人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形第一课时当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形第一课时当堂达标检测题，共6页。

[A组 必备知识练]
1．下列实物不能近似看成多面体的是( )
A．钻石 B．骰子
C．足球 D．金字塔
解析：钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．
答案：C
2．如图所示的几何体中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
解析：棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形组成的几何体．图③中侧棱没有交于一点，不是棱锥．
答案：C
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析：A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．
答案：D
4．下列命题正确的是( )
A．所有棱长都相等的直四棱柱一定是正方体
B．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
C．有两个面平行，其他各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
解析：A选项，所有棱长都相等的直四棱柱底面不一定是正方形，故不一定是正方体，错误．C选项，有两个面平行，其他各个面都是平行四边形，不一定是棱柱，如图所示，故C错误．D选项，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，其侧棱不一定满足延长后交于一点，故不一定是棱台，错误．
答案：B
5．已知一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其体对角线的长度为________．若正方体的棱长为a，则其体对角线的长度为________．
答案： eq \r(a2＋b2＋c2) eq \r(3)a
6．一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点．
解析：三棱柱是面数最少的棱柱，有5个面；面数最少的棱锥是三棱锥，有4个顶点．
答案：5 4
7.如图，棱锥P­ABCD的高PO＝3，截面A′B′C′D′平行于底面ABCD，PO与截面交于点O′，且OO′＝2.若四边形ABCD的面积为36，则四边形A′B′C′D′的面积为________．
解析：由棱锥P­ABCD的高PO＝3，且OO′＝2，
∴PO′＝1.
由截面A′B′C′D′平行于底面ABCD，
∴ eq \f(SA′B′C′D′,SABCD)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(PO′,PO))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,9)，
∴ eq \f(SA′B′C′D′,36)＝ eq \f(1,9)，
∴SA′B′C′D′＝4.
答案：4
8.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面？每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．
(3)S△PEF＝ eq \f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝4a2－ eq \f(1,2)a2－a2－a2＝ eq \f(3,2)a2.
[B组 关键能力练]
9.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应为( )
解析：表面展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．只有A符合要求．
答案：A
10.如图，在三棱台ABC­A1B1C1中，截去三棱锥A1­ABC，则剩余的部分是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．五棱锥
解析：剩余部分是以四边形BCC1B1为底面，A1为顶点的四棱锥．
答案：B
11．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________________．
解析：如图所示：
截面形状可能是三角形或四边形．
答案：三角形或四边形
12．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．
解析：将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝2 eq \r(5).
答案：2 eq \r(5)
13．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，求EF的长．
解：如图，连接EF，BF，CF.
∵AB＝BD＝AC＝CD＝AD＝2，
F是AD的中点，
∴BF⊥AD，CF⊥AD，
∴BF＝CF＝ eq \r(22－12)＝ eq \r(3).
又BC⊥EF，BE＝1，
∴EF＝ eq \r(3－1)＝ eq \r(2).
[C组 素养培优练]
14．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
解析：先求面数，有如下两种方法．
法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．
法二：一般地，对于凸多面体，
顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式).
由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，
故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.
再求棱长．
作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH.如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝ eq \f(\r(2),2)x.
又AM＋MN＋NF＝1，即 eq \f(\r(2),2)x＋x＋ eq \f(\r(2),2)x＝1.
解得x＝ eq \r(2)－1，即半正多面体的棱长为 eq \r(2)－1.
答案：26 eq \r(2)－1