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初中数学2.3 确定圆的条件练习
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这是一份初中数学2.3 确定圆的条件练习，共12页。试卷主要包含了下列说法中，正确的是，新定义等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系中，如果⊙O是以原点为圆心，以7为半径的圆，那么A（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
3．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则等腰直角三角形的直角边长为（ ）
A．2B．2﹣2C．2﹣D．﹣1
5．⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（ ）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
6．如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）
A．B．C．1D．
7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．①B．②C．③D．均不可能
8．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABEB．△ACFC．△ABDD．△ADE
9．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标 ．
10．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果准外心P在BC边上，那么PC的长为 ．
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE＝2，则OD的长为 ．
12．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（8，6）、（0，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
13．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是l，则△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．
14．边长为2a的等边三角形外接圆的半径是 ．
15．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，连接OA，设∠OAB＝α，∠C＝β，则α+β＝ 度．
16．⊙O的半径为5，O为原点，点P的坐标为（2，4），则P与⊙O的位置关系是 ．
17．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为 ．
18．已知一个三角形三边分别为13cm，12cm，5cm，则此三角形外接圆半径为 cm．
19．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
21如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
22．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B．C．D．E在以点M为圆心的同一个圆上．
23．如图，△ABC为⊙O的内接三角形．点D为劣弧上一点，连接AD、CD、CO、BO，延长CO交AB于点F，CD＝BC．
（1）求证：∠DAC＝∠ACO+∠ABO；
（2）点E在OC上，连接EB，若∠DAB＝∠OBA+∠EBA，求证：EF＝EB．
参考答案
1．解：∵点A（﹣3，4），
∴AO＝＝5，
∵⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以7为半径的圆，
∴点A在⊙O内，
故选：C．
2．解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外接圆，原命题正确；
C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选：B．
3．解：∵62+82＝102，
∴这个三角形是直角三角形，10是斜边长，
∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，
∴三角形外接圆的半径＝斜边的一半＝×10＝5，
故选：A．
4．解：∵直角三角形的斜边等于外接圆的直径，
而直角三角形外接圆的半径为2，
∴△ABC的斜边AB＝4，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴两直角边都为AB＝2；
故选：A．
5．解：∵⊙O的直径为15cm，
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵O点与P点的距离为8cm，
∴点P在⊙O外．
故选：A．
．解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠F＝∠A＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF＝4，
∴BC＝2，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE＝BC＝，
故选：A．
7．解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
8．解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
故选：B．
9．解：由图象可知B（1，4），C（1，0），
根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y＝2，
设D（a，2），
根据勾股定理得：DA＝DC
（1﹣a）2+22＝42+（3﹣a）2
解得：a＝5，
∴D（5，2）．
故答案为：（5，2）．
10．解：在Rt△ABC中，
∵C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
若PB＝PA，连接PA，
设PC＝x，则PA＝PB＝8﹣x，
在Rt△PAC中，
∵PA2＝CP2+AC2，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，即PC＝，
若PB＝PC，则PC＝4，
若PA＝PC，由图知，在Rt△PAC中，不可能，
故PC的长为：4或．
故答案是：4或．
11．解：连接BO并延长交AC于F，如图，
∵BA＝BC，
∴＝，
∴BF⊥AC，
∵直径MN⊥BC，
∴BD＝CD，
∵∠BOD＝∠EOF，
设OF＝x，则OD＝x，
∵∠DBO＝∠DEC，
BD＝CD，
∴DB2＝x（x+2）＝3x2+2x，
在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2＝（2）2，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴OD＝x＝2．
故答案为2．
12．解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，
∵点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（8，6）、（0，﹣2），
∴O1的坐标是（4，2）．
故答案为：（4，2）．
13．解：设△ABC的外接圆的圆心为D，设圆心D的坐标为（x，2），
∵△ABC的外接圆的圆心在BC的垂直平分线上，
∴圆心D的纵坐标为2，
∵圆心到点A和B的距离相等，
∴（x﹣2）2+（2﹣4）2＝（x﹣3）2+（2﹣6）2，
解得：x＝8.5，
∴△ABC的外接圆的圆心坐标为（8.5，2）．
故答案为：（8.5，2）．
14解：如图所示：
△ABC是等边三角形，BC＝a，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
则∠BOC＝＝120°，∠BOD＝∠BOC＝60°，BD＝BC＝a，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝BD＝a，
∴OB＝2OD＝2a．
故答案为：2a．
15．解：延长AO交⊙O于点D，连接BD，
∴AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠D＝∠C＝β，
∴α+β＝90°．
故答案为：90．
16．解：
连接OP，
∵P（2，4），
由勾股定理得：OP＝＝＜5，
∴P与⊙O的位置关系是P在⊙O内．
故答案为：P在⊙O内．
17．解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC＝×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝2．
∴等边△ABC的边长为2．
故答案为：2．
18．解：∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，
因为直角三角形的斜边为它的外接圆的直径，
所以这个三角形的外接圆的半径是6.5cm．
故答案为：6.5．
19．解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝＝5，
∵AF•BD＝AB•AD，
∴AF＝＝，
同理可得DE＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．
20．解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM＝＝2．
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
21．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
22．证明：连接ME、MD，
∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
23．解：（1）如图1中，连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∵OA＝OB，
∴∠2＝∠ABO，
∴∠CAB＝∠1+∠2＝∠ACO+∠ABO，
∵DC＝BC，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACO+∠ABO．
（2）如图2中，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝2∠CAB，∠COB＝2∠BAC，
∴∠BAD＝∠BOC，
∵∠DAB＝∠OBA+∠EBA，
∴∠BOC＝∠OBA+∠EBA，
