高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算免费同步测试题

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[A组 必备知识练]
1.如图所示，在▱ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则用a，b表示向量 eq \(AC,\s\up6(→))和 eq \(BD,\s\up6(→))分别是( )
A．a＋b和a－b
B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a
D．b－a和b＋a
解析：由向量的加法、减法法则，
得 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b，
eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a.
答案：B
2. eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A． eq \(AB,\s\up6(→)) B． eq \(AE,\s\up6(→))
C． eq \(BE,\s\up6(→)) D． eq \(CD,\s\up6(→))
答案：B
3．下列各式中，恒成立的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→)) B．a－a＝0
C． eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→)) D． eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝0
解析：选项D中， eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
答案：D
4．(多选)下列四个式子中可以化简为 eq \(AB,\s\up6(→))的是( )
A． eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(BD,\s\up6(→)) B． eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))
C． eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)) D． eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))
答案：AD
5．在△ABC中，AD为BC边上的中线．若点O满足 eq \(AO,\s\up6(→))＝2 eq \(OD,\s\up6(→))，则 eq \(OC,\s\up6(→))可表示为( )
A．－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) B． eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) D．－ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
解析：如图所示，
∵AD为BC边上的中线，∴D为BC的中点，∴ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)).∵ eq \(AO,\s\up6(→))＝2 eq \(OD,\s\up6(→))，∴ eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，∴ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)).
答案：A
6．在边长为1的正三角形ABC中，| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))|的值为________．
解析：如图，作菱形ABCD，则| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(DB,\s\up6(→))|＝ eq \r(3).
答案： eq \r(3)
7．如图，在四边形ABCD中，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b， eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(DC,\s\up6(→))用a，b，c可表示为________________．
解析： eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋c－b＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
8.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1， eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(BC,\s\up6(→))＝b， eq \(AC,\s\up6(→))＝c，试求：|a－b＋c|.
解：作 eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，连接CF(图略)，则 eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \(DF,\s\up6(→)).
而 eq \(DB,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))＝a－b，
∴a－b＋c＝ eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \(DF,\s\up6(→))，且| eq \(DF,\s\up6(→))|＝2，
∴|a－b＋c|＝2.
[B组 关键能力练]
9．若| eq \(AB,\s\up6(→))|＝5，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝8，则| eq \(BC,\s\up6(→))|的取值范围是( )
A．[3，8] B．(3，8)
C．[3，13] D．(3，13)
解析：∵| eq \(BC,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))|且|| eq \(AC,\s\up6(→))|－| eq \(AB,\s\up6(→))||≤| eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))|≤| eq \(AC,\s\up6(→))|＋| eq \(AB,\s\up6(→))|，∴3≤| eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))|≤13，∴3≤| eq \(BC,\s\up6(→))|≤13.
答案：C
10．平面上有三点A，B，C，设m＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))，n＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)).若m，n的长度恰好相等，则( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：如图所示，作▱ABCD，
则 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，
eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→)).
∵|m|＝|n|，∴| eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(DB,\s\up6(→))|，
∴▱ABCD为矩形，∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°.
答案：C
11．已知 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b.若| eq \(OA,\s\up6(→))|＝12，| eq \(OB,\s\up6(→))|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
解析：∵| eq \(OA,\s\up6(→))|＝12，| eq \(OB,\s\up6(→))|＝5，∠AOB＝90°，
∴| eq \(OA,\s\up6(→))|2＋| eq \(OB,\s\up6(→))|2＝| eq \(AB,\s\up6(→))|2，∴| eq \(AB,\s\up6(→))|＝13.
∵ eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b，
∴a－b＝ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))，∴|a－b|＝| eq \(BA,\s\up6(→))|＝13.
答案：13
12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且| eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|，则| eq \(AM,\s\up6(→))|＝________．
解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略).
由向量加、减法的几何意义可知，
eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)).
∵| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|，
∴| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(CB,\s\up6(→))|.
又| eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，M是线段BC的中点，
∴| eq \(AM,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2)| eq \(AD,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2)| eq \(BC,\s\up6(→))|＝2.
答案：2
13．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点．设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(DA,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c.证明：b＋c－a＝ eq \(OA,\s\up6(→)).
证明：b＋c－a＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→)).
[C组 素养培优练]
14．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b， eq \(AE,\s\up6(→))＝c.试用a，b，c表示向量 eq \(BD,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(BE,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))及 eq \(CE,\s\up6(→)).
解：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))＝c，
eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝c－a，
eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))＝c－b，
∴ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.