人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示免费习题

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[A组 必备知识练]
1．如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
答案：C
2．如图所示，在矩形ABCD中， eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1， eq \(DC,\s\up6(→))＝3e2，则 eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A． eq \f(1,2)(5e1＋3e2) B． eq \f(1,2)(5e1－3e2)
C． eq \f(1,2)(3e2－5e1) D． eq \f(1,2)(5e2－3e1)
解析： eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))
＝ eq \f(1,2)(5e1＋3e2).
答案：A
3.如图，在△ABC中， eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(BD,\s\up6(→)).若 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，则 eq \f(λ,μ)等于( )
A． eq \f(3,2) B． eq \f(2,3)
C．3 D． eq \f(1,3)
解析：由题意可得， eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→))，
据此可知λ＝ eq \f(1,3)，μ＝ eq \f(2,9)，∴ eq \f(λ,μ)＝ eq \f(3,2).
答案：A
4．设{a，b}为基底，已知向量 eq \(AB,\s\up6(→))＝a－kb， eq \(CB,\s\up6(→))＝2a＋b， eq \(CD,\s\up6(→))＝3a－b.若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
解析： eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b.∵A，B，D三点共线，∴ eq \(AB,\s\up6(→))＝λ eq \(AD,\s\up6(→))，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b.
∵{a，b}为基底，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＝1，,k＝λ(k＋2)，))解得λ＝ eq \f(1,2)，k＝2.
答案：A
5．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为________．
解析：若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)
6．已知G为△ABC的重心．设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则用a，b表示向量 eq \(AG,\s\up6(→))＝________．
解析：如图，连接AG并延长，交BC于点D，
则D为BC的中点，
eq \(AG,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))
＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b.
答案： eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b
7．在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以 eq \(CB,\s\up6(→))＝e1， eq \(CA,\s\up6(→))＝e2表示 eq \(CF,\s\up6(→)).
解： eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))＝e1－e2.
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4)(e1－e2)，
所以 eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→))＝e2＋ eq \f(3,4)(e1－e2)＝ eq \f(3,4)e1＋ eq \f(1,4)e2.
[B组 关键能力练]
8．在△ABC中，已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)· eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D. 三边均不相等的三角形
解析： eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)， eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分别为平行于 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))的同向单位向量，即 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))＝1.又由平行四边形法则可知向量 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋ eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)所在的直线为∠BAC的平分线．因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)· eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|))) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·cs ∠BAC＝ eq \f(1,2)，所以cs ∠BAC＝ eq \f(1,2).又0＜∠BAC＜π，所以∠BAC＝ eq \f(π,3)，所以△ABC为等边三角形．
答案：A
9．若 eq \(OP1,\s\up6(→))＝a， eq \(OP2,\s\up6(→))＝b， eq \(P1P,\s\up6(→))＝λ eq \(PP2,\s\up6(→))(λ≠－1)，则 eq \(OP,\s\up6(→))等于( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D． eq \f(1,1＋λ)a＋ eq \f(λ,1＋λ)b
解析：∵ eq \(P1P,\s\up6(→))＝λ eq \(PP2,\s\up6(→))，
∴ eq \(OP,\s\up6(→))－ eq \(OP1,\s\up6(→))＝λ( eq \(OP2,\s\up6(→))－ eq \(OP,\s\up6(→)))，∴(1＋λ) eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OP1,\s\up6(→))＋λ eq \(OP2,\s\up6(→))，
∴ eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,1＋λ) eq \(OP1,\s\up6(→))＋ eq \f(λ,1＋λ) eq \(OP2,\s\up6(→))＝ eq \f(1,1＋λ)a＋ eq \f(λ,1＋λ)b.
答案：D
10．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足 eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))＋2\(OC,\s\up6(→))))，则点P一定为( )
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．△ABC的重心
D．AB边的中点
解析：∵O是△ABC的重心，∴ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴ eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(OC,\s\up6(→))＋2\(OC,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up6(→))，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心).
