意解方程再把方程的解代入到求出即可；
（2）把当作已知数解方程，用含的表达式表示，再根据方程有整数解求即可；
（3）把当成已知数，用含的表达式表示，再根据两方程同解列方程求即可；
【详解】（1）解：
，
把代入，得，
解得
（2）解：
解得：
∵关于的方程有整数解，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
（3）解关于x的两个方程与
得， ，
∵关于x的两个方程与是同解方程，
∴，
∴，
，
∵是正整数，
∴或．
【点睛】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数，掌握方程的解的定义以及解一元一次方程是解题的关键．
【经典例题七 一元一次方程的含参问题】
1．（22·23七年级上·全国·单元测试）当时，关于x的方程的解的情况是（ ）
A．方程只有1个解B．方程有2个解
C．方程有无数个解D．方程无解
【答案】B
【分析】分三种情况：当、当和当时，分别化简绝对值，求解方程即可判断．
【详解】①当时，原方程为：，
解得；
②当时，
原方程为：，
此时，不符合题意，舍去；
③当时，
原方程为：，
解得．
综上：当时，关于x的方程有两个解．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的求解以及分类的思想，熟练掌握相关知识、全面分类是解题的关键．
2．（22·23七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）已知关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】先解关于x的方程，得，再根据关于x的方程的解为整数，得为整数，得，求出k的整数值，即可的答案．
【详解】解：
，
关于x的方程的解为整数，
为整数，
，
解得：，
∵k取整数，
∴
，
符合条件的所有整数k的和为，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是把整理为．
3．（20·21八年级下·上海浦东新·期中）关于x的方程（其中）的解是 ．
【答案】
【分析】把当成已知数，根据一元一次方程的求解步骤，求解即可．
【详解】解：
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤．
4．（23·24七年级上·重庆綦江·期中）在解含有字母系数的方程时，常常将字母系数看作已知数，然后利用解方程的步骤和方法求解，所得的未知数的值常常是含有字母的代数式.
例如：解关于x的一元一次方程其中
解：移项：

合并同类项：
因为，所以 ，
化系数为1，两边同除以，得：
(1)请仿照上面的方法解关于x的方程：
(2)关于x的方程，其中，方程的解为正整数，求符合条件的k的整数值．
【答案】(1)
(2)0或1或3
【分析】（1）先移项，合并同类项，然后将未知数系数化为1即可；
（2）先解方程得出，然后再根据方程的解为正整数，求出整数k的值即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
移项，合并同类项得：，
∵其中，
∴，
系数化为1得：，
∵方程的解为正整数，
∴整数或1或3．
【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】
1．（2022九年级下·四川巴中·阶段练习）小李在解方程（x为末知数）时，误将看做，得出方程的解为，则原方程的解为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把代入方程，即可得到一个关于a的方程，求得a的值，再求出原方程的解．
【详解】把代入方程，得：,
解得：，
则原方程是：，
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，解题的关键是理解方程解的定义．
2．（20·21七年级上·河南商丘·期末）已知关于x的方程，马小虎同学在解这个方程时误将看成，得到方程的解为，则原方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得方程的解为，求出参数的值，再代入方程中，解方程即可得到答案．
【详解】由题意可得：方程的解为，
，
解得：，
将代入中，
原方程为：，
即，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3．（21·22七年级上·黑龙江黑河·期末）某位同学在解方程5x﹣1＝（ ）x＋11时马马虎虎，把“（ ）”处的数字看成了它的相反数，解得x＝2，则该方程的正确解应为x＝ ．
【答案】3
【分析】先设（ ）处的数字为a，然后把x=2代入方程解得a的值，然后把它代入原方程得出x的值．
【详解】解：设（ ）处的数字为a，根据题意，把x=2代入方程得：
，
解得:，
∴“（ ）”处的数字是1，
即：，
解得：．
故该方程的正确解应为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（22·23七年级上·江苏泰州·阶段练习）小红在解关于x的方程：时，误将方程中的“”看成了“”，求得方程的解为，求原方程的正确解．
【答案】
【分析】把代入，求出的值，再把的值代入到原方程求解即可；
【详解】把代入，
得，
解得，
故原方程为，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解得定义，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】
1、（2023秋·山西运城·七年级统考期末）小聪解方程3x−12=2x+★时，发现★处一个常数被墨水污染了，答案显示此方程的解是x=−2，则这个常数是（ ）
A．2B．−2C．52D．−52
【答案】D
【分析】设这个常数为a，把x=2代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：设这个常数为a，即3x−12=2x+a，
把x=−2代入方程得−6−12=−4+a，
解得：a=−52，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2、（2023秋·七年级课时练习）马小哈在解一元一次方程“☉x-3=2x+9”时,一不小心将墨水泼在作业本上了,其中有一个未知数x的系数看不清了,他便问邻桌,邻桌不愿意告诉他,并用手遮住解题过程,但邻桌的最后一步“所以原方程的解为x=-2”(邻桌的答案是正确的)露在手外被马小哈看到了,马小哈由此就知道了被墨水遮住的系数,请你帮马小哈算一算,被墨水遮住的系数是多少?
