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    2023-2024学年湖南省长沙市长沙县高一(上)期末数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年湖南省长沙市长沙县高一(上)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长沙县高一(上)期末数学试卷(含解析),共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知集合A={1,6},B={5,6,7,8},则A∪B=( )
    A. {1,5,6,7,8}B. {1,5,6,8}C. {6,6}D. {6}
    2.函数y=2x−1的零点是( )
    A. 0B. (0,−1)C. 12D. (12,0)
    3.已知a∈R,则a>6是 a2>36的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    4.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若角α终边有一点P(2,y),且sinα=− 55,则y=( )
    A. 1B. −1C. ±1D. 2
    5.已知0A. B. C. D.
    6.已知正数x,y满足x2+y=1,则1x+2y的最小值为( )
    A. 5B. 92C. 4D. 72
    7.若函数f(x)=ax,(x>1)(4−a2)x+2,(x≤1)是R上的单调函数,则实数a取值范围为( )
    A. (1,+∞)B. (1,8)C. (4,8)D. [4,8)
    8.已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>3},则下列结论错误的是( )
    A. a<0
    B. a+b+c>0
    C. cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−13或x>1}
    D. c>0
    二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.下列各式正确的有( )
    A. ln(lg10)=0B. lg2+lg5=1
    C. 若10=lgx,则x=10D. 若lg25x=12,则x=5
    10.下列函数中最小正周期为π,且为偶函数的是( )
    A. y=|csx|B. y=sin2xC. y=sin(2x+π2)D. y=cs12x
    11.下列说法正确的是( )
    A. 命题“∀x∈R,x2>−1”的否定是“∃x∈R,x2<−1”
    B. 函数f(x)=2lg4x与g(x)=2x的图象关于y=x对称
    C. f(x)=ln(1−x1+x)为奇函数
    D. 函数f(x)=x2−2|x|+5单调递增区间为[−1,0],[1,+∞)
    12.已知函数f(x)=2x1+|x|+1(x∈R),则下述结论正确的是( )
    A. f(x)为奇函数
    B. f(x)的图象关于(0,1)对称
    C. f(x)在R内是单调增函数
    D. 关于x的不等式f(x)+f(x−2)>2的解集为(1,+∞)
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.cs(−17π3)=______.
    14.若不等式−x2+ax+4a≤0在R上恒成立,则实数a的取值范围是______.
    15.当a>0且a≠1时,函数y=ax−2+4的图象一定经过定点 .
    16.折扇又名“撒扇”、“纸扇”,是一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子,如图1.其平面图如图2的扇形AOB,其中∠AOB=2π3,OA=3OC=3,则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是______.
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题10分)
    计算下列各式的值:
    (1)3(−4)3−(12)0+0.2512×(−1 2)−1;
    (2)lg52+2lg2−lg24+eln2.
    18.(本小题12分)
    集合A={x||2x−1|≤7},B={x|2k−2(1)当k=2时,求:A∪B;
    (2)已知A∪B=A,求k的取值范围.
    19.(本小题12分)
    已知函数f(x)= 32sin2x+12cs2x+1.
    (1)求f(x)的最小正周期T;
    (2)求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合.
    20.(本小题12分)
    为打赢打好脱贫攻坚战,实现建档立卡贫困人员稳定增收,某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业,助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚,并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道,两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为x米,如图所示.
    (1)将两个养殖池的总面积y表示为x的函数,并写出定义域;
    (2)当温室的边长x取何值时,总面积y最大?最大值是多少?
    21.(本小题12分)
    如图,AB为半圆的直径,AB=2,O为圆心,P是半圆上的一点,∠BOP=θ,0°<θ<90°,将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ,过P,Q分别作PM⊥AB于M,QN⊥AB于N.
    (Ⅰ)建立适当的直角坐标系,用θ的三角函数表示P,Q两点的坐标;
    (Ⅱ)求四边形PQNM的面积的最大值.
    22.(本小题12分)
    已知函数f(x)=b⋅ax(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
    (Ⅰ)求f(x)的解析式;
    (Ⅱ)若不等式(ab)x≥2m+1在x∈(−∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
    答案和解析
    1.【答案】A
    【解析】解:集合A={1,6},B={5,6,7,8},
    则A∪B={1,5,6,7,8}.
    故选:A.
