江苏省淮安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份江苏省淮安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了02， 已知集合，，则， 命题“，都有”的否定为， 我国著名数学家华罗庚先生曾说， 下列结论中正确的有等内容，欢迎下载使用。

2023.02
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，共150分.考试时间120分钟.考试结束后，只要将答题卡交回.
2．答题前，请务必将自己的学校、姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸上，并用2B铅笔将答题卡上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确填涂.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符.
4．所有试题的答案全部在答题卡上作答.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解出集合，根据交集含义即可.
【详解】，又因为，
则，
故选：A.
2. 命题“，都有”的否定为（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，都有D. ，都有
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由全称命题的否定为特称命题即可得到结果.
【详解】由题意可得，，都有的否定为，使得.
故选：B
3. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
详解】若，则，所以，故充分性满足；
若，则或，显然必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（ ）
A. 淮安方特B. 龙宫大白鲸世界
C. 西游乐园D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可求解.
【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过淮安方特或西游乐园，
再由甲说的，可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园，
则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个，
再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过西游乐园.
故选：C.
5. 已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由指数函数与对数函数的单调性，即可判断大小关系.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：D
6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出定义域，求出，得到为奇函数，排除CD，在求出当时，，B错误，A正确.
【详解】的定义域为R，且，
故为奇函数，关于原点对称，CD错误；
当时，，故，A正确，B错误；
故选：A
7. 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A. 6次0.7B. 6次0.6
C. 5次0.7D. 5次0.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，对区间内，需要求解
的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为，
共计算次.
故选：C
8. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可
【详解】,
,
所以为奇函数,
为单调增函数,
,
,恒成立,
,
.
故选：D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则的最小值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A、B，利用不等式的性质进行判断；对于C，利用作差比较法进行判断；对于D，利用基本不等式结合“1”的妙用进行判断.
【详解】对于A，若，则成立，故A正确；
对于B，若，则，成立，即成立，故B正确；
对于C，由以及选项A，，即成立，故C错误；
对于D，若，，且，则，当时取等号，则的最小值为4，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知有两个零点，且，则下列说法正确的有（ ）
A. ，
B.
C. 若，则的最小值为
D. 且，都有
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根的判别式、作差法逐一判断即可.
【详解】因为有两个零点，且，
所以是方程的两个不等实根，
于是有：，故B正确；
若，显然满足，此时，故A错误；
当时，由，
此时，所以C错误；
，
因为，
所以，所以D正确，
故选：BD
11. 对于函数，下列结论正确的有（ ）
A. 当时，的图像关于点中心对称
B. 当时，在区间上是单调函数
C. 若恒成立，则的最小值为2
D. 当时，的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由正弦型函数的对称性以及单调性即可判断AB，由正弦型函数的最值列出等式即可判断C，由三角函数的图像变换，即可判断D.
【详解】当时，函数，令，可得，所以当时，的图像关于点中心对称，故A正确；
当时，函数，函数的最小正周期为，区间为半个周期长度，而时，函数没有取得最值，所以在区间上不是单调函数，故B错误；
若恒成立，可知时，函数取得最大值，可得，
，，解得，则的最小值为，故C正确；
当时，，的图像向右平移个单位长度得到
，故D正确；
故选：ACD
12. 已知函数是定义在上的偶函数，对于任意，都有成立．当时，，下列结论中正确的有（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C. 直线是函数的一条对称轴
D. 关于的方程共有4个不等实根
【答案】AC
【解析】
【分析】由，令可得，进而结合奇偶性即可判断A选项；由可得，可得函数是周期为4的偶函数，结合题设画出大致图象，结合图象可判断BC选项；进而画出函数的大致图象，即可判断D选项.
【详解】由，
令，则，即，
因为是定义在上的偶函数，所以，故A正确；
由A知，，则，
所以函数是周期为4的偶函数，结合时，，
画出大致图象如下：

结合图象可知，函数在上单调递减，直线是函数的一条对称轴，故B错误，C正确；
对于D，画出函数的大致图象如下：

结合图象可知，函数和有两个交点，
所以方程共有2个不等实根，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于得出函数是周期为4的偶函数，然后画出大致图象，结合图象即可求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 函数，则________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据函数解析式代值计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：9.
14. 已知a，b为正实数，满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】为正实数，满足，
，
，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
15. 如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________．

【答案】
【解析】
【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．
【详解】如图，连接.
由题意知，线段的长度都等于半径，
所以，为正三角形，则，
故的面积为，
扇形的面积为，
由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，
所以阴影部分的面积.
故答案为：.

16. 近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为________，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为________秒．

【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可；
（2）解不等式即得.
【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，
风车转动一圈为秒，则角速度，
如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，
设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，
以为始边，为终边的角不妨取，
那么经过（秒）后，运动到点，
于是，以为始边，为终边的角为，
由三角函数定义知，
则，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
当时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）已知，求的值；
（2）求值．
【答案】（1）；（2）0
【解析】
【分析】（1）根据弦化切公式以及平方关系式进行求解；
（2）根据对数换底公式以及对数恒等式求得结果
【详解】（1）由题意有
则.
（2）原式.
18. 设全集为，集合，．

（1）当时，求图中阴影部分表示的集合C；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解对数不等式求集合A，根据韦恩图及集合的交、补运算求集合C；
（2）根据所选的条件均可得，讨论是否为空集列不等式组求参数范围即可.
【小问1详解】
由集合A知，即，解得或，
所以，当时，
∴.
【小问2详解】
选择①②③，均可得.
当时，，解得；
当时，或，解得或，即．
综上所述，实数a的取值范围是．
19. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根根据余弦型函数的周期性质，结合特殊点进行求解即可；
（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
由图可知，．因为，所以，．
代入有，
∴，
又∵，∴，∴；
【小问2详解】
由题意知变换后
当时，令，即，
函数在时单调递减，此时，
函数在时单调递增，此时，
等价于有两解．
所以当时符合题意，即a的取值范围为．
20. 2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：，，，）
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
【答案】（1），
（2）11个
【解析】
【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果；
（2）根据指对互化以及对数运算求得结果.
【小问1详解】
若选，将，和，代入得，解得
得，代入有，不合题意．
若选，将，和，代入得，
解得，得．代入有，符合题意．
【小问2详解】
设至少需要x个单位时间，则，即，
则，又，，
，∵，
∴x最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人．
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求出函数的解析式，再利用奇函数的定义进行验证即可；
（2）利用函数单调性的定义进行判断证明即可；
（3）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
∵为定义在上的奇函数，∴，则有
由得，∴，
又，∴，，；
【小问2详解】
任取，，
∵，∴，，且，，
∴，∴，在上单调递增；
【小问3详解】
由（2）知在上单调递增，∴，
．
令，则有
令，，，∴．
【点睛】关键点睛：利用换元法，结合二次函数的性质是解题的关键.
22. 已知函数．
（1）若函数的零点在区间上，求正整数k的值；
（2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果；
（2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果.
小问1详解】
由，
得，
令，定义域为．
任取，
∵，∴，，
∴，在上单调递增．
，，由零点存在定理知．
【小问2详解】
由已知得恒成立，即，
显然，首先对任意成立，即，
由，得，所以．
其次，，设，，则有，，令，，
，由基本不等式知，，当且仅当时，
有最大值1，∴
综上，实数a的取值范围为．
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483
1
2
3
4
5
6
…
(人数)
…
6
…
36
…
216
…