【答案】-4
【详解】试题分析：
把x=2代入到原方程中，即可以求解.
试题解析：
设被墨水遮住的系数是m,
则方程为mx-3=2x+9,
将x=-2代入方程中,解得m=-4.
所以被墨水遮住的系数是-4.
3、（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）计算：6×12−■+2．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是43，请计算6×12−43+2．
(2)如果计算结果等于14，求被污染的数字．
【答案】(1)−3
(2)−32
【分析】（1）先利用乘法分配律去括号，再根据有理数的乘法和加减法运算法则求解即可；
（2）列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：6×12−43+2
=6×12−6×43+2
=3−8+2
=−3；
（2）解：设■=x
根据题意，得6×12−x+2=14，
去括号，得3−6x+2=14，
移项、合并同类项，得−6x=9，
化系数为1，得x=−32，
即被污染的数字为−32．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算、解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解一元一次方程时解法步骤是解答的关键．
4、（2023秋·江苏·七年级专题练习）小明同学在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=−43，请帮他推算被染了的数字“■”应该是
【答案】5
【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．
【详解】解：设“■”表示的数为a，
将x=−43代入方程得：
321−a+433=−43−13，
解得a=5，
即“■”表示的数为a=5，
故答案为：a=5．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】
1．（22·23六年级上·山东济宁·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【详解】解：，
即
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，定义新计算，解题的关键是弄清题中的新定义．
2．（21·22七年级上·河南漯河·期末）定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是（ ）
A．9B．-9C．9或-9D．无法确定
【答案】C
【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
∴①当时，则有-2+2b=16，解得，；
②当时，，解得，
综上所述，b的值是9或-9
故选：C
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关键是明确新定义，会用解一元一次方程．
3．（22·23下·福州·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与4，因为，所以与4是一对“友好数”．设（或）的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数：，，，，…，．当时，的值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意依次求出，，，，…的数值，找到规律，发现6个数为一周期进行循环，根据规律即可求得数值．
【详解】当时，，得：，则，
，得：，则，
，得：，则，
，得：，．．．
发现6个数为一周期进行循环，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了新定义，找规律的题型，观察定义、归纳概括出规律是解题关键．
4．（22·23下·海淀·开学考试）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”．
(1)若关于的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______；
(2)若关于的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数的值；
(3)若关于的方程与互为“相反方程”，直接写出代数式的值．
【答案】(1)
(2)b的值为；
(3)1
【分析】（1）根据题意得出，代入方程即可确定方程①的“相反方程”是，即可求解；
（2）先确定“相反方程”，然后求解方程得出与都为整数，确定，分情况求解即可；
（3）根据题意得出，确定，再将整式进行化简，整体代入求值即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程①：的解是，
∴，
∴，
∴方程①为，
∴方程①的“相反方程”是，
解得，
故答案为：；
（2）关于x的方程的“相反方程”为，
由得，
由得，
∵关于的方程与其“相反方程”的解都是整数，
∴与都为整数，
又∵b为整数，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，整数b的值为；
（3）方程整理得，，
∵关于的方程与互为“相反方程”，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程及一元一次方程的解，整式的化简求值，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键．
【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】
1．（20·21七年级上·浙江·期末）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下两个问题：
（1）解方程：；
（2）试说明关于的方程解的情况．
【答案】（1）x=-1或x=；（2）当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解
【分析】（1）分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．
（2）分类讨论：x＜-3，-3≤x≤1，x＞1，分别求解方程，再根据x的范围算出a的取值，从而分类讨论得出解的情况．
【详解】解：（1）当x＜1时，方程可化为：，
解得x=-1，符合题意．
当x≥1时，方程可化为：，
