浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：3B．1：9C．3：1D．9：1
2．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．无法确定B．相切C．相交D．相离
3．二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（2，﹣1），则a的值是（ ）
A．B．C．D．2
4．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A．B．1C．D．2
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，csB＝，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
6．关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2 时，y有最大值﹣3
B．当x＝﹣2 时，y有最大值﹣3
C．当x＝2 时，y有最小值﹣3
D．当x＝﹣2 时，y有最小值﹣3
7．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝140°，则∠ADC等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线AF交BC于点P，取AC的中点Q，连结PQ．若AC＝4，BC＝6，则△CPQ 的面积为（ ）
A．B．C．7.5D．7
9．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax（a＞0）．若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上的两点，且n＞b，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣1B．m＞5C．m＜﹣1或m＞5D．﹣1＜m＜5
10．如图，正△ABC纸片，E为AC边上的一点，连结BE．将△BAE沿BE翻折得到△BFE，过点C作AB的平行线交EF的延长线于点M，若∠EMC＝90° 则的比为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题每小题4分，共24分）
11．（4分）sin60°＝ ．
12．（4分）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S＝ ．
13．（4分）已知在直角坐标系中一点P（a，b），其中a，b取﹣2，1中任意一个值，则点P（a，b）恰好落在反比例函数的图象上的概率为 ．
14．（4分）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 ．
15．（4分）如图，三个正六边形如图摆放，则sin∠ACB＝ ．
16．（4分）数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为“诺模图”．如图是关于x，y，z三者关系的诺模图，它是由点O出发的三条射线a，b，c组成，每条射线上都有相同的刻度，且射线端点刻度为0，其中a和c，b和c都相交成60°角．在射线a和b上分别取点A和B，对应的刻度值是x和y．用直尺连结AB交射线c于点C，点C的刻度值就是z的值．
（1）若x＝20，y＝12，则z的值是 ；
（2）若x＝2y，则＝ ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）已知3a＝2b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D在BC上，点E在AC上，连结AD，DE，且∠B＝∠ADE．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB＝6，BD＝2CE，求CD的长．
19．（6分）某高速收费站有三个ETC通道（ETC通道是指电子不停车收费的专用车道）A，B，C和一个人工收费通道D．
（1）求一辆办理过ETC卡的汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率；
（2）现有都办理过ETC卡的甲，乙两辆汽车都选择了ETC通道通行，求甲，乙两辆车选择不同ETC通道通过的概率．
20．（8分）如图，市交通部门要在宽为22米（即AB＝22m）的城北街两边安装路灯（路灯主杆BC垂直于地面），路灯的灯臂CD长2米，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中心轴线DO与灯臂CD垂直．
（1）探索灯臂CD与灯柱BC 的夹角∠BCD和灯罩中心轴线DO与地面AB所成的夹角∠DOB之间的数量关系；
（2）当灯罩的轴线DO刚好通过街道的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若∠BCD＝125°，试说明当灯柱BC＝12m时，照明效果是否达到最佳？
（结果保留一位小数）（参考数据：sin55°≈0.8192，cs55°≈0.5736，tan55°≈1.428）
21．（8分）浙教版九上数学课本第24页例1：如图1窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为一个等边三角形（如图2），材料总长度仍为6m，利用图2，解答下列问题：
（1）当AB＝1时，求此时窗户的透光面积；
（2）与课本中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值是否变大？通过计算说明．取1.7）
22．如图．正方形ABCD顶点A，B在⊙O上．BC与⊙O交于点E，CD经过⊙O上一点P，且EP平分∠AEC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若S正方形ABCD＝16，求CE的长．
23．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），图象经过点（﹣1，m），（1，n），（3，p）．
（1）当m＝﹣2时．
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大；
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求证：．
24．（12分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是弧AB的中点，过点D作AB的平行线交CA的延长线于点E，连结BD，BE．
（1）求证：∠EDC＝∠DBC；
