广东省深圳市2020-2021年学高二下学期期末模拟考试数学试题

这是一份广东省深圳市2020-2021年学高二下学期期末模拟考试数学试题，共18页。试卷主要包含了 已知复数满足，则的模为， 设函数，则不等式的解集为等内容，欢迎下载使用。
深圳市2021年高二年级第二学期期末模拟考试
数 学 2021.5
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则的模为
A. B. C. D.
3. 安排名记者到家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名记者，不同的安排方法共有
A.种 B.种 C.种 D.种
4. 半径为的球中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为
A. B. C. D.
5. 某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为
A. B. C. D.
6. 为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮. 1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为
A．1.28 B．1.26 C．1.24 D．1.22
7. 已知直角梯形，，//，，是边上的一点，则的取值范围为
A． B． C． D．
8. 设函数，则不等式的解集为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知圆锥曲线的一个焦点为，则的方程可以为
A. B.
C. D.
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A．直线是图象的一条对称轴
B．图象的对称中心为，
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
11. 已知，，则下列结论正确的是
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
12．如图，正六棱柱的所有棱长均为，点为对角线上的动点，设过且与垂直的平面截此正六棱柱所得截面为，则下列说法正确的有
A．可以为△
B．可以为四边形
C．可以为五边形
D．的面积最大值为
（第12题图）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列，，则=_______．
14.椭圆的一个焦点是圆的圆心，且的长轴长为，则该椭圆的离心率等于__________．
15.据气象台监测，在海滨城市附近的海面有一台风. 台风中心位于东偏南方向、距离城市的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，则台风中心_____小时后距离城市最近. 如果台风侵袭范围为圆形区域，半径，台风移动的方向与速度不变，那么该城市_____（填“会”或“不会”）受台风侵袭.
准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除.对于正态分布的随机误差，落在之外的概率只有，它在有限次测量中发生的可能性很小,故存在准则.准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差，取其次结果的平均值得，为误差使在的概率不小于0.9973，至少要测量___次.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答.
问题：在△中，角所对的边分别是，，且 ，
（1）求；
（2）若△的最大边长为4，求△的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（12分）
已知等比数列的前项和为，且，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和.
19．（12分）
2020年5月14日，中国经济“双循环 ”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局” .为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如下表所示.
（1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；
（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”. 根据所给数据，完成下面的列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？
附表及公式：，其中.
20．（12分）
如图，在四面体中，△为等边三角形，点，分别为棱，的中点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，
求二面角的余弦值. （第20题图）
21．（12分）
已知抛物线，动直线经过的焦点，且与交于、两点. 当为线段中点时，.
（1）求抛物线方程；
（2）问：在轴上是否存在点（异于点），满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（12分）
设函数，.
（1）求的极大值点；
（2）若，且，求证: .
试题类型：A
绝密★启封并使用完毕前
深圳市2021年高二年级第二学期期末模拟考试
数学答案及评分参考
一、单项选择题：
二、多项选择题：
12．如图，正六棱柱的所有棱长均为，点为对角线上的动点，设过且与垂直的平面截此正六棱柱所得截面为，则下列说法正确的有
A．可以为△
B．可以为四边形
C．可以为五边形
D．的面积最大值为
（第12题图）
解析：易知平面，∴，
设，考虑矩形，不难知道，
∴平面，故选项A正确；
显然截面与平面平行或重合，亦可视为将平面沿直线方向平移，
若将平面向点平移，则为三角形；
若将平面向点平移，则的形状变化过程为：等腰三角形六边形矩形（四边形）六边形等腰三角形，从而易知选项B正确，且选项C错误；
显然截面与底面所成的角相等，欲使截面的面积最大，只需考虑其在底面的投影面积最大，不难知道，当截面为矩形时，其投影面积最大，
设和的中点分别为，矩形面积为，即的面积最大值为，从而选项D正确；
综上所述，应选ABD.
三、填空题：
13. ； 14. ； 15. , 不会； 16. 10.
准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除。对于正态分布的随机误差，落在之外的概率只有，它在有限次测量中发生的可能性很小,故存在准则。准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差，取其次结果的平均值得，为误差使在的概率不小于0.9973，至少要测量_____次.
解析：由题意，正态分布的随机误差落在之外的概率只有，所以落在的概率为0.9973.根据正态曲线的对称性，要使误差在的概率不小于0.9973，则，解得.故答案为：10.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在①；②；③,这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答.
问题：在△中，角所对的边分别是，，且 .
（1）求；
（2）若△的最大边长为4，求△的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：(1)由有（*），则都是锐角... 分
若选①，则； 又由（*）有，
由，
又且是锐角，可得，，
所以. 分
若选②，则，又由（*）有，
又，可得，所以. 分
若选③，
由正弦定理有，
则，则，
由（*）有，
故. 分
由①②③都可得，，，
，， 分
因为，所以，所以最长边，
由正弦定理有，则， 分
所以的面积为. 分
【命题意图】本题主要考察正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识，渗透数形结合、转化与化归、方程等思想，意在考察学生的逻辑推理，数学运算等核心素养．
18．（12分）
已知等比数列的前项和为，且，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和.