解得x=，符合题意．
所以，原方程的解为：x=-1或x=；
（2）当x＜-3时，方程可化为：
，
解得：，
则，解得：，
当-3≤x≤1时，方程可化为： ，
当x＞1时，方程可化为：，
解得：，
则，解得：，
综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
2．（21·22七年级上·北京西城·期中）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ ＝．
根据上述材料，解决下列问题：
如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m．
（1）AB ＝ 个单位长度；
（2）若点M在A、B之间，则＝ ；
（3）若＝ 20，求m的值；
【答案】（1）12；（2）12；（3）m＝－8或12
【分析】（1）代入两点间的距离公式即可求得AB的长；
（2）依据点M在A、B之间，结合数轴即可得出m-(-4)=m+4＞0，m-8＜0，然后化去绝对值合并同类项即可；
（3）由（1）的结果可确定点M不在A、B之间，再分两种情况讨论，化简绝对值，得出关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵点A、B表示的数分别是﹣4、8，
∴AB＝＝12，
故答案为：12；
（2）∵点M在A、B之间，
∴m-(-4)=m+4＞0，m-8＜0，
|m+4|+|m－8|=m+4+8-m=12，
故答案为12；
（3）由（1）知，点M在A、B之间时，|m+4|+|m－8|=12≠20，不符合题意；
当点M在点A左边，即m8时，，，
∴m+4+m﹣8＝20，
解得m＝12；
综上所述，m的值为﹣8或12；
【点睛】此题考查了数轴的有关知识、绝对值的化简和一元一次方程的求解，熟练进行绝对值的化简、灵活应用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．
3．（22·23七年级上·全国·期末）阅读下列有关材料并解决有关问题．
我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式．
通过以上阅读，请你解决问题：
(1)零点值是_________和_________；
(2)化简代数式；
(3)解方程；
(4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________．
【答案】(1)3，
(2)当时，；当时，；当时，
(3)或
(4)2025，
【分析】（1）令和，再解方程可得答案；
（2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，合并同类项即可；
（3） 分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，建立一元一次方程，再解方程即可；
（4）先求解零点值，，，，再分五种情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，再化简绝对值，从而可得答案．
【详解】（1）解：令和，
解得：和，
故答案为：，；
（2）当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，．
（3）当时，，
解得；
当时，，
方程无解；
当时，，
解得；
∴方程的解为或．
（4）中的零点值分别为：
，，，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025，
【点睛】本题是材料阅读题，考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解零点值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键．
4．（2023六年级下·全国·课时练习）先看例子，再解类似的题目：
例：解方程：．
解法一：当时，原方程化为，解方程，得；当时，原方程化为，解方程，得．所以方程的解为或．
解法二：移项，得，合并同类项，得，由绝对值的意义知，．所以原方程的解为或．
问题：用你发现的规律解方程．
【答案】
【分析】解法一：讨论x≥0与x＜0时两种情况，即可求出解；
解法二：方程变形后，利用绝对值的代数意义化简，即可求出解．
【详解】解法一：当时，原方程化为，解得，
当时，原方程化为，解得．
综上，x=±5.
解法二：移项得并合并同类项得，∴.
【点睛】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程，弄清题中的阅读材料中的解法是解本题的关键．
【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】
1．（2022上·安徽芜湖·七年级统考期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可．
【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是，
即的解是，
∴
∴，
∴，
即
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
2．（2022上·全国·七年级专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．y＝1B．y＝﹣2C．y＝﹣3D．y＝﹣4
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的整体替换即可解得．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为
∴关于y的一元一次方程中，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的的解，解题的关键是会用整体替换的思想．
3．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ．
【答案】
【分析】设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可．
【详解】解：设，则关于y的方程化为：，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键．
4．（2022上·山东东营·六年级校考期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．
【答案】
【分析】在方程中，令可得，由题意可得，即可求解.
