高中人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示免费复习练习题

这是一份高中人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示免费复习练习题，共5页。

[A组 必备知识练]
1．已知M(2，3)，N(3，1)，则 eq \(NM,\s\up6(→))的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(1，－2)
解析： eq \(NM,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))－ eq \(ON,\s\up6(→))＝(2，3)－(3，1)＝(－1，2).
答案：B
2．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b等于( )
A．(1，2) B．(2，0)
C．(0，2) D．(2，1)
解析：a－b＝(1，1)－(1，－1)＝(0，2).
答案：C
3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7，0)
B．(7，6)
C．(6，7)
D．(7，－6)
解析：设D(x，y)，因为 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))，
所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，
所以x＝7，y＝－6，
所以D(7，－6).
答案：D
4．若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，则向量a＝________，向量b＝________．
解析：a＋b＝(－3，－4)，①
a－b＝(5，2).②
由①＋②，得a＝ eq \f(1,2)[(－3，－4)＋(5，2)]＝(1，－1)；
由①－②，得b＝ eq \f(1,2)[(－3，－4)－(5，2)]＝(－4，－3).
答案：(1，－1) (－4，－3)
5．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点．若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为________．
解析：设点C的坐标为(x，y)，则由已知得 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))，
所以(x，y)＝(－1，2).
答案：(－1，2)
6．已知A(2，0)，a＝(x＋3，x－3y－5).若a＝ eq \(OA,\s\up6(→))，其中O为原点，则x＝________，y＝________．
解析：由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝2，,x－3y－5＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2.))
答案：－1 －2
7．在平面直角坐标系Oxy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cs 45°＝2× eq \f(\r(2),2)＝ eq \r(2)，
a2＝|a|sin 45°＝2× eq \f(\r(2),2)＝ eq \r(2)，
b1＝|b|cs 120°＝3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－ eq \f(3,2)，
b2＝|b|sin 120°＝3× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(3),2)，
c1＝|c|cs (－30°)＝4× eq \f(\r(3),2)＝2 eq \r(3)，
c2＝|c|sin (－30°)＝4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－2.
因此a＝( eq \r(2)， eq \r(2))，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2 eq \r(3)，－2).
8．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).若 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝0，求 eq \(OP,\s\up6(→))的坐标．
解：设点P的坐标为(x，y).
因为 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
又 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))
所以点P的坐标为(2，2)，故 eq \(OP,\s\up6(→))＝(2，2).
[B组 关键能力练]
9．已知向量 eq \(AB,\s\up6(→))＝(7，－5).将 eq \(AB,\s\up6(→))按向量a＝(3，6)平移后得到向量 eq \(A′B′,\s\up6(→))，则 eq \(A′B′,\s\up6(→))的坐标形式为( )
A．(10，1) B．(4，－11)
C．(7，－5) D．(3，6)
解析： eq \(A′B′,\s\up6(→))与 eq \(AB,\s\up6(→))方向相同且长度相等，
故 eq \(A′B′,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＝(7，－5).
答案：C
10．已知平面上三点A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，则 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))的坐标是________．
解析： eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝(－8－2，10－(－4))＋(－8－0，10－6)
＝(－10，14)＋(－8，4)＝(－18，18).
答案：(－18，18)
11．已知A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(7,2)))，B(1，4)，且 eq \(AB,\s\up6(→))＝(sin α，cs β)，α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝________．
解析：由题意知 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))＝(sin α，cs β)，
∴sin α＝－ eq \f(1,2)，cs β＝ eq \f(1,2).
又∵α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴α＝－ eq \f(π,6)，β＝ eq \f(π,3)或－ eq \f(π,3)，
∴α＋β＝ eq \f(π,6)或－ eq \f(π,2).
答案： eq \f(π,6)或－ eq \f(π,2)
12．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．
解：设D(x，y)，当平行四边形为ABCD时，
由 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，2)， eq \(DC,\s\up6(→))＝(3－x，4－y)，
且 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，得D(2，2).
当平行四边形为ACDB时，
由 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，2)， eq \(CD,\s\up6(→))＝(x－3，y－4)，且 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CD,\s\up6(→))，
得D(4，6).
当平行四边形为ACBD时，
由 eq \(AC,\s\up6(→))＝(5，3)， eq \(DB,\s\up6(→))＝(－1－x，3－y)，且 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))，
得D(－6，0).
故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).
[C组 素养培优练]
13．已知点O(0，0)，A(1，2).
(1)若点B(3t，3t)， eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t的值；若不能，说明理由．
解：(1) eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t).
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
∴t＝－ eq \f(2,3).
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
∴t＝－ eq \f(1,3).
若点P在第二象限，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋3t<0，,2＋3t>0，))
∴－ eq \f(2,3)(2)不能，理由如下： eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2)， eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OP,\s\up6(→))＝(3－3t，3－3t).
若四边形OABP为平行四边形，
则 eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \(PB,\s\up6(→))，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))该方程组无解，
故四边形OABP不能为平行四边形．