2023-2024学年广东省茂名市高州市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市高州市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列实数中，无理数是( )
A. 13B. 2C. 0D. 9
2.下列各点在第一象限的是( )
A. (3,−2)B. (−3,−2)C. (3,2)D. (−1,2)
3.下列各式正确的是( )
A. 9=±3B. (−3)2=−3C. 34=2D. ± 25=±5
4.x=5y=3是下面哪个二元一次方程的解( )
A. 2x−y=7B. y=−x+2C. x=−y−2D. 2x−3y=−1
5.下列画出的直线a与b不一定平行的是( )
A. B.
C. D.
6.小明同学随机调查七(2)班6名同学每天食堂午饭消费金额，制作如下统计表：
则这组消费金额( )
A. 平均数为5B. 中位数为5C. 众数为6D. 方差为6
7.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. 0.3B. 10C. 20D. 24
8.如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=32°，则∠BMC=( )
A. 74°B. 106°C. 122°D. 148°
9.直线y=−kx+k与直线y=kx在同一坐标系中的大致图象可能是图中( )
A. B. C. D.
10.如图是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的周长为( )
A. 42
B. 48
C. 44
D. 50
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. 2+ 12= ______．
12.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=122°13′，则∠2的度数为______．
13.如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P(1,2)，则关于x的方程kx+b=2x的解是______．
14.一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量V(m3)与注水时间t(h)之间的关系式(指出自变量t的取值范围) ______．
15.“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.“今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的，在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F.若∠F=15°，GF=4，则长方形ABCD的面积为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程组3x+2y=74x−y=13．
四、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：327+(−3)0− 8+|−2 2|.
18.(本小题8分)
为了弘扬爱国主义精神，实验中学在五四青年节，组织了唱红歌活动，八(3)班选定了三人合唱小组，排练时歌手A，B，C的站位如图所示：
(1)如果A点的坐标为(0,0)，B点的坐标为(2,4)，则C点的坐标为______；
(2)在(1)的坐标系下，连结AB，AC，BC，求出△ABC的面积；
(3)在(1)的坐标系下，歌手B保持不动，将歌手A向上平移1个单位后再向右平移1个单位到A′，将歌手C向上平移2个单位到C′，请判断由A′，B，C′三点构成的三角形是否为直角三角形？为什么？
19.(本小题6分)
已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE/​/CD．
20.(本小题9分)
如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”，研究表明，一般情况下人的身高h(cm)是指距d(cm)的一次函数，
【测量数据】测量数据如表：
【关系探究】
(1)根据表中数据，求h与d之间的函数关系式；
【结论应用】
(2)我国篮球运动员周琦的身高约为217cm，估算他的指距是多少？(结果精确到0.1cm)
21.(本小题9分)
某校八(5)班小唐同学为了解2022年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)在频数分布表中，求出a= ______，b= ______，并补全频数分布直方图；
(2)求该小区用水量不超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
(3)若该小区有500户家庭，根据小明的调查数据请估计该小区月均用水量超过25t的家庭大约有多少户？
22.(本小题9分)
综合与实践活动中，为了测量学校旗杆的高度，小明设计了一个方案：如图，将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端距离为2m，然后将绳子末端拉直到距离旗杆8m处，测得此时绳子末端距离地面高度为2m，求旗杆的高度.(滑轮上方的部分忽略不计)
23.(本小题10分)
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，销售1辆A型汽车可获利6000元，销售1辆B型汽车可获利4000元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？
24.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(−8,0)，与y轴交于点B(0,6)，点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)若点O′恰好落在直线AB上，求△ABP的面积；
(3)如图2，若O′B恰好与x轴平行，且边O′P与线段AB有交点，设交点为C，在y轴上是否存在点Q，使得△BCQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、13是分数，所以是有理数，故本选项错误；
