还剩61页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
北师大版七年级数学上册 专题17 解一元一次方程50道题专训（5大题型）（原卷版+解析）
展开
这是一份北师大版七年级数学上册 专题17 解一元一次方程50道题专训（5大题型）（原卷版+解析），共64页。
专题17 解一元一次方程50道题专训（5大题型）【题型目录】题型一 解简单的一元一次方程题型二 解复杂的一元一次方程题型三 一元一次方程的整数解问题题型四 一元一次方程的新定义问题题型五 解含绝对值的一元一次方程【经典例题一 解简单的一元一次方程】1．（2023上·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）解方程(1)(2)2．（2023上·黑龙江大庆·七年级校联考期中）解方程：(1)(2)(3)(4)3．（2023上·北京东城·七年级汇文中学校联考期中）解方程：(1)；(2)．4．（2023上·湖北武汉·七年级武汉市粮道街中学校联考期中）解方程：(1)；(2)．5．（2023上·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）解方程：(1)；(2)6．（2023上·广东广州·七年级校考期中）解方程(1)(2)7．（2023上·四川德阳·七年级校考期中）解方程：(1)；(2)．8．（2023上·广东广州·七年级华美英语实验学校校考期中）解方程：(1)；(2)．9．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）解方程：(1)(2)10．（2022上·北京大兴·七年级校考期末）解方程(1)(2)(3)(4)(5)(6)【经典例题二 解复杂的一元一次方程】11．（2023上·福建福州·七年级福建省福州杨桥中学校考期中）已知，将关于x的方程记作方程G．(1)当，时，直接写出方程G的解为______；(2)若方程G的解为，求多项式的值；(3)若方程G的解为，求关于y的方程的解．12．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最小的正整数，求关于x的方程的解．13．（2023上·广东中山·八年级校联考期中）已知，．(1)计算：；(2)若的值与的取值无关，求的值．14．（2022下·河南南阳·七年级校考阶段练习）在小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则：每人只能看到前一名同学给的式子，并进行一步求解，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下：一元一次方程：．A同学：．B同学：．C同学：．D同学：．E同学：．(1)求解过程中有哪些同学出现了错误？错误原因分别是什么？(2)请写出本题的正确解题过程．15．（2023上·福建厦门·七年级福建省厦门集美中学校考期中）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）．(1)化简；(2)若的结果不含x项和项，求m、n的值．16．（2022上·浙江台州·七年级校考期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．17．（2021上·陕西渭南·七年级校考阶段练习）若关于x的方程和的解的和为5，求m的值．18．（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知方程的解和方程的解互为相反数，求a的值．19．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程．(1)求的值；(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值；(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值．20．（2023上·七年级课时练习）在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：(1)；(2)．【经典例题三 一元一次方程的整数解问题】21．（2023七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解．22．（2023七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解．23．（22·23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值．解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或；探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值．24．（2022七年级上·全国·专题练习）若关于的一元一次方程有一个正整数解，则可取的最小正数是多少？并求出相应的解．25．（20·21七年级上·四川成都·期中）回答下列问题．（1）已知方程是关于x的一元一次方程，求k的值．（2）已知关于x的方程有正整数解，则整数k的值为？26．（20·21六年级下·上海浦东新·期中）已知方程有正整数解，求奇数的值．27．（22·23七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）关于的一元一次方程，其中是正整数．(1)当时，求的值；(2)若方程有正整数解，求的值．28．（21·22七年级下·河南南阳·阶段练习）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．(1)当时，求方程的解；(2)若方程有正整数解，求m的值．29．（18·19七年级上·北京石景山·期末）已知关于的一元一次方程，其中为整数(1)当时，求方程的解(2)若该方程有整数解，求的值30．（22·23七年级上·湖南郴州·阶段练习）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．(1)若关于的两个方程与是同解方程，求的值；(2)已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_______．(3)若关于的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数的值．【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】31．（2023上·安徽安庆·七年级安庆市第四中学校考期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数．(1)3与__________是关于2的平衡数．(2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由．(3)若，，且与是关于2的平衡数．若为正整数，求非负整数的值．32．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）定义：若，则称与是关于3的平安数．(1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式）(2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由．(3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值．33．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）定义：关于x的方程与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则___________．(2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值．(3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值．34．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：【定义理解】（1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知识应用】（3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________．（4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值．35．（2022上·浙江金华·七年级校联考阶段练习）定义：对于任意两个不相等的有理数a，b，计算：，，所得结果的最小值称为a，b的“关联差”．例如：，2．因为，，所以，2的“关联差”为．(1)3，的“关联差”为______；(2)，8的“关联差”与8，的“关联差”有何关系，请说明理由；(3)当2，的“关联差”为时，求x的值．36．（2023下·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”．(1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m ．(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值．(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ．37．（2022上·湖南永州·七年级校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．38．（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）新定义：若任意两数，按规定得到一个新数“”，则称所得新数是数的“快乐返校学习数”．(1)若，求的“快乐返校学习数”；(2)若，且，求的“快乐返校学习数”；(3)当时，请直接写出关于的方程的解．39．（2023下·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；(2)若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．40．（2022上·山西临汾·七年级校联考阶段练习）阅读与思考：定义：若，则称与是关于1的平衡数．任务一：（1）3与______是关于1的平衡数，与______（用含的整式表示）是关于1的平衡数；任务二：（2）若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．【经典例题五 解含绝对值的一元一次方程】41．（2022七年级上·全国·专题练习）解下列绝对值方程：(1)(2)42．（2022七年级上·全国·专题练习）阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值．解：①当时，即时，原式；②当，即时，原式这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解下列方程：(1)；(2)．43．（22·23七年级上·湖南湘西·阶段练习）阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，，，或．解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：①当时，原方程可化为，解得，符合；②当时，原方程可化为，解得，符合．原方程的解为或．解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．问题：结合上面阅读材料，解下列方程：(1)解方程：(2)解方程：44．（22·23八年级上·浙江宁波·期中）绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．(1)A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．①A、B两点之间的距离为___________；②若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B距离的2倍，则点P所表示的数是___________；(2)的最小值为___________，若满足时，则x的值是___________．45．（22·23七年级上·江苏镇江·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；数轴上表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为______，表示数y与两点之间的距离可以表示为______．(2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______；若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为______．(3)找出所有符合条件的整数a，使成立，直接写出结果．(4)由以上探索猜想，对于任何有理数a，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．46．（23·24七年级上·全国·课堂例题）先看例题，再解答后面的问题．【例】解方程：．解法一：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为，解得，所以原方程的解为或．解法二：移项，得．合并同类项，得．由绝对值的意义知，所以原方程的解为或．问题：用两种方法解方程．47．（22·23七年级上·江西吉安·期末）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为．例如：数轴上表示5和1的两点之间的距离是|5﹣1|＝4．利用以上信息，解答下列问题：(1)数轴上表示和3的两点之间的距离是 ；表示数a和的两点之间的距离是 ；(2)若，则 ；(3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则 ．48．（22·23七年级上·江苏扬州·期末）阅读理解：在形如这一类含有绝对值的方程时，为了去绝对值符号，我们发现两个绝对值符号里面是相同的“”，可以根据绝对值的意义先对“x”的取值分成和两种情况，再去绝对值符号：①当时，原方程可化为，得，不符合，舍去；②当时，原方程可化为，得，符合．综合可得原方程的为．(1)方法应用：解方程：(2)拓展应用：方程：；（提示；可以考虑先对“x”的取值进行分类，去了一个绝对值符号后；再对“x”的取值进行分类，去掉另一个绝对值符号）(3)迁移应用：求的最小值．49．（22·23七年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或，所以或．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：；(2)解方程：．50．（20·21七年级下·河南南阳·阶段练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是 （直接写出结果）． 专题17 解一元一次方程50道题专训（5大题型）【题型目录】题型一 解简单的一元一次方程题型二 解复杂的一元一次方程题型三 一元一次方程的整数解问题题型四 一元一次方程的新定义问题题型五 解含绝对值的一元一次方程【经典例题一 解简单的一元一次方程】1．