答案：B
11．在△ABC中，M为边BC上任意一点(包括端点)，N为线段AM上任意一点(包括端点).若 eq \(AN,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C．[0，1] D．[1，2]
解析：由题意，设 eq \(AN,\s\up6(→))＝t eq \(AM,\s\up6(→))(0≤t≤1).当t＝0时， eq \(AN,\s\up6(→))＝0，所以λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))＝0.又 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(AC,\s\up6(→))不共线，所以λ＝μ＝0，此时λ＋μ＝0；当0＜t≤1时，因为 eq \(AN,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，所以t eq \(AM,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，即 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(λ,t) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(μ,t) eq \(AC,\s\up6(→)).又M，B，C三点共线，所以 eq \f(λ,t)＋ eq \f(μ,t)＝1，即λ＋μ＝t∈(0，1].综上，λ＋μ的取值范围是[0，1].
答案：C
12．如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB.设 eq \(MA,\s\up6(→))＝a， eq \(MB,\s\up6(→))＝b，则 eq \(MC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)
解析： eq \(MC,\s\up6(→))＝ eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \f(5,6) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \f(5,6)( eq \(MB,\s\up6(→))－ eq \(MA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,6) eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \f(5,6) eq \(MB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,6)a＋ eq \f(5,6)b.
答案： eq \f(1,6)a＋ eq \f(5,6)b
13．已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P， eq \(OA,\s\up6(→))与 eq \(OB,\s\up6(→))不共线．
(1)在△OAB中，若点P在AB上，且 eq \(AP,\s\up6(→))＝2 eq \(PB,\s\up6(→))， eq \(AP,\s\up6(→))＝r eq \(OB,\s\up6(→))＋s eq \(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；
(2)点P满足 eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
解：(1)∵ eq \(AP,\s\up6(→))＝2 eq \(PB,\s\up6(→))，∴ eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))，
∴ eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→)).
又∵ eq \(AP,\s\up6(→))＝r eq \(OB,\s\up6(→))＋s eq \(OA,\s\up6(→))，
∴r＝ eq \f(2,3)，s＝－ eq \f(2,3)，∴r＋s＝0.
(2)∵四边形OABP为平行四边形(如图)，∴ eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \(OP,\s\up6(→))＋ eq \(OA,\s\up6(→)).
又∵ eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))，
∴ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)).
依题意 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))是非零向量且不共线，
∴m＝－1.
[C组 素养培优练]
14．如图，平面内有三个向量 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))，其中 eq \(OA,\s\up6(→))与 eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°， eq \(OA,\s\up6(→))与 eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且| eq \(OA,\s\up6(→))|＝| eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，| eq \(OC,\s\up6(→))|＝2 eq \r(3).若 eq \(OC,\s\up6(→))＝λ eq \(OA,\s\up6(→))＋μ eq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，
则存在λ，μ，使 eq \(OM,\s\up6(→))＝λ eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(ON,\s\up6(→))＝μ eq \(OB,\s\up6(→))，
即 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))＋ eq \(ON,\s\up6(→))＝λ eq \(OA,\s\up6(→))＋μ eq \(OB,\s\up6(→)).
在Rt△OCM中，∵| eq \(OC,\s\up6(→))|＝2 eq \r(3)，
∠COM＝30°，∠OCM＝90°，
∴| eq \(OM,\s\up6(→))|＝4，∴ eq \(OM,\s\up6(→))＝4 eq \(OA,\s\up6(→)).
又| eq \(ON,\s\up6(→))|＝| eq \(MC,\s\up6(→))|＝2，∴ eq \(ON,\s\up6(→))＝2 eq \(OB,\s\up6(→))，
∴ eq \(OC,\s\up6(→))＝4 eq \(OA,\s\up6(→))＋2 eq \(OB,\s\up6(→))，即λ＝4，μ＝2，
∴λ＋μ＝6.