（2）当CD＝2时，求S△BCE的值；
（3）设BC＝nAC．
①求的值；（用含n的代数式表示）
②若3CE＝8AC，DE＝6，求AB的长．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．若△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：3B．1：9C．3：1D．9：1
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出答案．
解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：3，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于基础题型．
2．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．无法确定B．相切C．相交D．相离
【分析】圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．
解：∵圆心到直线的距离2＜圆的半径3，
∴直线与圆的位置关系为相交．
故选：C．
【点评】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r，
②直线l和⊙O相切⇔d＝r，
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
3．二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（2，﹣1），则a的值是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】将（2，﹣1）代入解析式求解．
解：将（2，﹣1）代入y＝ax2（a≠0）得﹣1＝4a，
∴a＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
4．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则＝，即＝2，
解得：BC＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，csB＝，则tanA＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据已知表示出三角形各边进而得出答案．
解：如图所示：∵∠C＝90°，csB＝，
∴设BC＝3x，则AB＝5x，
故AC＝4x，
则tanA＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确表示出各边长是解题关键．
6．关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A．当x＝2 时，y有最大值﹣3
B．当x＝﹣2 时，y有最大值﹣3
C．当x＝2 时，y有最小值﹣3
D．当x＝﹣2 时，y有最小值﹣3
【分析】y＝（x﹣2）2﹣3中a＝1＞0，抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标为（2，﹣3）．
解：∵二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，二次函数有最小值，
∴当x＝2时，二次函数有最小值为﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数表达式的三种形式是解决此题的关键．
7．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝140°，则∠ADC等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【分析】先根据圆周角定理得到∠B，然后根据圆内接四边形的性质得到结论．
解：∵∠AOC＝140°，
∴∠B＝∠AOC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线AF交BC于点P，取AC的中点Q，连结PQ．若AC＝4，BC＝6，则△CPQ 的面积为（ ）
A．B．C．7.5D．7
【分析】求出△APC的面积，再利用三角形中线的性质求解．
解：∵AB＝AC，AP平分∠BAC，
∴AP⊥BC，CP＝PB＝BC＝3，
∴AP＝＝＝，
∴S△ACP＝•AP•CP＝××3＝，
∵AQ＝CQ，
∴S△APQ＝S△APC＝．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
9．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax（a＞0）．若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上的两点，且n＞b，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣1B．m＞5C．m＜﹣1或m＞5D．﹣1＜m＜5
【分析】由抛物线的解析式可知开口方向和对称轴为直线x＝2，根据函数的对称性和增减性即可求解；
解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a＞0）．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上的两点，当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1，
∴n＞b时，m的取值范围为m＜﹣1或m＞5；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
10．如图，正△ABC纸片，E为AC边上的一点，连结BE．将△BAE沿BE翻折得到△BFE，过点C作AB的平行线交EF的延长线于点M，若∠EMC＝90° 则的比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】延长ME交AB于点G，设BF交AC于点H，由△ABC是正三角形得∠A＝60°，由翻折得∠HFE＝∠A＝60°，FE＝AE，因为CM∥AB，所以∠AGE＝∠EMC＝90°，可证明△FEH≌△AEG，得∠FHE＝∠AGE＝90°，则BF⊥AC，∠HEF＝30°，则AH＝CH，FE＝AE＝2FH，所以EH＝＝FH，可求得EC＝（2+2）FH，即可求得＝，于是得到问题的答案．
解：延长ME交AB于点G，设BF交AC于点H，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝60°，
由翻折得∠HFE＝∠A＝60°，FE＝AE，