【详解】解：在方程中，令，
可得，
由题意可得，方程的解为
则
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键．
5．（2023下·福建泉州·七年级石狮市第一中学校考阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，则______；
若“美好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，则______．
(2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)9；2或3
(2)；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m的方程和n的方程解答即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
（3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解．
【详解】（1）解：∵方程的解为，
方程的解为，
而方程与方程是互为“美好方程”，
∴，
∴；
∵“美好方程”的一个解为n，则另一个解为，
依题意得或，
解得或．
故答案为：9；2或3；
（2）解：关于x的方程的解为：，
方程的解为：，
∵关于x的方程与方程是“美好方程”，
∴，
∴；
（3）解：方程的解为：，
∵关于x的方程和是“美好方程”，
∴关于x的方程的解为：．
∵关于y的方程就是：，
∴，
∴．
∴关于y的方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
【培优检测】
1．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案，求每块地砖的宽．设每块地砖的宽为，则的值为（ ）

A．30B．20C．15D．40
【答案】C
【分析】根据长方形的性质得到，解方程即可．
【详解】解：解法一：由题意得到每块地砖的长为，
由长方形的性质得到，
解得．
解法二：
故选C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程求解过程中的移项与合并同类项是解题的关键．
2．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知方程的解是正数，则的最小整数解是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得，再根据方程的解是正数，求出，即可得到的最小整数解．
【详解】解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：，
方程的解是正数，
，
，
的最小整数解是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
3．（2017上·七年级课时练习）若方程与的解互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解，由两个方程的解互为相反数，则把代入，解方程即可．
【详解】解：
，
，
∵方程与的解互为相反数，
∴的解为：，
∴，
，
，解得：，
故选：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
4．（2023下·四川遂宁·七年级统考期末）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先求解方程，得出x的值，再把x的值代入，即可求解．
【详解】解：由方程得：，
把代入得：，
即，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
5．（2023上·山东临沂·七年级统考期末）下列解方程变形正确的是（ ）
A．方程，移项，得
B．方程，去分母，得
C．方程，系数化为1，得
D．方程，去括号，得
【答案】D
【分析】根据解一元一次方程的基本步骤和等式的性质进行分析判断即可．
【详解】解：A、方程，移项，得，故此选项不符合题意；
B、方程，去分母得，故此选项不符合题意；
C、方程，系数化为1，得，故此选项不符合题意；
D、方程，去括号，得，正确，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解等式的性质，掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1）是解题关键．
6．（2023下·河南南阳·七年级统考阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由关于的一元一次方程的解为，可得出关于的一元一次方程的解为，解之即可得出关于的一元一次方程的解是．
【详解】解：关于的一元一次方程的解为：，
关于的一元一次方程的解为：，
解得：，
关于的一元一次方程的解是．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，找出关于的一元一次方程的解为是解题的关键．
7．（2023上·福建福州·七年级统考期中）已知关于的方程的解与无关，则的值是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将原方程变形为，再根据关于x的方程的解与k无关，则，，分别表示m，n关于x的等式，代入求值即可．
【详解】解：，
，
∵关于x的方程的解与k无关，
，则，
，，
，
故答案为：12．
8．（2023上·江苏泰州·七年级校考阶段练习）在一列数：，，，，中，，，，且任意相邻的三个数的和都相等．若前个数的和等于，则 ．
【答案】9或13
【分析】根据数字的变化规律每三个数为一组，寻找规律即可求解．
【详解】解：由在一列数：，，，，中，，，，且任意相邻的三个数的和都相等．可知：
，，，，
可得：，，，…，，相等为，
，，，…，，相等为，
，，，…，，相等为，
∴任意相邻的三个数的和为，
∵前个数的和等于，
∴当时，，解得，
，
当时，，解得（舍去），
当时，，解得，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找规律．
9．（2023上·江苏·七年级专题练习）若关于的方程的解为，则 ．
【答案】
【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：将代入原方程，可得 ，
解得，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
10．（2021上·安徽淮南·七年级统考阶段练习）若方程与方程有相同的解，则m＝ ．
【答案】2
【分析】先解第一方程，再代入第二个方程求解．
【详解】解：解得：，
由题意得是的解，
所以：，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查解一元一次方程与方程的解，解题的关键是得到关于m的一元一次方程．
11．（2023上·河北张家口·七年级统考期末）嘉嘉在解关于的一元一次方程时，发现常数“■”被污染了．
（1）若嘉嘉猜“■”是，则原方程的解为 ；
（2）老师说：“此方程的解是正整数且常数■为正整数”，则被污染的常数“■”是 ．
【答案】 5 1或4
【分析】（1）解一元一次方程即可；
（2）设常数“■”是a，解关于x的一元一次方程，根据解是整数且a为正整数即可确定a的值．
【详解】解：（1）由题意得：，
即，
即，
移项得：，
解得：；
故答案为：5；
（2）设常数“■”是a，则方程为，
移项得：，
即，
移项得：，
解得：；
由于方程的解为整数，a为正整数，
∴，是3的倍数，
∴当时，；当时，；