B、 2是开方开不尽的数，是无理数，故本选项正确；
C、0是整数，是有理数，故本选项错误；
D、9是整数，是有理数，故本选项错误．
故选B．
根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】C
【解析】解：A.(3,−2)在第四象限，故本选项不符合题意；
B.(−3,−2)在第三象限，故本选项不符合题意；
C.(3,2)在第一象限，故本选项符合题意；
D.(−1,2)在第二象限，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据各象限内点的坐标特征解答对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
3.【答案】D
【解析】解：A、 9=3，故原式错误，不符合题意；
B、 (−3)2=3，故原式错误，不符合题意；
C、34≠2，故原式错误，不符合题意；
D、± 25=±5，该选项正确．
故选：D．
根据平方根的意义，立方根的意义即可求出答案．
本题考查平方根的意义，立方根的意义，解题的关键是正确理解平方根的意义，立方根的意义，本题属于基础题型．
4.【答案】A
【解析】解：把x=5代入A，得2×5−3=7，所以x=5y=3是二元一次方程A的解；
把x=5代入B，得y=−5+2=−3≠3，所以x=5y=3不是二元一次方程B的解；
把x=5代入C，得x=−3−2=−5≠5，所以x=5y=3不是二元一次方程C的解；
把x=5代入D，得2×5−3×3=1≠−1，所以x=5y=3不是二元一次方程D的解．
故选：A．
把解代入各个选项中，满足方程成立的符合条件．
本题考查了方程解的定义，掌握二元一次方程解的定义是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A.直线a与b不一定平行，故本选项符合题意；
B.根据同旁内角互补，两直线平行可得a/​/b，故本选项不符合题意；
C.根据平行线的定义可得a/​/b，故本选项不符合题意；
D.根据同位角相等，两直线平行可得a/​/b，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据平行线的判定定理即可解答．
本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6.【答案】C
【解析】解：A、平均数为5+6+5+6+6+86=6，故本选项不符合题意；
B、把这些数从小到大排列，最中间的数是第3、4个数的平均数，则中位数是6+62=6，故本选项不符合题意；
C、6出现3次，出现的次数最多，所以众数是6，故本选项符合题意；
D、方差为16×[2×(5−6)2+3×(6−6)2+(8−6)2]=1，故本选项不符合题意；
故选：C．
分别根据平均数、中位数、众数和方差的定义判断即可．
本题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的定义和求法是关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A． 0.3= 3010，不是最简二次根式，故A选项错误；
B. 10是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；
C. 20=2 5，不是最简二次根式，故C选项错误；
D. 24=2 6，不是最简二次根式，故D选项错误．
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠1=32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1=180°，
∴∠AMA1+∠DMD1=180°−32°=148°．
∴∠BMA1+∠CMD1=74°．
∴∠BMC=∠BMA1+∠CMD1+∠1=74°+32°=106°．
故选：B．
利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度数．
本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，角的计算．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
9.【答案】B
【解析】解：A、正比例函数图象经过第一、三象限，则k>0.则一次函数y=−kx+k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
B、正比例函数图象经过第二、四象限，则k<0.则一次函数y=−kx+k的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项正确；
C、正比例函数图象经过第二、四象限，则k<0.则一次函数y=−kx+k的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误；
D、正比例函数图象经过第一、三象限，则k>0.则一次函数y=−kx+k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
故选：B．
根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
10.【答案】B
【解析】解：如图，
设第二个小正方形C的边长是x，则正方形D，E，F，B的边长分别为：x，x+1，x+2，x+3，
则根据题意得：x+x+x+1=x+2+x+3，
解得：x=4，
∴x+2+x+3=13，x+3+x=11，
∴这个矩形色块图的周长为：2(13+11)=48，
故选：B．
设正方形C的边长是x，则其余正方形D、E、F、B的边长为：x，x+1，x+2，x+3，根据长方形的对边相等得到方程x+x+x+1=x+2+x+3，求出x的值，再根据周长公式即可求出答案．
本题考查的是一元一次方程的应用，熟练的利用长方形的性质列方程是解本题的关键．
11.【答案】3 22
【解析】解：原式= 2+ 22
=3 22；
故答案为：3 22．
先对 12进行分母有理化，再进行计算即可得到答案．
本题主要考查二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简．
