人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第二课时习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第二课时习题，共8页。
[A组 必备知识练]
1．△ABC所在平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
解析：由已知可得l⊥α，m⊥α，∴l∥m.
答案：B
2．直线a，b平行的一个充分条件是( )
A．a，b都平行于同一个平面
B．a，b与同一平面所成角相等
C．a，b都垂直于同一个平面
D．a平行于b所在的平面
解析：a∥α，b∥α⇒a与b相交、平行、异面都可能，选项A不是充分条件．
a，b与α所成角相等⇒a与b相交、平行、异面都可能，选项B不是充分条件．
a⊥α，b⊥α⇒a∥b，选项C是充分条件．
b⊂α，a∥α⇒a与b平行、异面，选项D不是充分条件．
答案：C
3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M为上底面A1B1C1D1内任意一点，则三棱锥M­ABC的体积为( )
A．1 B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,6) D． eq \f(1,12)
解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，
∴点M到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离．
∵AA1⊥平面ABCD，
∴点A1到平面ABCD的距离为AA1＝1，
∴VM­ABC＝ eq \f(1,3)S△ABC·AA1＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×12×1＝ eq \f(1,6).
答案：C
4．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( )
A．2 B．3
C． eq \r(5) D． eq \r(13)
解析：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝ eq \r(CD2＋DE2)＝ eq \r(9＋4)＝ eq \r(13).
答案：D
5．已知直线a，b，c，平面α，则下列命题中正确命题的序号是________．
①a∥c，b∥c⇒a∥b；
②a∥α，b∥α⇒a∥b；
③a⊥c，b⊥c⇒a∥b；
④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
解析：由平行线的传递性，得①正确；
a∥α，b∥α⇒a与b相交、平行、异面，故②不正确；
a⊥c，b⊥c⇒a与b相交、平行、异面，故③不正确；
由线面垂直的性质定理，得④正确．
答案：①④
6．如图，在四棱锥P­ABCD中，DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB.PA⊥AB，且PA＝AB＝DA＝1，PC与平面PAB成45°角，则四棱锥P­ABCD的体积为________．
解析：∵DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，
∴DA∥CB，DA⊥AB，DA⊥AP，
∠CPB为PC与平面PAB所成角，即∠CPB＝45°.
∵AP⊥AB，DA∩AB＝A，∴AP⊥平面ABCD，即AP＝1为点P到平面ABCD的距离．
由已知得PB＝ eq \r(2)，在Rt△PBC中，得BC＝ eq \r(2)，
∴SABCD＝ eq \f(1,2)×(1＋ eq \r(2))×1＝ eq \f(\r(2)＋1,2)，
∴VP­ABCD＝ eq \f(1,3)SABCD·AP＝ eq \f(1,3)× eq \f(\r(2)＋1,2)×1＝ eq \f(\r(2)＋1,6).
答案： eq \f(\r(2)＋1,6)
7．已知斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
证明：(1)因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
又因为AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
所以AF⊥平面PBC.
又PB⊂平面PBC，所以AF⊥BP.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB.
(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
8．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2 eq \r(2)，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.
[B组 关键能力练]
9．(多选)下列命题中正确的是( )
A． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α B． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,a⊥b))⇒b∥α
C． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,a⊥α))⇒a⊥β D． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
解析：由线面垂直判定得A正确．
a⊥α，a⊥b⇒b∥α或b⊂α，B不正确．
由线面垂直性质可得C正确．
由线面垂直性质得D正确．
答案：ACD
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，点Q在边BC上运动．若要使PQ⊥QD，则这样的点Q的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．无数
解析：如图，连接AQ.因为PA⊥平面ABCD，QD⊂平面ABCD，所以PA⊥QD.又PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，PA，PQ⊂平面PAQ，所以QD⊥平面PAQ.又AQ⊂平面PAQ，所以QD⊥AQ.取AD的中点O，则点Q应在以点O为圆心， eq \f(1,2)AD的长为半径的圆周上．根据题意知点Q在BC上，则Q是圆O与BC的交点．因为圆心O到BC的距离为1，圆O的半径也是1，所以圆O与BC相切，即满足题意的点Q有且只有一个．
答案：B
11．在三棱锥P­ABC中，当三条侧棱PA，PB，PC之间满足条件________时，有PC⊥AB.(填上你认为正确的一种条件即可)
解析：PC⊥AB⇐PC⊥平面PAB⇐PC⊥PA且PC⊥PB.
答案：PC⊥PA且PC⊥PB(答案不唯一)
12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱A1B1上的动点，则点E到平面ABC1D1的距离为________．
解析：∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABC1D1，
∴A1B1∥平面ABC1D1.
∵E∈A1B1，
∴点E到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离．
连接B1C交BC1于点M.
∵AB⊥平面BCC1B1，
∴AB⊥B1C.
又BCC1B1是正方形，
∴BC1⊥B1C.
∵AB∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面ABC1D1，
∴B1M的长为点B1到平面ABC1D1的距离．
∵正方体的棱长为1，∴B1M＝ eq \f(\r(2),2)，
∴点E到平面ABC1D1的距离为 eq \f(\r(2),2).
答案： eq \f(\r(2),2)
13．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：PB⊥NQ.
证明：(1)∵PA⊥平面⊙O，BM⊂平面⊙O，
∴PA⊥BM.
∵AB是⊙O的直径，M是⊙O圆周上一点，
∴AM⊥BM.
又PA，AM⊂平面PAM，PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.
∵AN⊥PM，PM，BM⊂平面PBM，PM∩BM＝M，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，
∴AN⊥PB.
∵AQ⊥PB，AN，AQ⊂平面ANQ，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.
∵NQ⊂平面ANQ，
∴PB⊥NQ.
[C组 素养培优练]
14．如图，把正方形ABCD沿对角线AC折起．当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：三棱锥D­ABC的体积VD­ABC＝ eq \f(1,3)S△ABC·d，其中d为D到平面ABC的距离．
设正方形ABCD的边长为a，
则S△ABC＝ eq \f(1,2)a2为定值．
∴VD­ABC最大⇔d最大．
如图(3)，连接BD交AC于点O，
则DO⊥AC，且DO＝ eq \f(\r(2),2)a.
如图(4)，有d≤DO＝ eq \f(\r(2),2)a，
当且仅当DO⊥平面ABC时，
d最大＝DO＝ eq \f(\r(2),2)a，
此时BO为BD在平面ABC上的射影，
∠OBD为BD与平面ABC所成的角．
∵DO＝OB＝ eq \f(\r(2),2)a，∠DOB＝90°，
∴∠OBD＝45°.
故当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，
直线BD与平面ABC所成的角为45°.
答案：B