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北师大版七年级数学上册 第一次月考押题卷（提高卷）（考试范围：第1-2章）（原卷版+解析）
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这是一份北师大版七年级数学上册 第一次月考押题卷（提高卷）（考试范围：第1-2章）（原卷版+解析），共29页。
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023秋·七年级单元测试）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列算式中，计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）2022年11月20日晚，卡塔尔世界杯正式开幕，仅两天时间，抖音“世界杯”总话题播放量高达21480000000次，其中数21480000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列叙述中正确的是（ ）
A．是负数；B．正数和负数互为相反数
C．绝对值最小的数是最小的自然数D．有理数可以分成正有理数和负有理数
5．（2023秋·山东枣庄·七年级滕州育才中学校考开学考试）已知，且，则的值是（ ）
A．10B．C．10或D．或
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的有（ ）
①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数）；
②圆锥的侧面展开图是一个圆；
③用平面去截一个正方体，截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形．
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）
A．80B．90C．100D．120
8．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
10．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
二、填空题（6小题，每小题2分，共16分）
11．（2023秋·七年级课时练习）如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有条棱，则与九棱锥的棱数相等的棱柱是 ．
12．（2023春·云南临沧·七年级统考期末）若a，b均为实数，且成立，则 ．
13．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，则
14．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则 ．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 面体．
16．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
三、解答题（9小题，共64分）
17．（2023秋·浙江·七年级专题练习）已知下列各有理数：
(1)在数轴上标出这些数表示的点：
(2)用“<”号把这些数连接起来：____________；
(3)请将以上各数填到相应的横线上：
正有理数：__________________；
负有理数：__________________．
18．（2023秋·江苏·七年级专题练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
19．（2023秋·七年级课时练习）有理数，在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上分别用，两点表示，；
(2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？
(3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？
20．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．
(1)从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加 块小正方体．
21．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）某食品厂从生产的袋装食品中抽样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
(1)这批样品的平均质量比标准质量多还是少？平均质量比标准质量多或少几克？
(2)若允许有g的误差，那么请你估计一下900袋产品中有多少袋合格产品？
(3)在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给贾老板810袋．在销售中不合格产品返厂重新加工（重加工费用忽略不计），食品厂将不合格产品的进价费用返还贾老板并承担每袋0．5元的返还运费．请你估计一下食品厂在这次销售中的利润是多少？
22．（2023秋·七年级课时练习）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和.
(1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系；
(2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数.
①求中心数的值；
②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.
23．（2023·全国·七年级专题练习）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．
【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．
【问题解决】
(1)若，，则长方体纸盒的底面积为___________；
【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
【拓展延伸】
(2)若，，该长方体纸盒的体积为___________；
(3)现有两张边长a均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？
24．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示．
(1)求AB的值；
(2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数．
(3)若动点P和Q分别从A、B两点出发，分别以2单位和4单位的速度运动，Q点向左运动，P点运动到何处时？
25．（2023·全国·七年级专题练习）【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有 ．则的中点所对应的数为___________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点 ．设运动时间为秒，为何值时所对应的数为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为．
填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为___________．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围．
第一次月考押题卷（提高卷）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023秋·七年级单元测试）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每一个几何体的特征，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故不符合题意；
B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意；
C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故符合题意；
D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．
2．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列算式中，计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依次计算出各选项即可判断．
【详解】A．，为正数，故A不符合题意；
B．，为正数，故B不符合题意；
C．，为负数，故C符合题意；
D．，为正数，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的计算，绝对值的意义，正确使用运算法则是解题的关键．
