高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积习题，共6页。
[A组 必备知识练]
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
解析：V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
答案：B
2．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A．30 eq \r(34) B．60 eq \r(34)
C．30 eq \r(34)＋135 D．135
解析：∵菱形的对角线的长分别是9和15，
∴菱形的边长为 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(3\r(34),2).
∵底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，
∴这个棱柱的侧面积S＝4× eq \f(3\r(34),2)×5＝30 eq \r(34).
答案：A
3．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
解析：原来正方体的表面积S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为 eq \f(1,3)a，则每个小正方体的表面积为6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a)) eq \s\up12(2)＝ eq \f(2,3)a2 ，27个小正方体的总表面积S2＝27× eq \f(2,3)a2＝18a2，所以增加的表面积S＝S2－S1＝12a2.
答案：B
4．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),6) D． eq \f(\r(3),4)
解析：VB1­ABC＝ eq \f(1,3)× eq \f(\r(3),4)×3＝ eq \f(\r(3),4).
答案：D
5．已知正四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，则它的侧面积为________ cm2.
解析：正四棱台的侧面是全等的等腰梯形，如图所示．
所以过点A′作A′E⊥AB于E，
所以A′E＝ eq \r(82－22)＝2 eq \r(15)，即斜高为2 eq \r(15)，
所以所求侧面积为 eq \f(1,2)×(4＋8)×2 eq \r(15)×4＝48 eq \r(15)(cm2).
答案：48 eq \r(15)
6．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为6，M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C­MBD的体积为________．
解析：VC­MBD＝VM­BCD＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)BC2× eq \f(2,3)AA1＝ eq \f(1,9)×63＝24.
答案：24
7．正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．
解：设E1，E分别为B1C1，BC的中点，O1，O分别为上、下底面的中心，则EOO1E1是直角梯形，
其中O1E1＝5 cm，OE＝10 cm，
∴S侧＝4× eq \f(1,2)×(10＋20)×E1E＝780(cm2)，
∴E1E＝13 cm，
∴O1O＝ eq \r(132－(10－5)2)＝12(cm)，
∴VABCD­A1B1C1D1＝ eq \f(1,3)×12×(102＋202＋ eq \r(102×202))＝2 800(cm3).
[B组 关键能力练]
8．已知一个长方体相邻的三个面的面积分别是 eq \r(2)， eq \r(3)， eq \r(6)，则这个长方体的体对角线的长是( )
A．2 eq \r(3) B．3 eq \r(2)
C．6 D． eq \r(6)
解析：设长方体共顶点的三条棱长分别为x，y，z.
由题意得xy＝ eq \r(2)，yz＝ eq \r(3)，xz＝ eq \r(6)，
即x2y2z2＝6，
∴xyz＝ eq \r(6)，
∴x＝ eq \r(2)，y＝1，z＝ eq \r(3)，
∴体对角线长为 eq \r(x2＋y2＋z2)＝ eq \r(6).
答案：D
9．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为2 cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为( )
A.(12＋4 eq \r(3))cm2 B．(16＋4 eq \r(3))cm2
C．(12＋3 eq \r(3))cm2 D．(16＋3 eq \r(3))cm2
解析：由题意得，该饰品的表面积为6个边长为 eq \r(2) cm的正方形与8个边长为 eq \r(2) cm的正三角形的面积之和，则该饰品的表面积S＝6×( eq \r(2))2＋8× eq \f(\r(3),4)×( eq \r(2))2＝(12＋4 eq \r(3))(cm2).
答案：A
10．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，则该直四棱柱的侧面积为________．
解析：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BD,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(a2＋b2,4)＝ eq \f(200＋56,4)＝64，
∴AB＝8，∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
答案：160
11．将3个12 cm×12 cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分如图①，将这六部分接于一个边长为6 eq \r(2) cm的正六边形上如图②，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为________ cm3.
解析：该多面体如图(1)，将它补成一个正方体，如图(2)，由此可知，该多面体的体积V＝ eq \f(1,2)×123＝864(cm3).
答案：864
12.如图，在三棱锥P­ABC中，底面为直角△ABC，AC⊥BC，AC＝1，BC＝2，三棱锥的高PC＝3.
(1)求三棱锥P­ABC的体积；
(2)求三棱锥P­ABC的表面积．
解：(1)∵S△ABC＝ eq \f(1,2)×1×2＝1，
∴VP­ABC＝ eq \f(1,3)S△ABC·PC＝1.
(2)∵PC是三棱锥的高，
∴△PAC，△PBC均为直角三角形，
∴PA＝ eq \r(9＋1)＝ eq \r(10)，PB＝ eq \r(9＋4)＝ eq \r(13)，AB＝ eq \r(1＋4)＝ eq \r(5)，
∴cs ∠PAB＝ eq \f(10＋5－13,2×\r(5)×\r(10))＝ eq \f(\r(2),10)，
∴sin ∠PAB＝ eq \f(7\r(2),10)，
∴S△PAB＝ eq \f(1,2)AP·AB·sin ∠PAB＝ eq \f(1,2)× eq \r(10)× eq \r(5)× eq \f(7\r(2),10)＝ eq \f(7,2)，
∴S表面积＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC＋S△ABC＝ eq \f(7,2)＋ eq \f(1,2)×2×3＋ eq \f(1,2)×1×3＋ eq \f(1,2)×1×2＝9.
[C组 素养培优练]
13．如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器，AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O.设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，且液体能流入下面的三棱锥，则液体部分的体积为________，液体流下去后液面高度为________．
解析：液体部分的体积为三棱锥体积的 eq \f(1,8)，流下去后，液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的 eq \f(7,8).设空出三棱锥的高为x，则 eq \f(x3,13)＝ eq \f(7,8)，所以x＝ eq \f(\r(3,7),2)，所以液面高度为1－ eq \f(\r(3,7),2).
答案： eq \f(1,8) 1－ eq \f(\r(3,7),2)