陕西省西安市第三中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷

这是一份陕西省西安市第三中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线x29−y216=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )
A. 3B. 3C. 4D. 2
2.已知数列{an}是等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn，若a13=7，则S25=( )
A. 350B. 700C. 1752D. 175
3.下列命题：①y=ln2，则y′=12；②y=csx，则y′=sinx；③y=e2x，则y′=e2x；④y=2sinxcsx，则y′=2cs2x，其中正确命题的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，若点P在E上，M为AF的中点，PA⊥PF，且|PM|=b，则E的离心率为( )
A. 25B. 35C. 23D. 12
5.已知点A(2,2)，B(−2,−1)，若点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为4，则满足条件的l有条( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22=( )
A. 23
B. 43
C. 83
D. 4
7.已知定义在R上的函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)满足：对任意x∈R都有f(x)e⋅f(0)，f(2023)x1f(x2)+x2f(x1)，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：
①y=−x3+x+1；
②y=3x−2(sinx−csx)；
③y=ex+1；
④y=sinπxex+e1−x．
其中为“H函数”的有( )
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①②③
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l1：ax+2y+3a=0和直线l2：3x+(a−1)y+3−a=0.以下说法正确的有( )
A. 直线l2一定过定点(−23,1)B. 若l1⊥l2，则a=25
C. l1//l2的充要条件是a=3D. 点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为5
10.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=2，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.则( )
A. 直线DC1与BC所成角为90°
B. 三棱锥D−BCC1的体积为13
C. 二面角A1−BD−C1的大小为60°
D. 直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积为6π
11.函数f(x)=x2ex在区间(k,k+32)上存在极值点，则整数k的值为( )
A. −3B. −2C. −1D. 0
12.已知Sn是数列{an}的前n项和，S8=17S4.下列结论正确的是( )
A. 若{an}是等差数列，则S12=48S4B. 若{an}是等比数列，则S12=273S4
C. 若{an}是等差数列，则公差d>0D. 若{an}是等比数列，则公比是2或−2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线y=2x+1的一个法向量n= ______．
14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k2，则k1+k2的值为 ．
15.设数列{an}满足a1=2，a2=6，且an+2−2an+1+an=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[2017a1+2017a2+…+2017a2017]= ______．
16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE、△BCF、△CDG、△DAH，使得E，F，G，H重合，得到一个三棱锥，当正方形ABCD的边长为______cm时，三棱锥体积最大．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知动点P与两个定点A(1,0)，B(4,0)的距离的比是2．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线l过点(2,1)，且被曲线C截得的弦长为2 3，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知曲线f(x)=x3−x，
求(1)曲线在点(−1,0)处的切线方程；
(2)曲线过点(−1,0)的切线方程；
(3)曲线平行于直线11x−y+1=0的切线方程．
19.(本小题12分)
如图，BC是⊙O的直径，BC=2，点A是BC上的一个动点，过点A作PA垂直⊙O所在的平面，且PA=1．
(1)当三棱锥O−PAC体积最大时，求直线PO与平面PAC所成角的大小；
(2)当点A是BC上靠近点C的三等分点时，求二面角A−PO−B的正弦值．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)已知直线y=k(x−1)(k>0)与椭圆C相交于A、B两点，且与x轴，y轴交于M、N两点．
(i)若MB=AN，求k的值；
(ii)若点Q的坐标为(74,0)，求证：QA⋅QB为定值．
21.(本小题12分)
各项都为整数的数列{an}满足a2=−2，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求出所有的正整数m，使得am+am+1+am+2=amam+1am+1．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−lnxx−2x2，其中a>0．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)若g(x)=xf(x)，且当ax20，
则函数g(x)=f(x)ex在R上单调递增，
所以g(1)=f(1)e1>g(0)=f(0)e0，g(2023)=f(2023)e2023>g(0)=f(0)e0，
整理得f(1)>e⋅f(0)，f(2023)>e2023⋅f(0)．
故选：B．
由题意，构造函数g(x)=f(x)ex，对函数g(x)进行求导，利用所给信息判断其导数符号可得函数g(x)单调性，再进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，若函数为“H函数”，则对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，
变形可得：(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，
则函数f(x)为R上是增函数；
反之，若函数f(x)为R上是增函数，必有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则函数为“H函数”；
由此依次分析所给的4个函数：
①y=−x3+x+1，其导数y′=−3x2+1，不满足y′≥0在R上恒成立，即y=−x3+x+1在R上不是增函数，不是“H函数”；
②y=3x−2(sinx−csx)，其导数y′=3−2(csx+sinx)=3−2 2sin(x+π4)，有y′=3−2 2sin(x+π4)>0恒成立，即y=3x−2(sinx−csx)在R上是增函数，是“H函数”；
③y=ex+1，其导数y′=ex，有y′=ex>0恒成立，则y=ex+1在R上是增函数，是“H函数”；
④y=sinπxex+e1−x，在区间(0,1)上，y>0，在区间(1,2)上，y0或x0，函数单调递增，当−2