初中数学5.1.2 垂线教学设计

这是一份初中数学5.1.2 垂线教学设计，共10页。教案主要包含了垂线，垂线的性质，点到直线的距离等内容，欢迎下载使用。

《 垂线 》教学设计
教学内容分析
垂线是平面几何所要研究的基本内容之一。垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用。垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一。
学习者分析
本课学习是学生学习了相交线、对顶角等知识的基础上进行的，学生已掌握相交线模型，可以进一步研究两条直线相交的特殊情况——垂直，学习垂线的概念和性质，点到直线的距离等知识，同时，七年级的孩子思维活跃，模仿能力强.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结，但是受年龄特征的影响，他们对知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养。
教学目标
1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线．理解点到直线的距离的概念，能度量点到直线的距离．掌握垂线的性质。
2.通过观察、思考、探究等活动归纳出垂线的概念和性质，并利用所学知识进行说理，体会从一般到特殊的方法，提高逻辑思维能力．通过利用垂线的性质解决简单的实际问题，提高应用意识。
教学重点
垂线的概念、画法和性质
教学难点
垂线的画法
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：新知导入
教师活动1：
出示：前面我们学习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题．
学生活动1：
学生认真听教师的导语
活动意图说明：
通过回顾相交线模型，并出示特殊位置，让学生明确本节课的学习内容
环节二：知识探究
教师活动2：
演示并讲解：当两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．垂直是相交的一种特殊情形.当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
记作：AB ⊥CD，垂足为O．或AB ⊥CD于点Ｏ．
符号语言：
∵∠AOC＝90º
∴ AB ⊥CD
反之：
∵ AB ⊥CD
∴∠AOC＝90º
想一想：当∠AOC＝90º，其余角的分别为多少？
答案：均为90º
说一说：日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，如下图所示，你能再举出其他例子吗？
探究：
（1）用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
答案：无数条
（2）经过直线 l 上一点A画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
作图方法：
一放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
二靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上
三移:移动三角板到已知点
四画:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
答案：1条
（3）经过直线 l 外一点B画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
答案：1条
归纳：垂线的性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？
探究：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点B，A1，A2，A3，…，其中PB⊥l（我们称PB为点P到直线l的垂线段）．比较线段PB，PA1，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短？
指出：PO叫做点P到直线l的垂线段
线段PB的长最短
线段PB的长叫点P到直线l的距离．
归纳：垂线的性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
解决问题：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？
追问：如果图中的比例尺为1:1 000 000，水渠大概要挖多长？
学生活动2：
学生认真看老师演示并听老师的讲解，然后按要求进行小组合作探究，并派代表汇报交流，最后听老师的点评和讲解
活动意图说明：
通过演示，让学生体会垂线的相关概念，并在画图的过程中探究并归纳垂线的两条性质，并理解点到直线的距离。
环节三：例题讲解
教师活动3：
例1：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1＝75°，求∠EOD的度数.
解: ∵ AB⊥OE （已知），
∴∠EOB＝90°(垂直的定义).
∵∠BOD＝∠1＝75°(对顶角相等）
∴∠EOD＝∠EOB＋∠BOD
＝90°＋75°
＝165°
例2：如图，有A,B,C,D四个村庄，政府准备修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他问题，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离和最短；
（2）若要把河水引入蓄水池，怎样开渠最短？说明根据．
解：（1）连接AD,BC，交点为H，则点H即
为蓄水池的位置，如图所示．
（2）过点H作HG⊥EF，垂足为G，如图所示．
则沿HG开渠距离最短． 根据是“垂线段最短”．
学生活动3：
学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解
活动意图说明：
让学生用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
板书设计
课题：5.1.2 垂线
一、垂线
二、垂线的性质
三、点到直线的距离
教师板演区
学生展示区
课堂练习
必做题：
1．小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（ ）
A．线段PC的长度B．线段QD的长度C．线段PA的长度D．线段QB的长度
答案：C
2．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC：②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AC的长度是点C到AB的距离：⑥线段CD的长度是点D到AC的距离．
A．3个B．4个C．5个D．6个
答案：A
3．如图，∠1=30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．
解：∵∠1=∠3，
∴∠3=30°．
∵AB⊥CD，
∴∠BOD=90°．
∴∠2=∠BOD−∠3=60°．
选做题：
如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠EOD∶∠DOB=3∶1，则∠COE度数为___________．
答案：112.5°
如图，已知平面内有一个∠AOB和三点C，D，E，按要求画图，并回答问题：
(1)画线段CE，射线ED，直线CD；
(2)过点D画DF⊥OA，垂足为点F；
(3)对于∠AOB内部的任意一点P，点P到∠AOB的两边的距离中的较短距离记为dP，按照上述记法，请你通过测量得出dC______dE（填“>”“=”或“EG，
所以dC >dE．
故答案为：>．
作业设计

必做题：
1．如图，已知AO⊥BO，∠BOC=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（ ）
A．20°B．25°C．45°D．70°
答案：C
2．下列判断正确的是（ ）
A．从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到已知直线的距离
B．过直线外一点作已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离
C．作出已知直线外一点到已知直线的距离
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
答案：D
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．如果∠EOF=14∠AOD，求∠EOF的度数．
解：∵∠AOC=∠EOF，∠AOC+∠AOD=180°，∠EOF=14∠AOD，
∴5∠AOC=180°，
∴∠EOF=∠AOC=36°．
选做题：
如图，AO⊥OD，OC⊥OB，OE平分∠AOD，若∠AOC=30°，求∠BOE的度数．
解：∵AO⊥OD，OC⊥OB，
∴∠AOD=∠BOC=90°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠EOD=12∠AOD=12×90°=45°．
∵∠AOC=30°，
∴∠COE=∠AOE−∠AOC=45°−30°=15°，
∴∠BOE=∠BOC−∠COE=90°−15°=75°．
如图，某厂房需要在河岸l上建一个水泵站引水到C处，若考虑使铺设的水管长度最短，请你画出水泵站位置，并说明其数学道理．

解：如下图：A点即为所求；

数学道理：垂线段最短．
教学反思
画垂线这节课的教学难点，主要教学任务包括三点：过直线上一点画垂线、过直线外一点画垂线，以及通过画垂线发现直线外一点到这条直线的垂直线段最短，并在玏的过程中归纳出垂线的性质。在教学中，课堂气氛活跃，教学内容明朗，教学活动让学生动手画一画、动脑想一想，但也存在一些瑕疵。在今后的教学中，可以结合例题培养学生自学能力、彩色粉笔在画图中的灵活运用、增加学生之间合作学习的时间等，以进一步提高课堂教学效率。