（2023上·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握求解方法是解题关键（1）通过移项合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可；（2）通过去分母，移项合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可．【详解】（1）解：，移项得：，合并同类项得：，解得：；（2），去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，解得：．2．（2023上·黑龙江大庆·七年级校联考期中）解方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了解一元一次方程，（1）通过移项，合并同类项，系数化为1，即可解答；（2）通过去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答；（3）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答；（4）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答，【详解】（1）解：，，,；（2）解：，，，，；（3）解：，，，，，；（4）解：，，，，，．3．（2023上·北京东城·七年级汇文中学校联考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握解方程的步骤是解题关键．（1）将方程移项，合并同类项，系数化为1，即可求出结果；（2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出结果．【详解】（1）解：，移项，得：，合并同类项得：，解得：；（2），去分母，得：，去括号，得：，移项，合并同类项得：，解得：．4．（2023上·湖北武汉·七年级武汉市粮道街中学校联考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键；（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；（2）按照去分母，去括号，一小时，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．【详解】（1）解：去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：；（2）解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：．5．（2023上·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程移项合并，将系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解．【详解】（1）解：移项合并得：，解得：；（2）方程去分母得：，移项合并得：，解得：．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．6．（2023上·广东广州·七年级校考期中）解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解【详解】（1）去括号得：， 移项得，，合并得：，系数化为1得：；（2）去分母得：去括号得：移项得，合并得：解得：．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．7．（2023上·四川德阳·七年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．（2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．【详解】（1），移项得，合并得，系数化1得；（2），去括号得，移项得，合并得，系数化1得．8．（2023上·广东广州·七年级华美英语实验学校校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．【详解】（1）解：移项，可得：，合并同类项，系数化为1，可得：．（2）去分母，可得：，去括号，可得：，移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化为1，可得：．9．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)；(2)；【分析】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键（1）根据解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；（2）根据解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；【详解】（1）解：去括号得，，移项得，，合并同类项得，；（2）解：去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，；10．（2022上·北京大兴·七年级校考期末）解方程(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)当时，原方程无解；当时，(3)(4)或(5)(6)【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（2）分和两种情况解答即可；（3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（4）分、、三种情况，分别按照去括号、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（5）分、两种情况，分别按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（6）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．【详解】（1）解：．（2）解：当时，原方程无解；当时，（3）解：．（4）解：当时，原方程可化为，解得：；当时，原方程可化为，解得：，不符题意舍弃；当时，原方程可化为，解得：；综上，或．（5）解：当时，原方程可化为，解得：，不符题意应舍弃；当时，原方程可化为，解得：；综上，．（6）解：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解含绝对值的一元一次方程等知识点，熟练掌握解一元一次方程的步骤和零点分段法是解题的关键．【经典例题二 解复杂的一元一次方程】11．（2023上·福建福州·七年级福建省福州杨桥中学校考期中）已知，将关于x的方程记作方程G．(1)当，时，直接写出方程G的解为______；(2)若方程G的解为，求多项式的值；(3)若方程G的解为，求关于y的方程的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了方程的解和含参数的一元一次方程的解法，含参数的一次方程的解题步骤与数字系数的一元一次方程的解法相同，解题时注意未知数系数的取值范围．（1）把，代入方程，即可求出x的值；（2）把代入方程，可得，据此可求得的值；（3）把代入，可得，代入求解即可．【详解】（1）解：当，时，方程为：，解得：．故答案为：；（2）解：若方程的解为，代入方程得：，∴，∴．（3）解：依题意：，∵，∴，关于y的方程可变为，∴，解得：．12．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最小的正整数，求关于x的方程的解．【答案】【分析】根据相反数的性质得，由倒数的性质得，最小的正整数得，代入方程其解即可．【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最小的正整数，∴，，，∴原方程化简为，去分母，得，移项，得，合并 同类项，得，系数化为1，得．【点睛】本题考查相反数与倒数，解一元一次方程，熟记相反数与倒数的性质，以及最小的正整数是解决本题的关键．13．（2023上·广东中山·八年级校联考期中）已知，．(1)计算：；(2)若的值与的取值无关，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列式，去括号，合并同类项即可；（2）与无关的条件是的系数为0，即含有的项为0，即可获得答案．【详解】（1）解：；（2）由（1）知，，若的值与的取值无关，则有 ，，，．【点睛】本题主要考查了整式运算、整式的加减中的无关型计算、解一元一次方程等知识，熟练掌握去括号的法则，明确整式的加减中的无关型计算的核心条件是解题的关键．14．（2022下·河南南阳·七年级校考阶段练习）在小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则：每人只能看到前一名同学给的式子，并进行一步求解，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下：一元一次方程：．A同学：．B同学：．C同学：．D同学：．E同学：．(1)求解过程中有哪些同学出现了错误？错误原因分别是什么？(2)请写出本题的正确解题过程．【答案】(1)A同学，C同学出现了错误，A同学的错误原因是去分母时，常数项漏乘4；C同学的错误原因是移项时，常数项没有变号(2)见解析【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤进行判断即可；（2）根据解一元一次方程的一般步骤求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，A同学：去分母得，，C同学：移项得，，∴A同学，C同学出现了错误，A同学的错误原因是去分母时，常数项漏乘4；C同学的错误原因是移项时，常数项没有变号；（2）解：去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，．【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．15．（2023上·福建厦门·七年级福建省厦门集美中学校考期中）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）．(1)化简；(2)若的结果不含x项和项，求m、n的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据整式的减法运算法则求解即可；（2）令x项和项的系数为零列方程求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：由（1）得，∵的结果不含x项和项，∴，，解得，．【点睛】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，熟练掌握运算法则并正确求解即可．16．（2022上·浙江台州·七年级校考期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．【答案】的值为【分析】先根据题意求出方程的解，之后把解代入方程即可求出．【详解】解：，去括号，得，移项，得，合并，得，系数化为1，得，方程的解也是方程的解，，解得，的值为．【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次方程的解，掌握定义是关键．17．（2021上·陕西渭南·七年级校考阶段练习）若关于x的方程和的解的和为5，求m的值．【答案】【分析】先求出方程的解，再求出的解是，再把代入，即可求出m．【详解】解：解方程，得．因为方程和的解的和为5，所以方程的解为．将代入，得，解得．【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程等知识点，能求出关于m的一元一次方程是解此题的关键．18．（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知方程的解和方程的解互为相反数，求a的值．【答案】【分析】通过解方程求得的值．然后根据相反数的定义把的值代入方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．【详解】解：解方程，解得：， 则依题意，得，解得，．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键．19．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程．(1)求的值；(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值；(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行计算即可；（2）先求出方程的解为，然后把代入原方程中进行计算即可；（3）求出两个方程的解，根据同解方程的定义列出关于的方程即可．【详解】（1）解：由题意得：且，且，，的值为；（2））解：，，，已知方程与方程的解互为相反数，把，代入中可得：，，的值为：；（3）解：把代入中可得：，，，，已知方程与关于的方程的解相同，，解得：的值为：．【点睛】本题考查了同解方程，一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．20．（2023上·七年级课时练习）在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）将看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．（2）将、分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．【详解】（1）移项，得，整体合并，得，即，解得.（2）.移项、合并同类项得，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，解得.【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想．【经典例题三 一元一次方程的整数解问题】21．（2023七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解．【答案】当时，；当时，【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．【详解】解：，，因为方程有正整数解，所以，即，所以，要使方程有正整数解，则为正整数即可，因此，或，∴或，当时，方程的正整数解为；当时，方程的正整数解为；答：当时，；当时，．【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键．22．（2023七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解．【答案】当时，；时，；时，；时，【分析】把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k．【详解】解：移项合并得：，∴，∵在整数范围内有解，∴或，当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，．