12.【答案】57°47′
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠1+∠3=180°，
∵∠1=122°13′，
∴∠3=57°47′，
∵AC/​/BD，
∴∠2=∠3=57°47′．
故答案为：57°47′．
由平行线的性质推出∠1+∠3=180°，∠2=∠3，求出∠3=57°47′，即可得到∠2的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠3=180°，∠2=∠3．
13.【答案】x=1
【解析】解：∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P(1,2)，
∴方程kx+b=2x的解，即为直线y=2x与y=kx+b的交点的横坐标的值，
∴方程kx+b=2x的解为x=1，
故答案为：x=1．
根据方程kx+b=2x的解，即为直线y=2x与y=kx+b的交点的横坐标的值解答即可．
本题考查了一元一次方程与一次函数的关系，利用数形结合的思想解题是解答本题的关键．
14.【答案】v=10+5t(0≤t≤16)
【解析】解：由题意，得
v=10+5t，
∵水池的容积是90m3，
∴10+5t≤90，
∴t≤16，
又∵t≥0，
∴0≤t≤16，
∴v=10+5t(0≤t≤16)．
故答案为v=10+5t(0≤t≤16)．
根据总容量=蓄水量+单位时间内的注水量×注入时间就可以表示出v与x之间的关系式，再根据水池的容积是90m3求出自变量t的取值范围．
本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，利用了现蓄水量加上注水量等于池内水量得出函数关系式是解题关键．
15.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，∠D=∠DCB=90°，
∴∠ECB=∠F=15°，
∵∠GAF=∠F=15°，
∴∠AGC=30°，AG=FG=4，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠ACG=30°，AC=AG=4，
∴∠ACD=90°−30°−15°=45°，
∵∠D=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD=4 2=2 2，
∴矩形ABCD的面积=CD⋅AD=2 2×2 2=8．
故答案为：8．
根据等腰三角形的性质和判定可得AC=AG=FG=4，再证明△ACD是等腰直角三角形，可得AD=CD=2 2，最后根据矩形ABCD的面积公式可得结论．
本题考查的是等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质及平行线的性质，熟知等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
16.【答案】解：3x+2y=7 ①4x−y=13 ②
①+②×2，得：
11x=33，
解得x=3，
将其代入②，得12−y=13，
解得y=−1，
所以方程组的解为x=3y=−1．
【解析】先将方程组化简，再用加减法和代入法解答．
这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．
17.【答案】解：原式=3+1−2 2+2 2
=4．
【解析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】(5,1)
【解析】解：(1)如图所示，C点的坐标为：(5,1)；
故答案为：(5,1)；
(2)S△ABC=4×5−12×5×1−12×3×3−12×2×4=9．
(3)ΔA′BC′是直角三角形．理由如下：
∵A′B2=32+1=10，BC2=32+1=10，A′C2=22+42=20，
∴A′B2+BC2=A′C′2，
∴三角形ΔA′BC′是直角三角形．
(1)直接建立平面直角坐标系，进而得出各点坐标；
(2)利用割补方法计算即可；
(3)利用平移的性质得出对应点位置，再利用勾股定理逆定理得出答案．
此题主要考查了平移变换以及勾股定理逆定理，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】解：∵BC⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠DCA=∠A+∠DCA，
∴∠BCD=∠A，
∵∠EBC=∠A，
∴∠EBC=∠BCD，
∴BE‖CD．
【解析】根据垂直的定义得到∠BCD+∠DCA=∠A+∠DCA，等量代换可得∠EBC=∠BCD，再根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)依题意，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，
∴设h与d之间的函数关系式为：h=kd+b(k≠0)，
把d=20时h=160；d=21时h=169，
分别代入得20k+b=16021k+b=169，
解得k=9b=−20，
∴h与d之间的函数关系式为h=9d−20；
(2)解：当h=217时，217=9d−20，
解得：d≈26.3，
答：他的指距约是26.3cm．
【解析】(1)设h与d之间的函数关系式为：h=kd+b(k≠0)，待定系数法求解析式即可求解；
(2)当h=217时，代入解析式进行计算即可求解．
本题考查了一次函数的应用，根据题意求得一次函数解析式是解题的关键．
21.【答案】12 0.08
【解析】解：(1)∵被调查的总户数为6÷0.12=50(户)，
∴a=50×0.24=12，b=4÷50=0.08，
补全频数分布直方图如下：
(2)该小区用水量不超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比为0.12+0.24+0.32+0.20=0.88=88%；
(3)该小区月均用水量超过25t的家庭大约有500×0.04=20(户)．
(1)根据0(2)根据(1)中所求即可得出不超过20t的家庭总数即可求出，不超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
