数学必修 第二册6.4 平面向量的应用免费练习

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[A组 必备知识练]
1．在▱ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－2)，C(2，2)，则点D的坐标为( )
A．(4，4) B．(－2，1)
C．(1，0) D．(－5，2)
解析：设点D的坐标为(x，y)，则 eq \(DC,\s\up6(→))＝(2－x，2－y).
∵ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，∴2－x＝－2且2－y＝－2，即x＝4，y＝4.
答案：A
2．在四边形ABCD中， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：由 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))，得BC∥AD，BC＝AD，四边形ABCD为平行四边形．又 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0，所以AB⊥BC，即∠ABC＝ eq \f(π,2)，故四边形ABCD为矩形．
答案：C
3．在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＜0，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：∵cs ∠BAC＝ eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＜0，∴∠BAC为钝角，△ABC为钝角三角形．
答案：C
4．在△ABC中，| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：由| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|，得( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))2＝( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))2，
即 eq \(AB,\s\up6(→))2＋2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))2＝ eq \(AB,\s\up6(→))2－2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))2，
所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即∠A＝ eq \f(π,2)，故△ABC为直角三角形．
答案：A
5．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝ eq \f(1,2)MC，BN＝ eq \f(1,2)BC，则 eq \(AM,\s\up6(→))· eq \(AN,\s\up6(→))＝________．
解析：法一： eq \(AM,\s\up6(→))· eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))＝0＋ eq \f(1,2)×22＋ eq \f(1,3)×32＋ eq \f(1,6)×0＝5.
法二：以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
于是 eq \(AM,\s\up6(→))＝(1，2)， eq \(AN,\s\up6(→))＝(3，1)，故 eq \(AM,\s\up6(→))· eq \(AN,\s\up6(→))＝5.
答案：5
6．在△ABC中，A(4，2)，B(7，5)，C(－5，7)，则BC边的中线AD的长是________．
解析：由题意得D(1，6)， eq \(AD,\s\up6(→))＝(－3，4)，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝ eq \r((－3)2＋42)＝5.
答案：5
7.已知在△ABC中，点D是AB的中点，AB＝2CD.求证：△ABC为直角三角形．
证明：∵点D是AB的中点，
∴ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝2 eq \(CD,\s\up6(→))，
∴ eq \(CA,\s\up6(→))2＋2 eq \(CA,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))2＝| eq \(CA,\s\up6(→))|2＋2 eq \(CA,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＋| eq \(CB,\s\up6(→))|2＝4| eq \(CD,\s\up6(→))|2.
又 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))，
∴| eq \(AB,\s\up6(→))|2＝ eq \(AB,\s\up6(→))2＝( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))2＝ eq \(CB,\s\up6(→))2－2 eq \(CB,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))2
＝| eq \(CB,\s\up6(→))|2－2 eq \(CB,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＋| eq \(CA,\s\up6(→))|2.
∵AB＝2CD，∴| eq \(AB,\s\up6(→))|2＝4| eq \(CD,\s\up6(→))|2，
∴| eq \(CA,\s\up6(→))|2＋2 eq \(CA,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＋| eq \(CB,\s\up6(→))|2＝| eq \(CB,\s\up6(→))|2－2 eq \(CB,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＋| eq \(CA,\s\up6(→))|2，
即 eq \(CA,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＝0， eq \(CA,\s\up6(→))⊥ eq \(CB,\s\up6(→))，
∴∠ACB＝ eq \f(π,2)，△ABC为直角三角形．
8.如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且 eq \f(CE,ED)＝ eq \f(AF,FB)＝ eq \f(1,2).
求证：点E，O，F在同一直线上．
证明：设 eq \(AB,\s\up6(→))＝m， eq \(AD,\s\up6(→))＝n，
由 eq \f(CE,ED)＝ eq \f(AF,FB)＝ eq \f(1,2)，知E，F分别是 CD，AB的三等分点，
所以 eq \(FO,\s\up6(→))＝ eq \(FA,\s\up6(→))＋ eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))
＝－ eq \f(1,3)m＋ eq \f(1,2)(m＋n)＝ eq \f(1,6)m＋ eq \f(1,2)n，
eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CD,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2)(m＋n)－ eq \f(1,3)m＝ eq \f(1,6)m＋ eq \f(1,2)n，
所以 eq \(FO,\s\up6(→))＝ eq \(OE,\s\up6(→)).
又O为 eq \(FO,\s\up6(→))和 eq \(OE,\s\up6(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
[B组 关键能力练]
9．已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为 eq \r(2)，且 eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＝－1，则A＝( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6)
C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,12)
解析：因为 eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＝| eq \(OB,\s\up6(→))|·| eq \(OC,\s\up6(→))|·cs ∠BOC＝2cs ∠BOC＝－1，所以cs ∠BOC＝－ eq \f(1,2)，则∠BOC＝ eq \f(2π,3)，所以A＝ eq \f(π,3).
