高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第二课时免费同步达标检测题

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[A组 必备知识练]
1．在△ABC中，A＝ eq \f(π,6)，B＝ eq \f(π,4)，b＝ eq \r(2)，则a＝( )
A．1 B． eq \r(3)
C．2 D．2 eq \r(3)
解析：由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，得a＝ eq \f(b,sin B)sin A＝ eq \f(\r(2),\f(\r(2),2))× eq \f(1,2)＝1.
答案：A
2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△ABC外接圆的半径是( )
A． eq \f(3,2) B．3
C．3 eq \r(3) D．6
解析：2R＝ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(3,\f(1,2))＝6，故R＝3.
答案：B
3．已知在△ABC中，b＝4 eq \r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
解析：sin B＝ eq \f(b,c)sin C＝ eq \f(4\r(3),2)× eq \f(1,2)＝ eq \r(3)＞1，无解．
答案：C
4．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：由a＝2R sin A，b＝2R sin B及a＝b sin A，
得sin A＝sin B·sin A.
又sin A＞0，∴sin B＝1.又0°＜B＜180°，∴B＝90°，△ABC为直角三角形．
答案：B
5．在△ABC中，a＝5，b＝5 eq \r(3)，A＝30°，则B＝________．
解析：sin B＝ eq \f(b,a)sin A＝ eq \f(5\r(3),5)× eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(3),2).
∵a＜b，∴A＜B，B＝60°或120°.
答案：60°或120°
6．在△ABC中，a＝2b，sin A＝ eq \f(2,5)，则sin B＝________．
解析：sin B＝ eq \f(b,a)sin A＝ eq \f(b,2b)× eq \f(2,5)＝ eq \f(1,5).
答案： eq \f(1,5)
7．在△ABC中，cs2 eq \f(C,2)＝ eq \f(a＋b,2a)，判断△ABC的形状．
解：由题意，得csC＝2cs2 eq \f(C,2)－1＝ eq \f(b,a).由正弦定理 eq \f(a,sinA)＝ eq \f(b,sin B)，得sin A cs C＝sin B．又A＋B＋C＝180°，所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cs C＋cs A sin C，所以cs A sin C＝0.又sin C＞0，所以cs A＝0.又0°＜A＜180°，所以A＝90°，△ABC为直角三角形．
8．在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝2解三角形．
解：由三角形内角和定理得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
根据正弦定理，得b＝ eq \f(a sin B,sin A)＝ eq \f(2sin 30°,sin 45°)＝ eq \f(2×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝ eq \r(2)，
c＝ eq \f(a sin C,sin A)＝ eq \f(2sin 105°,sin 45°)＝ eq \f(2sin 75°,sin 45°)＝ eq \f(2×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝ eq \r(3)＋1，
所以C＝105°，b＝ eq \r(2)，c＝ eq \r(3)＋1.
[B组 关键能力练]
9．在锐角三角形ABC中，若b2＝a(a＋c)，则 eq \f(a sin A,b cs A－a cs B)的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
解析：由b2＝a(a＋c)及余弦定理可得c－a＝2a csB．
由正弦定理得sin C－sin A＝2sin A cs B.
∵A＋B＋C＝π，∴sin (A＋B)－sin A＝2sin A cs B，
∴sin (B－A)＝sin A.
∵△ABC是锐角三角形，
∴B－A＝A，即B＝2A，则C＝π－3A.
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜B＜\f(π,2)，,0＜C＜\f(π,2)，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜2A＜\f(π,2)，,0＜π－3A＜\f(π,2)，))∴ eq \f(π,6)＜A＜ eq \f(π,4)，
则 eq \f(a sin A,b cs A－a cs B)＝ eq \f(sin2A,sin(B－A))＝sin A∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).
