2023-2024学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市夏邑县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件是必然事件的是( )
A. 四边形内角和是
B. 校园排球比赛，九年一班获得冠军
C. 掷一枚硬币时，正面朝上
D. 打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
2.点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知，，为常数，点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判定
4.如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于直，若四边形的面积为则的值是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交，于点，，连接下列说法错误的是( )
A. 直线是的垂直平分线
B.
C.
D. ：：
8.如图，四边形内接于，为延长线上一点若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，对称轴是直线，下列结论中，所有正确结论的序号为( )
；
点的坐标为；
；
对于任意实数，都有．
A. B. C. D.
10.如图，中，，，点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若是关于的一元二次方程的一个根，则 ______．
12.如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为______．
13.点，都在反比例函数的图象上，则 ______填“”或“”
14.有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为______．
15.如图，边长为的正方形内接于，分别过点，作的切线，两条切线交于点，则图中阴影部分的面积是______．
16.如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
当时，用配方法解方程．
18.本小题分
小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目：智取芭蕉扇、：三打白骨精、：盘丝洞中各自随机选择一个项目游玩．
小华选择项目的概率是______；
用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
19.本小题分
如图，反比例函数为常数，与正比例函数为常数，的图象交于，两点．
求反比例函数和正比例函数的表达式；
若轴上有一点，的面积为，求点的坐标．
20.本小题分
问题背景
鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现
如图，在中，，．
操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则 ______，设，，那么 ______用含的式子表示；
进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比在的条件下试证明：．
21.本小题分
如图，在中，是上异于点，的一点，恰好经过点，，于点，且平分．
判断与的位置关系，并说明理由．
若，，求的半径长．
22.本小题分

如图，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分如图所示，抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离．
求抛物线的表达式；
为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于，求的取值范围．
23.本小题分
问题背景：如图，，，，求证：∽；
尝试应用：如图，将正方形的边，绕点逆时针旋转一定角度，得到线段，，连接交于点，连接，，若∽，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
解：、四边形内角和是，是必然事件，故A符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
2.【答案】
解：点关于原点对称的点的坐标是．
故选：．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
3.【答案】
解：点在第四象限，
，，
，
方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4.【答案】
解：设个相同的小正方形的边长为，则个相同的大正方形的边长为，
点落在阴影部分的概率为，
故选：．
求出阴影部分的面积，根据概率公式即可求出概率．
本题考查几何概率的求法，注意结合概率的性质进行计算求解．用到的知识点为：概率阴影面积与整个图形面积之比．
5.【答案】
解：电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，、均大于，
反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是选项，
故选：．
根据题意得到电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，于是得到结论．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
解：由题意，设，
．
又，
．
故选：．
依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解．
本题主要考查了反比例的图象与性质的应用，解题时要能熟悉题意学会转化是关键．
7.【答案】
解：由作图可知垂直平分线段，故选项A正确，
，，
，
，
，，
，
，
，
，故选项B正确，
，，
，故选项C正确，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】
解：，
，
四边形内接于，
，
，
，
故选：．
根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
9.【答案】
解：抛物线开口向下，
，错误，
、关于对称轴对称，
点的横坐标为，正确，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
把代入，得：
，
，整理得：
，正确，
二次函数的对称轴为直线，
当时，抛物线取得最大值为，
当时，，
，
即，正确．
所有正确结论的序号为．
故选：．
通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与轴交点可判断、、，通过时抛物线取得最大值判断，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质．
10.【答案】
【解析】解，，，
，
当时，点在边上，如图所示，
此时，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
当时，，
，
当时，点在边上，如图所示，
此时，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当时，，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，再分别求出和时的，的长，再用三角形的面积公式写出与的函数解析式即可．
本题考查直角三角形三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．
11.【答案】
解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入原方程得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12.【答案】
解：分别过点、向轴作垂线，垂足分别为、．
方法一，
．
又，
．
在和中，
，
≌，
，，
点的坐标为．
方法二根据题意，得．
，
．
，．
点的坐标为．
故答案为：．
分别过点、向轴作垂线，垂足分别为、．
方法一利用证明≌，根据对应边相等求解；
方法二利用直角形中，互余的两个角的三角函数之间的关系求解．
本题考查坐标与图形的变化旋转，利用图形之间长度与角的关系解题是本题的关键．
13.【答案】
解：点，在反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小，
．
故答案为：．
根据反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小判断即可．
本题主要考查了反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小，准确判断是关键．
14.【答案】
解：设等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别为，，，，
根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果有种，
抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
画树状图表示出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
15.【答案】
解：连接，，
，是的切线，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，
，
图中阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积，
故答案为：，
连接，，根据切线的性质得到，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查正多边形与圆，切线的性质，掌握正多边形与圆的性质是正确计算的前提，判定四边形是正方形是解决问题的关键．
16.【答案】或
解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，可以得到，点的坐标为，
点的坐标是或，即或．
故答案为：或．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
17.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且；
当时，
原方程为，
即，
移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：
解得：，．
【解析】结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得的取值范围；
将代入方程，利用配方法解方程即可．
本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，中需特别注意二次项的系数不为．
18.【答案】；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：，，，，，，共种，
小华、小玲选择不同游玩项目的概率为．
解：小华选择项目的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：，，，，，，共种，
小华、小玲选择不同游玩项目的概率为．
直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及小华、小玲选择不同游玩项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】解：将点代入，得：，
反比例函数的解析式为：，
将点代入，得：，
正比例函数的解析式为：．
解方程组，得：，，
点的坐标为，
过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，
，，，
，，
，
，
即：，
，
，
点的坐标为或．
【解析】分别将点反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案；
先求出点的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，然后根据点、、的坐标表示出，，，最后再根据即可求出点的坐标．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答时，过点，向轴作垂线，把的面积转化为和的面积之和，漏解是解答此题的易错点．
20.【答案】
解：，
，
，，
，
，
，
由折叠得，，
，
，，
，
故答案为：，，
证明：由得，，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
整理得，
解得，不符合题意，舍去，
，
．
由，得，因为，，由折叠得，，所以，而，，则，于是得到问题的答案；
由得，，则，由，，证明∽，则，于是得，求得符合题意的值为，则，所以．
此题重点考查等腰三角形的判定与性质、黄金分割、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，证明∽是解题的关键．
21.【答案】解：与相切，理由如下：
如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
，，，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
【解析】连接，证明，进而可以解决问题；
利用勾股定理求出，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出半径．
本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，平行线分线段成比例定理，切线的判定，平行线的性质，解决本题的关键是掌握切线的判定方法．
22.【答案】解：设抛物线的解析式为，
把点代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，得：
，
解得：，
，
当时，
由，得：
，
，
解得：，
；
由，得：
，
，
；
当时，都成立；
当时，得：
，
解得：，
都成立；
综上所述，的取值范围为．
【解析】根据题意，设抛物线的解析式为，待定系数法求解即可；
分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得的取值范围即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
23.【答案】证明：，，，
，，，
，，
∽；
解：四边形是正方形，
，，，
将正方形的边，绕点逆时针旋转一定角度，得到线段，，
，，，
，，
≌，
，
，
设，
∽，
，
，
，
，
．
【解析】由等腰直角三角形的性质可得，，，由相似三角形的判定可得结论；
由相似三角形的性质可得，由三角形内角和定理列出方程可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．