初中第三章 勾股定理3.1 勾股定理达标测试

这是一份初中第三章 勾股定理3.1 勾股定理达标测试，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．【母题：教材P85练习T3】下列各组数中，是勾股数的是( )
A．1，1，2 B．9，12，15 C．4，5，6 D．1.5，2.5，2
2．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2＋AC2等于( )
A．5 B．25 C．50 D．100
3．【母题：教材P90复习题T1】下列四组数，分别以各组数中的三个数据为边长构建三角形，不能组成直角三角形的一组是( )
A．7，24，25 B．12，16，20 C．4，6，8 D．3，4，5
4．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8 cm，另一只朝正东方向挖，每分钟挖6 cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A．50 cm B．120 cm C．140 cm D．100 cm
5．【2023·苏州中学月考】若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足a2－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为( )
A．25 B．7 C．25或7 D．25或16
6．【规律探究】在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
则当a＝18时，b＋c的值为( )
A．242 B．200 C．128 D．162
7．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于点E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC，CF于点M，F，若EM＝3，则CE2＋CF2的值为( )
A．36 B．9 C．6 D．18
8．如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，且AB＝13，BC＝15，AC＝14，则点O到边AB的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(每题2分，共20分)
9．【母题：教材P82练习】在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，则AC＝________．
10．Rt△ABC的周长为24，∠C＝90°，且AB：AC＝5：4，则BC的长为________．
11．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为________．
12．三角形的三边长分别是3 cm，4 cm，5 cm，则最大边上的中线长为________cm.
13．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行________米．
14．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为________(方程不用化简)．
15．【2023·正衡中学期中】葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是12 cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高5 cm时，这段葛藤的长是________cm.
16．【2023·启秀中学期中】如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，则图中阴影部分的面积为________．
17．【2023·苏州中学期中】如图，已知AB＝12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，AD＝5，BC＝10，则AE的长为________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形△ABD，△ACE，△BCF，若图中阴影部分的面积分别为S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝________.
三、解答题(19题6分，20～24题每题8分，25题10分，共56分)
19．图①是一款婴儿推车，图②为其调整后的侧面示意简图，测得∠ACB＝90°，支架AC＝6 dm，BC＝8 dm，求两轮圆心A，B之间的距离．
20．【母题：教材P85习题T2】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC.求证：AC⊥CD.

21．学校内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？

22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝24，AM＝AC，BN＝BC，求MN的长．

23．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)．
(1)判断三角形的形状，并说明理由；
(2)若以边长b为直径的半圆形的面积为2π，求△ABC的面积；
(3)若以边长a，b为直径的半圆形的面积分别为p，q，求以边长c为直径的半圆形的面积(用p，q表示)．
24．【2023·南京外国语学校期中】如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离AB的长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路AC的距离．

