黄金卷05-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考广东专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．（答案不唯一） 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【解析】
【小问1详解】
当时，.
当时，，也适合上式.
故.
【小问2详解】
由（1）可得，
则.
18．（12分）
【详解】（1）连接，交于点G，连接FG，
因为E，F分别为BC，的中点，
所以，且，
所以四边形AEFG是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立坐标系，如图所示，

设，则，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则
,即，
不妨取，则，即，
设平面的一个法向量为，则
,即，
不妨取，则，即，
所以，
设二面角的平面角为，则
，
所以
故二面角的正弦值为.
19．（12分）
【详解】（1）由题意证明如下，
在中，，
，
，
，
又为斜三角形，则，
，
，
∵为的内角，
.
（2）由题意及（1）得，
在中，，，是等腰三角形，
由正弦定理，则，
又，即，
，
，
令， ，
又因为，即，
当即时，取最小值，且，
∴的最小值为．
20．（12分）
【详解】（1）由题述列联表可知，男生合计60人，所以女生合计人，
由题意，女生中对科技发明没兴趣、有兴趣的分别有人，人，
男生中对科技发明没兴趣、有兴趣的分别有5人，人，
由此可以得到完整列联表如下：
所以，
所以有的把握认为“该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别有关”.
（2）由题意首先抽出的6名学生中，男生、女生分别有人，人，
若从这6人中随机抽取3人，抽到的男生人数为，则的所有可能取值为，
，，，
所以的分布列如下表：
所以的期望为.
21．（12分）
【详解】（1）根据题意有，C的一条渐近线方程为，
将代入C的方程有，，
所以M，N到直线的距离之和为，
所以，C的方程为.
（2）
方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，
且由双曲的定义可知，故.
当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知，，
故.
设，代入C的方程有：，
设，，则，，
所以，
所以.
综上，的值为6.
方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知，，
且由双曲的定义可知，
故.
当l不垂直于x轴时，设，
代入C的方程有：.
设，，则，，
所以.
综上，的值为6.
22．
【详解】（1）依题意，，根据题意知，在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，则，
令，，则，
则时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
而，，，故，，
当时，，，即在上单调递增，
当时，，，即在上单调递减，
故，则，
故实数的取值范围为．
（2）令，则，设，分别为函数在上的极大值点与极小值点，
所以，，则，且．
所以，由，得，其中，，
故
．
设，，
则，令，解得，
故当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，即，故．1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
A
C
C
D
A
A
9
10
11
12
CD
BCD
CD
BCD
有兴趣
没兴趣
合计
男
55
5
60
女
30
10
40
合计
85
15
100
0
1
2