人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算免费测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算免费测试题，共5页。

[A组 必备知识练]
1．化简 eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))等于( )
A． eq \(DB,\s\up6(→)) B． eq \(CA,\s\up6(→))
C． eq \(CD,\s\up6(→)) D． eq \(DC,\s\up6(→))
解析：根据平面向量的加法运算，得 eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＝( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→)))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(CD,\s\up6(→)).
答案：C
2．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；
② eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＝0；
③ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→)).
A．②③ B．②
C．① D．③
解析：②错误， eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＝0，①③正确．
答案：B
3．在四边形ABCD中， eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))，则( )
A．四边形ABCD一定是矩形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是正方形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
解析：由 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))知，A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．
答案：D
4．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(DO,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \(CD,\s\up6(→)) B． eq \(DC,\s\up6(→))
C． eq \(DA,\s\up6(→)) D． eq \(DO,\s\up6(→))
解析： eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(DO,\s\up6(→))＝ eq \(DO,\s\up6(→))＋ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→)).
答案：B
5．已知向量a表示“向东航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，则a＋b表示________________．
解析：根据题意由于向量a表示“向东航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，那么可知a＋b表示向东南航行3 eq \r(2) km.
答案：向东南航行3 eq \r(2) km
6．如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
(2) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝________．
答案：(1) eq \(AD,\s\up6(→)) (2)0
7．如图，已知在▱ABCD中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：(1) eq \(AO,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))；(2) eq \(DE,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→)).
解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量 eq \(AF,\s\up6(→))即为所求．
(2)在AB上取点G，使AG＝ eq \f(1,3)AB，则向量 eq \(BG,\s\up6(→))即为所求．
8．在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解：作出图形，如图所示．
设船速v船与岸的方向成α角，
由图可知v水＋v船＝v实际．
结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，
| eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|＝|v水|＝10 m/min，
| eq \(AD,\s\up6(→))|＝|v船|＝20 m/min，
∴cs α＝ eq \f(|\(CD,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|)＝ eq \f(10,20)＝ eq \f(1,2)，
∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角，
∴船是沿与水流方向成120°角的方向行进．
[B组 关键能力练]
9．正方形ABCD的边长为1，则| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))|＝( )
A．1 B． eq \r(2)
C．3 D．2 eq \r(2)
解析：在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝ eq \r(2)，所以| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))|＝AC＝ eq \r(2).
答案：B
10．(多选)下列说法错误的有( )
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同
B．在△ABC中，必有 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C.若 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：A错误，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；B正确；C错误，当A，B，C三点共线时，也满足 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝0；D错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.
答案：ACD
11．已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(BC,\s\up6(→))＝b， eq \(CD,\s\up6(→))＝c， eq \(DE,\s\up6(→))＝d， eq \(AE,\s\up6(→))＝e，则a＋b＋c＋d＝________．
解析：a＋b＋c＋d＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))＝e.
答案：e
12．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，则| eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝________．
解析：如图，由题意知△ABD为等边三角形，所以| eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(BD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|＝1.
答案：1
13．如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1和F2的合力为________ N.
解析：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝ eq \(OC,\s\up6(→)).
在△OCA中，| eq \(OA,\s\up6(→))|＝24，
| eq \(AC,\s\up6(→))|＝12，∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°，∴| eq \(OC,\s\up6(→))|＝12 eq \r(3)，
∴F1与F2的合力大小为12 eq \r(3) N，方向为与F2成90°角，竖直向上．
答案：12 eq \r(3)
[C组 素养培优练]
14．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证： eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝0.
证明：由题意知， eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))，
eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))， eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→)).
由平面几何知识可知， eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(CD,\s\up6(→))， eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \(FA,\s\up6(→))，
所以 eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→)))＋( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→)))＋( eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→)))
＝( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→)))＋( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→)))
＝( eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \(EC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→)))＋0
＝ eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \(EF,\s\up6(→))＋ eq \(FA,\s\up6(→))＝0.