25．如图是用硬纸板做成的三个直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
(2)假设图中的两直角边长为a，b的直角三角形有若干个，你能运用它们拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图(不需要证明)．
答案
一、1.B 2.B 3.C
4．D 【点拨】两只小鼹鼠10分钟所走的路程分别为80 cm，60 cm，
∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理可得，其距离为100 cm.
5．C 【点拨】∵a2－6a＋9＋|b－4|＝0，
∴(a－3)2＋|b－4|＝0，
∴a－3＝0，b－4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长的平方＝32＋42＝25，或直角三角形的第三边长的平方＝42－32＝7.
故选C.
6．D 【点拨】根据表格中数据可得a2＋b2＝c2，并且c＝b＋2，则a2＋b2＝(b＋2)2，
当a＝18时，182＋b2＝(b＋2)2，解得b＝80，
则c＝80＋2＝82，所以b＋c＝162.
7．A 【点拨】如图，∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，∴∠1＝∠2＝eq \f(1,2)∠ACB，∠3＝∠4＝eq \f(1,2)∠ACD，
∴∠2＋∠3＝eq \f(1,2)(∠ACB＋∠ACD)＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵EF∥BC，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，
∴EM＝CM，CM＝MF，
∴EM＝MF＝3.
∴EF＝EM＋MF＝3＋3＝6，
在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2＝62＝36.
8．C 【点拨】如图所示，过B作BD⊥AC于D，则∠ADB＝∠CDB＝90°，设AD＝x，则CD＝14－x，
∵在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－x2，
在Rt△BCD中，BD2＝CB2－CD2＝152－(14－x)2，
∴132－x2＝152－(14－x)2，解得x＝5，
∴AD＝5，∴BD2＝AB2－AD2＝132－52＝122，∴BD＝12.
∵点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，
∴点O到△ABC的三边的距离相等，
设点O到边AB的距离为h，则
eq \f(1,2)AC×BD＝eq \f(1,2)(AB＋BC＋AC)×h，
∴eq \f(1,2)×14×12＝eq \f(1,2)(13＋15＋14)×h，解得h＝4，
∴点O到边AB的距离为4.
二、9.5 【点拨】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，∴AC2＝AB2－BC2＝25，∴AC＝5.
10．6 【点拨】设AB＝5x，AC＝4x，利用勾股定理得出BC＝3x，根据已知的周长可得x＝2，问题得解．
11．24 【点拨】∵62＋82＝102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为eq \f(1,2)×6×8＝24.
12．2.5 【点拨】∵32＋42＝52，
∴该三角形是直角三角形，
∴最大边上的中线长为eq \f(1,2)×5＝2.5(cm)．
13．13 【点拨】如图，建立数学模型，过B作BA⊥CD于A，则两棵树的高度差AC＝10－5＝5(米)，间距AB＝DE＝12米，
根据勾股定理可得，小鸟至少飞行的距离BC＝13米．
14．x2＋32＝(10－x)2
【点拨】因为AC＝x，AC＋AB＝10，所以AB＝10－x，再由AC2＋BC2＝AB2即可列出方程．
15．13
16．24 【点拨】∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝3，
∴BC2＝BD2＋CD2＝25，∴BC＝5.
又∵AB＝13，AC＝12，
∴AC2＋BC2＝122＋52＝169＝132＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB－S△BDC＝eq \f(1,2)×12×5－eq \f(1,2)×4×3＝24.
17.eq \f(13,2) 【点拨】∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.
∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCE.
在△AED和△FEC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADE＝∠BCE，,DE＝CE，,∠AED＝∠CEF，))
∴△AED≌△FEC(ASA)，
∴AD＝FC＝5，AE＝EF，∴BF＝BC－FC＝5，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理可得AF＝13，
∴AE＝eq \f(AF,2)＝eq \f(13,2).
18．2.5 【点拨】如图，∵△ABD，△ACE，△BCF均是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，
∵a2＋b2＝c2，
∴S△ABD＋S△ACE＝S△BCF，
∴S1＋m＋n＋S4＝S2＋S3＋m＋n，
∴S4＝3.5＋5.5－6.5＝2.5.
三、19.【解】在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，∴AB＝10 dm，∴两轮圆心A，B之间的距离为10 dm.
20．【证明】∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋22＝9，AD2＝32＝9，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.
∴AC⊥CD.
21．【解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设BD＝x m，则CD＝(14－x) m.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2－BD2，AD2＝AC2－CD2，
∴AB2－BD2＝AC2－CD2，
即132－x2＝152－(14－x)2，解得x＝5.
∴AD2＝AB2－BD2＝132－52＝144.∴AD＝12 m.
则30×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×14×12))＝2 520(元)．
答：学校修建这个花园需要投资2 520元．
22．【解】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，
∴BC2＝AB2－AC2＝252－242＝49.∴BC＝7.
∵AM＝AC，BN＝BC，∴AM＝24，BN＝7.
∴MN＝AM＋BN－AB＝24＋7－25＝6.
23．【解】(1)△ABC是直角三角形．理由如下：在△ABC中，
a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2，c2＝(n2＋1)2，∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形，a，b为直角边长，c为斜边长．
(2)∵以边长b为直径的半圆形的面积为2π，
∴eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))eq \s\up12(2)＝2π，解得b＝4.∴2n＝4.∴n＝2.
∴a＝n2－1＝3.
∴△ABC的面积＝eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)×3×4＝6.
(3)∵以边长a，b为直径的半圆形的面积分别为p，q，
∴p＝eq \f(1,2)π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(πa2,8)，q＝eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(πb2,8).
由(1)得a2＋b2＝c2，
∴以边长c为直径的半圆形的面积＝eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(πc2,8)＝eq \f(π,8)(a2＋b2)＝eq \f(πa2,8)＋eq \f(πb2,8)＝p＋q.
24．【解】(1)在Rt△MNB中，由勾股定理，得BN2＝BM2－MN2＝1502－1202＝902，∴BN＝90 m.
∴AN＝AB－BN＝250－90＝160(m)．
在Rt△AMN中，由勾股定理，得AM2＝AN2＋MN2＝1602＋1202＝2002，∴AM＝200 m.
∴AM＋BM＝200＋150＝350(m)．
即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为350 m.
(2)∵BM2＋AM2＝1502＋2002＝62 500＝2502＝AB2，
∴△ABM是直角三角形，且∠AMB＝90°.
∴BM⊥AC.
∴喷泉B到小路AC的距离是BM的长，为150 m.
25．【解】(1)示意图如图所示．证明如下：
易知拼成的图形是直角梯形，根据梯形的面积公式可知，该梯形的面积＝eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)．
该梯形的面积也等于三个三角形的面积和，所以eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝eq \f(1,2)ab＋eq \f(1,2)ab＋eq \f(1,2)c2.化简，得a2＋b2＝c2.
(2)(答案不唯一)可以拼成边长为(a＋b)的正方形，如图，其中a，b为直角边长，c为斜边长．
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…