辽宁省沈阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份辽宁省沈阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合间的交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：B.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】分别解不等式和，根据小范围推大范围，分析判断即可.
详解】若，解得，即解集；
若，注意到在定义域内单调递增，解得；
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 已知，，且与平行，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出向量与的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.
【详解】因为，，所以，，
若与平行，则，得x＝2.
故选：C.
4. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.
【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，
由古典概型得，
故选：D.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，即，可得，
∴函数的定义域为，
令，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
6. 设是所在平面内的一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的减法运算求解.
【详解】由，则，
整理得．
故选：A.
7. 已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
故选：C.
8. 设函数，，若的图象与的图象有且仅有三个不同的公共点，，，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象可判断BD，将方程可化为，根据不等式性质可判断A，然后可判断C.
【详解】如图，在同个坐标系中画出函数，，
由题意得的三个解满足，，故BD错误；
方程可化为，
则有，且由，得，所以，即，
所以，．A错误，C正确.
故选：C
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（ ）
A. 长度在的产品数最多B.
C. 不合格的产品数为100件D. 产品长度的平均值约为70.5
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1、频数及平均数公式计算即可.
【详解】对于A项，因为频率分布直方图中的矩形的高度最高，所以长度在的产品数最多，故A项正确；
对于B项，由得，故B项正确；
对于C项，因为，所以不合格产品数为1000件，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.
故选：ABD.
10. 设集合，且，则x的值可以为（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.
【详解】∵，则有：
若，则，此时，不符合题意，故舍去；
若，则或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述：或.
故选：BC.
11. 已知函数，，则下列选项中正确的有（ ）
A. 的图象关于原点对称B. 的图象关于y轴对称
C. 与的图象关于x轴对称D. 与的图象关于原点对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对称性的定义逐项分析判断.
【详解】对A：∵，故为偶函数，图象关于y轴对称，
例如，不满足，故的图象不关于原点对称，A错误；
对B：∵，故为偶函数，图象关于y轴对称，B正确；
对C：，故与的图象关于x轴对称，C正确；
对D：，故与的图象关于原点对称，D正确；
故选：BCD.
12. 若关于x的方程的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】ABD
【解析】
【分析】将方程变形为（，且）分别讨论，，的情况即可求解，或者根据函数图象的交点情况进行求解.
【详解】法一：显然，且，原方程变形得，即，
若，此时，方程的解集为，
若，此时，方程的解集为，
若，此时，方程的解集为．
法二：原方程等价于，
在平面直角坐标系中做出函数的图象如图，
当，当 ，当
此图象和直线的交点只有一个，所以满足条件的实数可以为，，1．
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据分层抽样原则直接计算即可
【详解】由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽人.
故答案为：15
14. 已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的代换求最小值，结合已知不等式恒成立求参数范围即可.
【详解】由得：，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为27，
又恒成立，故.
故答案为：
15. 已知函数同时满足下列两个条件：①，②无零点．写出一个符合题意的函数______．（结果不能写成分段函数的形式）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】写出满足两个条件的一个函数即可.
【详解】函数同时满足下列两个条件：
①，
②无零点．
故答案为：（答案不唯一）.
16. 若，是方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】把代入方程，化简得，再利用两根之和及对数运算得，即可求解.
【详解】由是方程的根，则，
所以，即，
又由，是方程的两个根，
所以，即，所以，
所以．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）解关于x的方程：；
（2）求关于x不等式的解集．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）方法一：化分式为整式解分式方程；方法二：整理得，分析求解；
（2）分类讨论两根的大小关系解一元二次不等式.
【详解】（1）（方法一）方程两边同乘得
，
即，所以，
解得，则解集为．
（方法二）原方程可化为，
即，
即，
因为，
所以，解得，则解集为．
（2）原不等式可化为，
令，解得或，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
18. 已知函数．
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）讨论关于x的方程的实数解的个数（直接写出结论即可）．
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据单调性的定义分析证明；
（2）原题意等价于函数与常函数的交点个数，作出函数的图象，数形结合处理问题.
小问1详解】
任取，
则，
令，且，
则，，
所以，即，
故函数在上单调递增．
【小问2详解】
关于x的方程的实数解的个数，等价于函数与常函数的交点个数，
由（1）可得：，
令，且，
则，，
所以，即，
故函数在上单调递减，
结合（1）可得：函数在上单调递减，在上单调递增，故，
令，且，整理得，解得或，
故函数的图象如图所示：
可得函数的图象如图所示：
对于函数与常函数的交点个数，
则有：当时，交点个数为0个；
当或时，交点个数为2个；
当时，交点个数为3个；
当时，交点个数为4个．
19. 新能源汽车具有节约燃油能源､减少废气排放､有效保护环境等优点.据统计，截至2022年9月底，我国新能源汽车保有量为1149万辆，占汽车总保有量的3.65%.小杨哥准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车（不作它用），根据市场调查，此汽车使用年的总支出为万元，每年的收入为5.25万元.