又∵∠COB＝∠OBA+∠EBA，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴EF＝EB．
1．在平面直角坐标系中，如果⊙O是以原点为圆心，以7为半径的圆，那么A（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
3．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则等腰直角三角形的直角边长为（ ）
A．2B．2﹣2C．2﹣D．﹣1
5．⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（ ）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
6．如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）
A．B．C．1D．
7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．①B．②C．③D．均不可能
8．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABEB．△ACFC．△ABDD．△ADE
9．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标 ．
10．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果准外心P在BC边上，那么PC的长为 ．
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE＝2，则OD的长为 ．
12．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（8，6）、（0，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
13．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是l，则△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．
14．边长为2a的等边三角形外接圆的半径是 ．
15．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，连接OA，设∠OAB＝α，∠C＝β，则α+β＝ 度．
16．⊙O的半径为5，O为原点，点P的坐标为（2，4），则P与⊙O的位置关系是 ．
17．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为 ．
18．已知一个三角形三边分别为13cm，12cm，5cm，则此三角形外接圆半径为 cm．
19．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
21如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
22．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B．C．D．E在以点M为圆心的同一个圆上．
23．如图，△ABC为⊙O的内接三角形．点D为劣弧上一点，连接AD、CD、CO、BO，延长CO交AB于点F，CD＝BC．
（1）求证：∠DAC＝∠ACO+∠ABO；
（2）点E在OC上，连接EB，若∠DAB＝∠OBA+∠EBA，求证：EF＝EB．
参考答案
1．解：∵点A（﹣3，4），
∴AO＝＝5，
∵⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以7为半径的圆，
∴点A在⊙O内，
故选：C．
2．解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外接圆，原命题正确；
C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选：B．
3．解：∵62+82＝102，
∴这个三角形是直角三角形，10是斜边长，
∵直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，
∴三角形外接圆的半径＝斜边的一半＝×10＝5，
故选：A．
4．解：∵直角三角形的斜边等于外接圆的直径，
而直角三角形外接圆的半径为2，
∴△ABC的斜边AB＝4，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴两直角边都为AB＝2；
故选：A．
5．解：∵⊙O的直径为15cm，
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵O点与P点的距离为8cm，
∴点P在⊙O外．
故选：A．
．解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠F＝∠A＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF＝4，
∴BC＝2，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE＝BC＝，
故选：A．
7．解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
8．解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
故选：B．
9．解：由图象可知B（1，4），C（1，0），
根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y＝2，
设D（a，2），
根据勾股定理得：DA＝DC
（1﹣a）2+22＝42+（3﹣a）2
解得：a＝5，
∴D（5，2）．
故答案为：（5，2）．
10．解：在Rt△ABC中，
∵C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
若PB＝PA，连接PA，
设PC＝x，则PA＝PB＝8﹣x，
在Rt△PAC中，
∵PA2＝CP2+AC2，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，即PC＝，
若PB＝PC，则PC＝4，
若PA＝PC，由图知，在Rt△PAC中，不可能，
故PC的长为：4或．
故答案是：4或．
11．解：连接BO并延长交AC于F，如图，
∵BA＝BC，
∴＝，
∴BF⊥AC，
∵直径MN⊥BC，
∴BD＝CD，
∵∠BOD＝∠EOF，
设OF＝x，则OD＝x，
∵∠DBO＝∠DEC，
BD＝CD，
∴DB2＝x（x+2）＝3x2+2x，
在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2＝（2）2，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴OD＝x＝2．
故答案为2．
12．解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，
∵点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（8，6）、（0，﹣2），
∴O1的坐标是（4，2）．
故答案为：（4，2）．
13．解：设△ABC的外接圆的圆心为D，设圆心D的坐标为（x，2），
∵△ABC的外接圆的圆心在BC的垂直平分线上，
∴圆心D的纵坐标为2，
∵圆心到点A和B的距离相等，
∴（x﹣2）2+（2﹣4）2＝（x﹣3）2+（2﹣6）2，
解得：x＝8.5，
∴△ABC的外接圆的圆心坐标为（8.5，2）．
故答案为：（8.5，2）．
14解：如图所示：
△ABC是等边三角形，BC＝a，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
则∠BOC＝＝120°，∠BOD＝∠BOC＝60°，BD＝BC＝a，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝BD＝a，
∴OB＝2OD＝2a．
故答案为：2a．
15．解：延长AO交⊙O于点D，连接BD，
∴AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠D＝∠C＝β，
∴α+β＝90°．
故答案为：90．
16．解：
连接OP，
∵P（2，4），
由勾股定理得：OP＝＝＜5，
∴P与⊙O的位置关系是P在⊙O内．
故答案为：P在⊙O内．
17．解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC＝×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝2．
∴等边△ABC的边长为2．
故答案为：2．
18．解：∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，
因为直角三角形的斜边为它的外接圆的直径，
所以这个三角形的外接圆的半径是6.5cm．
故答案为：6.5．
19．解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝＝5，
∵AF•BD＝AB•AD，
∴AF＝＝，
同理可得DE＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．
20．解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM＝＝2．
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
21．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
22．证明：连接ME、MD，
∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
23．解：（1）如图1中，连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∵OA＝OB，
∴∠2＝∠ABO，
∴∠CAB＝∠1+∠2＝∠ACO+∠ABO，
∵DC＝BC，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACO+∠ABO．
（2）如图2中，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝2∠CAB，∠COB＝2∠BAC，
∴∠BAD＝∠BOC，
∵∠DAB＝∠OBA+∠EBA，
∴∠BOC＝∠OBA+∠EBA，
又∵∠COB＝∠OBA+∠EBA，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴EF＝EB．
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