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    数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题

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    这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题,共9页。
    [A组 必备知识练]
    1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
    A.异面 B.平行
    C.相交 D.以上都有可能
    解析:当两个平面平行时,这两条直线的位置关系为平行或异面,当两个平面相交时,这两条直线的位置关系有可能相交或异面.
    答案:D
    2.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,直线BD1与AD所成角的余弦值等于( )
    A. eq \f(1,2) B. eq \f(\r(2),2)
    C. eq \f(\r(3),2) D. eq \f(\r(3),3)
    解析:∵A1D1∥AD,∴∠A1D1B或其补角是BD1与AD所成的角.
    连接A1B,设A1D1=1,
    ∴A1B= eq \r(2),BD1= eq \r(3),
    ∴cs ∠A1D1B= eq \f(12+(\r(3))2-(\r(2))2,2×1×\r(3))= eq \f(\r(3),3),
    ∴直线BD1与AD所成角的余弦值为 eq \f(\r(3),3).
    答案:D
    3.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则异面直线AB与CD所成角的大小是( )
    A.30° B.45°
    C.60° D.120°
    解析:如图所示,
    由题可知,四边形ABEG和CDFE均为正方形,△EFG为正三角形.
    因为AB∥EG,CD∥EF,
    所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成角.
    因为△EFG为正三角形,所以∠GEF=60°.
    答案:C
    4.空间四边形的对角线互相垂直且相等,则顺次连接四边中点所得四边形是( )
    A.梯形
    B.邻边不相等的矩形
    C.正方形
    D.内角不是直角的平行四边形
    解析:如图,空间四边形ABCD对角线AC⊥BD且AC=BD.
    ∵四边中点分别为E,F,G,H,
    ∴EF綉HG綉 eq \f(1,2)AC,EH綉FG綉 eq \f(1,2)BD,
    ∴四边形EFGH是平行四边形.
    又AC=BD,∴EF=EH.
    又∠FEH或其补角是AC与BD所成的角,
    ∴EF⊥EH,
    ∴四边形EFGH是正方形.
    答案:C
    5.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,与AD1异面且垂直的面对角线是________.
    答案:B1C
    6.如图,在三棱锥A­BCD中,AC=8,BD=6,M,N分别是棱AB,CD的中点,并且直线AC与BD所成的角为90°,则MN=________.
    解析:取AD的中点E,连接ME,NE,
    ∴ME∥BD,且ME= eq \f(1,2)BD=3,
    NE∥AC,且NE= eq \f(1,2)AC=4,
    ∴∠MEN或其补角是AC与BD所成的角.
    ∵直线AC与BD所成的角为90°,
    ∴ME⊥NE,
    ∴MN= eq \r(32+42)=5.
    答案:5
    7.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,O为侧面ADD1A1的中心.求:
    (1)直线BA1与CC1所成的角;
    (2)直线B1O与BD所成的角.
    解:(1)∵BB1∥CC1,
    ∴∠A1BB1或其补角是直线BA1与CC1所成的角.
    ∵∠A1BB1=45°,
    ∴直线BA1与CC1所成的角为45°.
    (2)连接B1D1,AD1,AB1.
    ∵BB1綉DD1,
    ∴四边形BB1D1D是平行四边形,
    ∴B1D1∥BD,
    ∴∠OB1D1或其补角是B1O与BD所成的角.
    ∵AB1=AD1=B1D1,
    ∴△AB1D1是正三角形.
    ∵O是AD1的中点,
    ∴∠OB1D1= eq \f(1,2)∠AB1D1=30°.
    故直线B1O与BD所成的角为30°.
    8.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF= eq \r(2).求证:AD⊥BC.
    证明:连接BD,取BD的中点H,
    连接EH,FH.
    ∵E,F分别为AB,CD的中点,
    ∴EH∥AD,EH= eq \f(1,2)AD=1,
    FH∥BC,FH= eq \f(1,2)BC=1,
    ∴∠EHF或其补角为直线AD,BC所成的角.
    在△EHF中,EH2+FH2=1+1=2=EF2,
    ∴EH⊥FH,即∠EHF=90°,即直线AD,BC所成的角为90°,
    ∴AD⊥BC.
    [B组 关键能力练]
    9.在三棱锥A­BCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点.若AD与BC所成角是60°,那么∠FEG为( )
    A.60°
    B.30°
    C.120°
    D.60°或120°
    解析:由已知得EF∥BC,EG∥AD,
    ∴∠FEG或其补角为AD与BC所成的角,
    ∴∠FEG=60°或120°.
    答案:D
    10.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥后,直线HG与IJ所成角的大小为( )
    A.90° B.60°
    C.45° D.30°
    解析:折成三棱锥如图所示,
    三棱锥M­DEF为正四面体.
    取EF的中点K,连接JK,IK,
    可得HG綉 eq \f(1,2)DF綉JK,IK綉 eq \f(1,2)MF,IJ綉 eq \f(1,2)MD,
    ∴∠IJK或其补角为HG与IJ所成的角.
    ∵JK=IK=IJ,∴△IJK是正三角形,∴∠IJK=60°,
    ∴直线HG与IJ所成的角为60°.
    答案:B
    11.在正方体ABCD­A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成角的取值范围是________.
    解析:如图,连接CD1.
    ∵CD1∥BA1,∴∠D1CP或其补角为CP与BA1所成的角.
    当P与A重合时,∠D1CP最大.
    又知△ACD1为正三角形,
    ∴0

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