（1）此汽车从第几年起开始实现盈利？
（2）此汽车使用多少年报废最合算？
（①利润=收入-支出；②出租车最合算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数）
【答案】（1）第3年起开始盈利
（2）使用6年报废最合算
【解析】
【分析】（1）表达出，，由，解出答案；
（2）设汽车使用n年的年平均利润为z万元，表达出，利用基本不等式求出最值，得到此汽车使用6年报废最合算.
【小问1详解】
设此汽车使用n年的总利润为y万元，
则，，
由得，，
解得，
所以从第3年起开始盈利；
【小问2详解】
设此汽车使用n年的年平均利润为z万元，
则
因，由基本不等式得：，
所以，当且仅当，即时取等号，
答：所以此汽车使用6年报废最合算.
20. 在中，，，为的中点，点为线段上一点，且，延长线与交于点．
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的加减法则及数乘向量运算求解即可；
（2）根据E，F，A三点共线，得，再设，得到，通过平面向量基本定理求出，，即可求出向量.
【小问1详解】
由，，D为AB的中点，得，
又由ED＝2EC，得，所以．
【小问2详解】
设，则，……①
设，则……②
因为，不共线，由①②得，解得，所以．
21. 足球号称世界第一大体育运动，卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（地区）和外地（地区）的球迷中，分别随机调查了名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：
（1）设表示地区名球迷满意度的方差，表示地区名球迷满意度的方差，则_____；（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）；
（2）计算地区的分位数；
（3）根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
从地区和地区分别随机抽取名球迷，记事件：“地区球迷的满意度等级高于地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据样本数据的集中程度可得出、的大小关系；
（2）利用百分位数的定义可计算出地区分位数；
（3）设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，可得，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值.
【小问1详解】
解：因为地区的数据更集中，则地区的方差越小，则.
【小问2详解】
解：设地区的个数据由小到大依次为、、、，
由，得分位数等于．
【小问3详解】
解：设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，
设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，
且有与相互独立，由题意得，，，，，，
又有，且、、互斥，
故
．
22. 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间上的平均变化率随t的增大而增大．
已知实数a，b，满足．
（1）比较和的大小；
（2）当时，比较和的大小；
（3）当时，判断的符号．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分析可得，，结合对数函数单调性分析运算，注意讨论和；
（2）方法一：利用反证法证明；方法二：构建函数，，结合单调性分析运算；方法三：构建，结合单调性分析运算；
（3）构建，结合单调性分析可得，再根据题意结论分析可得，即可得结果.
【小问1详解】
由题意得：，，则，
所以，
当时，则在定义域内单调递减，解得，
所以；
当时，则在定义域内单调递增，解得，
所以；
综上所述：，
即，所以．
【小问2详解】
当时，则，
（方法一）①假设，则，即，
由，且，所以，则，
所以，与已知矛盾，故假设不成立；
②假设，则，即，
由，且，所以，则，
同理可得，与已知矛盾，假设不成立；
③当，则，
可得，符合题意；
由①②③可得：．
（方法二）设，则b是的零点，
对，且，
∵，，在单调递增，则，
可得，
即，故在单调递增，
∴有唯一的零点b，
设，
对，且，
∵，都在单调递增，则，
可得，
即，故在单调递增，
且，
故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点，
则满足，即，
可得，即，
故，即，
所以的零点即为的零点b，
所以，即．
（方法三）两边除以b可得：，变形得：，
构建，
对，且，
∵，都在单调递增，则，
可得，
即，故在上单调递增，且，
由（1）可知：当时，则，
所以，，所以．
【小问3详解】
设，
对，且，
∵，都在单调递增，则，
可得，
即，故在单调递增，
∵，且，即，
∴，
由（2）得，则，故；
由指数函数在区间上平均变化率，随t的增大而增大，
所以指数函数在区间上的平均变化率小于在区间上的平均变化率，即，
化简得，所以，解得或（舍去）；
所以，故．
【点睛】关键点点睛：在处理方程、不等式问题时，我们常常构建函数，利用函数单调性结合零点存在性定理分析运算.这是问题函数化的关键．
满意度评分
低于分
分到分
不低于分
满意度等级
级（不满意）
级（满意）
级（非常满意）