∵CM∥AB，∠EMC＝90°，
∴∠AGE＝∠EMC＝90°，
在△FEH和△AEG中，
，
∴△FEH≌△AEG（ASA），
∴∠FHE＝∠AGE＝90°，
∴BF⊥AC，∠HEF＝90°﹣∠HFE＝30°，
∴AH＝CH，FE＝AE＝2FH，
∴EH＝＝＝FH，
∴AH＝CH＝AE+EH＝2FH+FH，
∴EC＝CH+EH＝2FH+FH+FH＝（2+2）FH，
∴＝＝，
故选：D．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形中30°解所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题每小题4分，共24分）
11．（4分）sin60°＝ ．
【分析】根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
解：sin60°＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
12．（4分）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S＝ ．
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
解：∵n＝120°，R＝2，
∴S＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝．
13．（4分）已知在直角坐标系中一点P（a，b），其中a，b取﹣2，1中任意一个值，则点P（a，b）恰好落在反比例函数的图象上的概率为 ．
【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出ab＝﹣2，即点P（a，b）恰好落在反比例函数的图象上的情况数，即可求出所求的概率．
解：
所有可能的情况数有4种，其中点P（a，b）恰好落在反比例函数y＝的图象上的情况有（﹣2，1）、（1，﹣2）2种，
∴点P（a，b）恰好落在反比例函数的图象上的概率为．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 ﹣≤S≤0 ．
【分析】根据题意，可以写出S关于x的函数解析式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，即可得到函数S的取值范围．
解：∵y＝2x﹣1，S＝xy，
∴S＝x（2x﹣1）＝2（x﹣）2﹣，
∴该函数开口向上，当x＝取得最小值﹣，
∵，
∴当x＝取得最小值﹣，当x＝取得最大值0，
∴S的取值范围为﹣≤S≤0，
故答案为：﹣≤S≤0．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．（4分）如图，三个正六边形如图摆放，则sin∠ACB＝ ．
【分析】根据正六边形的性质构造直角三角形ACD，再根据正六边形的性质用正六边形的边长a，表示AD、CD，由勾股定理求出AC，再由锐角三角函数的定义进行计算即可．
解：如图，由正六边形的性质可知，AD⊥CD，OB＝OC＝BD，
设正六边形的边长为a，则AG＝a×＝a，
∴AD＝4×a＝2a，
在Rt△ADC中，AD＝2a，CD＝3OB＝3a，
∴AC＝＝a，
∴sin∠ACB＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，锐角三角函数以及直角三角形的边角关系，掌握正六边形的性质、直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
16．（4分）数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为“诺模图”．如图是关于x，y，z三者关系的诺模图，它是由点O出发的三条射线a，b，c组成，每条射线上都有相同的刻度，且射线端点刻度为0，其中a和c，b和c都相交成60°角．在射线a和b上分别取点A和B，对应的刻度值是x和y．用直尺连结AB交射线c于点C，点C的刻度值就是z的值．
（1）若x＝20，y＝12，则z的值是 7.5 ；
（2）若x＝2y，则＝ ．
【分析】方法一（利用相似三角形）：过点C作CD∥OB交OA于点D，先证△OCD为等边三角形得CD＝OD＝OC＝z，进而得AD＝x﹣z，再证△ACD和△ABO相似得AD：OA＝CD：OB，由此得（x﹣z）：x＝z：y，然后整理得xz+yz＝xy．
（1）将x＝20，y＝12代入xz+yz＝xy之中即可求出z的值；
（2）将x＝2y代入xz+yz＝xy之中即可求出的值．
解法二（面积法）：过点C作CE⊥OA于E，OF⊥OB于F，过B作BH⊥AO交AO的延长线于H，利用三角函数分别求出CE＝，CF＝，BH＝，进而可得S△AOC＝，S△BOC＝，S△AOB＝，然后根据S△AOC+S△BOC＝S△AOB，得xz+yz＝xy．
（1）将x＝20，y＝12代入xz+yz＝xy之中即可求出z的值；
（2）将x＝2y代入xz+yz＝xy之中即可求出的值．
【解答】解法一（利用相似三角形）：过点C作CD∥OB交OA于点D，如图1所示：

依题意得：∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝x，OB＝y，OC＝z，
∵CD∥OB，
∴∠OCD＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝∠AOC＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD＝OD＝OC＝z，
∴AD＝OA﹣OD＝x﹣z，
∵CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，
∴AD：OA＝CD：OB，
∴（x﹣z）：x＝z：y，
整理得：xz+yz＝xy，
（1）当x＝20，y＝12时，20z+12z＝20×12，
解得：z＝7.5；
故答案为：7.5．
（2）当x＝2y时，2yz+yz＝2y2，
即3yz＝2y2，
∵y≠0，
∴3z＝2y，
∴＝．
故答案为：．
解法二（面积法）：过点C作CE⊥OA于E，OF⊥OB于F，过B作BH⊥AO交AO的延长线于H，如图2所示：

依题意得：∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝x，OB＝y，OC＝z，
在Rt△OCE中，sin∠AOC＝，
∴CE＝OC•sin∠AOC＝z•sin60°＝，
在Rt△OCF中，sin∠BOC＝，
∴CF＝OC•sin∠BOC＝z•sin60°＝，
∵∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠BOH＝180°﹣∠AOB＝60°，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，