3．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）2022年11月20日晚，卡塔尔世界杯正式开幕，仅两天时间，抖音“世界杯”总话题播放量高达21480000000次，其中数21480000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：数21480000000用科学记数法表示为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
4．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列叙述中正确的是（ ）
A．是负数；B．正数和负数互为相反数
C．绝对值最小的数是最小的自然数D．有理数可以分成正有理数和负有理数
【答案】C
【分析】根据有理数的分类、绝对值、相反数的意义解答即可．
【详解】A．若，则不是负数，故不正确；
B．绝对值相等，符号不同的两数互为相反数，故不正确；
C． 绝对值最小的数0，最小的自然数是0，故正确；
D．有理数可以分为正有理数、零和负有理数，故不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类、绝对值、相反数的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
5．（2023秋·山东枣庄·七年级滕州育才中学校考开学考试）已知，且，则的值是（ ）
A．10B．C．10或D．或
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再根据有理数的加法判断出a、b的对应情况，然后计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当时，，
当时，，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的有（ ）
①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数）；
②圆锥的侧面展开图是一个圆；
③用平面去截一个正方体，截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据立体图形的特征，截几何体的方法进行判定是几边形．
【详解】解：①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数），故说法错误；
②圆锥的侧面展开图是一个扇形，故说法错误；
③用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了立体图形的性质，几何体的特征，截面图形的边数，解题的关键是熟练掌握几何体的定义．
7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）
A．80B．90C．100D．120
【答案】B
【分析】分别列出两个正整数的和为5，6，7，8的所以可能的情况，然后求解即可．
【详解】解：和为5的两个正整数可为：1，4或2，3；
和为6的两个正整数可为：1，5或2，4或3，3；
和为7的两个正整数可为：1，6或2，5或3，4；
和为8的两个正整数可为：1，7或2，6或3，5或4，4；
∵每次所得的和最小是5，
∴最小的两个数字为2或3；
∵每次所得的和最大是8，
∴最大的两个数字为4或5；
当最大数字为4时，四个整数分别为2，3，4，4；
当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5；
∴，，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的应用．解题的关键在于分类讨论进行求解．
8．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题通过题干给出的方法，可以设，然后用，得到M的解．
【详解】解：设 ，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，和基于题干给出的方法来进行类似的运算．
9．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这
个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．
【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，
所以这一行最后一个圆圈数字应填，
则所在的横着的一行最后一个圈为，
这一行第二个圆圈数字应填，
目前数字就剩下，
这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的，
这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的，
这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填，
所以这一行第三个圆圈数字应为，
则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为
故选：
【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键．
10．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
【答案】D
【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【详解】，
或，
或，
当时，等价于，即，
或，
或；
当时，等价于，即，
或，
或，
故或或或，
所有满足条件的数的和为：．
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏．
二、填空题（6小题，每小题2分，共16分）
11．（2023秋·七年级课时练习）如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有条棱，则与九棱锥的棱数相等的棱柱是 ．
【答案】六棱柱
【分析】根据棱锥的特点可得九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共条棱，然后根据棱柱有条棱可得答案．
【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共条棱，六棱柱的棱数有条棱，
∴九棱锥的棱数相等的棱柱是六棱柱．
故答案为：六棱柱．
【点睛】本题考查了认识立体图形，关键是掌握棱柱和棱锥的形状．
12．（2023春·云南临沧·七年级统考期末）若a，b均为实数，且成立，则 ．
【答案】
【分析】由绝对值、平方数的非负性，可求得，进一步求得代数值．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查绝对值的非负性、平方数的非负数；由非负性求得参数值是解题的关键．
13．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，则
【答案】1或－3/－3或1
【分析】分两种情况讨论①，②，即可求出答案.
【详解】解：①，时，
.
②，时，
.
故答案为：1或－3##－3或1
【点睛】本题考查绝对值的性质，熟记绝对值的性质，然后分类讨论是解决本题的关键．
14．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则 ．
【答案】
【分析】根据题目中的新定义列出计算式解答即可．
【详解】根据题意得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查有理数大小比较以及有理数的加减混合运算，关键是根据题意列式解答．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 面体．
【答案】 12． 12．
【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.②设顶点数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题.
【详解】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条．
由题意F＝20，
∴n+10﹣＝2，
解得n＝12．
②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面
由每个面都是五边形，则就有E＝，V＝
由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：
F+﹣＝2
化简整理：F＝12
所以：E＝30，V＝20
即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，
故答案为12，12.
【点睛】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键.