答案：C
10．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中无解的是( )
A．a＝7，b＝3，B＝30°
B．b＝6，c＝5 eq \r(2)，B＝45°
C．a＝15，b＝10，B＝120°
D．b＝6，c＝6 eq \r(3)，C＝60°
解析：对于选项A，由正弦定理得sin A＝ eq \f(a,b)sin B＝ eq \f(7,3)×sin 30°＝ eq \f(7,6)＞1，所以此三角形无解，满足题意；对于选项B，由正弦定理得sin C＝ eq \f(c,b)sin B＝ eq \f(5\r(2),6)×sin 45°＝ eq \f(5,6)＜1，且c＞b，故此三角形有两解；对于选项C，由正弦定理得sin A＝ eq \f(a,b)sin B＝ eq \f(15,10)×sin 120°＝ eq \f(3\r(3),4)＞1，此三角形无解，满足题意；对于选项D，由正弦定理得sin B＝ eq \f(b,c)sin C＝ eq \f(6,6\r(3))×sin 60°＝ eq \f(1,2)＜1，且c＞b，所以B＜C，所以B＝30°，此时三角形只有一解．
答案：AC
11．在△ABC中，3b cs C＝c(1－3cs B)，则c∶a＝________．
解析：由3b cs C＝c(1－3cs B)及正弦定理可得3sin B cs C＝sin C(1－3cs B)，化简可得sin C＝3sin (B＋C).又A＋B＋C＝π，∴sin C＝3sin A，∴由正弦定理可得c∶a＝sin C∶sin A＝3∶1.
答案：3∶1
12．在△ABC中，sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B，C＝ eq \f(π,3)，则 eq \f(a,b)＝________．
解析：因为A＋B＝π－C，所以sin C＝sin (π－C)＝sin (A＋B)＝sin A cs B＋cs A sin B.
又sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B，所以2sin A cs B＝6sin B cs B，即2cs B(sin A－3sin B)＝0，解得cs B＝0或sin A＝3sin B.
当cs B＝0时，因为B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,2).又C＝ eq \f(π,3)，所以A＝ eq \f(π,6)，则sin A＝ eq \f(1,2)，sin B＝1，所以由正弦定理得 eq \f(a,b)＝ eq \f(sin A,sin B)＝ eq \f(1,2).当sin A＝3sin B时，由正弦定理得a＝3b，所以 eq \f(a,b)＝3.综上所述， eq \f(a,b)＝3或 eq \f(1,2).
答案：3或 eq \f(1,2)
13．在△ABC中，a＝2，b＝ eq \r(2)，同时还可能满足以下某些条件：①A＝ eq \f(π,4)；②B＞A；③sin B＜sin A；④c＝4.
(1)直接写出所有可能满足的条件序号；
(2)在(1)的条件下，求B及c的值．
解：(1)①，③.
(2)由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，可得 eq \f(2,sin \f(π,4))＝ eq \f(\r(2),sin B)，
∴sin B＝ eq \f(\r(2)×sin \f(π,4),2)＝ eq \f(\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝ eq \f(1,2).
∵a＞b，∴A＞B，∴B＝ eq \f(π,6).
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cs A，得22＝( eq \r(2))2＋c2－2× eq \r(2)×c× eq \f(\r(2),2)，
解得c＝ eq \r(3)＋1或c＝－ eq \r(3)＋1(舍).
[C组 素养培优练]
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 eq \r(3)sin B cs B＋cs2B＝1.
(1)求角B的值；
(2)若b＝ eq \r(3)，且b≤a，求a－ eq \f(1,2)c的取值范围．
解：(1)由 eq \r(3)sinB cs B＋cs2B＝ eq \f(\r(3),2)sin2B＋ eq \f(cs 2B＋1,2)＝1，得 eq \f(\r(3),2)sin 2B＋ eq \f(1,2)cs 2B＝ eq \f(1,2)，
化简得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B＋\f(π,6)))＝ eq \f(1,2).
∵B∈(0，π)，∴2B＋ eq \f(π,6)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，∴2B＋ eq \f(π,6)＝ eq \f(5π,6)，∴B＝ eq \f(π,3).
(2)由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝ eq \f(\r(3),sin \f(π,3))＝2，
则a＝2sin A，c＝2sin C，
∴a－ eq \f(1,2)c＝2sin A－sin C＝2sin A－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))
＝2sin A－sin eq \f(2π,3)cs A＋cs eq \f(2π,3)sin A
＝ eq \f(3,2)sin A－ eq \f(\r(3),2)cs A＝ eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6))).
∵b≤a，∴ eq \f(π,3)≤A＜ eq \f(2π,3)，∴ eq \f(π,6)≤A－ eq \f(π,6)＜ eq \f(π,2)，
则 eq \f(1,2)≤sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))＜1，
∴a－ eq \f(1,2)c＝ eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\r(3)))，
即a－ eq \f(1,2)c的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\r(3))).