    由集合并集的定义:A∪B={x|x∈A或x∈B}可得答案.
    本题主要考查并集及其运算,属于基础题.
    2.【答案】C
    【解析】解:令y=2x−1=0,解得x=12,∴12是函数的零点.
    故选:C.
    令2x−1=0解出x即为函数的零点.
    本题考查了函数零点的定义,属于基础题.
    3.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查了充分必要条件的定义,一元二次不等式的解法,属于基础题.
    求解a2>36,得出a>6或a<−6,根据充分必要的定义判断即可得出答案.
    【解答】解:①先看充分性:
    ∵a>6,
    ∴a2>36,
    ∴充分性成立,
    ②再看必要性:
    ∵a2>36,
    ∴a>6或a<−6,
    ∴必要性不成立,
    ∴a>6是a2>36的充分不必要条件,
    故选:A.
    4.【答案】B
    【解析】解:角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若角α终边有一点P(2,y),且sinα=− 55,
    即y 22+y2=− 55,解得y=−1.
    故选:B.
    由题意,根据正弦定义即可得到方程,解出即可.
    本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
    5.【答案】D
    【解析】解:当0f(x)=a−x=(1a)x在R上单调递增,
    ∴对应的图形为D,
    故选:D.
    根据指数函数和对数函数的单调性和a的关系,即可得到结论.
    本题主要考查函数图象的识别和判断,利用指数函数和对数函数单调性的性质是解决本题的关键,比较基础.
    6.【答案】B
    【解析】解:因为x2+y=1,
    则(1x+2y)(x2+y)=52+yx+xy≥52+2 yx⋅xy=92,
    当且仅当yx=xy,即x=y=23时取等号.
    故选:B.
    利用“1”的代换思想,根据基本不等式求解即可.
    本题考查基本不等式的应用,属于基础题.
    7.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题主要考查分段函数的单调性问题,分段函数的单调性必须先保证每段函数单调,同时端点处的函数值也存在对应的大小关系.
    要使函数f(x)R上的单调函数,则必须保证分段函数分别单调,对于端点处的函数值存在一定的大小关系.
    【解答】
    解:①若函数f(x)单调性递增,
    则满足a>14−a2>0a≥4−a2+2,即a>1a<8a≥4,解得4≤a<8.
    ②若函数f(x)单调性递减,
    则满足08a≤4,此时无解.
    综上实数a取值范围为:4≤a<8.
    故选:D.
    8.【答案】C
    【解析】解:由题意知,−1和3是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,
    ∴−1+3=−ba,(−1)×3=ca,
    ∴b=−2a,c=−3a,
    ∵a<0,∴b>0,c>0,即选项A和D正确;
    ∵1∉{x|x<−1或x>3},
    ∴a+b+c>0,即选项B正确;
    不等式cx2−bx+a<0可化为a(3x+1)(x−1)>0,
    ∵a<0,∴−13故选:C.
    由题意知,−1和3是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,再利用韦达定理,得出b=−2a,c=−3a,从而判断选项A和D;由1∉{x|x<−1或x>3},可判断选项B;将b=−2a,c=−3a代入不等式cx2−bx+a<0,解之,可判断选项C.
    本题考查一元二次不等式的解法,理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
    9.【答案】ABD
    【解析】解:由于ln(lg10)=ln1=0,故A正确;
    lg2+lg5=lg10=1,B正确;
    若10=lgx,则x=1010,则C不正确;
    若lg25x=12,则x=5,故D正确.
    故选:ABD.
    根据对数的运算性质即可求出.
    本题考查了对数的运算性质,考查了运算求解能力,属于基础题.
    10.【答案】AC
    【解析】解:对于A,定义域为R,因为f(−x)=|cs(−x)|=|csx|=f(x),
    所以函数为偶函数,因为y=|csx|的图像是由y=csx的图像在x轴下方的关于x轴对称后与x轴上方的图像共同组成,
    所以y=|csx|的最小正周期为π,所以A正确,
    对于B,定义域为R,因为f(−x)=sin(−2x)=−sin2x=−f(x),
    所以函数为奇函数,所以B错误,
    对于C,定义域为R,f(x)=sin(2x+π2)=cs2x,最小正周期为π,
    因为f(−x)=cs(−2x)=cs2x=f(x),所以函数为偶函数,所以C正确,
    对于D,定义域为R,最小正周期为2π12=4π,所以D错误,
    故选:AC.
