山东省淄博市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份山东省淄博市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，，．则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.
【详解】，，，
，.
故选：D.
2. 已知，则函数的最小值为
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：C.
3. 已知，则函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；
【详解】因为在上单调递增，
又，，，，
所以，
所以函数零点所在区间为
故选：C
4. 在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分和两种情况，利用函数的单调性及函数当时的函数值的范围，进行判断即可．
【详解】当时，函数在上单调递减；
函数在上单调递减，且当时，，故A正确，C错误；
当时，函数在上单调递增；
函数在上单调递减，且当时，，故B、D错误．
故选：A．
5. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式组求解.
【详解】由已知得，解得.
所以函数的定义域为.
故选：D.
6. 函数（其中，）的图象恒过的定点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令可得定点.
【详解】令，即，得，
函数（其中，）的图象恒过的定点是.
故选：B.
7. 设函数，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.
【详解】∵，
∴，
故选：C．
8. 设函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，则不等式等价于，解得即可.
【详解】解：因为定义域为，
又，
所以为偶函数，
当时，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
则不等式等价于，等价于，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若a，b，，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】通过举反例来判断AD，利用不等式的性质判断BC.
【详解】对于A：若，此时，A错误；
对于B：，，B正确；
对于C：，，C正确；
对于D：，若，则，D错误.
故选：BC.
10. 与表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样来得答案.
【详解】定义域为，且
对于A：，定义域也为，A正确；
对于B：的定义域为，定义域不一样，B错误；
对于C：的定义域为，定义域不一样，C错误；
对于D：的定义域为，定义域不一样，D错误；
故选：A.
11. 已知，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题有：.
A选项，由对数函数单调性可判断；
B选项，由对数运算公式可判断选项；
C选项，，利用基本不等式可判断选项；
D选项，，注意到，后利用基本不等式推论可判断选项.
【详解】由题有：.
A选项，因函数在上单调递增，则，
故A正确.
B选项，，故B正确.
C选项，，由基本不等式，当，
，故C错误.
D选项，，，由C分析，
，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数是定义域为的奇函数，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上的最大值为
C. 函数在上是减函数
D. 存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，求出的值，再代入检验，即可判断A，再根据指数型复合函数的单调性判断C，求出函数的值域，即可判断B，根据单调性判断D.
【详解】解：因为函数是定义域为的奇函数，
所以，解得，此时，
则
，符合题意，故A正确；
又，
因为，所以，则，所以，即，故B错误；
因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递减，
所以在定义域上单调递减，故C正确；
因为在上是减函数，则与最多有个交点，故最多有一个实数根，
即不存在实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根，故D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数的图象过点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先设出幂函数的解析式，然后代入已知点可求出，进而可得的值.
【详解】设幂函数，
则，得.
，
.
故答案为：.
14. ______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故答案为：.
15. 若命题p：“，”为假命题，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】原题转化为方程有解，求出范围，然后在中的补集即为所求.
【详解】因为“，”
所以方程有解，
当时，方程无根；
当时，，即
又因为命题是假命题，则
综上：
故答案为：
16. 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：）
【答案】
【解析】
分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案.
【详解】设光线的强度为，至少重叠玻璃的快数为，则，
整理可得.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）用集合交集，补集的运算可得；
（2）由条件可得是Q的真子集，再分集合是否为空集讨论求出结果即可
【小问1详解】
当时，集合，可得或，
因为，所以
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件，所以是Q的真子集，
当时，即时，此时，满足是的真子集，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
综上，实数的取值范围为.
18. 已知一元二次函数，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）求关于x的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）直接解二次不等式即可；
（2）变形得，分，，讨论，通过确定的大小来解二次不等式.
【小问1详解】
由已知得，
解得或.
实数a的取值范围；
【小问2详解】
，
令，得，
当，即时，的解集为，
当，即时，的解集为，
当，即时，的解集为，
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
19. 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）已知实数a满足，求a的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值画图可得值域；
（2）分，和三种情况讨论.
【小问1详解】
函数
画图：
从图像可得值域为；
【小问2详解】
当时，即，函数在单调递增，
又因为，所以与矛盾，所以舍去；
当时，即，函数在单调递减，
又因为，所以与矛盾，所以舍去；
当，，所以
，所以
又因为，即，所以；
综上：.
20. 已知函数．
（1）求函数的解析式；
（2）证明函数为减函数．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）令，得，代入条件即可；
（2）任取，然后通过计算判断的正负来证明单调性.
【小问1详解】
令，得，
，
因为，解得，
；
【小问2详解】
任取，
，
，
，，
，
，
，即，
所以函数为上的减函数.
21. 已知函数，其中且．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）为偶函数
（3）
【解析】
【分析】（1）根据分式分母不为零求解出的范围即为定义域；
（2）先判断定义域是关于原点对称的，然后通过计算找到与的关系即可判断奇偶性；
（3）由为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，由此求解出的取值范围.
【小问1详解】
解：由，解得，
∴函数的定义域为；
【小问2详解】
解：为偶函数，
的定义域为关于原点对称，
且
，
∴函数为偶函数；
【小问3详解】
解：因为为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，
即在上恒成立，
∴在上恒成立，∴，
故实数的取值范围是.
22. 设关于 x 的一元二次方程 的两个根为 α、β（α < β）.
（1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：；
（2）设，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为和， .求的最小值.
【答案】（1）见解析（2）4
【解析】
【详解】（1）由条件得，.
不妨设，则
.
故.
（2）依据题意，.
所以，.
故.
又任取，且，则.
由（1）知，，即，在区间上是增函数.
故.
.
当且仅，即，亦即t = 0时取等号.
故的最小值为4.