16．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
三、解答题（9小题，共64分）
17．（2023秋·浙江·七年级专题练习）已知下列各有理数：
(1)在数轴上标出这些数表示的点：
(2)用“<”号把这些数连接起来：____________；
(3)请将以上各数填到相应的横线上：
正有理数：__________________；
负有理数：__________________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)；，，
【分析】（1）画出数轴，表示出各数即可；
（2）按照从小到大的顺序用“<”号连接起来即可；
（3）按照有理数的分类即可解答．
【详解】（1）数轴上表示各点如下：
（2）用“<”号把这些数连接起来：，
故答案为：；
（3）正有理数有：；负有理数有：，，；
故答案为：；，，．
【点睛】此题考查了借助数轴比较有理数大小、有理数的分类等知识，把有理数表示在数轴上是解题的关键．
18．（2023秋·江苏·七年级专题练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再计算加减法即可；
（3）根据有理数的乘除混合计算法则求解即可；
（4）根据有理数的乘法分配律进行求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的乘除混合计算，有理数乘法分配律，有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
19．（2023秋·七年级课时练习）有理数，在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上分别用，两点表示，；
(2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？
(3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？
【答案】(1)见解析
(2)表示的数是，表示的数是10
(3)表示的数是5，表示的数是
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此求出表示的点到原点的距离为，结合数轴即可作答；
（3）结合（1）的图形，可得，先求出表示的点到原点的距离为，问题随之得解．
【详解】（1）如图，
（2）数与其相反数相距20个单位长度，
则表示的点到原点的距离为，
∴结合数轴，表示的数是，
即表示的数是；
（3）如图，
即有，
∵表示的点到原点的距离为10，而数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，
∴表示的点到原点的距离为，
∴表示的数是5，表示的数是．
【点睛】本题考查的是相反数的定义等知识，熟知以上知识是解答此题的关键．
20．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．
(1)从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加 块小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）从正面看所得到的图形，从左往右有4列，分别有1，3，1，1个小正方形；从左面看所得到的图形，从左往右有2列，分别有1，3个小正方形；从上面看所得到的图形，从左往右有4列，分别有2，1，1，1个小正方形．
（2）保持持从上面看和从左面看不变，可以在第1列后面一排添加2个，第3列添加2个，第4列添加2个，最多添加6个小正方体．
【详解】（1）如图所示：
（2）保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了从不同方向观察几何体，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
21．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）某食品厂从生产的袋装食品中抽样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
(1)这批样品的平均质量比标准质量多还是少？平均质量比标准质量多或少几克？
(2)若允许有g的误差，那么请你估计一下900袋产品中有多少袋合格产品？
(3)在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给贾老板810袋．在销售中不合格产品返厂重新加工（重加工费用忽略不计），食品厂将不合格产品的进价费用返还贾老板并承担每袋0．5元的返还运费．请你估计一下食品厂在这次销售中的利润是多少？
【答案】(1)这批样品的平均质量比标准质量多，平均质量比标准质量多0．9g
(2)900袋中有810袋合格
(3)食品厂的利润是10305元
【分析】（1）利用差值乘以袋数，积相加，得出最终结果，进行判断即可；
（2）用900袋产品乘以样本中合格的比例，进行求解即可；
（3）利用利润等于总售价减去总成本，进行求解即可．
【详解】（1）解：
．
答：这批样品的平均质量比标准质量多，平均质量比标准质量多0.9g；
（2）（袋）
答：900袋中有810袋合格；
（3）（元）
答：食品厂的利润是10305元．
【点睛】本题考查有理数的运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出算式．
22．（2023秋·七年级课时练习）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和.
(1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系；
(2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数.
①求中心数的值；
②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.
