山西省太原市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份山西省太原市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：上午8：00——9：30）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列选项中，与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先表示出与终边相同的角，再根据选项判断即可.
【详解】解：与角终边相同的角表示为，
当时，故与角终边相同.
故选：D
2. 在直角坐标系中，，，则角的终边与单位圆的交点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数定义，即可求得答案.
【详解】在直角坐标系中，，，
设角的终边与单位圆的交点坐标为，
则 ，
即角的终边与单位圆的交点坐标为，
故选：A
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解：函数在上单调递减，
又，，，
所以，则有唯一零点，且在区间内.
故选：C
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由，得到，再利用诱导公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
，
故选：D
5. 甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值.”
则在上述两种解答过程中（ ）
A. 甲同学解答正确，乙同学解答不正确B. 乙同学解答正确，甲同学解答不正确
C. 甲、乙两同学解答都正确D. 甲、乙两同学解答都不正确
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用甲乙两位同学的解题方法解题，从而可得出答案.
【详解】解：对于甲同学，
由，得，
因为因为，
所以，
所以，故甲同学解答过程错误；
对于乙同学，
因为，
所以，故乙同学解答过程错误.
故选：D.
6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：B.
7. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的最小正周期，
因为，所以，
所以函数区间上单调递减，故A符合题意；
对于B，函数函数的最小正周期，
因为，所以，
所以函数在区间上不单调，故B不符题意；
对于C，函数的最小正周期，故C不符题意；
对于D，函数的最小正周期，
当时，函数增函数，故D不符题意.
故选：A.
8. 为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，其标准如下：
如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳全年综合水费（包括水费、污水处理费）合计为元.若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为777元，则该户家庭全年用水量为（ ）
A. 170立方米B. 200立方米C. 230立方米D. 250立方米
【答案】C
【解析】
【分析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260，利用第二档的收费方式计算即可.
【详解】若该用户全年用水量为260，
则应缴纳元，
所以该户家庭的全年用水量少于260，
设该户家庭的全年用水量为x，
则应缴纳元，
解得.
故选：C
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，在多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点（ ）
A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位
B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位
C. 向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D. 向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
【答案】BC
【解析】
【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解.
【详解】要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位；
或者向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.
故选：BC.
10. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.
【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，，故选项D正确.
故选：AD.
11. 下列函数中最小值为是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据二次函数的性质判断A，根据对勾函数及三角函数的性质判断B，根据对数函数的性质判断C、D.
【详解】对于A：，所以当时，故A正确；
对于B：，则，又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时取得最小值，故B错误；
对于C：因为且在上单调递增，所以，故C正确；
对于D：，当时，则，故D错误；
故选：AC
12. 已知定义在上的函数，设，，为三个互不相等的实数，且满足，则的可能取值为（ ）
A. 15B. 26C. 32D. 41
【答案】BC
【解析】
【分析】先判断函数的性质以及图像的特点，设，由图像得是个定值，及的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：作出的图像如图：
当时，由，得，
若，，互不相等，不妨设，
因为，
所以由图像可知，，
由，得，
即，即，
则，所以，
因为，
所以，
即，
所以的取值范围是．
故选：BC．
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）
13. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由解出即可.
【详解】由，
所以函数的定义域为：.
故答案为：.
14. 已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式即可求解.
【详解】，扇形AOB的面积为，
所以，解得．
故答案为：2
15. 十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，.已知，.则______.
【答案】1
【解析】
【分析】先指数式对数式转化，结合对数运算性质化简求值.
【详解】由，得，
∴.
故答案为：1
16. 已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和为______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意设，由求出的值，设，则，判断的奇偶性，根据奇偶性的性质计算可得.
【详解】解：根据题意，设，
若，，有，则有，变形可得，
即，
设，则，
则有，
函数，设，
则，
必有，
则函数为奇函数，在区间上，其最大值与最小值之和是，
而，则其最大值与最小值之和是.
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）3. （2）.
【解析】
【分析】（1）运用对数运算公式及，，，计算可得结果；
（2）运用指数幂、对数运算公式及换底公式计算可得结果.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据平方关系计算可得；
（2）利用诱导公式化简，再代入计算可得.
【小问1详解】
解：因为，且，所以，
又，所以.
【小问2详解】
解：
.
19. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，.
（1）求的值；
（2）射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，点与关于轴对称，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角的终边与单位圆交于点，，利用三角函数的定义，结合平方关系求解；
（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则，设，求得，再利用二倍角的正切公式求解.
【小问1详解】
解：因为锐角的终边与单位圆交于点，，
所以.
【小问2详解】
设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则，
设，则，
所以，
所以.
20. 说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答.
（A）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（B）已知函数.
（3）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（4）若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）.
（2）为奇函数，证明见解析.
（3）为奇函数，证明见解析.
（4）.
【解析】
【分析】（1）解对数型函数方程即可.
（2）由奇偶性的定义证明函数的奇偶性，先求定义域，再找与的关系式.
（3）由奇偶性的定义证明函数的奇偶性，先求定义域，再找与的关系式.
（4）根据题意问题转化为.运用分离常数法研究分式函数的单调性，再运用复合函数单调性判断方法得的单调性，应用的单调性求得，进而求得m的范围.
【小问1详解】
由题意知，，即：，解得：.
【小问2详解】
为奇函数.
证明：由，解得：或，即的定义域为关于原点对称，
又因为，
即，所以为奇函数.
【小问3详解】
为奇函数.
证明：由，解得：或，即的定义域为关于原点对称，
又因为，
即，所以为奇函数.
【小问4详解】
因为对于恒成立，
所以.
设，则，
又因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即：实数m的取值范围为.
21. 已知函数的最小正周期为，再从下列①②两个条件中选择一个作为已知条件：
①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称.
（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；
（2）在（1）的条件下，求的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式，利用整体思想，结合正弦型函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调增区间，建立不等式，可得答案.
【小问1详解】
若选①：
因为函数的最小正周期为，所以，解得，
因为的图象关于点对称，所以，解得，
由，则，故.
若选②：
因为函数的最小正周期为，所以，解得，
因为的图象关于直线对称，所以，则，
由，则，故.
【小问2详解】
由（1）可知，令，
解得，故函数的单调增区间为.
22. 已知函数，其中，再从下列①②③三个条件中选择两个作为已知条件：
①；②的最小正周期为；③的图像经过点．
（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；
（2）在（1）的条件下，求的单调递增区间．
【答案】（1）条件选择见详解，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，
选择①②，由可求得的值，再由正弦型函数的周期公式可求得的值，进而得出的解析式；
选择②③，由正弦型函数的周期公式可求得的值，再由可求得的值，进而得出的解析式；
选择①③，由可求得的值，再由结合可求得的值，进而可得的解析式；
（2）解不等式可得出函数的单调递增区间．
【小问1详解】
依题意有
，
选择①②，
因为，所以，
又因为的最小正周期为，所以，
所以；
选择②③，
因为的最小正周期为，所以，所以，
又因为， 所以，
所以；
若选择①③，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，又，所以，
所以．
【小问2详解】
依题意，令，
解得，
所以的单调递增区间．甲同学解答过程如下：
解：由，得.
因为，
所以.
所以
.
乙同学解答过程如下：
解：因为，
所以

.
阶梯
家庭全年用水量
（立方米）
水价
（元/立方米）
其中
水费
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
第一阶梯
0-180（含）
2.9
2.4
0.5
第二阶梯
181-260（含）
5.1
4.6
第三阶梯
260以上
7.4
6.9