人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第四课时免费复习练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第四课时免费复习练习题，共7页。
[A组 必备知识练]
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，由图知α＝β.
答案：B
2．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上
解析：由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．
答案：D
3.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12 m B．8 m
C．3 eq \r(3) m D．4 eq \r(3) m
解析：AC＝BC＝4，A＝B＝30°，C＝120°.由正弦定理得AB＝ eq \f(BC,sin A)·sin C＝4 eq \r(3).
答案：D
4．一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为( )
A．17海里 B．16海里
C．15海里 D．14海里
解析：记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示，则AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，所以由余弦定理得BC2＝102＋62－2×10×6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝196，所以BC＝14，故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里．
答案：D
5.A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km, C＝60°，则A，B两点之间的距离为________ km.
解析：由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB cs C，∴AB2＝49＋25－2×7×5 cs 60°＝39，AB＝ eq \r(39).
答案： eq \r(39)
6.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________ m.
解析：∠ACB＝180°－∠A－∠B＝75°，∴∠CBA＝∠ACB，
∴AC＝AB＝120.在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴CD＝ eq \f(1,2)AC＝60.
答案：60
7．如图，在气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，求河流的宽度BC.
解：如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m．在Rt△ACD中，CD＝ eq \f(AD,tan ∠ACD)＝ eq \f(60,tan 30°)＝60 eq \r(3)(m).在Rt△ABD中，BD＝ eq \f(AD,tan ∠ABD)＝ eq \f(60,tan 75°)＝ eq \f(60,2＋\r(3))＝60(2－ eq \r(3))(m)，
∴BC＝CD－BD＝60 eq \r(3)－60(2－ eq \r(3))＝120( eq \r(3)－1)(m).
即河流的宽度为120( eq \r(3)－1)m.
8．在灯塔A的正东方向，相距40海里的B处，有一艘渔船遇险，在原地等待营救．海警船在灯塔A的南偏西30°，相距20海里的C处．现海警船要沿直线CB方向，尽快前往B处救援，求sin ∠ACB的值．
解：如图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝1 600＋400－2×40×20× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝2 800，所以BC＝20 eq \r(7).
由正弦定理得sin ∠ACB＝ eq \f(AB·sin ∠BAC,BC)＝ eq \f(40×\f(\r(3),2),20\r(7))＝ eq \f(\r(21),7).
[B组 关键能力练]
9．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝1 km，CD＝3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为( )
A．2 eq \r(7) km B．3 eq \r(3) km
C．4 eq \r(2) km D．3 eq \r(5) km
解析：已知AB＝1，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝150°，∴AE＝2AB＝2，CE＝ eq \f(CD,sin 60°)＝ eq \f(3,\f(\r(3),2))＝2 eq \r(3).在△ACE中，由余弦定理得AC2＝AE2＋CE2－2AE·CE·cs ∠AEC＝4＋12－2×2×2 eq \r(3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝28，解得AC＝2 eq \r(7).故两山顶A，C之间的距离为2 eq \r(7) km.
答案：A
10．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 000 m，速度为900 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为( )
A．5 000( eq \r(3)＋1)m B．5 000( eq \r(3)－1)m
C．5 000(3－ eq \r(3))m D．5 000(5－ eq \r(3))m
解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意知A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°，AB＝900×80× eq \f(1,3 600)＝20(km).
在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ eq \f(AB·sin A,sin ∠ACB)＝10 eq \r(2)(km).
在△BCD中，CD＝BC sin ∠CBD＝BC·sin 75°＝10 eq \r(2)×sin 75°＝(5＋5 eq \r(3))(km)，所以山顶的海拔高度为[20－(5＋5 eq \r(3))]km＝5 000(3－ eq \r(3))m.