(3)根据样本数据中超过25t的家庭数，即可得出500户家庭超过25t的家庭数．
此题主要考查了利用样本估计总体以及频数分布直方图综合应用，根据已知得出样本数据总数是解题关键．
22.【答案】解：设旗杆的高度为x米．
由题意知，x2+22=(x−2)2+82，
整理得4x=64，
解得x=16．
答：旗杆的高度为16m．
【解析】设旗杆的高度为x米．根据勾股定理得出方程求解即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，
由题意可得：3x+4y=1154x+3y=130，
解得x=25y=10，
∴A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为10万元；
(2)设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，
由题意可得25m+10n=150，且m>0，n>0，
∴n=30−5m2，
∵m，n为正整数，
∴m=2n=10或m=4n=5，
∴该公司共有二种购买方案，
当购买A型号的汽车2辆，B种型号的汽车10辆时，获得的利润为：6000×2+4000×10=52000(元)，
当购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车5辆时，获得的利润为：6000×4+4000×5=44000(元)，
答：该公司共有二种购买方案，最大利润为52000元．
【解析】(1)设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，根据3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元，即可解得答案；
(2)设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，可得25m+10n=150，n=30−5m2，而m，n为正整数，故m=2n=10或m=4n=5，公司共有二种购买方案，算出每种方案的利润可得最大利润为52000元．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组．
24.【答案】解：(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b，
将A(−8,0)，B(0,6)，代入y=kx+b得，0=−8k+b6=b，解得k=34b=6，
∴直线l的函数表达式为y=34x+6；
(2)由勾股定理得，AB= OA2+OB2=10，
由题意知，分点P在OA 上运动，点P在x轴的正半轴上运动，两种情况求解：
①当点P在OA 上运动，如图①，

由折叠的性质可知，BO′=BO=6，PO′=PO，则AO′=AB−BO′=4，
设AP=x，则PO′=PO=8−x，
由勾股定理得，AP2−PO′2=AO′2，即x2−(8−x)2=42，解得x=5，
∴S△ABP=12AP×BO=12×5×6=15；
②当点P在x轴的正半轴上运动，如图②，

由折叠的性质可知，BO′=BO=6，PO′=PO，则AO′=AB+BO′=16，
设AP=x，则PO′=PO=x−8，
由勾股定理得，AP2−PO′2=AO′2，即x2−(x−8)2=162，解得x=20，
∴S△ABP=12AP×BO=12×20×6=60；
综上所述，△ABP的面积为15或60；
(3)∵O′B//x轴，则O′P⊥x轴，
由题意知，BO′=BO=6，则P(−6,0)，
当x=−6，y=34×(−6)+6=32，则C(−6,32)，
∴BC= (0+6)2+(6−32)2=152，
设Q(0,m)，当BQ=BC时，△BCQ是等腰三角形，如图③，

∴|m−6|=152，解得m=272，或m=−32，
∴Q(0,272)或Q(0,−32)；
当CQ=BC时，△BCQ是等腰三角形，则 (−6)2+(32−m)2=152，解得m=6，或m=−3，
∴Q(0,−3)；
当CQ=BQ时，△BCQ是等腰三角形，则 (−6)2+(32−m)2= (m−6)2，解得m=−14，
∴Q(0,−14)；
综上所述，存在，点Q的坐标为(0,272)或(0,−32)或(0,3)或(0,−14)．
【解析】(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b，待定系数法求解即可；
(2)由勾股定理得，AB= OA2+OB2=10，由题意知，分点P在OA 上运动，点P在x轴的正半轴上运动，两种情况求解：①当点P在OA 上运动，如图①，由折叠的性质可知，BO′=BO=6，PO′=PO，则AO′=AB−BO′=4，设AP=x，则PO′=PO=8−x，由勾股定理得，AP2−PO′2=AO′2，即x2−(8−x)2=42，解得x=5，根据S△ABP=12AP×BO，计算求解即可；②当点P在x轴的正半轴上运动，如图②，由折叠的性质可知，BO′=BO=6，PO′=PO，则AO′=AB+BO′=16，设AP=x，则PO′=PO=x−8，由勾股定理得，AP2−PO′2=AO′2，即x2−(x−8)2=162，解得x=20，根据S△ABP=12AP×BO，计算求解即可；
(3)由O′B//x轴，则O′P⊥x轴，由题意知，BO′=BO=6，则P(−6,0)，当x=−6，y=34×(−6)+6=32，则C(−6,32)，BC= (0+6)2+(6−32)2=152，设Q(0,m)，当BQ=BC时，△BCQ是等腰三角形，如图③，根据|m−6|=152，解得m=272，或m=−32，可得Q(0,272)或Q(0,−32)；当CQ=BC时，△BCQ是等腰三角形，则 (−6)2+(32−m)2=152，解得m=6，或m=−3，则Q(0,−3)；当CQ=BQ时，△BCQ是等腰三角形，则 (−6)2+(32−m)2= (m−6)2，解得m=−14，则Q(0,−14)．
本题考查了一次函数的解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．类别
同学1
同学2
同学3
同学4
同学5
同学6
金额(元)
5
6
5
6
6
8
指距d(cm)
20
21
22
23
身高h(cm)
160
169
178
187
月均用水量x(t)
频数(户)
频率
06
0.12
5a
0.24
1016
0.32
1510
0.20
204
b
252
0.04