    直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可.
    本题考查三角函数的周期,考查学生的运算能力及分析能力,属于中档题.
    11.【答案】BCD
    【解析】解:因为命题“∀x∈R,x2>−1”的否定是“∃x∈R,x2≤−1”,故A错误;
    函数f(x)=2lg4x=lg2x与g(x)=2x互为反函数,
    故其图象关于y=x对称,故B正确;
    因为f(x)=ln(1−x1+x),可求得定义域为(−1,1)关于原点对称,
    又f(−x)=ln(1+x1−x)=−ln(1−x1+x)=−f(x),故函数为奇函数,故C正确;
    因为f(x)=x2−2|x|+5=x2−2x+5,x≥0x2+2x+5,x<0,
    所以函数的单调递增区间为[−1,0],和[1,+∞),故D正确.
    故选:BCD.
    对于A,根据命题与命题的否定直接判断即可;对于B,根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可;对于C,根据奇函数定义判断即可;对于D,根据二次函数单调性判断即可;
    本题考查函数奇偶性的性质与判断,考查运算求解能力,属于中档题.
    12.【答案】BCD
    【解析】解:f(−1)=0,f(1)=2,显然不满足f(−1)=−f(1),即f(x)不是奇函数,A错误;
    因为f(x)+f(−x)=−2x1+|−x|+1+2x1+|x|+1=2,
    故函数f(x)的图象关于(0,1)对称;B正确;
    当x≥0时,f(x)=2x1+x+1=3−2x+1单调递增,根据函数的对称性可知,f(x)在R上单调递增,C正确;
    由f(x)+f(x−2)>2可得f(x−2)>2−f(x)=f(−x),
    所以x−2>−x,
    解得x>1,D正确.
    故选:BCD.
    由已知结合函数的奇偶性,对称性及单调性分别检验各选项即可判断.
    本题主要考查了函数的奇偶性及单调性,对称性的判断及应用,属于中档题.
    13.【答案】12
    【解析】解:cs(−17π3)=cs17π3=cs(6π−π3)=csπ3=12.
    故答案为:12.
    直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可.
    本题考查诱导公式的应用,特殊角的三角函数求值,考查计算能力.
    14.【答案】{a|−16≤a≤0}
    【解析】解:根据条件−x2+ax+4a≤0可以转化为x2−ax−4a≥0,
    不等式−x2+ax+4≤0在R上恒成立,等价于x2−ax−4a≥0在R上恒成立,
    只需满足,Δ=a2−4×(−4a)≤0,解得−16≤a≤0,
    综上可得,a的取值范围为{a|−16≤a≤0}.
    故答案为:{a|−16≤a≤0}.
    由题意知x2−ax−4a≥0在R上恒成立,只需Δ≤0,解得a的取值范围.
    本题主要考查了由二次不等式恒成立求解参数范围,体现了转化思想的应用,属于基础题.
    15.【答案】(2,5)
    【解析】【分析】
    本题考查指数函数过定点问题,属于基础题.
    利用指数函数的性质求解.
    【解答】
    解:令x−2=0得,x=2,此时y=a0+4=1+4=5,
    ∴函数y=ax−2+4的图象一定经过定点(2,5),
    故答案为:(2,5).
    16.【答案】8π3
    【解析】解:扇形AOB的面积S1=12×2π3×32=3π,
    扇形COD的面积S2=12×2π3×12=π3;
    故扇面(曲边四边形ABDC)的面积S=S1−S2=3π−π3=8π3.
    故答案为:8π3.
    直接利用扇形的面积公式求出结果.
    本题考查的知识要点:扇形的面积公式,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
    17.【答案】解:(1)原式=−4−1+12×(− 2)
    =−5− 22;
    (2)原式=lg52+lg4−2+2=lg10−2+2=1.
    【解析】(1)结合指数幂的运算性质即可求解;
    (2)结合对数的运算性质即可求解.
    本题主要考查了指数及对数的运算性质,属于基础题.
    18.【答案】解:(1)由题知,A={x|2x−1|≤7},B={x|2k−2因为|2x−1|≤7,
    解得−3≤x≤4,
    所以A={x|−3≤x≤4},
    当k=2时,B={x|2所以A∪B={x|−3≤x<5};
    (2)由题知B⊆A,
    由(1)得,A={x|−3≤x≤4},B={x|2k−2当B=⌀时,2k−2≥k+3,解得k≥5,
    当B≠⌀时,2k−2综上所述,k的取值范围为{k|k≥5或−12≤k≤1}.
