数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题
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这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题,共9页。
[A组 必备知识练]
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上都有可能
解析:当两个平面平行时,这两条直线的位置关系为平行或异面,当两个平面相交时,这两条直线的位置关系有可能相交或异面.
答案:D
2.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线BD1与AD所成角的余弦值等于( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(\r(2),2)
C. eq \f(\r(3),2) D. eq \f(\r(3),3)
解析:∵A1D1∥AD,∴∠A1D1B或其补角是BD1与AD所成的角.
连接A1B,设A1D1=1,
∴A1B= eq \r(2),BD1= eq \r(3),
∴cs ∠A1D1B= eq \f(12+(\r(3))2-(\r(2))2,2×1×\r(3))= eq \f(\r(3),3),
∴直线BD1与AD所成角的余弦值为 eq \f(\r(3),3).
答案:D
3.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则异面直线AB与CD所成角的大小是( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
解析:如图所示,
由题可知,四边形ABEG和CDFE均为正方形,△EFG为正三角形.
因为AB∥EG,CD∥EF,
所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成角.
因为△EFG为正三角形,所以∠GEF=60°.
答案:C
4.空间四边形的对角线互相垂直且相等,则顺次连接四边中点所得四边形是( )
A.梯形
B.邻边不相等的矩形
C.正方形
D.内角不是直角的平行四边形
解析:如图,空间四边形ABCD对角线AC⊥BD且AC=BD.
∵四边中点分别为E,F,G,H,
∴EF綉HG綉 eq \f(1,2)AC,EH綉FG綉 eq \f(1,2)BD,
∴四边形EFGH是平行四边形.
又AC=BD,∴EF=EH.
又∠FEH或其补角是AC与BD所成的角,
∴EF⊥EH,
∴四边形EFGH是正方形.
答案:C
5.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,与AD1异面且垂直的面对角线是________.
答案:B1C
6.如图,在三棱锥ABCD中,AC=8,BD=6,M,N分别是棱AB,CD的中点,并且直线AC与BD所成的角为90°,则MN=________.
解析:取AD的中点E,连接ME,NE,
∴ME∥BD,且ME= eq \f(1,2)BD=3,
NE∥AC,且NE= eq \f(1,2)AC=4,
∴∠MEN或其补角是AC与BD所成的角.
∵直线AC与BD所成的角为90°,
∴ME⊥NE,
∴MN= eq \r(32+42)=5.
答案:5
7.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为侧面ADD1A1的中心.求:
(1)直线BA1与CC1所成的角;
(2)直线B1O与BD所成的角.
解:(1)∵BB1∥CC1,
∴∠A1BB1或其补角是直线BA1与CC1所成的角.
∵∠A1BB1=45°,
∴直线BA1与CC1所成的角为45°.
(2)连接B1D1,AD1,AB1.
∵BB1綉DD1,
∴四边形BB1D1D是平行四边形,
∴B1D1∥BD,
∴∠OB1D1或其补角是B1O与BD所成的角.
∵AB1=AD1=B1D1,
∴△AB1D1是正三角形.
∵O是AD1的中点,
∴∠OB1D1= eq \f(1,2)∠AB1D1=30°.
故直线B1O与BD所成的角为30°.
8.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF= eq \r(2).求证:AD⊥BC.
证明:连接BD,取BD的中点H,
连接EH,FH.
∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴EH∥AD,EH= eq \f(1,2)AD=1,
FH∥BC,FH= eq \f(1,2)BC=1,
∴∠EHF或其补角为直线AD,BC所成的角.
在△EHF中,EH2+FH2=1+1=2=EF2,
∴EH⊥FH,即∠EHF=90°,即直线AD,BC所成的角为90°,
∴AD⊥BC.
[B组 关键能力练]
9.在三棱锥ABCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点.若AD与BC所成角是60°,那么∠FEG为( )
A.60°
B.30°
C.120°
D.60°或120°
解析:由已知得EF∥BC,EG∥AD,
∴∠FEG或其补角为AD与BC所成的角,
∴∠FEG=60°或120°.
答案:D
10.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥后,直线HG与IJ所成角的大小为( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
解析:折成三棱锥如图所示,
三棱锥MDEF为正四面体.
取EF的中点K,连接JK,IK,
可得HG綉 eq \f(1,2)DF綉JK,IK綉 eq \f(1,2)MF,IJ綉 eq \f(1,2)MD,
∴∠IJK或其补角为HG与IJ所成的角.
∵JK=IK=IJ,∴△IJK是正三角形,∴∠IJK=60°,
∴直线HG与IJ所成的角为60°.
答案:B
11.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成角的取值范围是________.
解析:如图,连接CD1.
∵CD1∥BA1,∴∠D1CP或其补角为CP与BA1所成的角.
当P与A重合时,∠D1CP最大.
又知△ACD1为正三角形,
∴0
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