2020-2021学年高二数学下学期期末考试仿真模拟卷04

这是一份2020-2021学年高二数学下学期期末考试仿真模拟卷04，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】，则. 故选：B
2.的展开式的常数项为（ ）
A. 615B. ﹣615C. 715D. ﹣715
【答案】D
【解析】的展开式的通项为：
，
令，得常数项为． 故选：．
3.设这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图可得：X的正态分布密度曲线更“瘦高”，且对称轴偏左，
结合正态分布密度曲线性质可得：. 故选：B
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则关于函数的下列说法正确的是（ ）
A. 在上为增函数B. 在处取得极大值
C. 在上为增函数D. 在处取得极小值
【答案】C
【解析】由图可得随的变化规律，如下表
则函数在上为减函数，A不正确；在处取得极小值，B不正确；
在上为增函数，C正确；在处取得极大值，D不正确；故选:C.
5.设随机变量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为随机变量，，
所以，则，
因为，即，解得
随机变量中，
，故选：A
6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．60种B．78种C．84种D．144种
【答案】B
【解析】由题意可知，三年修完四门]课程，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2．
①若是1，1，2，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有＝36种；
②若是0，1，3，则先将4门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共种＝24种；
③若是0，2，2，则先将4门学科分成三组种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有＝18种．所以每位同学的不同选修方式有36＋24＋18＝78种；故选：B．
7.已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】根据题意，从集合中任取3个不同的元素，则有，其中最小的元素取值分别为，
从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素的取值分别为，
因为，可得随机变量的取值为，
则，
，
所以随机变量的期望为：,故选：A.
8.函数在上有两个零点，，且，则实数a的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】函数，变形为，令，得，
当时，，当时，，可得时，函数取得最小值.
又当时，，当时，，
且函数在上有两个零点，，得.
由，可得时，a取得最小值.
由，，得，∴，解得.
代入，解得.∴a的最小值为. 故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列选项中正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 已知，则的值为 8或12
【答案】ABD
【解析】对于选项，因为，，所以，故正确；
对于选项，，故正确；
对于选项，当时，左边，右边，等式不成立，故错误；
对于选项，由，可得或，解得：或
故正确. 故选：ABD
10.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人
附表：
附：
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：
则，
由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，
即，得，
，则的可能取值有、、、，
因此，调查人数中男生人数的可能值为或. 故选：BC.
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，函数为奇函数B. 当时，函数在上单调递增
C. 当时，函数有2个不同的零点D. 若函数在(0，2)上单调递减，则
【答案】BC
【解析】，
对于时，，显然不是奇函数，故错误，
对于时，令，解得：或，
故时，函数在上单调递增，正确，
对于时，，，
令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
，，
时，，
故时有1个零点，是1个零点，则有2个不同的零点，正确；
对于，
结合题意，，，则，解得：，故错误； 故选：BC．
12.已知随机变量的分布列是
随机变量的分布列是
则当在内增大时，下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. 增大D. 先增大后减小
【答案】BC
【解析】对于，，，故错误；
对于，，，故正确；
对于，，
当在内增大时，增大，故正确；
对于，，
，
当在内增大时，单调递增，故错误． 故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知是一个复数，满足（i为虚数单位）,则=___________.
【答案】或
【解析】设，，即，
，所以，解得或，
所以或. 故答案为：或
14.已知随机变量，，那么的值为______.
【答案】0.1
【解析】随机变量，故.
故答案为：.
15.定义：在中，把，，，…，叫做三项式的次系数列（例如三项式的1次系数列是1，-1，-1）．按照上面的定义，三项式的5次系数列各项之和为______，______．
【答案】 (1). (2).
【解析】令，可得的5次系数数列的各项之和为，
又由的通项公式为，
且的通项公式为，
令，可得，
所以. 故答案为：，.
16.已知函数定义在上的函数，若，当时，，则不等式的解集为__________
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以，即，
所以函数为偶函数；
又，
当时，，
所以，即函数在上单调递减；
则上单调递增；
又不等式可化为，即，
所以只需，则，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：
（1）、两人不排在一起，有几种排法？
（2）、两人必须排在一起，有几种排法？
（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为；
（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，
因此，排法种数为；
（3）分以下两种情况讨论：
①若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法；
②若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.
综上所述，共有种不同的排法种数.
18.已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3.
（1）求正整数n；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由第5项与第3项的二项式系数之比为14∶3得
，
，所以，（舍）.
（2）由得，，①
当时，代入①式得；
因为，
所以，令得，，，
所以.
19.地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为，其它情况下，选手每答对一题得分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加分，若次全答对，则额外加分.已知某选手每次答题的正确率都是，且每次答题结果互不影响.
求该选手恰答对道题的概率；
记为该选手参加比赛的最终得分，求的分布列与数学期望.
【答案】；.
【解析】该选手每次答题的正确率都是，四道题答对的情况有种
恰答对道题的概率
由题可能的取值为
，，
的分布列如下
20.在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入（万元）与升级改造直接收益（万元）的数据统计如下：
当时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为：．
（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数，．）
（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式，）
【答案】（Ⅰ）模型①的小于模型②，回归模型②刻画的拟合效果更好；预测值为72.93亿元；（Ⅱ）技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．
【解析】（1）由表格中的数据，有，即
所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为．
∴（亿元）
（2）由已知可得：，所以．
，所以．
∴
所以当亿元时，与满足的线性回归方程为：．
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值．
所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元
即79.3亿元亿元
所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．
21.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100的有25人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.
（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式与数据：，其中
【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为.
【解析】（1）
因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为，
可取值是0，1，2，3，由题知，
有：，，，，
分布列为
.
22.已知函数，，其中是自然对数的底数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）当时，关于不等式恒成立，求整数的最大值；
（3）设函数，若函数恰好有2个零点，求实数的取值范围.(取，)
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）因为，所以切线的斜率，
又因为切点为，所以所求切线方程为.
（2）设，则对恒成立，
，
当时，，函数递增，则，符合题意；
当时，由得，
则函数在区间上递减，在区间上递增，
则，
设，则，其中，
所以，
所以当时递减，
因为，，
所以满足条件的的最大整数是7.
（3），
则，设，
当时，，函数递减，不合题意；
当时，因为恒成立，所以在上递增，
因为，，则使得，
当，，递减，当，，递增；
所以，
则当时，，可得，此时只有唯一零点1；
当时，因为，，
则，因为，
所以，，
所以在有唯一零点，
故当时，有两个零点；
当时，同理可得有两个零点；
所以的取值范围是.















男生
女生
合计
喜欢抖音
不喜欢抖音
合计
－1
0
1
1
2
3
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
平均车速超过100人数
平均车速不超过100人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
0.150
0.100
0.050
0025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
平均车速超过100km/h人数
平均车速不超过100km/h人数
合计
男性驾驶员人数
40
15
55
女性驾驶员人数
20
25
45
合计
60
40
100
0
1
2
3