【答案】(1)，图1中所有数和为其“幻和”的3倍
(2)①2；②见解析
【分析】（1）根据“幻和”的定义可一次求出，，；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系；
（2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可；
②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数．
【详解】（1）斜对角线上的三个数字之和为，
该方格的“幻和”为9，
，，，
故答案为：1，，5；
每行数字之和为9，共3行，
图1中所有数字之和为，
图1中所有数的和为其“幻和”的3倍；
（2）①，
中间数的值为2；
②由①可知，平均每个方格的值为2，
则3个方格之和为6，
幻和为6，
填方格如图：
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
23．（2023·全国·七年级专题练习）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．
【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．
【问题解决】
(1)若，，则长方体纸盒的底面积为___________；
【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
【拓展延伸】
(2)若，，该长方体纸盒的体积为___________；
(3)现有两张边长a均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？
【答案】(1)
(2)
(3)2倍
【分析】（1）由折叠可得底面是边长为的正方形，进而求出底面积即可；
（2）由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为，根据体积公式进行计算即可；
（3）当时，分别求出按图1，图2的折叠方式所得到的长方体的体积即可．
【详解】（1）如图1，若，
则长方体纸盒的底面是边长为的正方形，
因此面积为，
故答案为：；
（2）如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，
再沿虚线折合起来可得到长为，宽为，
高为的长方体，当，
该长方体纸盒长为，
宽为，高为，
所以体积为，
故答案为：；
（3）当时，
，
按图2作的长方体的纸盒的体积为：
，
（倍），
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．
24．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示．
(1)求AB的值；
(2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数．
(3)若动点P和Q分别从A、B两点出发，分别以2单位和4单位的速度运动，Q点向左运动，P点运动到何处时？
【答案】(1)50
(2)10或130
(3)或或或
【分析】（1）根据非负数的性质得，，求得a、b值，再代入计算即可；
（2）分两种况：①当点C在点A、B之间，即点C在线段上时，②当点C在点B右边，即点C在延长线上时，根据分别求解即可；
（3）分两种况：①当点P向左运动时，I）当点P与点Q相遇前时，II）当点P与点Q相遇后时，②当点P向右运动时，I）当点Q追上点P前时，II）当点Q追上点P以后时，根据，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，，
解得：，，
∴；
（2）解：设C点表示的数为c，
分两种况：①当点C在点A、B之间，即点C在线段上时，如图，
由图可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴，
∴C点表示的数为10；
②当点C在点B右边，即点C在延长线上时，如图，
由图可知：，
∵，
∴，
∴
∴
由（1）知：，，
∴
∴C点表示的数为130；
综上，C点表示的数为10或130；
（3）解：设t秒后，，
分两种况：①当点P向左运动时，则点P点表示的数为，点Q点表示的数为，
I）当点P与点Q相遇前时，如图，
∵
∴
解得：，
∴，
∴点P点表示的数为；
II）当点P与点Q相遇后时，如图，
∵
∴
解得：，
∴
∴点P点表示的数为
②当点P向右运动时，则点P点表示的数为，点Q点表示的数为，
I）当点Q追上点P前时，如图，
∵
∴
解得：
∴，
∴点P点表示的数为；
II）当点Q追上点P以后时，如图，
∵
∴
解得：
∴，
∴点P点表示的数为；
综上，P点运动到表示的数为或或或时．
【点睛】本题考查用非负数和性质，数轴上的点表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上动点问题．解答时注意分类讨论，以免漏解．
25．（2023·全国·七年级专题练习）【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有 ．则的中点所对应的数为___________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点 ．设运动时间为秒，为何值时所对应的数为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为．
填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为___________．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围．
【答案】(1)
(2)为17时所对应的数为10
(3)；存在使得为定值，的范围为
【分析】（1）根据，，即可求得的值，从而可以求出的中点所对应的数；
（2）先分别表示出点对应的数为，点对应的数为，再由为的中点得，即可得到答案；
（3）根据为靠近的三等分点和四等分点的规律即可得出为靠近的五等分点时所对应的数；由（2）得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数是5，点对应的数是，从而可得出点对应的数为：，点对应的数为：，再将表示出来计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
的中点所对应的数为：，
故答案为：；
（2）解：根据题意画出数轴如图所示：
点对应的数为，点对应的数为，
为的中点，
，
解得：，
为17时所对应的数为10；
（3）解：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为，
若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为，
故答案为：；
由（2）得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数是5，点对应的数是，
是最靠近的五等分点，为中点，
点对应的数为：，点对应的数为：，
，
即，
表示到的距离，表示到10的距离，
当时，为定值，的值为：，
故存在使得为定值，的范围为．
【点睛】本题考查了数轴的动点问题，数轴的等分点，数轴上两点间的距离等知识，读懂题意，表示出点表示的数是解题的关键．
与标准质量的差值（单位：g）
0
1
3
6
袋数
1
4
4
4
5
2
与标准质量的差值（单位：g）
0
1
3
6
袋数
1
4
4
4
5
2
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023秋·七年级单元测试）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列算式中，计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）2022年11月20日晚，卡塔尔世界杯正式开幕，仅两天时间，抖音“世界杯”总话题播放量高达21480000000次，其中数21480000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列叙述中正确的是（ ）
A．是负数；B．正数和负数互为相反数
C．绝对值最小的数是最小的自然数D．有理数可以分成正有理数和负有理数
5．（2023秋·山东枣庄·七年级滕州育才中学校考开学考试）已知，且，则的值是（ ）
