高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第一课时课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第一课时课时练习，共6页。

[A组 必备知识练]
1．若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为( )
A．2π B．3π
C．π D．4π
解析：圆柱侧面积S侧＝2πrl＝4π.
答案：D
2．若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，则母线l＝2，底面半径r＝1，
∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π.
答案：B
3．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )
A．81π B．100π
C．14π D．169π
解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，且母线l＝10，
∴l2＝(4r)2＋(4r－r)2＝100，
∴r＝2，
∴S侧＝π(r＋4r)l＝100π.
答案：B
4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )
A． eq \f(1＋2π,2π) B． eq \f(1＋4π,4π)
C． eq \f(1＋2π,π) D． eq \f(1＋4π,2π)
解析：设圆柱底面半径为r，则高为2πr，
S表面积＝(2πr)2＋2πr2，
S侧面积＝(2πr)2，
∴S表面积∶S侧面积＝ eq \f(1＋2π,2π).
答案：A
5．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.
解析：正六棱柱体积为6× eq \f(\r(3),4)×22×2＝12 eq \r(3)(cm3)，圆柱体积为π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)·2＝ eq \f(π,2)(cm3)，
所求几何体体积为12 eq \r(3)－ eq \f(π,2)(cm3).
答案：12 eq \r(3)－ eq \f(π,2)
6．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．
解析：设圆台上底面半径为r，下底面半径为R，
∴r＝1，R＝2，
∴S侧＝π(r＋R)l＝6π，
∴l＝2，
∴h＝ eq \r(l2－(R－r)2)＝ eq \r(3)，
∴V＝ eq \f(1,3)π(1＋4＋2)× eq \r(3)＝ eq \f(7\r(3),3)π.
答案： eq \f(7\r(3),3)π
7.一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积．
解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R.
由题意可知，母线l＝8，2πr＝ eq \f(π,4)×16＝4π，2πR＝ eq \f(π,4)×24＝6π，
∴r＝2，R＝3，
∴S侧面积＝π(r＋R)l＝40π，S表面积＝πr2＋πR2＋40π＝53π.
又h＝ eq \r(l2－(R－r)2)＝3 eq \r(7)，
∴V＝ eq \f(1,3)π(r2＋R2＋rR)h＝19 eq \r(7)π.
8．已知底面半径为 eq \r(3) cm，母线长为 eq \r(6) cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．
解：作轴截面如图，设挖去的圆锥母线长为l，底面半径为r，
则r＝ eq \r(3) cm，AA′＝ eq \r(6) cm，
l＝ eq \r((\r(6))2＋(\r(3))2)＝3 cm，
故几何体表面积为
S＝πrl＋πr2＋2πr·AA′＝3 eq \r(3)π＋3π＋6 eq \r(2)π＝(3 eq \r(3)＋3＋6 eq \r(2))π(cm2).
几何体体积为V＝V圆柱－V圆锥＝πr2·AA′－ eq \f(1,3)πr2·AA′＝3 eq \r(6)π－ eq \f(1,3)×3 eq \r(6)π＝2 eq \r(6)π(cm3).
[B组 关键能力练]
9．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( )
A． eq \f(\r(5),24)πR3 B． eq \f(\r(5),8)πR3
C． eq \f(\r(3),24)πR3 D． eq \f(\r(3),8)πR3
解析：设圆锥母线长为l＝R，由题意底面周长即为侧面展开图半圆的弧长．
即有2πr＝πR，∴r＝ eq \f(R,2)，
∴h＝ eq \r(R2－r2)＝ eq \f(\r(3),2)R，
∴V＝ eq \f(1,3)πr2h＝ eq \f(\r(3),24)πR3.
答案：C
10．(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )
A． eq \f(288,π) cm3 B． eq \f(192,π) cm3
C．288π cm3 D．192π cm3
解析：若圆柱的底面周长为12 cm，则底面半径为r＝ eq \f(6,π) cm，高h＝8 cm，
∴V＝πr2h＝ eq \f(288,π) cm3；
若圆柱的底面周长为8 cm，则底面半径为r＝ eq \f(4,π) cm，高h＝12 cm，
∴V＝πr2h＝ eq \f(192,π) cm3，
∴圆柱的体积可能为 eq \f(288,π) cm3或 eq \f(192,π) cm3.
答案：AB
11．如图，圆锥的母线长为4，M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周到达点B，这条绳子的最短长度为2 eq \r(5)，则此圆锥的表面积为________．
解析：设底面圆半径为r，由母线长为4，
∴侧面展开图扇形的圆心角α＝ eq \f(2πr,4)＝ eq \f(πr,2).
将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，其最短距离为BM，如图所示．在△ABM中，BM＝2 eq \r(5)，AM＝2，AB＝4，
∴BM2＝AM2＋AB2，
∴ eq \f(π,2)＝ eq \f(π,2)r，
∴r＝1，
∴圆锥表面积为S＝πrl＋πr2＝5π.
答案：5π
12．等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形以某一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的表面积可以为________．
解析：若绕直角边旋转，则得到的几何体为底面半径为1，高为1的圆锥，母线长为 eq \r(2)，故S表面积＝πr2＋πrl＝(1＋ eq \r(2))π.
若绕斜边旋转，则得到的几何体为同底的两个圆锥的组合体，每个圆锥的底面半径和高都是 eq \f(\r(2),2)，母线长为1，
故组合体的表面积为π× eq \f(\r(2),2)×1×2＝ eq \r(2)π.
答案： eq \r(2)π或(1＋ eq \r(2))π
13．已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和．
(1)求圆台的母线长；
(2)求圆台的表面积．
解：(1)设圆台的母线长为l，则由题意得
π(2＋6)l＝π×22＋π×62，
∴8πl＝40π，∴l＝5，
∴该圆台的母线长为5.
(2)由(1)可得圆台的表面积为
S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62
＝40π＋4π＋36π＝80π.
[C组 素养培优练]
14．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积．
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解：(1)圆锥及内接圆柱的轴截面如图所示．
设所求的圆柱的底面半径为r，则S圆柱侧＝2πrx.
∵ eq \f(r,R)＝ eq \f(H－x,H)，∴r＝R－ eq \f(R,H)x，∴S圆柱侧＝2πRx－ eq \f(2πR,H)x2.
(2)S圆柱侧＝－ eq \f(2πR,H)x2＋2πRx＝－ eq \f(2πR,H) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(H,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(πRH,2)，
故当x＝ eq \f(H,2)时，S圆柱侧最大，即当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，圆柱的侧面积最大．