∴BH＝OB•sin∠BOH＝y•sin60°＝，
∴S△AOC＝OA•CE＝，，S△BOC＝OB•CF＝，S△AOB＝OA•BH＝，
∵S△AOC+S△BOC＝S△AOB，
∴+＝，
∴xz+yz＝xy，
（1）当x＝20，y＝12时，20z+12z＝20×12，
z＝7.5；
故答案为：7.5．
（2）当x＝2y时，2yz+yz＝2y2，
即3yz＝2y2，
∵y≠0，
∴3z＝2y，
∴＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等，解法一的关键是正确地作出辅助线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求出z，y，z之间的关系；解法二的关键是通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数及三角形的面积求出z，y，z之间的关系．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）已知3a＝2b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据比例的性质进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，以及设k法进行计算，即可解答．
解：（1）∵3a＝2b，
∴＝；
（2）∵＝；
∴设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝＝﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D在BC上，点E在AC上，连结AD，DE，且∠B＝∠ADE．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB＝6，BD＝2CE，求CD的长．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再根据三角形外角性质得到∠CDE＝∠BAD，然后根据相似三角形的判定方法可得到△ABD∽△DCE；
（2）根据相似三角形的性质得到＝＝2，则CD＝AB．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
而∠B＝∠ADE，
∴∠CDE＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴＝，
∵BD＝2CE，
∴＝2，
∴CD＝AB＝×6＝3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
19．（6分）某高速收费站有三个ETC通道（ETC通道是指电子不停车收费的专用车道）A，B，C和一个人工收费通道D．
（1）求一辆办理过ETC卡的汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率；
（2）现有都办理过ETC卡的甲，乙两辆汽车都选择了ETC通道通行，求甲，乙两辆车选择不同ETC通道通过的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，选择A通道通过的概率为．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲，乙两辆车选择不同ETC通道通过的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，
∴甲，乙两辆车选择不同ETC通道通过的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（8分）如图，市交通部门要在宽为22米（即AB＝22m）的城北街两边安装路灯（路灯主杆BC垂直于地面），路灯的灯臂CD长2米，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中心轴线DO与灯臂CD垂直．
（1）探索灯臂CD与灯柱BC 的夹角∠BCD和灯罩中心轴线DO与地面AB所成的夹角∠DOB之间的数量关系；
（2）当灯罩的轴线DO刚好通过街道的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若∠BCD＝125°，试说明当灯柱BC＝12m时，照明效果是否达到最佳？
（结果保留一位小数）（参考数据：sin55°≈0.8192，cs55°≈0.5736，tan55°≈1.428）
【分析】（1）根据四边形内角和是360°计算；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CE⊥DH于点E，根据正弦的定义求出CE，根据余弦的定义求出DE，再根据正切的定义求出DH，进而求出BC，比较大小得出结论．
解：（1）在四边形BCDO中，∠B＝∠ODC＝90°，
∴∠BCD+∠DOB＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CE⊥DH于点E，
∴BC∥DH，
∴∠CDH＝180°﹣125°＝55°，
在Rt△CED中，CD＝2m，∠CDH＝55°，
∴CE＝CD•sin∠CDE≈2×0.8192≈1.64（m），DE＝CD•cs∠CDE≈2×0.5736≈1.15（m），
∴OH＝OB﹣BH＝11﹣1.64＝9.36（m），
∵∠BCD＝125°，
∴∠DOB＝180°﹣125°＝55°，
在Rt△DOH中，DH＝OH•tan∠DOH≈9.36×1.428≈13.37（m），
∴BC＝EH＝DH﹣DE＝13.37﹣1.15≈12.2（m），
∵12.2＞12，
∴BC＝12m时，照明效果不能达到最佳．
【点评】本题考查的是解直角三角形应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（8分）浙教版九上数学课本第24页例1：如图1窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为一个等边三角形（如图2），材料总长度仍为6m，利用图2，解答下列问题：
（1）当AB＝1时，求此时窗户的透光面积；
（2）与课本中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值是否变大？通过计算说明．取1.7）
【分析】（1）根据AB的长度以及制作窗框的材料总长为6m，可以求出AD的长度，结合长方形的面积计算公式可求出透光面积；
（2）设AB的长度为x，可用含x的式子表示出AD的长度，进而可根据面积公式列出关于x的二次函数，结合x的取值范围，根据二次函数最值的计算方法求出此时的最大值，此时的最大值与例题中的最大值相比，得出答案即可．