A．10B．C．10或D．或
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的有（ ）
①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数）；
②圆锥的侧面展开图是一个圆；
③用平面去截一个正方体，截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形．
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）
A．80B．90C．100D．120
8．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
10．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
二、填空题（6小题，每小题2分，共16分）
11．（2023秋·七年级课时练习）如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有条棱，则与九棱锥的棱数相等的棱柱是 ．
12．（2023春·云南临沧·七年级统考期末）若a，b均为实数，且成立，则 ．
13．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，则
14．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则 ．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 面体．
16．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
三、解答题（9小题，共64分）
17．（2023秋·浙江·七年级专题练习）已知下列各有理数：
(1)在数轴上标出这些数表示的点：
(2)用“<”号把这些数连接起来：____________；
(3)请将以上各数填到相应的横线上：
正有理数：__________________；
负有理数：__________________．
18．（2023秋·江苏·七年级专题练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
19．（2023秋·七年级课时练习）有理数，在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上分别用，两点表示，；
(2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？
(3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？
20．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．
(1)从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加 块小正方体．
21．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）某食品厂从生产的袋装食品中抽样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
(1)这批样品的平均质量比标准质量多还是少？平均质量比标准质量多或少几克？
(2)若允许有g的误差，那么请你估计一下900袋产品中有多少袋合格产品？
(3)在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给贾老板810袋．在销售中不合格产品返厂重新加工（重加工费用忽略不计），食品厂将不合格产品的进价费用返还贾老板并承担每袋0．5元的返还运费．请你估计一下食品厂在这次销售中的利润是多少？
22．（2023秋·七年级课时练习）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和.
(1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系；
(2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数.
①求中心数的值；
②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.
23．（2023·全国·七年级专题练习）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．
【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．
【问题解决】
(1)若，，则长方体纸盒的底面积为___________；
【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
【拓展延伸】
(2)若，，该长方体纸盒的体积为___________；
(3)现有两张边长a均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？
24．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示．
(1)求AB的值；
(2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数．
(3)若动点P和Q分别从A、B两点出发，分别以2单位和4单位的速度运动，Q点向左运动，P点运动到何处时？
25．（2023·全国·七年级专题练习）【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有 ．则的中点所对应的数为___________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点 ．设运动时间为秒，为何值时所对应的数为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为．
填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为___________．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围．
第一次月考押题卷（提高卷）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023秋·七年级单元测试）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每一个几何体的特征，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故不符合题意；
B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意；
C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故符合题意；
D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．
2．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列算式中，计算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依次计算出各选项即可判断．
【详解】A．，为正数，故A不符合题意；
B．，为正数，故B不符合题意；
C．，为负数，故C符合题意；
D．，为正数，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的计算，绝对值的意义，正确使用运算法则是解题的关键．
3．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）2022年11月20日晚，卡塔尔世界杯正式开幕，仅两天时间，抖音“世界杯”总话题播放量高达21480000000次，其中数21480000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：数21480000000用科学记数法表示为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