    【解析】(1)先求出集合A,B,再利用集合的并集运算求解;
    (2)由A∪B=A可得B⊆A,再分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论,分别求出k的取值范围,最后取并集即可.
    本题主要考查了集合的基本运算,考查了集合间的包含关系,属于基础题.
    19.【答案】解:(1)由f(x)= 32sin2x+12cs2x+1得f(x)=sin(2x+π6)+1,
    所以T=2π2=π;
    (2)由(1)知f(x)min=−1+1=0,此时2x+π6=−π2+2kπ,即x=−π3+kπ,k∈Z,
    故x的集合为{x|x=−π3+kπ,k∈Ζ}.
    【解析】(1)利用辅助角公式化简,结合正弦函数的周期公式即可求得答案;
    (2)根据正弦函数的性质即可求得答案.
    本题考查的知识要点:三角函数的关系式的变换,三角函数的值,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于基础题.
    20.【答案】解:(1)依题意得温室的另一边长为1500x米.
    因此养殖池的总面积y=(x−3)(1500x−5),
    因为x−3>0,1500x−5>0,所以3所以定义域为{x|3(2)y=(x−3)(1500x−5)=1515−(4500x+5x)
    ≤1515−2 4500x⋅5x
    =1515−300=1215,
    当且仅当4500x=5x,即x=30时上式等号成立,
    当温室的边长x为30米时,总面积y取最大值为1215平方米.
    【解析】本题考查实际问题的解决方法,函数思想的应用,基本不等式求解函数的最值,考查分析问题解决问题的能力.
    (1)依题意得温室的另一边长为1500x米.求出养殖池的总面积y=(x−3)(1500x−5),然后求解函数的定义域即可.
    (2)y=(x−3)(1500x−5)=1515−(4500x+5x),利用基本不等式求解函数的最值即可.
    21.【答案】解:(Ⅰ)以AB所在直线为x轴,O为原点建立直角坐标系xOy,
    ∵∠BOP=θ,圆的半径为1,∴点P坐标为(csθ,sinθ).
    ∵将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ,点Q的坐标为(cs(θ+π2),sin(θ+π2)),即Q坐标为(−sinθ,csθ).
    (Ⅱ)由题意,MN=OM+ON=csθ+sinθ,MP=sinθ,QN=csθ,
    四边形PQNM的面积S=12×MN×(PM+QN)=12(csθ+sinθ)×(csθ+sinθ)=12(1+sin2θ),
    ∵0°<θ<90°,∴0°<2θ<180°,
    ∴当2θ=90°时,即θ=45°时,Smax=1,
    ∴四边形PQNM的面积的最大值为1.
    【解析】(Ⅰ)建立坐标系,由题意,利用任意角的三角函数的定义、诱导公式,求得P,Q两点的坐标.
    (Ⅱ)先求得MN、PM、QN的值,再根据梯形的面积公式,二倍角公式,化简梯形的面积,再根据正弦函数的定义域和值域,求出四边形PQNM的面积的最大值.
    本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式,梯形的面积公式,二倍角公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
    22.【答案】解:(I)由题意得a⋅b=6b⋅a3=24,∴a=2,b=3,…(2分)
    ∴f(x)=3⋅2x…(4分)
    (II)设g(x)=(ab)x=(23)x,则y=g(x)在R上为减函数.…(7分)
    ∴当x≤1时gmin(x)=g(1)=23,…(9分)
    ∵(ab)x≥2m+1在x∈(−∞,1]上恒成立,…(10分)
    ∴g(x)min≥2m+1,…(11分)
    ∴2m+1≤23,∴m≤−16
    ∴m的取值范围为:m≤−16.…(12分)
    【解析】(I)将点的坐标,代入函数解析式,即可求得f(x)的解析式;
    (II)求出g(x)=(ab)x=(23)x在x∈(−∞,1]上的最小值,不等式(ab)x≥2m+1在x∈(−∞,1]上恒成立,转化为g(x)min≥2m+1,从而可求实数m的取值范围.
    本题考查函数解析式的确定,考查恒成立问题,求出函数的最值是关键.
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