【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，关键是要知道在整数范围内有解所表示的含义．23．（22·23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值．解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或；探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值．【答案】7或4或3或2【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值．【详解】解：，，，，因为关于x的方程有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或或或，解得或或或．故整数k的值为7或4或3或2．【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义．24．（2022七年级上·全国·专题练习）若关于的一元一次方程有一个正整数解，则可取的最小正数是多少？并求出相应的解．【答案】可取的最小正数是，【分析】方程的解为，有一个正整数解，由此即可判断参数的值，并取最小的正数，由此即可求解．【详解】解：由，得，，∴，即，要使为正整数，即最小的正整数是 ，取最小的正数，当时，，∴，．故可取的最小正数是，．【点睛】本题主要考查一元一次方程解的取值，掌握一元一次方程解的不同取值判断参数的取值是解题的关键．25．（20·21七年级上·四川成都·期中）回答下列问题．（1）已知方程是关于x的一元一次方程，求k的值．（2）已知关于x的方程有正整数解，则整数k的值为？【答案】（1）；（2）0，2，4，14．【分析】（1）根据一元一次方程的概念和绝对值的性质即可求解k的值；（2）先求出方程的解（含k的式子），再根据方程的解为正整数即可求k的值．【详解】（1）由题意得：，则，，则或1，综上所述，．（2）由题意得，则，∵有正整数解，∴，则．【点睛】本题主要考查一元一次方程的概念和一元一次方程的解及绝对值，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的有关知识．26．（20·21六年级下·上海浦东新·期中）已知方程有正整数解，求奇数的值．【答案】或【分析】将原方程整理移项，合并同类项，根据该方程有解，得到关于a得方程的解，结合方程的解为正整数，a为奇数，即可解答．【详解】移项，得合并同类项，得∵原方程有解，∴，即，∵原方程有正整数解，∴或或或，∴或或或，∴奇数或．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键．27．（22·23七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）关于的一元一次方程，其中是正整数．(1)当时，求的值；(2)若方程有正整数解，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把代入方程，然后解方程即可；（2）解关于的方程得到：，然后根据是正整数来求的值．【详解】（1）解：当时，原方程即为，∴，解得：，当时，；（2）解：去分母，得 ，移项，合并同类项，得 ，系数化为，得 ，是正整数，方程有正整数解，或．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．28．（21·22七年级下·河南南阳·阶段练习）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．(1)当时，求方程的解；(2)若方程有正整数解，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解一元一次方程即可；（2）把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可．【详解】（1）解：当时，原方程为．去分母，得．移项，合并同类项，得．系数化为1，得．当时，方程的解是．（2）解：去分母，得．移项，合并同类项，得．系数化为1，得．是正整数，方程有正整数解，．【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．29．（18·19七年级上·北京石景山·期末）已知关于的一元一次方程，其中为整数(1)当时，求方程的解(2)若该方程有整数解，求的值【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）将代入关于的一元一次方程，得到，解得；（2）当时，解关于的一元一次方程得到，根据该方程有整数解，，当取及时才能满足题意，求解即可得到答案．【详解】（1）解：关于的一元一次方程，当时，，即，解得；（2）解：关于的一元一次方程有整数解，当时，，当取、时才能使该方程有整数解为整数，或或或．【点睛】本题考查一元一次方程综合，涉及一元一次方程的解、一元一次方程的定义及解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法步骤、掌握由一元一次方程的整数解求参数是解决问题的关键．30．（22·23七年级上·湖南郴州·阶段练习）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．(1)若关于的两个方程与是同解方程，求的值；(2)已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_______．(3)若关于的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数的值．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】(1)根据题意解方程再把方程的解代入到求出即可；（2）把当作已知数解方程，用含的表达式表示，再根据方程有整数解求即可；（3）把当成已知数，用含的表达式表示，再根据两方程同解列方程求即可；【详解】（1）解：，把代入，得，解得（2）解：解得：∵关于的方程有整数解，∴，当时，；当时，；当时，；当时，；∴；（3）解关于x的两个方程与得， ，∵关于x的两个方程与是同解方程，∴，∴，，∵是正整数，∴或．【点睛】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数，掌握方程的解的定义以及解一元一次方程是解题的关键．【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】31．（2023上·安徽安庆·七年级安庆市第四中学校考期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数．(1)3与__________是关于2的平衡数．(2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由．(3)若，，且与是关于2的平衡数．若为正整数，求非负整数的值．【答案】(1)(2)与是关于2的平衡数，理由见解析(3)0或1或3【分析】本题考查整式的加减，涉及新定义和一元一次方程，解题的关键读懂“关于2的平衡数”的定义．（1）根据“关于2的平衡数”定义列式计算即可；（2）求出，再根据“关于2的平衡数”的定义判断；（3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案．【详解】（1）解：，3与是关于2的平衡数，故答案为：；（2）∵，，∴，∴a与b是关于2的平衡数；（3），，c与d是关于2的平衡数，，x为正整数，k是非负整数，或或，k的值为0或1或3．32．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）定义：若，则称与是关于3的平安数．(1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式）(2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由．(3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值．【答案】(1)，(2)与是关于3的平安数，理由见解析(3)非负整数的值为0或1或3【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程：（1）根据平安数的定义列式求解即可；（2）将和相加，化简，看最后的结果是否为3即可；（3）根据，，且与是关于3的平安数，可以得到和的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当为正整数时，非负整数的值．【详解】（1）解：，4与是关于3的平安数，，与是关于3的平安数，故答案为：，；（2）解：与是关于3的平安数，理由：，，，与是关于3的平安数；（3）解：，，且与是关于3的平安数，，，，为非负整数，为正整数，又为正整数，可能是1，2，4，当时，，得；当时，，得，当时，，得，非负整数的值为0或1或3．33．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）定义：关于x的方程与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则___________．(2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值．(3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值．【答案】(1)2(2)(3)c的值为【分析】（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；（2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案；（3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．【详解】（1）解：由题可知，与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，∵与方程互为“反对方程”，∴，故答案为：2．（2）解：将写成的形式，将写成的形式，∵与方程互为“反对方程”，∴，∴，；（3）解：的“反对方程”为，由得，，当，得，∵与的解均为整数，∴与都为整数，∵c也为整数，∴当时，，，都为整数，当时，，，都为整数，∴c的值为．【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键．34．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：【定义理解】（1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知识应用】（3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________．（4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值．【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0【分析】（1）根据差解方程的定义判断即可；（2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出；（4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出，，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：（1）∵方程的解为，∴方程是差解方程．故答案为：是；（2）由题意可知，由一元一次方程可知，∴，解得；（3）∵方程是“差解方程”，∴，解方程，得，∴，∴，即．故答案为：16；（4）∵一元一次方程是“差解方程”，∴，解方程一元一次方程得∴，整理得，∵一元一次方程是“差解方程”，∴，解方程一元一次方程得∴，整理得，∴．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程．35．（2022上·浙江金华·七年级校联考阶段练习）定义：对于任意两个不相等的有理数a，b，计算：，，所得结果的最小值称为a，b的“关联差”．例如：，2．因为，，所以，2的“关联差”为．(1)3，的“关联差”为______；(2)，8的“关联差”与8，的“关联差”有何关系，请说明理由；(3)当2，的“关联差”为时，求x的值．【答案】(1)(2)相等，理由见解析(3)x的值为或9【分析】（1）由题意知，，，且，进而可确定 3，的“关联差”；（2）由，，且，可知，8的“关联差”为；由，，且，可知8，的“关联差”为；然后作答即可；（3）由题意得：，；当为“关联差”时，，解得；当为“关联差”时，，解得，然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，，，∵，∴ 3，的“关联差”为，故答案为：；（2）解：相等，理由如下：∵，，且，∴，8的“关联差”为；∵，，且，∴8，的“关联差”为；∴，8的“关联差”与8，的“关联差”相等．（3）解：由题意得：，；当为“关联差”时，，解得；当为“关联差”时，，解得，∴x的值为或9．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意．36．（2023下·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”．(1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m ．(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值．(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ．【答案】(1)；(2)或；(3)【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；（2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可；（3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解；【详解】（1）解：∵方程的解为，方程的解为，而方程与是“友好方程”，∴，∴；故答案为：；（2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为，依题意得或，解得或，故k的值为或；（3）解：方程的解为，∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”，∴关于x的方程的解为，∵关于y的一元一次方程变形得，∴，∴，∴关于y的一元一次方程的解为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．37．（2022上·湖南永州·七年级校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；（3）根据“美好方程”求出的解为，再把变形为，即可得到．【详解】（1）解方程得：，解方程得：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”，∴，∴；（2）∵“美好方程”其中一个解为n，∴另一个解为，∵“美好方程”的两个解的差为7，∴或，解得或，（3）解方程得：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”，∴的解是，∵，∴，∴．