4．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列叙述中正确的是（ ）
A．是负数；B．正数和负数互为相反数
C．绝对值最小的数是最小的自然数D．有理数可以分成正有理数和负有理数
【答案】C
【分析】根据有理数的分类、绝对值、相反数的意义解答即可．
【详解】A．若，则不是负数，故不正确；
B．绝对值相等，符号不同的两数互为相反数，故不正确；
C． 绝对值最小的数0，最小的自然数是0，故正确；
D．有理数可以分为正有理数、零和负有理数，故不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类、绝对值、相反数的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
5．（2023秋·山东枣庄·七年级滕州育才中学校考开学考试）已知，且，则的值是（ ）
A．10B．C．10或D．或
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再根据有理数的加法判断出a、b的对应情况，然后计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当时，，
当时，，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的有（ ）
①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数）；
②圆锥的侧面展开图是一个圆；
③用平面去截一个正方体，截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据立体图形的特征，截几何体的方法进行判定是几边形．
【详解】解：①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数），故说法错误；
②圆锥的侧面展开图是一个扇形，故说法错误；
③用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了立体图形的性质，几何体的特征，截面图形的边数，解题的关键是熟练掌握几何体的定义．
7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）
A．80B．90C．100D．120
【答案】B
【分析】分别列出两个正整数的和为5，6，7，8的所以可能的情况，然后求解即可．
【详解】解：和为5的两个正整数可为：1，4或2，3；
和为6的两个正整数可为：1，5或2，4或3，3；
和为7的两个正整数可为：1，6或2，5或3，4；
和为8的两个正整数可为：1，7或2，6或3，5或4，4；
∵每次所得的和最小是5，
∴最小的两个数字为2或3；
∵每次所得的和最大是8，
∴最大的两个数字为4或5；
当最大数字为4时，四个整数分别为2，3，4，4；
当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5；
∴，，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的应用．解题的关键在于分类讨论进行求解．
8．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题通过题干给出的方法，可以设，然后用，得到M的解．
【详解】解：设 ，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，和基于题干给出的方法来进行类似的运算．
9．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这
个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．
【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，
所以这一行最后一个圆圈数字应填，
则所在的横着的一行最后一个圈为，
这一行第二个圆圈数字应填，
目前数字就剩下，
这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的，
这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的，
这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填，
所以这一行第三个圆圈数字应为，
则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为
故选：
【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键．
10．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
【答案】D
【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【详解】，
或，
或，
当时，等价于，即，
或，
或；
当时，等价于，即，
或，
或，
故或或或，
所有满足条件的数的和为：．
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏．
二、填空题（6小题，每小题2分，共16分）
11．（2023秋·七年级课时练习）如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有条棱，则与九棱锥的棱数相等的棱柱是 ．
【答案】六棱柱
【分析】根据棱锥的特点可得九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共条棱，然后根据棱柱有条棱可得答案．
【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共条棱，六棱柱的棱数有条棱，
∴九棱锥的棱数相等的棱柱是六棱柱．
故答案为：六棱柱．
【点睛】本题考查了认识立体图形，关键是掌握棱柱和棱锥的形状．
12．（2023春·云南临沧·七年级统考期末）若a，b均为实数，且成立，则 ．
【答案】
【分析】由绝对值、平方数的非负性，可求得，进一步求得代数值．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查绝对值的非负性、平方数的非负数；由非负性求得参数值是解题的关键．
13．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，则
【答案】1或－3/－3或1
【分析】分两种情况讨论①，②，即可求出答案.
【详解】解：①，时，
.
②，时，
.
故答案为：1或－3##－3或1
【点睛】本题考查绝对值的性质，熟记绝对值的性质，然后分类讨论是解决本题的关键．
14．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则 ．
【答案】
【分析】根据题目中的新定义列出计算式解答即可．
【详解】根据题意得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查有理数大小比较以及有理数的加减混合运算，关键是根据题意列式解答．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 面体．
【答案】 12． 12．
【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.②设顶点数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题.
【详解】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条．
由题意F＝20，
∴n+10﹣＝2，
解得n＝12．
②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面
由每个面都是五边形，则就有E＝，V＝
由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：
F+﹣＝2
化简整理：F＝12
所以：E＝30，V＝20
即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，
故答案为12，12.
【点睛】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键.
