广东省中山市第一中学2024届高三第一次调研数学试题含答案解析

这是一份广东省中山市第一中学2024届高三第一次调研数学试题含答案解析，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A B. C. 1D.
4. 已知向量，，满足，，，则的最大值等（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A B. C. D.
6. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，）
A. 20B. 16C. 12D. 7
7. 已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A. 的长度为B. 的长度为
C. 的长度为D. 的长度为
8. 已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A. B. 1C. 16D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，得部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 己知事件A，B是相互独立事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）．

A. 函数的最小正周期为
B. 函数图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线垂直
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递增
11. 已知双曲线C：上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ）
A. B.
C. 可以是直角D. 直线OA的斜率为
12. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 中常数项是________．（写出数字）
14. 已知数列，，则在数列的前50项中最大项是第________项.
15. 设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是______.
16. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的面积.
19. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点．
（1）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小；
（2）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置．
20. 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
（1）封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望；
（2）封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练概率为，求．
21. 已知椭圆的方程为（），离心率为，点在椭圆上.其左右顶点分别为、，左右焦点分别为、.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过轴上的定点（点不与、重合），且交椭圆于、两点（，），当满足时，求点的坐标.
22. 已知函数.
（1）当时，讨论极值点的个数；
（2）讨论函数的零点个数的情况.中山第一中学2024届高三第一次调研
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合后可求.
【详解】由题意得，或，
所以或，
所以，
故选：A．
2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简，再根据复数的定义判断即可.
【详解】因为，所以，
所以复数的虚部为.
故选：C
3. 若，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正切的两角和公式，利用可得，进而根据弦化切即可求解.
【详解】∵
∴，
，
故选:A
4. 已知向量，，满足，，，则的最大值等（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
若令，，，则已知可得在以为弦的圆的优弧上运动，再结合图形，可求出的最大值.
【详解】，，，由题意，，得，，，∵，∴，∴在以为弦的圆的优弧上运动，，，，当点在的延长线与圆交点时，最大为．
故选：D
【点睛】此题考查向量的数量积和模的有关运算，利用了数形结合的思想求解，属于中档题.
5. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可．
【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，
，
因为等差数列前项和公式为，
所以不妨令为常数，且，
所以时，，．
，，，.
故选：A
6. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，）
A. 20B. 16C. 12D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，再代入，求解即可.
【详解】根据题意可得，
则，，
则经过n年时，有，
即，则，
所以，
则.
故选：B.
7. 已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A. 长度为B. 的长度为
C. 的长度为D. 的长度为
【答案】A
【解析】
【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解.
【详解】如图所示，
连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点，
交的延长线于点，连接，交于点，连接，
则即为，即为，
由，得，所以，，
由，得，则，
所以，故C，D项错误；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A项正确，B项错，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面的性质作出截面，从而得到为，为，由此得解.
8. 已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A. B. 1C. 16D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.
【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.
设，则.
由，则，所以，，
因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.
于是.
故选：B.
【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出，再判断题目到底需要什么，另外本题求解直线AB的方法需要熟练掌握.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，得部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 己知事件A，B是相互独立事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解.
【详解】事件A，B是相互独立事件，且，
则，解得，，A选项正确，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项正确.
故选：ACD
10. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）．