∴．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．38．（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）新定义：若任意两数，按规定得到一个新数“”，则称所得新数是数的“快乐返校学习数”．(1)若，求的“快乐返校学习数”；(2)若，且，求的“快乐返校学习数”；(3)当时，请直接写出关于的方程的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将，代入即可求解．（2）根据已知得出，将，代入，根据整式的加减化简，最后整体代入即可求解．（3）根据非负数的性质得出，进而可得方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵，∴∴的“快乐返校学习数”（2）解：∵，∴，∵，∴，，；（3）解：∵，∴，解得：，∴，∴方程，即，去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，解得：．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减与化简求值，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键．39．（2023下·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；(2)若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”．(2)．【分析】（1）分别求得两个方程的解，在利用“美好方程”的定义进行判断即可．（2）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于的方程变形，利用同解方程的定义即可求得的值，从而求得方程的解．【详解】（1）解：方程与方程互为“美好方程”，理由如下：解方程得，解方程得，∵，∴方程与方程互为“美好方程”．（2）解：解方程得，∵关于方程与是“美好方程”，∴方程的解为，将变形为，∴，∴，∴方程的解为．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义是解答本题的关键，本题属于新定义型题，理解并熟练运用新定义解答也是本题的关键．40．（2022上·山西临汾·七年级校联考阶段练习）阅读与思考：定义：若，则称与是关于1的平衡数．任务一：（1）3与______是关于1的平衡数，与______（用含的整式表示）是关于1的平衡数；任务二：（2）若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．【答案】（1），；（2）与是关于1的平衡数，见解析【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题；（2）将相加，化简判断即可．【详解】（1）设与是关于1的平衡数，则，解得：，设与是关于的平衡数，则，解得：，故答案为：，；（2）与是关于1的平衡数．理由如下：∵，，，∴∴A与是关于1的平衡数．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，新定义，整式的加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用新定义解答．【经典例题五 解含绝对值的一元一次方程】41．（2022七年级上·全国·专题练习）解下列绝对值方程：(1)(2)【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先去绝对值，再解一元一次方程；（2）先去绝对值，再解一元一次方程．【详解】（1）解：∵，∴，即：或，解得：或；（2）解：∵，∴，当时：，解得：；当时：，解得：；综上：或．【点睛】本题考查解绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义，以及解一元一次方程的步骤，是解题的关键．42．（2022七年级上·全国·专题练习）阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值．解：①当时，即时，原式；②当，即时，原式这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）分两种情况讨论，当 时或 时，先去掉绝对值，再化简即可．（2）分两种情况讨论，当 时或 时，去掉绝对值，再化简即可．【详解】（1）解：①当时，即，，解得：；②当，即，，解得：；方程的解为或；（2）①当时，即，，解得：；②当，即，，解得：；方程的解为或．【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号．43．（22·23七年级上·湖南湘西·阶段练习）阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，，，或．解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：①当时，原方程可化为，解得，符合；②当时，原方程可化为，解得，符合．原方程的解为或．解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．问题：结合上面阅读材料，解下列方程：(1)解方程：(2)解方程：【答案】(1)或(2)或【分析】（1）类比解法一即可求解；（2）类比解法二，分，，三种情况进行讨论，脱去绝对值，解方程，舍去不合题意的方程的解，问题得解．【详解】（1）解：移项得，合并得，两边同时除以得，所以，所以或；（2）解：当时，原方程可化为，解得，符合；当时,原方程可化为，解得，符合；当时，原方程可化为，解得，不符合．所以原方程的解为或．【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的解法，理解题意，能根据题意脱去绝对值是解题关键，注意第（2）问要根据题意分三类进行讨论．44．（22·23八年级上·浙江宁波·期中）绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．(1)A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．①A、B两点之间的距离为___________；②若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B距离的2倍，则点P所表示的数是___________；(2)的最小值为___________，若满足时，则x的值是___________．【答案】(1)①6；②2或10(2)6；【分析】（1）①根据两点之间的距离表示解答本题；②表示出点P到A的距离和点P到B距离再列方程，可以解答本题．（2）根据题目中的数据可以用相应的绝对值表示两点的距离；利用分类讨论的方法可以解答本题．【详解】（1）解：①由题意得：A、B两点之间的距离为，故答案为：6；②设P表示的数为，由题意得P到A的距离是，点P到B距离是∴或解得：或综上，则点P所表示的数是2或10；故答案为：2或10；（2）解：∵表示x与3距离，表示x与距离，∴当表示x的点在3与之间时，的值最小，且最小值是6，当时，，；当时，；当时，，；∴当时故答案为：6；．【点睛】本题考查绝对值、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用绝对值的知识和分类讨论的方法解答．45．（22·23七年级上·江苏镇江·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；数轴上表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为______，表示数y与两点之间的距离可以表示为______．(2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______；若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为______．(3)找出所有符合条件的整数a，使成立，直接写出结果．(4)由以上探索猜想，对于任何有理数a，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】(1)3，5，，(2)1或(3)(4)3【分析】（1）观察数轴可得答案；（2）如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么，化简绝对值即可得答案；（3）分三种情况讨论求解即可；（4）分三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；数轴上表示和2两点之间的距离是；数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为 ，表示数y与两点之间的距离可以表示为．故答案为：3，5，|，；（2）解：如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么，∴∴或解得或；故答案为：1或；（3）解：当时，∵，∴，解得（舍去），当时，∵，∴，恒成立，∴满足题意的a的值为；当时，∵，∴，解得（舍去）；综上所述，满足题意的a的值为；（4）解：当时，，当时，，当时，；∴综上所述，的最小值为3；【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，解一元一次方程，化简绝对值，熟知绝对值的相关知识是解题的关键．46．（23·24七年级上·全国·课堂例题）先看例题，再解答后面的问题．【例】解方程：．解法一：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为，解得，所以原方程的解为或．解法二：移项，得．合并同类项，得．由绝对值的意义知，所以原方程的解为或．问题：用两种方法解方程．【答案】或【分析】方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解；方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解．【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为，解得，∴原方程的解为或．解法二：移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，由绝对值的意义知，∴原方程的解为或．【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键．47．（22·23七年级上·江西吉安·期末）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为．例如：数轴上表示5和1的两点之间的距离是|5﹣1|＝4．利用以上信息，解答下列问题：(1)数轴上表示和3的两点之间的距离是 ；表示数a和的两点之间的距离是 ；(2)若，则 ；(3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则 ．【答案】(1)7；(2)2或(3)6【分析】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；（2）根据绝对值的意义，进行化简，解一元一次方程即可得解；（3）根据a的点位于与之间，化简绝对值进行计算即可．【详解】（1）解：数轴上表示和3的两点之间的距离是；表示数a和的两点之间的距离是；故答案为：7，；（2）解：表示数轴上表示a和或2和的两点之间的距离，∵， ∴或，解得或．故答案为：2或；（3）由题意，得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次方程，以及整式的加减运算．理解并掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．48．（22·23七年级上·江苏扬州·期末）阅读理解：在形如这一类含有绝对值的方程时，为了去绝对值符号，我们发现两个绝对值符号里面是相同的“”，可以根据绝对值的意义先对“x”的取值分成和两种情况，再去绝对值符号：①当时，原方程可化为，得，不符合，舍去；②当时，原方程可化为，得，符合．综合可得原方程的为．(1)方法应用：解方程：(2)拓展应用：方程：；（提示；可以考虑先对“x”的取值进行分类，去了一个绝对值符号后；再对“x”的取值进行分类，去掉另一个绝对值符号）(3)迁移应用：求的最小值．【答案】(1)；(2)或；(3)的最小值为2031．【分析】（1）分两种情况讨论，和；（2）分三种情况讨论，，，；（3）分三种情况讨论，，，．【详解】（1）解：分两种情况：当时，原方程可化为：，解得：，符合；当时，原方程可化为：，解得：，不符合，舍去；∴原方程的解为：；（2）解：分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：，解得：，符合；当时，原方程可化为：，解得：，符合；当时，原方程可化为：，解得：，不符合，舍去；∴原方程的解为：或；（3）解：分三种情况讨论：当时，；当时，；当时，；∴的最小值为2031．【点睛】本题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值的性质，熟练准确的计算是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．49．（22·23七年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或，所以或．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：；(2)解方程：．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可；（2）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：根据绝对值的意义得或，解得或；（2）解：由绝对值的意义得或，解得或．【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．50．（20·21七年级下·河南南阳·阶段练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是 （直接写出结果）．【答案】(1)x=2或x=(2)12或20(3)100【分析】（1）根据题干步骤解方程|3x﹣2|＝4即可；（2）将a+b看作一个整体，根据题干步骤解方程|a+b+4|＝16即可求解；（3）再（2）的条件下，根据有理数的乘法法则即可求解；【详解】（1）解：方程|3x﹣2|=4可化为：3x﹣2=4或3x﹣2=-4当3x﹣2＝4时，则有：3x=6，所以x=2当3x﹣2=-4时，则有：3x＝﹣2；所以x=故，方程|3x﹣2|=4的解为x=2或x=（2）方程|a+b+4|＝16可化为：a+b+4＝16或a+b+4=-16当a+b+4＝16时，则有：a+b＝12，所以|a+b|＝12当a+b+4=-16时，则有：a+b=-20；所以|a+b|＝20故，方程|a+b|的值为12或20（3）在（2）的条件下，若a，b都是整数，a+b＝12或a+b=-20；根据有理数乘法法则可知：当a=-10，b=-10时，取最大值，最大值为100；故答案为：100．【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义．