16．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
三、解答题（9小题，共64分）
17．（2023秋·浙江·七年级专题练习）已知下列各有理数：
(1)在数轴上标出这些数表示的点：
(2)用“<”号把这些数连接起来：____________；
(3)请将以上各数填到相应的横线上：
正有理数：__________________；
负有理数：__________________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)；，，
【分析】（1）画出数轴，表示出各数即可；
（2）按照从小到大的顺序用“<”号连接起来即可；
（3）按照有理数的分类即可解答．
【详解】（1）数轴上表示各点如下：
（2）用“<”号把这些数连接起来：，
故答案为：；
（3）正有理数有：；负有理数有：，，；
故答案为：；，，．
【点睛】此题考查了借助数轴比较有理数大小、有理数的分类等知识，把有理数表示在数轴上是解题的关键．
18．（2023秋·江苏·七年级专题练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再计算加减法即可；
（3）根据有理数的乘除混合计算法则求解即可；
（4）根据有理数的乘法分配律进行求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的乘除混合计算，有理数乘法分配律，有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
19．（2023秋·七年级课时练习）有理数，在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上分别用，两点表示，；
(2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？
(3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？
【答案】(1)见解析
(2)表示的数是，表示的数是10
(3)表示的数是5，表示的数是
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此求出表示的点到原点的距离为，结合数轴即可作答；
（3）结合（1）的图形，可得，先求出表示的点到原点的距离为，问题随之得解．
【详解】（1）如图，
（2）数与其相反数相距20个单位长度，
则表示的点到原点的距离为，
∴结合数轴，表示的数是，
即表示的数是；
（3）如图，
即有，
∵表示的点到原点的距离为10，而数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，
∴表示的点到原点的距离为，
∴表示的数是5，表示的数是．
【点睛】本题考查的是相反数的定义等知识，熟知以上知识是解答此题的关键．
20．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．
(1)从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加 块小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）从正面看所得到的图形，从左往右有4列，分别有1，3，1，1个小正方形；从左面看所得到的图形，从左往右有2列，分别有1，3个小正方形；从上面看所得到的图形，从左往右有4列，分别有2，1，1，1个小正方形．
（2）保持持从上面看和从左面看不变，可以在第1列后面一排添加2个，第3列添加2个，第4列添加2个，最多添加6个小正方体．
【详解】（1）如图所示：
（2）保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了从不同方向观察几何体，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
21．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）某食品厂从生产的袋装食品中抽样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
(1)这批样品的平均质量比标准质量多还是少？平均质量比标准质量多或少几克？
(2)若允许有g的误差，那么请你估计一下900袋产品中有多少袋合格产品？
(3)在（2）的条件下，若每袋食品成本价是20元，食品厂以每袋35元的价格批发给贾老板810袋．在销售中不合格产品返厂重新加工（重加工费用忽略不计），食品厂将不合格产品的进价费用返还贾老板并承担每袋0．5元的返还运费．请你估计一下食品厂在这次销售中的利润是多少？
【答案】(1)这批样品的平均质量比标准质量多，平均质量比标准质量多0．9g
(2)900袋中有810袋合格
(3)食品厂的利润是10305元
【分析】（1）利用差值乘以袋数，积相加，得出最终结果，进行判断即可；
（2）用900袋产品乘以样本中合格的比例，进行求解即可；
（3）利用利润等于总售价减去总成本，进行求解即可．
【详解】（1）解：
．
答：这批样品的平均质量比标准质量多，平均质量比标准质量多0.9g；
（2）（袋）
答：900袋中有810袋合格；
（3）（元）
答：食品厂的利润是10305元．
【点睛】本题考查有理数的运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出算式．
22．（2023秋·七年级课时练习）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和.
(1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系；
(2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数.
①求中心数的值；
②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.
