广西壮族自治区崇左市扶绥县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份广西壮族自治区崇左市扶绥县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间120分钟，满分120分）
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
3．将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．对于函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是B．图象开口向下
C．图象关于直线对称D．函数最小值为5
5．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ）
第5题图
A．B．C．D．
6．若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．
7．如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ）
第7题图
A．12B．20C．24D．22
8．在中，，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．1
9．正比例函数与反比例函数在同一直角坐标平面大致的图像可以是（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数有最大值，且图象经过原点，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
11．如图，已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论：其中正确结论的个数是（ ）
第11题图
①；②；③；④；
⑤方程的根是．
A．2B．3C．4D．5
12．如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（ ）
第12题图
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在指定的空格内．）
13．若两个相似三角形的相似比是，则周长比是______．
14．如果，那么的值等于______．
15．在中，若，则______．
16．如图正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC．若的面积为3，则k的值为______．
第16题图
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小为______．
第17题图
18．如图（图形在前页），在中，，点在边上．若，则的值为______．
第18题图
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）如图，三个顶点坐标分别为．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到的所有图形画出来．
20．（6分）计算：．
21．（10分）如图，在与中，，且．求证：．
22．（10分）观察下列等式：
①；
②；
③．
（1）根据上述规律，计算______．
（2）计算：．
23．（10分）为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A．此时测得观测者看镜子的俯角，观测者眼睛与地面的距，，则旗杆的高度约为多少？（结果取整数，）
24．（10分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件．已知商品的进价为每件40元．设每件涨价元，每星期的销量为件．
（1）写出与的函数解析式及自变量的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？
25．（10分）如图，海中有一个小岛，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行6海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由。
26．（10分）如图，是边长为8的等边三角形，点分别在边上运动，满足．
（1）求证：
（2）设AD长为，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得函数，求当点运动到什么位置时，的面积最小？
并求出这个最小值。
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参考答案：
一、选择题
1．C 2．B 3．B 4．D 5．C 6．D 7．C 8．A
9．D 10．C 11．D 12．C
二、填空题
13．4：9 14．4 15．105 16．3 17．210 18．17
三、解答题
19．(6分）解：以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到的图形的对应点为：A1−2,6,B1−2,2,C1−6,4或A22,−6,B22,−2,C26,−4，如图所示：
（每画对一个三角形3分，每标对一个点1分）
20．(6分）
解：原式=1−5−3×33+3−1
=1−5−3+3−1.
=−5．
21．(10分）
证明：∵∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵ABAD=ACAE，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
22．（1） 1 ；
（2）由（1）中结论可得：
sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
=（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°
=1+1+…1+12.
=44+12
=892． （结果为带分数也可）
23.解：提示:由题意可得∠COD =∠AOB = 60°.
在Rt△COD中，CD=1.7m,
tan∠COD = ,
即=，
解得DO≈1m
则BO=BD-DO≈11-1=10(m).
在Rt△AOB中，
tan∠AOB = ，
即=.
解得AB≈17m.
24．解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，
∴每件涨价x元，每星期实际可卖出（300﹣10x）件，
∴y与x的函数解析式为：y=300﹣10x；
由y≥0，即300﹣10x≥0，解得x≤30，
∴x的取值范围是0≤x≤30；
（2）设每星期的利润为w元，则由题意得：
w＝（60﹣40+x）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000
＝﹣10（x﹣5）2+6250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝5时，w与取得最大值，最大值为6250，
∴定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6250元．
25.有触礁危险．
理由:解：过点P作PQ⊥AC于Q，
设PQ=x，
∵∠PAM=60°，∠PBN=45°，
∠PAQ=30°,∠PBQ=45°，
∴AQ=PQtan30°，BQ=PQtan45°，
即，AQ=3x，BQ=x
∵AB=6，AQ−BQ=AB，
∴3x−x=6，解得：x=33+3≈8.196，
∵9>8.196，
∴有触礁危险．
26．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC,∠A =∠B = 60°
又∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=AC-CF；即BD=AF
M
∴△ADF ≌ △BED
M
N
（2）解：作CM⊥AB于点M，FN⊥AB于点N
∴CM=CAsinA=8×sin60°=8× 32 =43
FN=AFsinA=(8−x)×sin60°=(8−x)× 32 =43−32 x
由（1）同理证得△ADF ≌ △BED ≌ △CFE
∴y=12AB×CM−12×AD×FN×3
=12×8× 43−12x(43−32 x)×3
= 334x2−63x+163
(3)把（2）中的解析式配方得：
y=343x−42+123，
∵a=343 ＞0，顶点坐标为4，123
∴当x=4时，y最小．
即当点D移动到AB中点时S△DEF最小，最小值为123．