A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线垂直
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递增
【答案】AB
【解析】
【分析】利用三角恒等变换，结合三角函数的图象与性质以及导数的几何意义、两直线垂直的性质进行计算求解.
详解】
由图象可知，，所以，解得，，
因为，所以，所以，
将其向左平移个单位长度，得到的图象，所以，
对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，因为，所以，所以函数的图象上存在点P，
使得在P点处的切线斜率为，所以存在点P，使得在P点处的切线与直线垂直，故B正确；
对于C，，当时，，故C错误；
对于D，，当时，，函数单调递减，D错误.
故选：AB.
11. 已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ）
A. B.
C. 可以是直角D. 直线OA的斜率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】ABC由直线的倾斜角，三角函数的诱导公式，余弦定理和双曲线的性质及离心率求出；D用点差法，结合中点和离心率，斜率公式求出.
【详解】
A：设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，所以，
则，所以，
由同角的三角函数关系可得，
在中由余弦定理可得：，
设，由双曲线定义可得，
因为离心率，
所以
将上述各式代入余弦定理可得，解得，
所以，故A正确；
B：延用A的解析，由互补角可知，
同理设，在中由余弦定理可得：，
由双曲线定义可得，
因为离心率，
所以
将上述各式代入余弦定理可得，解得，
所以，，
故B正确；
C：延用AB的解析，，，
在中由余弦定理可求得，
解得，
同理，在中由余弦定理可得，
因，由余弦定理可得，故C错误；
D：设，
则，且A为线段的中点，
由点差法可得，
又，
所以，故D正确；
故选：ABD.
12. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.
【详解】令，得，因为，
所以，所以A错误；
令，得①，所以，
因为奇函数，所以是偶函数，
所以②，由①②，
得，
即，
所以，
所以，是周期为3的函数，所以，
，
所以B正确，C错误；
因为，
在①中令得，
所以，
，所以D正确．
故选：BD．
【点睛】对于可导函数有：
奇函数的导数为偶函数
偶函数的导数为奇函数
若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 中常数项是________．（写出数字）
【答案】11
【解析】
【分析】利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.
【详解】的展开式中当，，2对应的次数分别为0，0，3和1，2，0时即为常数，
所以常数项为．
故答案为：11．
14. 已知数列，，则在数列的前50项中最大项是第________项.
【答案】10
【解析】
【分析】由题意利用数列的单调性，得出结论．
详解】解：已知数列中，，
故当时，，且单调递减，
当时，，且单调递减，
故的前50项中最大项是第10项，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．
15. 设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆及双曲线的定义，设，则，中利用余弦定理可求得两个离心率之间的关系式，进一步即可求得范围.
【详解】设，由，
所以，
由，得，
化为，所以，
由，可得，
所以，所以，
故答案为：.
16. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值．
【详解】设，在等腰中，，
设的外心是，外接圆半径是，
则，∴，
设外接球球心是，则平面，平面，则，
同理，，
又平面，所以，是直角梯形，
设，外接球半径为，即，
则，所以，
在直角中，，，
，，∴，
，
令，则，
，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数列递推式可得当时递推式，和已知等式相减即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.
【小问1详解】
由题意得，①
当时，，②
由①-②得，即，
又时，，满足上式，
综上，.
【小问2详解】
由（1）可得，
故，
设数列的前项和为，
所以
.
18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的面积.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式和正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用同角三角函数基本关系式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出三角形的三边长，再利用三角形的面积公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以由正弦定理得.
又，故.
（Ⅱ）因为，即，又，，
所以由余弦定理可得，
整理得.解得（其中负值已舍）.
故的面积为.
19. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点．
（1）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小；
（2）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置．
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，易知，则为异面直线与所成的角求解；
（2）分别取，的中点，，连接，，，根据正三棱柱，易证为二面角的平面角，为二面角的平面角求解.
【小问1详解】
解：如图所示：
取的中点，连接，，易知，
则为异面直线与所成的角，
又，，，
由余弦定理得；
【小问2详解】
如图所示：
分别取，的中点，，连接，，，
在正三棱柱中，
易知，，又，
所以平面，又平面，
所以，则为二面角的平面角，
同理为二面角的平面角，
设，则，
所以，，
则，，
当时，即P为的中点时，取得最大值，
20. 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
（1）封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望；
（2）封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求．
【答案】（1）分布列见解析，2
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出运动员第2天进行有氧训练与无氧训练的概率，判断服从二项分布并求概率，列分布列，求数学期望；
（2）求，的递推关系，构造数列并证其为等比数列，利用等比数列的通项公式求结果.
【小问1详解】
设运动员第2天进行有氧训练为事件M，第2天进行无氧训练为事件N，
则，，
所以3名运动员第2天进行有氧训练的人数，可知，
则，，
，，
所以的分布列为
所以．
【小问2详解】
依题意可得，即（，且）．
则（，且），且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以．
21. 已知椭圆的方程为（），离心率为，点在椭圆上.其左右顶点分别为、，左右焦点分别为、.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过轴上的定点（点不与、重合），且交椭圆于、两点（，），当满足时，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据离心率，且点在椭圆上，从而可求解.
（2）设出直线的方程，然后与椭圆方程进行联立并结合韦达定理及题中几何关系从而求解.
【小问1详解】
由题知离心率，且，得，
又因为点在椭圆上，所以，解得，，
所以椭圆的方程为.
故椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，，，
由（1）知，，
联立，得，
由韦达定理，得，
由题得，即（*）
因为，所以，
所以
，解得，
故直线的方程为，经过轴上的定点.
【点睛】关键点点睛：（2）问中利用直线与椭圆联立后消元，再根据韦达定理并结合题中几何条件从而求解.
22. 已知函数.
（1）当时，讨论极值点的个数；
（2）讨论函数的零点个数的情况.
【答案】22. 1个 23. 答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用零点存在性定理判断隐零点所在区间，然后可得函数的单调性，然后可判断零点个数；
（2）参变分离，记，利用二次导数研究函数的函数图象，然后结合图象即可求解.
【小问1详解】
当时，.
记，则，
在上单调递增，
又，
在上存在零点，且是唯一零点.
当时，单调递减，
当时，单调递增.
是的极小值点，且是唯一极值点.
【小问2详解】
①当时，.
②当时，令，得，即且.
令且，
只需讨论直线和且的图象有几个交点.
且.
令，则且，
在上单调递增，而，
故当和时，，即是减函数；
当时，，即是增函数.
又当时，，当时，，
作函数的图象如图：
结合图象，可得：
当或时，和的图象有一个交点，即有一个零点；
当时，和的图象没有交点，即没有零点；
当时，和的图象有两个交点，即有两个零点.
【点睛】方法点睛：零点个数问题常利用函数图象交点个数进行研究，对于复杂的函数通常需要利用导数，甚至二次导数进行研究，然后作出函数图象，通过观察即可得解.
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