专题17 解一元一次方程50道题专训（5大题型）【题型目录】题型一 解简单的一元一次方程题型二 解复杂的一元一次方程题型三 一元一次方程的整数解问题题型四 一元一次方程的新定义问题题型五 解含绝对值的一元一次方程【经典例题一 解简单的一元一次方程】1．（2023上·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）解方程(1)(2)2．（2023上·黑龙江大庆·七年级校联考期中）解方程：(1)(2)(3)(4)3．（2023上·北京东城·七年级汇文中学校联考期中）解方程：(1)；(2)．4．（2023上·湖北武汉·七年级武汉市粮道街中学校联考期中）解方程：(1)；(2)．5．（2023上·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）解方程：(1)；(2)6．（2023上·广东广州·七年级校考期中）解方程(1)(2)7．（2023上·四川德阳·七年级校考期中）解方程：(1)；(2)．8．（2023上·广东广州·七年级华美英语实验学校校考期中）解方程：(1)；(2)．9．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）解方程：(1)(2)10．（2022上·北京大兴·七年级校考期末）解方程(1)(2)(3)(4)(5)(6)【经典例题二 解复杂的一元一次方程】11．（2023上·福建福州·七年级福建省福州杨桥中学校考期中）已知，将关于x的方程记作方程G．(1)当，时，直接写出方程G的解为______；(2)若方程G的解为，求多项式的值；(3)若方程G的解为，求关于y的方程的解．12．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最小的正整数，求关于x的方程的解．13．（2023上·广东中山·八年级校联考期中）已知，．(1)计算：；(2)若的值与的取值无关，求的值．14．（2022下·河南南阳·七年级校考阶段练习）在小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则：每人只能看到前一名同学给的式子，并进行一步求解，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下：一元一次方程：．A同学：．B同学：．C同学：．D同学：．E同学：．(1)求解过程中有哪些同学出现了错误？错误原因分别是什么？(2)请写出本题的正确解题过程．15．（2023上·福建厦门·七年级福建省厦门集美中学校考期中）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）．(1)化简；(2)若的结果不含x项和项，求m、n的值．16．（2022上·浙江台州·七年级校考期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．17．（2021上·陕西渭南·七年级校考阶段练习）若关于x的方程和的解的和为5，求m的值．18．（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知方程的解和方程的解互为相反数，求a的值．19．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程．(1)求的值；(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值；(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值．20．（2023上·七年级课时练习）在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：(1)；(2)．【经典例题三 一元一次方程的整数解问题】21．（2023七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解．22．（2023七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解．23．（22·23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值．解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或；探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值．24．（2022七年级上·全国·专题练习）若关于的一元一次方程有一个正整数解，则可取的最小正数是多少？并求出相应的解．25．（20·21七年级上·四川成都·期中）回答下列问题．（1）已知方程是关于x的一元一次方程，求k的值．（2）已知关于x的方程有正整数解，则整数k的值为？26．（20·21六年级下·上海浦东新·期中）已知方程有正整数解，求奇数的值．27．（22·23七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）关于的一元一次方程，其中是正整数．(1)当时，求的值；(2)若方程有正整数解，求的值．28．（21·22七年级下·河南南阳·阶段练习）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．(1)当时，求方程的解；(2)若方程有正整数解，求m的值．29．（18·19七年级上·北京石景山·期末）已知关于的一元一次方程，其中为整数(1)当时，求方程的解(2)若该方程有整数解，求的值30．（22·23七年级上·湖南郴州·阶段练习）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．(1)若关于的两个方程与是同解方程，求的值；(2)已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_______．(3)若关于的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数的值．【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】31．（2023上·安徽安庆·七年级安庆市第四中学校考期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数．(1)3与__________是关于2的平衡数．(2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由．(3)若，，且与是关于2的平衡数．若为正整数，求非负整数的值．32．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）定义：若，则称与是关于3的平安数．(1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式）(2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由．(3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值．33．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）定义：关于x的方程与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则___________．(2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值．(3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值．34．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：【定义理解】（1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知识应用】（3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________．（4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值．35．（2022上·浙江金华·七年级校联考阶段练习）定义：对于任意两个不相等的有理数a，b，计算：，，所得结果的最小值称为a，b的“关联差”．例如：，2．因为，，所以，2的“关联差”为．(1)3，的“关联差”为______；(2)，8的“关联差”与8，的“关联差”有何关系，请说明理由；(3)当2，的“关联差”为时，求x的值．36．（2023下·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”．(1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m ．(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值．(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ．37．（2022上·湖南永州·七年级校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．38．（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）新定义：若任意两数，按规定得到一个新数“”，则称所得新数是数的“快乐返校学习数”．(1)若，求的“快乐返校学习数”；(2)若，且，求的“快乐返校学习数”；(3)当时，请直接写出关于的方程的解．39．（2023下·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；(2)若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．40．（2022上·山西临汾·七年级校联考阶段练习）阅读与思考：定义：若，则称与是关于1的平衡数．任务一：（1）3与______是关于1的平衡数，与______（用含的整式表示）是关于1的平衡数；任务二：（2）若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．【经典例题五 解含绝对值的一元一次方程】41．（2022七年级上·全国·专题练习）解下列绝对值方程：(1)(2)42．（2022七年级上·全国·专题练习）阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值．解：①当时，即时，原式；②当，即时，原式这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解下列方程：(1)；(2)．43．（22·23七年级上·湖南湘西·阶段练习）阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，，，或．解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：①当时，原方程可化为，解得，符合；②当时，原方程可化为，解得，符合．原方程的解为或．解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．问题：结合上面阅读材料，解下列方程：(1)解方程：(2)解方程：44．（22·23八年级上·浙江宁波·期中）绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．(1)A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．①A、B两点之间的距离为___________；②若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B距离的2倍，则点P所表示的数是___________；(2)的最小值为___________，若满足时，则x的值是___________．45．（22·23七年级上·江苏镇江·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；数轴上表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为______，表示数y与两点之间的距离可以表示为______．(2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______；若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为______．(3)找出所有符合条件的整数a，使成立，直接写出结果．(4)由以上探索猜想，对于任何有理数a，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．46．（23·24七年级上·全国·课堂例题）先看例题，再解答后面的问题．【例】解方程：．解法一：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为，解得，所以原方程的解为或．解法二：移项，得．合并同类项，得．由绝对值的意义知，所以原方程的解为或．问题：用两种方法解方程．47．（22·23七年级上·江西吉安·期末）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为．例如：数轴上表示5和1的两点之间的距离是|5﹣1|＝4．利用以上信息，解答下列问题：(1)数轴上表示和3的两点之间的距离是 ；表示数a和的两点之间的距离是 ；(2)若，则 ；(3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则 ．48．（22·23七年级上·江苏扬州·期末）阅读理解：在形如这一类含有绝对值的方程时，为了去绝对值符号，我们发现两个绝对值符号里面是相同的“”，可以根据绝对值的意义先对“x”的取值分成和两种情况，再去绝对值符号：①当时，原方程可化为，得，不符合，舍去；②当时，原方程可化为，得，符合．综合可得原方程的为．(1)方法应用：解方程：(2)拓展应用：方程：；（提示；可以考虑先对“x”的取值进行分类，去了一个绝对值符号后；再对“x”的取值进行分类，去掉另一个绝对值符号）(3)迁移应用：求的最小值．49．（22·23七年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或，所以或．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：；(2)解方程：．50．（20·21七年级下·河南南阳·阶段练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是 （直接写出结果）． 专题17 解一元一次方程50道题专训（5大题型）【题型目录】题型一 解简单的一元一次方程题型二 解复杂的一元一次方程题型三 一元一次方程的整数解问题题型四 一元一次方程的新定义问题题型五 解含绝对值的一元一次方程【经典例题一 解简单的一元一次方程】1．