即被污染的常数“■”是1或4；
故答案为：1或4；
【点睛】本题考查了解一元一次方程，整数的性质等知识，准确解一元一次方程是关键．
12．（2021下·上海浦东新·六年级上海中学东校校考期中）若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】由方程有解，分和两种情况讨论，列出关于m的不等式进行求解
【详解】分两种情况讨论：
①若，则方程可化为，
移项并合并同类项，得
∵原方程有解，
∴，
即，或，
∴或；
②若，则方程可化为，
移项并合并同类项，得
∵原方程有解，
∴，
即，，
∴；
综上所述，m的取值范围是或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是先分类讨论x的取值再求m的取值范围．
13．（2023上·北京西城·七年级北京十四中校考期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
（1）按照移项合并，把x系数化为1的步骤即可求出解；
（2）按照去括号，移项合并，把x系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
（2）解：
去括号得：
移项、合并同类项得：
系数化为1得：
14．（2023上·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值．
【答案】
【分析】先解关于的方程得出，将其代入方程求得的值，继而代入计算即可求解，此题考查了同解方程，利用同解方程的出关于的方程是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
∵方程的解与方程的解相同，
∴，
，
解得：，
则．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；
(2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求的值．
【答案】(1)
(2)的值是3，的值是
【分析】（1）根据和解方程的定义，列出关于的方程，进行求解即可；
（2）先把代入方程，求出的值，再根据和解方程定义，列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是“和解方程”，
∴，
解得：；
（2）的解为：，
把代入，
得
化简，得，
解得；
是“和解方程”
，
把代入，得：，解得：；
综上：的值是3，的值是．
【点睛】本题考查解一元一次方程．理解并掌握和解方程的定义，是解题的关键．
16．（2023上·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】表示 与 差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

(1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点，再把点向左移动个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 和 ，，两点间的距离是 ；
(2)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ；
(3)若点表示的整数为，则当为 时，与的值相等；
(4)要使代数式取最小值时，相应的的整数取值有 个．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【分析】（1）根据相反数的定义，结合数轴，再根据点得出两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；
（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；
（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，点表示的数，C点表示的数，的距离是；
故答案为：．
（2）解：依题意，数轴上表示和的两点和之间的距离表示为，
如果，
即
∴或
故答案为：,或；
（3）解：依题意，
即表示x到与到的距离相等的点，即，
故答案为：．
（4）解：∵，即到与的距离的和，
∴当时，代数式取最小值
为整数，则共个
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
17．（2023下·福建泉州·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由题意，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解．
【详解】（1）解：，．
．．
关于的方程与方程是“美好方程”，
，
；
（2）解：“美好方程”的两个解的和为1，
另一个方程的解为：．
两个解的差为8，
或．
或；
（3）解：．．
关于的一元一次方程和是“美好方程”，
关于的一元一次方程的解为．
关于的一元一次方程可化为：．
．
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
18．（2023上·湖北荆州·七年级统考期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________；
(2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值．
(3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值．
【答案】(1)3
(2)
(3)4，6，18
【分析】（1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可；
（2）由得，，利用整体思想，将代入，求出的值即可；
（3）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可．
【详解】（1）解：，解得：，
∵的解也是关于的方程的解，
∴，解得：；
故答案为：3；
（2）解：∵，
∴，
∵关于的方程的解也是“立信方程”的解，
∴，
∴，解得：；
（3），解得：，
∵是“立信方程”，
∴是整数，
∴或，
解得：或或（不合题意，舍去）或，
∴符合要求的正整数的值为．
【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键．
19．（2023上·湖南长沙·七年级校联考期末）小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”．
(1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）；
(2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值；
(3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）先化简绝对值得到，再解求出，最后计算作答即可；
（2）先分别解方程求出，，再根据“小美方程”的定义计算即可；
（3）先根据题意得到，再由得到，解得，将代入整理得到，最后计算即可．
【详解】（1）由得，；
解得：，
而，
所以是一元一次方程的“小美方程”，
故答案为：是；
（2）解：∵
解得：；
对于，解得；
由题意，当时，，解得：；
（3）解：由题意，，即
由得：，
所以，
则，
把上式代入中，整理得：，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，正确理解“小美方程”是解题的关键．
解：，
解：，