答案：A
10.如图，AB是单位圆O的直径，且满足AC＝CD＝DB，则 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A．1 B． eq \f(3,2)
C． eq \f(\r(3),2) D． eq \r(3)
解析：如图，连接BC，由已知圆O为单位圆，可得AO＝BO＝ eq \f(1,2)AB＝1.
因为AB是直径，所以∠ADB＝90°.
因为AC＝CD＝DB，所以∠ABC＝∠DBC＝∠DAB.
又因为∠ABC＋∠DBC＋∠DAB＝90°，
所以∠ABC＝∠DBC＝∠DAB＝30°，
所以AC＝DB＝1，AD＝ eq \r(3).
又因为∠CAD＝∠DBC＝30°，
所以 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝| eq \(AC,\s\up6(→))|| eq \(AD,\s\up6(→))|cs ∠CAD＝1× eq \r(3)× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3,2).
答案：B
11．设O是△ABC内部一点，且 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝－2 eq \(OB,\s\up6(→))，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
解析：设D为AC的中点，
如图所示，连接OD，则 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝2 eq \(OD,\s\up6(→)).
又 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝－2 eq \(OB,\s\up6(→))，所以 eq \(OD,\s\up6(→))＝－ eq \(OB,\s\up6(→))，即O为线段BD的中点，则S△AOC＝ eq \f(1,2)S△ABC，S△AOB＝ eq \f(1,2)S△ABD.因为D是AC的中点，所以S△ABD＝ eq \f(1,2)S△ABC，所以S△AOB＝ eq \f(1,4)S△ABC.所以△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.
答案：1∶2
12．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2 eq \r(2)，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，且 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(MD,\s\up6(→))，则向量 eq \(BM,\s\up6(→))的模为________．
解析：由AB＝4，AC＝2 eq \r(2)，∠BAC＝135°，得 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝－8.
∵ eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(AM,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))，
∴| eq \(BM,\s\up6(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AC,\s\up6(→))))\s\up12(2))
＝ eq \r(\f(9,16)|\(AB,\s\up6(→))|2－\f(3,8)\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))＋\f(1,16)|\(AC,\s\up6(→))|2)＝ eq \f(5\r(2),2).
答案： eq \f(5\r(2),2)
13.如图，已知△ABC的面积为 eq \f(3,2)，AB＝2， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝1，求边AC的长．
解：以点A为坐标原点， eq \(AB,\s\up6(→))为x轴正方向建立平面直角坐标系，
设点C的坐标为(x，y)(y>0).
∵AB＝2，
∴点B的坐标是(2，0)，
∴ eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，0)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－2，y).
∵ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝1，∴2(x－2)＝1，
解得x＝ eq \f(5,2).
又S△ABC＝ eq \f(3,2)，∴ eq \f(1,2)·|AB|·y＝ eq \f(3,2)，
∴y＝ eq \f(3,2)，
∴C点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3,2)))，
则 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3,2)))，
∴| eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(34),2)，
故边AC的长为 eq \f(\r(34),2).
[C组 素养培优练]
14．(多选)点O在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是( )
A．若 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的外心
B．若 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝ eq \(OB,\s\up6(→))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)))＝0，则点O为△ABC的内心
C．若( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))· eq \(AB,\s\up6(→))＝( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的外心
D．若 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))，则点O为△ABC的垂心
解析：设D为BC的中点，因为 eq \(OA,\s\up6(→))＝－( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))＝－2 eq \(OD,\s\up6(→))，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心，故A错误；向量 eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)， eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)分别表示 eq \(AC,\s\up6(→))和 eq \(AB,\s\up6(→))方向上的单位向量，设为 eq \(AC′,\s\up6(→))和 eq \(AB′,\s\up6(→))，则它们的差是向量 eq \(B′C′,\s\up6(→))，则当 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝0，即 eq \(OA,\s\up6(→))⊥ eq \(B′C′,\s\up6(→))时，点O在∠BAC的平分线上，同理由 eq \(OB,\s\up6(→))·( eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－ eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|))＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心，故B正确；在以OA，OB为邻边的平行四边形中， eq \(AB,\s\up6(→))·( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))＝0表示这个平行四边形是菱形，即| eq \(OA,\s\up6(→))|＝| eq \(OB,\s\up6(→))|，同理有| eq \(OB,\s\up6(→))|＝| eq \(OC,\s\up6(→))|，所以O为△ABC的外心，故C正确；由 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))得 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(OB,\s\up6(→))·( eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，即 eq \(OB,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(OB,\s\up6(→))⊥ eq \(CA,\s\up6(→))，同理可证 eq \(OA,\s\up6(→))⊥ eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))⊥ eq \(AB,\s\up6(→))，所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，故D正确．
答案：BCD