（2023上·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握求解方法是解题关键（1）通过移项合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可；（2）通过去分母，移项合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可．【详解】（1）解：，移项得：，合并同类项得：，解得：；（2），去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，解得：．2．（2023上·黑龙江大庆·七年级校联考期中）解方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了解一元一次方程，（1）通过移项，合并同类项，系数化为1，即可解答；（2）通过去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答；（3）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答；（4）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答，【详解】（1）解：，，,；（2）解：，，，，；（3）解：，，，，，；（4）解：，，，，，．3．（2023上·北京东城·七年级汇文中学校联考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握解方程的步骤是解题关键．（1）将方程移项，合并同类项，系数化为1，即可求出结果；（2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出结果．【详解】（1）解：，移项，得：，合并同类项得：，解得：；（2），去分母，得：，去括号，得：，移项，合并同类项得：，解得：．4．（2023上·湖北武汉·七年级武汉市粮道街中学校联考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键；（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；（2）按照去分母，去括号，一小时，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．【详解】（1）解：去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：；（2）解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：．5．（2023上·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程移项合并，将系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解．【详解】（1）解：移项合并得：，解得：；（2）方程去分母得：，移项合并得：，解得：．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．6．（2023上·广东广州·七年级校考期中）解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解【详解】（1）去括号得：， 移项得，，合并得：，系数化为1得：；（2）去分母得：去括号得：移项得，合并得：解得：．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．7．（2023上·四川德阳·七年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．（2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．【详解】（1），移项得，合并得，系数化1得；（2），去括号得，移项得，合并得，系数化1得．8．（2023上·广东广州·七年级华美英语实验学校校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．【详解】（1）解：移项，可得：，合并同类项，系数化为1，可得：．（2）去分母，可得：，去括号，可得：，移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化为1，可得：．9．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)；(2)；【分析】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键（1）根据解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；（2）根据解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；【详解】（1）解：去括号得，，移项得，，合并同类项得，；（2）解：去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，；10．（2022上·北京大兴·七年级校考期末）解方程(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)当时，原方程无解；当时，(3)(4)或(5)(6)【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（2）分和两种情况解答即可；（3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（4）分、、三种情况，分别按照去括号、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（5）分、两种情况，分别按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（6）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．【详解】（1）解：．（2）解：当时，原方程无解；当时，（3）解：．（4）解：当时，原方程可化为，解得：；当时，原方程可化为，解得：，不符题意舍弃；当时，原方程可化为，解得：；综上，或．（5）解：当时，原方程可化为，解得：，不符题意应舍弃；当时，原方程可化为，解得：；综上，．（6）解：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解含绝对值的一元一次方程等知识点，熟练掌握解一元一次方程的步骤和零点分段法是解题的关键．【经典例题二 解复杂的一元一次方程】11．（2023上·福建福州·七年级福建省福州杨桥中学校考期中）已知，将关于x的方程记作方程G．(1)当，时，直接写出方程G的解为______；(2)若方程G的解为，求多项式的值；(3)若方程G的解为，求关于y的方程的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了方程的解和含参数的一元一次方程的解法，含参数的一次方程的解题步骤与数字系数的一元一次方程的解法相同，解题时注意未知数系数的取值范围．（1）把，代入方程，即可求出x的值；（2）把代入方程，可得，据此可求得的值；（3）把代入，可得，代入求解即可．【详解】（1）解：当，时，方程为：，解得：．故答案为：；（2）解：若方程的解为，代入方程得：，∴，∴．（3）解：依题意：，∵，∴，关于y的方程可变为，∴，解得：．12．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最小的正整数，求关于x的方程的解．【答案】【分析】根据相反数的性质得，由倒数的性质得，最小的正整数得，代入方程其解即可．【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最小的正整数，∴，，，∴原方程化简为，去分母，得，移项，得，合并 同类项，得，系数化为1，得．【点睛】本题考查相反数与倒数，解一元一次方程，熟记相反数与倒数的性质，以及最小的正整数是解决本题的关键．13．（2023上·广东中山·八年级校联考期中）已知，．(1)计算：；(2)若的值与的取值无关，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列式，去括号，合并同类项即可；（2）与无关的条件是的系数为0，即含有的项为0，即可获得答案．【详解】（1）解：；（2）由（1）知，，若的值与的取值无关，则有 ，，，．【点睛】本题主要考查了整式运算、整式的加减中的无关型计算、解一元一次方程等知识，熟练掌握去括号的法则，明确整式的加减中的无关型计算的核心条件是解题的关键．14．（2022下·河南南阳·七年级校考阶段练习）在小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则：每人只能看到前一名同学给的式子，并进行一步求解，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下：一元一次方程：．A同学：．B同学：．C同学：．D同学：．E同学：．(1)求解过程中有哪些同学出现了错误？错误原因分别是什么？(2)请写出本题的正确解题过程．【答案】(1)A同学，C同学出现了错误，A同学的错误原因是去分母时，常数项漏乘4；C同学的错误原因是移项时，常数项没有变号(2)见解析【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤进行判断即可；（2）根据解一元一次方程的一般步骤求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，A同学：去分母得，，C同学：移项得，，∴A同学，C同学出现了错误，A同学的错误原因是去分母时，常数项漏乘4；C同学的错误原因是移项时，常数项没有变号；（2）解：去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，．【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．15．（2023上·福建厦门·七年级福建省厦门集美中学校考期中）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）．(1)化简；(2)若的结果不含x项和项，求m、n的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据整式的减法运算法则求解即可；（2）令x项和项的系数为零列方程求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：由（1）得，∵的结果不含x项和项，∴，，解得，．【点睛】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，熟练掌握运算法则并正确求解即可．16．（2022上·浙江台州·七年级校考期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．【答案】的值为【分析】先根据题意求出方程的解，之后把解代入方程即可求出．【详解】解：，去括号，得，移项，得，合并，得，系数化为1，得，方程的解也是方程的解，，解得，的值为．【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次方程的解，掌握定义是关键．17．（2021上·陕西渭南·七年级校考阶段练习）若关于x的方程和的解的和为5，求m的值．【答案】【分析】先求出方程的解，再求出的解是，再把代入，即可求出m．【详解】解：解方程，得．因为方程和的解的和为5，所以方程的解为．将代入，得，解得．【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程等知识点，能求出关于m的一元一次方程是解此题的关键．18．（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知方程的解和方程的解互为相反数，求a的值．【答案】【分析】通过解方程求得的值．然后根据相反数的定义把的值代入方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．【详解】解：解方程，解得：， 则依题意，得，解得，．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键．19．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程．(1)求的值；(2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值；(3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行计算即可；（2）先求出方程的解为，然后把代入原方程中进行计算即可；（3）求出两个方程的解，根据同解方程的定义列出关于的方程即可．【详解】（1）解：由题意得：且，且，，的值为；（2））解：，，，已知方程与方程的解互为相反数，把，代入中可得：，，的值为：；（3）解：把代入中可得：，，，，已知方程与关于的方程的解相同，，解得：的值为：．【点睛】本题考查了同解方程，一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．20．（2023上·七年级课时练习）在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）将看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．（2）将、分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．【详解】（1）移项，得，整体合并，得，即，解得.（2）.移项、合并同类项得，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，解得.【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想．【经典例题三 一元一次方程的整数解问题】21．（2023七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解．【答案】当时，；当时，【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．【详解】解：，，因为方程有正整数解，所以，即，所以，要使方程有正整数解，则为正整数即可，因此，或，∴或，当时，方程的正整数解为；当时，方程的正整数解为；答：当时，；当时，．【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键．22．（2023七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解．【答案】当时，；时，；时，；时，【分析】把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k．【详解】解：移项合并得：，∴，∵在整数范围内有解，∴或，当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，．【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，关键是要知道在整数范围内有解所表示的含义．23．