高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行课后练习题，共7页。

[A组 必备知识练]
1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
解析：选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个不重合平面的位置关系只有相交与平行两种．
答案：D
2．已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )
A．l∥α，l∥β且l∥γ
B．l⊂γ，且l∥α，l∥β
C．α∥γ，且β∥γ
D．以上都不正确
解析：由面面平行的判定定理可知A，B不正确．由α∥γ，β∥γ可得α∥β，C正确．
答案：C
3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：
①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于①，设相交直线m，n确定一个平面γ，则有γ∥α，γ∥β，∴α∥β，故①正确；②③显然不正确．
答案：B
4．(多选)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析：对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．
答案：CD
5．六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有________对．
解析：由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
答案：4
6．如图，过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________．
解析：如图所示，连接D1P，B1P.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.
答案：平行
7.如图，在三棱锥P­ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB.
证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.
8.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，试判断四边形AEC1F的形状．
解：因为AF∥EC1，所以AF，EC1确定一个平面α.
平面α∩平面CDD1C1＝C1F，
平面α∩平面ABB1A1＝AE.
又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
所以AE∥C1F，
所以四边形AEC1F是平行四边形．
[B组 关键能力练]
9．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且n⊂平面α，m⊂平面β，则m∥n是α∥β的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且n⊂平面α，m⊂平面β，如图，满足m∥n，但α，β相交，故充分性不成立，
再如图：
满足α∥β，但m，n异面，故必要性不成立，
∴m∥n是α∥β的既不充分也不必要条件．
答案：D
10．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且 eq \f(DE,EB)＝ eq \f(DF,FD1)＝ eq \f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则 eq \f(CG,CC1)＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(2,3) D． eq \f(1,4)
解析：∵在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，
E，F分别在线段DB，DD1上，且 eq \f(DE,EB)＝ eq \f(DF,FD1)＝ eq \f(1,2)，
∴EF∥BD1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1.
∵G在CC1上，BG⊂平面BD1G，且平面AEF∥平面BD1G，
∴AF∥BG，
∴ eq \f(CG,CC1)＝ eq \f(DF,DD1)＝ eq \f(1,3).
答案：B
11．如图，在三棱锥P­ABC中，M是PC的中点，E是AM的中点，点F在线段PB上，满足EF∥平面ABC，则BF∶FP＝________．
解析：取MC的中点N，连接EN，FN(图略)，
可知EN∥AC.又EF∥平面ABC，
从而可得平面ENF∥平面ABC.
又平面ENF∩平面PBC＝FN，平面ABC∩平面PBC＝BC，
所以FN∥BC.又M为PC的中点，N为MC的中点，
所以BF∶FP＝CN∶NP＝1∶3.
答案：1∶3
12.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.
其中正确的序号是________．
解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．
答案：①②③
13．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：如图所示，连接SB，SD.
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，
FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1.
又∵EG⊂平面EFG，
FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
[C组 素养培优练]
14．如图，在四棱锥C­ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F，P分别是线段EC，BD，CD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．
(1)证明：如图，连接AE.∵F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形，∴F为AE的中点．又G为EC的中点，∴GF∥AC.
又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)解：平面GFP∥平面ABC.
证明如下：
∵点F，P分别为BD，CD的中点，∴FP∥BC.
又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，
∴FP∥平面ABC.又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，
FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP，∴平面GFP∥平面ABC.