解：（1）由已知可得：CD＝＝1m，
则S＝+1×1
＝（+1）m2；
（2）在窗户透光面积的最大值变大了，理由如下：
设BC＝x m，则CD＝（6﹣4x）＝（3﹣2x）m，
∵3﹣2x＞0，
∴0＜x＜，
设窗户面积为S，由已知得：
S＝S△ABC+S矩形BCDE
＝+x（3﹣2x）
＝x2﹣2x2+3x
＝[（﹣2）x2+3x]m2，
当x＝﹣≈0.95时，且x＝0.95在0＜x＜的范围内，此时S最大值＝≈1.43（m2），
∵1.43m2＞1.05m2，
∴与所给的例题相比，现在窗户透光面积的最大值变大了．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用以及面积的计算，求出AD的长度是解答本题的关键．
22．如图．正方形ABCD顶点A，B在⊙O上．BC与⊙O交于点E，CD经过⊙O上一点P，且EP平分∠AEC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若S正方形ABCD＝16，求CE的长．
【分析】（1）连结OP，则∠OPE＝∠AEP，而∠CEP＝∠AEP，则∠OPE＝∠CEP，所以OP∥BC，则∠OPD＝∠C＝90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接AP，由∠B＝90°，证明AC是⊙O的直径，则∠APE＝90°，由BC∥OP∥AD，得＝＝1，因为S正方形ABCD＝CD2＝16，所以AD＝CD＝4，则PC＝PD＝2，再证明∠CPE＝∠DAP，则＝tan∠CPE＝tan∠DAP＝＝，即可求得CE＝PC＝1．
【解答】（1）证明：连结OP，则OP＝OE，
∴∠OPE＝∠AEP，
∵EP平分∠AEC，
∴∠CEP＝∠AEP，
∴∠OPE＝∠CEP，
∴OP∥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OPD＝∠C＝90°，
∵OP是⊙O的半径，且CD⊥OP，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接AP，
∵∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠APE＝90°，OE＝OA，
∵BC∥AD，OP∥BC，
∴BC∥OP∥AD，
∴＝＝1，
∵S正方形ABCD＝CD2＝16，且CD＞O，
∴AD＝CD＝4，
∴PC＝PD＝CD＝2，
∴∠C＝∠D＝90°，∠CPE＝∠DAP＝90°﹣∠APD，
∴＝tan∠CPE＝tan∠DAP＝＝＝，
∴CE＝PC＝1，
∴CE的长为1．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），图象经过点（﹣1，m），（1，n），（3，p）．
（1）当m＝﹣2时．
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大；
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求证：．
【分析】（1）①利用待定系数法即可解决问题．
②根据所得二次函数的图象和性质即可解决问题．
（2）由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题．
解：（1）①当m＝﹣2时，
将点（﹣1，﹣2）代入函数解析式得，
a+2a+1＝﹣2，
解得a＝﹣1．
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+1．
②因为抛物线的对称轴为直线x＝，且开口向下，
所以当x＜1时，y随x的增大而增大．
故一个符合条件的x的取值范围是：x＜1．
证明：（2）因为抛物线的对称轴为直线x＝，
又因为1﹣（﹣1）＝3﹣1，
所以点（﹣1，m）和点（3，p）关于抛物线的对称轴对称，
则m＝p．
又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，
所以m和p都是非正数，n是正数，
则，
解得．
所以a．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
24．（12分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是弧AB的中点，过点D作AB的平行线交CA的延长线于点E，连结BD，BE．
（1）求证：∠EDC＝∠DBC；
（2）当CD＝2时，求S△BCE的值；
（3）设BC＝nAC．
①求的值；（用含n的代数式表示）
②若3CE＝8AC，DE＝6，求AB的长．
【分析】（1）连接AD，利用平行线的性质，同弧作对的圆周角相等，通过等量代换证明即可；
（2）通过证明△CDE∽△CBD，求出BC•CE＝4，即可求三角形的面积；
（3）①过D点作DG⊥AE交于G点，由题可得tan∠CAB＝n，设GE＝a，则GD＝na，分别求出CD＝na，CE＝a+na，BC＝＝，再由△CDE∽△CBD，得到＝，＝；
②由①可知BC＝，则AC＝，则AB＝，根据题意分别得到36＝a2（1+n2），3（a+na）＝8•，求出n＝3或n＝，再求AB的长即可．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵ED∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∵点D是弧AB的中点，
∴∠CDB＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝45°，
∵＝，
∴∠BCD＝∠BAD，
∵＝，
∴∠ACD＝∠CBA，
∴∠EDC＝∠CBD；
（2）解：∵∠ECD＝∠BCD，∠EDC＝∠CBD，
∴△CDE∽△CBD，
∴CD2＝BC•CE，
∵CD＝2，
∴BC•CE＝4，
∴S△BCE＝BC•CE＝2；
（3）①解：过D点作DG⊥AE交于G点，
∵BC⊥AE，
∴DG∥BC，
∴∠CED＝∠ACB，
∵BC＝nAC，
∴tan∠CAB＝n，
设GE＝a，则GD＝na，
∵∠ACB＝45°，
∴CG＝GD＝na，
∴CD＝na，CE＝a+na，
∵CD2＝BC•CE，
∴2n2a2＝（a+na）BC，
解得BC＝＝，
∵△CDE∽△CBD，
∴＝，
∴＝；
②解：由①可知BC＝，则AC＝，
∴AB＝，
∵DE＝＝6，
∴36＝a2（1+n2），
∵3CE＝8AC，
∴3（a+na）＝8•，
解得n＝3或n＝，
当n＝3时，a＝，则AB＝；
当n＝时，a＝，则AB＝；
综上所述：AB＝．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握切线的定义即性质，三角形相似的判定及性质，平行线的性质，圆的相关性质是解题的关键．