（22·23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值．解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或；探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值．【答案】7或4或3或2【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值．【详解】解：，，，，因为关于x的方程有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或或或，解得或或或．故整数k的值为7或4或3或2．【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义．24．（2022七年级上·全国·专题练习）若关于的一元一次方程有一个正整数解，则可取的最小正数是多少？并求出相应的解．【答案】可取的最小正数是，【分析】方程的解为，有一个正整数解，由此即可判断参数的值，并取最小的正数，由此即可求解．【详解】解：由，得，，∴，即，要使为正整数，即最小的正整数是 ，取最小的正数，当时，，∴，．故可取的最小正数是，．【点睛】本题主要考查一元一次方程解的取值，掌握一元一次方程解的不同取值判断参数的取值是解题的关键．25．（20·21七年级上·四川成都·期中）回答下列问题．（1）已知方程是关于x的一元一次方程，求k的值．（2）已知关于x的方程有正整数解，则整数k的值为？【答案】（1）；（2）0，2，4，14．【分析】（1）根据一元一次方程的概念和绝对值的性质即可求解k的值；（2）先求出方程的解（含k的式子），再根据方程的解为正整数即可求k的值．【详解】（1）由题意得：，则，，则或1，综上所述，．（2）由题意得，则，∵有正整数解，∴，则．【点睛】本题主要考查一元一次方程的概念和一元一次方程的解及绝对值，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的有关知识．26．（20·21六年级下·上海浦东新·期中）已知方程有正整数解，求奇数的值．【答案】或【分析】将原方程整理移项，合并同类项，根据该方程有解，得到关于a得方程的解，结合方程的解为正整数，a为奇数，即可解答．【详解】移项，得合并同类项，得∵原方程有解，∴，即，∵原方程有正整数解，∴或或或，∴或或或，∴奇数或．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键．27．（22·23七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）关于的一元一次方程，其中是正整数．(1)当时，求的值；(2)若方程有正整数解，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把代入方程，然后解方程即可；（2）解关于的方程得到：，然后根据是正整数来求的值．【详解】（1）解：当时，原方程即为，∴，解得：，当时，；（2）解：去分母，得 ，移项，合并同类项，得 ，系数化为，得 ，是正整数，方程有正整数解，或．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．28．（21·22七年级下·河南南阳·阶段练习）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．(1)当时，求方程的解；(2)若方程有正整数解，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解一元一次方程即可；（2）把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可．【详解】（1）解：当时，原方程为．去分母，得．移项，合并同类项，得．系数化为1，得．当时，方程的解是．（2）解：去分母，得．移项，合并同类项，得．系数化为1，得．是正整数，方程有正整数解，．【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．29．（18·19七年级上·北京石景山·期末）已知关于的一元一次方程，其中为整数(1)当时，求方程的解(2)若该方程有整数解，求的值【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）将代入关于的一元一次方程，得到，解得；（2）当时，解关于的一元一次方程得到，根据该方程有整数解，，当取及时才能满足题意，求解即可得到答案．【详解】（1）解：关于的一元一次方程，当时，，即，解得；（2）解：关于的一元一次方程有整数解，当时，，当取、时才能使该方程有整数解为整数，或或或．【点睛】本题考查一元一次方程综合，涉及一元一次方程的解、一元一次方程的定义及解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法步骤、掌握由一元一次方程的整数解求参数是解决问题的关键．30．（22·23七年级上·湖南郴州·阶段练习）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．(1)若关于的两个方程与是同解方程，求的值；(2)已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_______．(3)若关于的两个方程与是同解方程，求此时符合要求的正整数的值．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】(1)根据题意解方程再把方程的解代入到求出即可；（2）把当作已知数解方程，用含的表达式表示，再根据方程有整数解求即可；（3）把当成已知数，用含的表达式表示，再根据两方程同解列方程求即可；【详解】（1）解：，把代入，得，解得（2）解：解得：∵关于的方程有整数解，∴，当时，；当时，；当时，；当时，；∴；（3）解关于x的两个方程与得， ，∵关于x的两个方程与是同解方程，∴，∴，，∵是正整数，∴或．【点睛】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数，掌握方程的解的定义以及解一元一次方程是解题的关键．【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】31．（2023上·安徽安庆·七年级安庆市第四中学校考期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数．(1)3与__________是关于2的平衡数．(2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由．(3)若，，且与是关于2的平衡数．若为正整数，求非负整数的值．【答案】(1)(2)与是关于2的平衡数，理由见解析(3)0或1或3【分析】本题考查整式的加减，涉及新定义和一元一次方程，解题的关键读懂“关于2的平衡数”的定义．（1）根据“关于2的平衡数”定义列式计算即可；（2）求出，再根据“关于2的平衡数”的定义判断；（3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案．【详解】（1）解：，3与是关于2的平衡数，故答案为：；（2）∵，，∴，∴a与b是关于2的平衡数；（3），，c与d是关于2的平衡数，，x为正整数，k是非负整数，或或，k的值为0或1或3．32．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）定义：若，则称与是关于3的平安数．(1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式）(2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由．(3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值．【答案】(1)，(2)与是关于3的平安数，理由见解析(3)非负整数的值为0或1或3【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程：（1）根据平安数的定义列式求解即可；（2）将和相加，化简，看最后的结果是否为3即可；（3）根据，，且与是关于3的平安数，可以得到和的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当为正整数时，非负整数的值．【详解】（1）解：，4与是关于3的平安数，，与是关于3的平安数，故答案为：，；（2）解：与是关于3的平安数，理由：，，，与是关于3的平安数；（3）解：，，且与是关于3的平安数，，，，为非负整数，为正整数，又为正整数，可能是1，2，4，当时，，得；当时，，得，当时，，得，非负整数的值为0或1或3．33．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）定义：关于x的方程与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则___________．(2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值．(3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值．【答案】(1)2(2)(3)c的值为【分析】（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；（2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案；（3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．【详解】（1）解：由题可知，与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，∵与方程互为“反对方程”，∴，故答案为：2．（2）解：将写成的形式，将写成的形式，∵与方程互为“反对方程”，∴，∴，；（3）解：的“反对方程”为，由得，，当，得，∵与的解均为整数，∴与都为整数，∵c也为整数，∴当时，，，都为整数，当时，，，都为整数，∴c的值为．【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键．34．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：【定义理解】（1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知识应用】（3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________．（4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值．【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0【分析】（1）根据差解方程的定义判断即可；（2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出；（4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出，，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：（1）∵方程的解为，∴方程是差解方程．故答案为：是；（2）由题意可知，由一元一次方程可知，∴，解得；（3）∵方程是“差解方程”，∴，解方程，得，∴，∴，即．故答案为：16；（4）∵一元一次方程是“差解方程”，∴，解方程一元一次方程得∴，整理得，∵一元一次方程是“差解方程”，∴，解方程一元一次方程得∴，整理得，∴．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程．35．（2022上·浙江金华·七年级校联考阶段练习）定义：对于任意两个不相等的有理数a，b，计算：，，所得结果的最小值称为a，b的“关联差”．例如：，2．因为，，所以，2的“关联差”为．(1)3，的“关联差”为______；(2)，8的“关联差”与8，的“关联差”有何关系，请说明理由；(3)当2，的“关联差”为时，求x的值．【答案】(1)(2)相等，理由见解析(3)x的值为或9【分析】（1）由题意知，，，且，进而可确定 3，的“关联差”；（2）由，，且，可知，8的“关联差”为；由，，且，可知8，的“关联差”为；然后作答即可；（3）由题意得：，；当为“关联差”时，，解得；当为“关联差”时，，解得，然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，，，∵，∴ 3，的“关联差”为，故答案为：；（2）解：相等，理由如下：∵，，且，∴，8的“关联差”为；∵，，且，∴8，的“关联差”为；∴，8的“关联差”与8，的“关联差”相等．（3）解：由题意得：，；当为“关联差”时，，解得；当为“关联差”时，，解得，∴x的值为或9．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意．36．（2023下·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”．(1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m ．(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值．(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ．【答案】(1)；(2)或；(3)【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；（2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可；（3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解；【详解】（1）解：∵方程的解为，方程的解为，而方程与是“友好方程”，∴，∴；故答案为：；（2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为，依题意得或，解得或，故k的值为或；（3）解：方程的解为，∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”，∴关于x的方程的解为，∵关于y的一元一次方程变形得，∴，∴，∴关于y的一元一次方程的解为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．37．（2022上·湖南永州·七年级校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；（3）根据“美好方程”求出的解为，再把变形为，即可得到．【详解】（1）解方程得：，解方程得：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”，∴，∴；（2）∵“美好方程”其中一个解为n，∴另一个解为，∵“美好方程”的两个解的差为7，∴或，解得或，（3）解方程得：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”，∴的解是，∵，∴，∴．∴．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．