【答案】(1)，图1中所有数和为其“幻和”的3倍
(2)①2；②见解析
【分析】（1）根据“幻和”的定义可一次求出，，；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系；
（2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可；
②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数．
【详解】（1）斜对角线上的三个数字之和为，
该方格的“幻和”为9，
，，，
故答案为：1，，5；
每行数字之和为9，共3行，
图1中所有数字之和为，
图1中所有数的和为其“幻和”的3倍；
（2）①，
中间数的值为2；
②由①可知，平均每个方格的值为2，
则3个方格之和为6，
幻和为6，
填方格如图：
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
23．（2023·全国·七年级专题练习）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．
【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．
【问题解决】
(1)若，，则长方体纸盒的底面积为___________；
【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
【拓展延伸】
(2)若，，该长方体纸盒的体积为___________；
(3)现有两张边长a均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？
【答案】(1)
(2)
(3)2倍
【分析】（1）由折叠可得底面是边长为的正方形，进而求出底面积即可；
（2）由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为，根据体积公式进行计算即可；
（3）当时，分别求出按图1，图2的折叠方式所得到的长方体的体积即可．
【详解】（1）如图1，若，
则长方体纸盒的底面是边长为的正方形，
因此面积为，
故答案为：；
（2）如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，
再沿虚线折合起来可得到长为，宽为，
高为的长方体，当，
该长方体纸盒长为，
宽为，高为，
所以体积为，
故答案为：；
（3）当时，
，
按图2作的长方体的纸盒的体积为：
，
（倍），
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．
24．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示．
(1)求AB的值；
(2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数．
(3)若动点P和Q分别从A、B两点出发，分别以2单位和4单位的速度运动，Q点向左运动，P点运动到何处时？
【答案】(1)50
(2)10或130
(3)或或或
【分析】（1）根据非负数的性质得，，求得a、b值，再代入计算即可；
（2）分两种况：①当点C在点A、B之间，即点C在线段上时，②当点C在点B右边，即点C在延长线上时，根据分别求解即可；
（3）分两种况：①当点P向左运动时，I）当点P与点Q相遇前时，II）当点P与点Q相遇后时，②当点P向右运动时，I）当点Q追上点P前时，II）当点Q追上点P以后时，根据，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，，
解得：，，
∴；
（2）解：设C点表示的数为c，
分两种况：①当点C在点A、B之间，即点C在线段上时，如图，
由图可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴，
∴C点表示的数为10；
②当点C在点B右边，即点C在延长线上时，如图，
由图可知：，
∵，
∴，
∴
∴
由（1）知：，，
∴
∴C点表示的数为130；
综上，C点表示的数为10或130；
（3）解：设t秒后，，
分两种况：①当点P向左运动时，则点P点表示的数为，点Q点表示的数为，
I）当点P与点Q相遇前时，如图，
∵
∴
解得：，
∴，
∴点P点表示的数为；
II）当点P与点Q相遇后时，如图，
∵
∴
解得：，
∴
∴点P点表示的数为
②当点P向右运动时，则点P点表示的数为，点Q点表示的数为，
I）当点Q追上点P前时，如图，
∵
∴
解得：
∴，
∴点P点表示的数为；
II）当点Q追上点P以后时，如图，
∵
∴
解得：
∴，
∴点P点表示的数为；
综上，P点运动到表示的数为或或或时．
【点睛】本题考查用非负数和性质，数轴上的点表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上动点问题．解答时注意分类讨论，以免漏解．
25．（2023·全国·七年级专题练习）【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有 ．则的中点所对应的数为___________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点 ．设运动时间为秒，为何值时所对应的数为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为．
填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为___________．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围．
【答案】(1)
(2)为17时所对应的数为10
(3)；存在使得为定值，的范围为
【分析】（1）根据，，即可求得的值，从而可以求出的中点所对应的数；
（2）先分别表示出点对应的数为，点对应的数为，再由为的中点得，即可得到答案；
（3）根据为靠近的三等分点和四等分点的规律即可得出为靠近的五等分点时所对应的数；由（2）得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数是5，点对应的数是，从而可得出点对应的数为：，点对应的数为：，再将表示出来计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
的中点所对应的数为：，
故答案为：；
（2）解：根据题意画出数轴如图所示：
点对应的数为，点对应的数为，
为的中点，
，
解得：，
为17时所对应的数为10；
（3）解：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为，
若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为，
故答案为：；
由（2）得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数是5，点对应的数是，
是最靠近的五等分点，为中点，
点对应的数为：，点对应的数为：，
，
即，
表示到的距离，表示到10的距离，
当时，为定值，的值为：，
故存在使得为定值，的范围为．
【点睛】本题考查了数轴的动点问题，数轴的等分点，数轴上两点间的距离等知识，读懂题意，表示出点表示的数是解题的关键．
与标准质量的差值（单位：g）
0
1
3
6
袋数
1
4
4
4
5
2
与标准质量的差值（单位：g）
0
1
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袋数
1
4
4
4
5
2
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