答案：C
11．某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1 000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为________米．(参考数据：sin 51°≈0.777 1，sin 60°≈0.866 0，tan 18°≈0.324 9)
解析：如图所示，在△ABC中，AB＝1 000，∠ACB＝21°＋39°＝60°，∠ABC＝90°－39°＝51°.由正弦定理得 eq \f(AC,sin 51°)＝ eq \f(1 000,sin 60°)，所以AC＝ eq \f(1 000·sin 51°,sin 60°).在Rt△ACD中，∠CAD＝18°，所以CD＝AC·tan 18°＝ eq \f(1 000·sin 51°,sin 60°)×tan 18°≈ eq \f(1 000×0.777 1,0.866 0)×0.324 9≈292(米)，所以该塔的高度约为292米．
答案：292
12．已知甲船位于小岛A的南偏西30°的B处，乙船位于小岛A处，AB＝20千米，甲船沿 eq \(BA,\s\up6(→))的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，它们行驶的时间为________小时．
解析：设甲、乙两船相距最近时，它们行驶的时间为t(t>0)小时，如图所示．若在甲船到达A处之前或A处时两船相距最近，则有AC＝20－6t，AD＝8t，t≤ eq \f(10,3).在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝(20－6t)2＋(8t)2－2(20－6t)·8t cs 120°＝52t2－80t＋400＝52 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(10,13))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(4 800,13)，故t＝ eq \f(10,13)时，CD取最小值．若甲船过A处之后两船相距最近，则有AC′＝6t－20，AD＝8t，t＞ eq \f(10,3).在△AC′D中，由余弦定理可得C′D2＝(6t－20)2＋(8t)2－2(6t－20)·8t cs 60°＝52t2－80t＋400＝52 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(10,13))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(4 800,13).因为t＞ eq \f(10,3)，所以此时C′D2无最小值．综上所述，当t＝ eq \f(10,13)时，CD取得最小值．即当甲、乙两船相距最近时，它们行驶的时间为 eq \f(10,13)小时．
答案： eq \f(10,13)
13.如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一所学校，现拟在两条公路之间的区域内建一个工厂P，在两公路旁M，N(异于点A)外设两个销售点，且满足∠BAC＝∠PMN＝75°，MN＝( eq \r(6)＋ eq \r(2))km，PM＝2 eq \r(3) km，设∠AMN＝θ. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(注：sin 75°＝\f(\r(6)＋\r(2),4)))
(1)试用θ表示AM，并写出θ的取值范围；
(2)当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远).
解：(1)在△AMN中，由正弦定理得 eq \f(MN,sin 75°)＝ eq \f(AM,sin (75°＋θ))，
则AM＝4sin (75°＋θ)(0°＜θ＜105°).
(2)连接AP(图略).在△APM中，由余弦定理得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP cs ∠AMP
＝16 sin2(75°＋θ)＋12－16 eq \r(3)sin(75°＋θ)cs (75°＋θ)
＝8[1－cs (2θ＋150°)]－8 eq \r(3)sin (2θ＋150°)＋12
＝20－8[ eq \r(3)sin (2θ＋150°)＋cs (2θ＋150°)]
＝20－16sin (2θ＋180°)
＝20＋16sin 2θ(0°＜θ＜105°)，
当且仅当2θ＝90°，即θ＝45°时，AP2取得最大值36，即AP取得最大值6，
所以当θ＝45°时，工厂产生的噪声对学校的影响最小．
[C组 素养培优练]
14．如图所示，某市有一条从正南方向AO通过市中心O后指向东偏北30°的OB方向的公路．现要修建一条地铁线路，在OA，OB上各设一站A，B，地铁线路在AB部分为直线段，市中心O到AB的距离为10 km.
(1)若OA＝15 km，求O，B之间的距离；
(2)求A，B两点之间距离的最小值．
解：(1)如图，过点O作AB的垂线，垂足为E，由题意可知OE＝10.
在Rt△OAE中，OE＝10，OA＝15，sin∠OAB＝ eq \f(OE,OA)＝ eq \f(2,3)，cs ∠OAB＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(5),3)，
∴sin ∠OBA＝sin (60°－∠OAB)＝ eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(5),3)－ eq \f(1,2)× eq \f(2,3)＝ eq \f(\r(15)－2,6).
在△OAB中，由正弦定理可知 eq \f(OB,sin ∠OAB)＝ eq \f(OA,sin ∠OBA)，
∴OB＝ eq \f(15×\f(2,3),\f(\r(15)－2,6))＝ eq \f(60(\r(15)＋2),11)(km)，
即O，B之间的距离是 eq \f(60(\r(15)＋2),11) km.
(2)设∠AOE＝α，则30°＜α＜90°，
∴∠BOE＝120°－α，
∴AB＝AE＋BE＝10tan α＋10tan (120°－α)
＝10×tan 120°×[1－tan α·tan (120°－α)]
＝－10 eq \r(3)× eq \f(cs 120°,cs α·cs (120°－α))
＝ eq \f(5\r(3),cs αcs (120°－α)).
又cs αcs (120°－α)＝－ eq \f(1,2)cs2α＋ eq \f(\r(3),2)csαsin α
＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2α－\f(1,2)cs 2α))－ eq \f(1,4)
＝ eq \f(1,2)sin (2α－30°)－ eq \f(1,4)，
∴当2α－30°＝90°，即α＝60°时，AB取最小值 eq \f(5\r(3),\f(1,2)－\f(1,4))＝20 eq \r(3)(km)，
∴A，B之间距离的最小值为20 eq \r(3) km.