38．（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）新定义：若任意两数，按规定得到一个新数“”，则称所得新数是数的“快乐返校学习数”．(1)若，求的“快乐返校学习数”；(2)若，且，求的“快乐返校学习数”；(3)当时，请直接写出关于的方程的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将，代入即可求解．（2）根据已知得出，将，代入，根据整式的加减化简，最后整体代入即可求解．（3）根据非负数的性质得出，进而可得方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵，∴∴的“快乐返校学习数”（2）解：∵，∴，∵，∴，，；（3）解：∵，∴，解得：，∴，∴方程，即，去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，解得：．【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减与化简求值，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键．39．（2023下·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；(2)若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”．(2)．【分析】（1）分别求得两个方程的解，在利用“美好方程”的定义进行判断即可．（2）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于的方程变形，利用同解方程的定义即可求得的值，从而求得方程的解．【详解】（1）解：方程与方程互为“美好方程”，理由如下：解方程得，解方程得，∵，∴方程与方程互为“美好方程”．（2）解：解方程得，∵关于方程与是“美好方程”，∴方程的解为，将变形为，∴，∴，∴方程的解为．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义是解答本题的关键，本题属于新定义型题，理解并熟练运用新定义解答也是本题的关键．40．（2022上·山西临汾·七年级校联考阶段练习）阅读与思考：定义：若，则称与是关于1的平衡数．任务一：（1）3与______是关于1的平衡数，与______（用含的整式表示）是关于1的平衡数；任务二：（2）若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．【答案】（1），；（2）与是关于1的平衡数，见解析【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题；（2）将相加，化简判断即可．【详解】（1）设与是关于1的平衡数，则，解得：，设与是关于的平衡数，则，解得：，故答案为：，；（2）与是关于1的平衡数．理由如下：∵，，，∴∴A与是关于1的平衡数．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，新定义，整式的加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用新定义解答．【经典例题五 解含绝对值的一元一次方程】41．（2022七年级上·全国·专题练习）解下列绝对值方程：(1)(2)【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先去绝对值，再解一元一次方程；（2）先去绝对值，再解一元一次方程．【详解】（1）解：∵，∴，即：或，解得：或；（2）解：∵，∴，当时：，解得：；当时：，解得：；综上：或．【点睛】本题考查解绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义，以及解一元一次方程的步骤，是解题的关键．42．（2022七年级上·全国·专题练习）阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值．解：①当时，即时，原式；②当，即时，原式这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）分两种情况讨论，当 时或 时，先去掉绝对值，再化简即可．（2）分两种情况讨论，当 时或 时，去掉绝对值，再化简即可．【详解】（1）解：①当时，即，，解得：；②当，即，，解得：；方程的解为或；（2）①当时，即，，解得：；②当，即，，解得：；方程的解为或．【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号．43．（22·23七年级上·湖南湘西·阶段练习）阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，，，或．解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：①当时，原方程可化为，解得，符合；②当时，原方程可化为，解得，符合．原方程的解为或．解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．问题：结合上面阅读材料，解下列方程：(1)解方程：(2)解方程：【答案】(1)或(2)或【分析】（1）类比解法一即可求解；（2）类比解法二，分，，三种情况进行讨论，脱去绝对值，解方程，舍去不合题意的方程的解，问题得解．【详解】（1）解：移项得，合并得，两边同时除以得，所以，所以或；（2）解：当时，原方程可化为，解得，符合；当时,原方程可化为，解得，符合；当时，原方程可化为，解得，不符合．所以原方程的解为或．【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的解法，理解题意，能根据题意脱去绝对值是解题关键，注意第（2）问要根据题意分三类进行讨论．44．（22·23八年级上·浙江宁波·期中）绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．(1)A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．①A、B两点之间的距离为___________；②若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B距离的2倍，则点P所表示的数是___________；(2)的最小值为___________，若满足时，则x的值是___________．【答案】(1)①6；②2或10(2)6；【分析】（1）①根据两点之间的距离表示解答本题；②表示出点P到A的距离和点P到B距离再列方程，可以解答本题．（2）根据题目中的数据可以用相应的绝对值表示两点的距离；利用分类讨论的方法可以解答本题．【详解】（1）解：①由题意得：A、B两点之间的距离为，故答案为：6；②设P表示的数为，由题意得P到A的距离是，点P到B距离是∴或解得：或综上，则点P所表示的数是2或10；故答案为：2或10；（2）解：∵表示x与3距离，表示x与距离，∴当表示x的点在3与之间时，的值最小，且最小值是6，当时，，；当时，；当时，，；∴当时故答案为：6；．【点睛】本题考查绝对值、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用绝对值的知识和分类讨论的方法解答．45．（22·23七年级上·江苏镇江·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；数轴上表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为______，表示数y与两点之间的距离可以表示为______．(2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______；若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为______．(3)找出所有符合条件的整数a，使成立，直接写出结果．(4)由以上探索猜想，对于任何有理数a，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】(1)3，5，，(2)1或(3)(4)3【分析】（1）观察数轴可得答案；（2）如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么，化简绝对值即可得答案；（3）分三种情况讨论求解即可；（4）分三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；数轴上表示和2两点之间的距离是；数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为 ，表示数y与两点之间的距离可以表示为．故答案为：3，5，|，；（2）解：如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么，∴∴或解得或；故答案为：1或；（3）解：当时，∵，∴，解得（舍去），当时，∵，∴，恒成立，∴满足题意的a的值为；当时，∵，∴，解得（舍去）；综上所述，满足题意的a的值为；（4）解：当时，，当时，，当时，；∴综上所述，的最小值为3；【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，解一元一次方程，化简绝对值，熟知绝对值的相关知识是解题的关键．46．（23·24七年级上·全国·课堂例题）先看例题，再解答后面的问题．【例】解方程：．解法一：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为，解得，所以原方程的解为或．解法二：移项，得．合并同类项，得．由绝对值的意义知，所以原方程的解为或．问题：用两种方法解方程．【答案】或【分析】方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解；方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解．【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得；当时，原方程化为，解得，∴原方程的解为或．解法二：移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，由绝对值的意义知，∴原方程的解为或．【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键．47．（22·23七年级上·江西吉安·期末）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为．例如：数轴上表示5和1的两点之间的距离是|5﹣1|＝4．利用以上信息，解答下列问题：(1)数轴上表示和3的两点之间的距离是 ；表示数a和的两点之间的距离是 ；(2)若，则 ；(3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则 ．【答案】(1)7；(2)2或(3)6【分析】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；（2）根据绝对值的意义，进行化简，解一元一次方程即可得解；（3）根据a的点位于与之间，化简绝对值进行计算即可．【详解】（1）解：数轴上表示和3的两点之间的距离是；表示数a和的两点之间的距离是；故答案为：7，；（2）解：表示数轴上表示a和或2和的两点之间的距离，∵， ∴或，解得或．故答案为：2或；（3）由题意，得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次方程，以及整式的加减运算．理解并掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．48．（22·23七年级上·江苏扬州·期末）阅读理解：在形如这一类含有绝对值的方程时，为了去绝对值符号，我们发现两个绝对值符号里面是相同的“”，可以根据绝对值的意义先对“x”的取值分成和两种情况，再去绝对值符号：①当时，原方程可化为，得，不符合，舍去；②当时，原方程可化为，得，符合．综合可得原方程的为．(1)方法应用：解方程：(2)拓展应用：方程：；（提示；可以考虑先对“x”的取值进行分类，去了一个绝对值符号后；再对“x”的取值进行分类，去掉另一个绝对值符号）(3)迁移应用：求的最小值．【答案】(1)；(2)或；(3)的最小值为2031．【分析】（1）分两种情况讨论，和；（2）分三种情况讨论，，，；（3）分三种情况讨论，，，．【详解】（1）解：分两种情况：当时，原方程可化为：，解得：，符合；当时，原方程可化为：，解得：，不符合，舍去；∴原方程的解为：；（2）解：分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：，解得：，符合；当时，原方程可化为：，解得：，符合；当时，原方程可化为：，解得：，不符合，舍去；∴原方程的解为：或；（3）解：分三种情况讨论：当时，；当时，；当时，；∴的最小值为2031．【点睛】本题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值的性质，熟练准确的计算是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．49．（22·23七年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得或，所以或．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：；(2)解方程：．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可；（2）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：根据绝对值的意义得或，解得或；（2）解：由绝对值的意义得或，解得或．【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．50．（20·21七年级下·河南南阳·阶段练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是 （直接写出结果）．【答案】(1)x=2或x=(2)12或20(3)100【分析】（1）根据题干步骤解方程|3x﹣2|＝4即可；（2）将a+b看作一个整体，根据题干步骤解方程|a+b+4|＝16即可求解；（3）再（2）的条件下，根据有理数的乘法法则即可求解；【详解】（1）解：方程|3x﹣2|=4可化为：3x﹣2=4或3x﹣2=-4当3x﹣2＝4时，则有：3x=6，所以x=2当3x﹣2=-4时，则有：3x＝﹣2；所以x=故，方程|3x﹣2|=4的解为x=2或x=（2）方程|a+b+4|＝16可化为：a+b+4＝16或a+b+4=-16当a+b+4＝16时，则有：a+b＝12，所以|a+b|＝12当a+b+4=-16时，则有：a+b=-20；所以|a+b|＝20故，方程|a+b|的值为12或20（3）在（2）的条件下，若a，b都是整数，a+b＝12或a+b=-20；根据有理数乘法法则可知：当a=-10，b=-10时，取最大值，最大值为100；故答案为：100．【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义．
相关资料
更多