解：（1）（解法一）设等比数列的公比为，已知， ………………………1分
当时，，
两式相减可得，
即，则， ………………………3分
当时，得，
即，解得， ………………………4分
故等比数列的通项公式为. ………………………5分
（解法二）设等比数列的公比为，已知，……………………1分
当时，得，即， ………………………2分
当时，得，即， ………………………3分
两式相除可得，因为，所以，，…………………4分
故等比数列的通项公式为. ………………………5分
（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则， ………………………6分
即为， ………………………7分
整理得，所以， ………………………8分
（解法一），
即， ………………………9分
， ………………………10分
两式相减， 得， ………………………11分
故数列前项的和. ………………………12分
（解法二），
即， ………………………9分
，
两式相减得：， ………………………10分
所以， ………………………11分
故数列前项的和. ………………………12分
【命题意图】本题主要考查数列通项与前项和的关系、等比数列的定义、等比等差数列的通项公式、错位相减法求和，考察了学生的运算、逻辑推理等核心素养.
19．（12分）
2020年5月14日，中国经济“双循环 ”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局” .为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如下表所示.
（1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；
（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”. 根据所给数据，完成下面的列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？
附表及公式：，其中.
解：（1）随机选一人，设该客户的消费额为千元，则的可能取值为：2，6，10， ┈┈┈┈1分
依题意可得，，，， ┈┈4分
所以该客户的消费期望是：千元. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分
（2）2×2列联表如下：
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分
， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分
因为，所以有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关. ┈┈┈┈┈┈┈12分
【命题意图】该题在国内经济“双循环”的大背景下，选取学生熟知的服装消费分析消费者的消费现状，并以此提供决策依据。本题试图考察随机变量的分布列与数学期望，2×2列联表以及独立性检验。并以此检验学生的数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
20．（12分）
如图，在四面体中，△为等边三角形，点，分别为棱，的中点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，
求二面角的余弦值. （第20题图）
解：（1）证明：如图1，不妨设为的中点，且，则，，
连接，，，∵点为棱的中点，且，
∴，即，………………1分
∵，且，
∴△△，
∴，即，………………2分 （图1）
又∵△为等边三角形，点为棱的中点，
∴，……………………………………………3分
∵点，分别为，的中点，
∴，
∴，…………………………………4分
∵平面，且，
∴平面，…………………………5分
又∵平面，
∴. …………………………………6分
（2）（法一）建立如图2所示空间直角坐标系， （图2）
由（1）可知，为二面角的平面角，且，
若二面角的大小为，则，……………………7分
∴不难知道，，，……………………8分
∴，，
不妨设平面的一个法向量为，则
解得令，则， ……………………10分
显然为平面的一个法向量，
∴，……………………11分
易知二面角的大小即为，
∴二面角的余弦值亦为. …………………12分
【命题意图】本题以空间四面体为载体，主要涉及到线面垂直的位置关系和二面角的求法，重点考察学生的直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养.
21．（12分）
已知抛物线，动直线经过的焦点，且与交于、两点. 当为线段中点时，.
（1）求抛物线方程；
（2）问：在轴上是否存在点（异于点），满足？若存在，求出点的坐标. 若不存在，请说明理由.
解：（1）且为线段中点，
轴， ……………………………1分
设,代入有且，
， ……………………………………3分
抛物线方程为， ……………………………………4分
假设存在点满足题意，
设直线，，， ……………………………5分
由
可得， 所以 . ……………………………………6分
由，得，
由抛物线定义可知,即， ………………………8分
， ………………………………10分
，， ，
综上所述，存在满足题意. ………………………………12分
【命题意图】本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，探究性问题，考查了学生的运算能力，逻辑推理等核心素养.
22．（12分）
设函数，.
（1）求的极大值点；
（2）若，且，求证: .
解：（1）因为， ， ………………… 1分
由，得，故， ………………………2分
所以在单调递减，又， …………3分
所以在单调递增，fx在单调递减， ……………4分
所以是的极大值点. ………………………………5分
（2）不妨设，则，
要证，即证，
又，且，在单调递增，
即证，， ………………………………6分
令函数，则,
记，则,
因为, ………………………………8分
所以在单调递增，且, ………………………………9分
所以，在单调递减，且, ………………………………10分
即，在单调递减，且, ………………………………11分
所以，即，命题得证. ………………………………12分
【命题意图】 本题以基本初等函数的极值、单调性问题和不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，化归转化思想和逻辑推理、数学运算等核心素养，具有较强的综合性.
消费（千元）
年龄段
年轻
180
120
100
中年
70
155
95
老年
50
125
105
低消费
高消费
合计
年轻人
中老年人
合计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
B
A
B
D
C
题号
9
10
11
12
答案
BC
AC
ACD
ABD
消费（千元）
年龄段
年轻
180
120
100
中年
70
155
95
老年
50
125
105
低消费
高消费
合计
年轻人
中老年人
合计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
低消费
高消费
合计
年轻人
300
100
400
中老年人
400
200
600
合计
700
300
1000