广东省深圳市盐田区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份广东省深圳市盐田区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（ ）
A．3x＞3B．﹣3x＞﹣3C．3x＜﹣3D．﹣3x＜3
2．（3分）下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）若x＞y，则（ ）
A．xz＞yzB．x﹣3＞y+3C．x2＜x2D．2x+1＞2y+1
4．（3分）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（ ）
A．4B．6C．7D．5
5．（3分）下列从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．am+an+1＝a（m+n）+1
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
6．（3分）菱形的两条对角线的长分别是4cm和6cm，则菱形的面积是（ ）
A．10cm2B．12cm2C．24cm2D．48cm2
7．（3分）由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，将△ABC绕顶点A旋转一定的角度得到△AB′C′，点B′落在BC上，∠CB′C′＝44°，则∠B＝（ ）
A．68°B．56°C．46°D．44°
9．（3分）将一个边长为2cm的正方形与一个长、宽分别为4cm、1cm的矩形重叠在一起．下列图形中，重叠部分的面积最大的是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）矩形OABC在直角坐标系中，直线y1＝ax+b过点B（3，2），D（0，﹣2），直线y2＝mx+n过点A，C．给出4个结论：①当x=32时，y1＝0；②当x＞2时，y1＞y2；③AC⊥BD；④P为x轴上动点，当点P运动到OA中点时，PC+PE的值最小，其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）若代数式11−x有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ ．
13．（3分）如图，两条射线AE∥BF，点C，D分别在射线BF，AE上，只需添加一个条件，即可判断四边形ABCD为平行四边形．这个条件可以是 ．
14．（3分）若分式x2x−1的值为0，则x＝ ．
15．（3分）如图，Rt△ABC沿某方向平移一定距离得到Rt△DEF，直角顶点C恰为DE中点，连接AD，CF，BE．给出结论：①AB∥DE；②∠CBE＝∠BCE；③四边形ACFD为菱形，其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．（8分）增加一个单项式，使得多项式16a2+1能运用完全平方公式进行因式分解．写出所有这样的单项式，并进行因式分解．
17．（8分）买入奉节脐橙、赣南脐橙，1kg奉节脐橙买入价比1kg赣南脐橙买入价低4元，用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．
（1）求这两种脐橙的买入价；
（2）某商家购进相同重量的两种脐橙，以10元/kg售价卖出奉节脐橙，若售完全部脐橙后所获利润不低于20%，赣南脐橙售价至少为多少元？
18．（8分）如图，在边长为单位1的小正方形组成的网格中，完成如下操作：
（1）将四边形ABCD向右平移4个单位长度，得到四边形A1B1C1D1；
（2）以点B1为对称中心，画出与四边形A1B1C1D1成中心对称的四边形A2B1C2D2．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）供应商处甲物品600元/套，乙物品40元/套，佳佳拟采购甲物品50套，乙物品若干套（超过200套）．供应商给出两种优患方案一一方案一（“买一送一”）：购买一套甲物品，赠送一套乙物品；方案二（“打折”）：购买乙物品200套以上超出部分按原价打八折，但甲物品不打折，佳佳选择哪种方案更划算？说明理由．
20．（9分）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，点B的对应点B′恰好落在BA的延长线上，B′C与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．
（1）求证：△B′BC是等边三角形；
（2）求对折后重叠部分的面积．
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BD＝2CD，E是AB的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：①连接ED；②连接CE，交BD于点F；③连接AF，交DE于点P；④作射线BP，交AD于点H．
（1）判断四边形BCDE的形状，并说明理由；
（2）求证：BH⊥AD；
（3）若EF＝3cm，BH＝8cm，求四边形ABCD的面积．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．（12分）定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程4x﹣16＝0的解为x＝4，不等式组x−2＞0x＜5的解集为2＜x＜5，因2＜4＜5，故方程4x﹣16＝0是不等式组x−2＞0x＜5的子方程．
（1）在方程①5x+2＝0，②34x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组8x+6＜9x+52x−1＜7的子方程是 （填序号）；
（2）若不等式组x−12≤14x3+x2≥−1的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是 ；
（3）若方程2x+3＝x+6，2x+5=32（x+4）都是关于x的不等式组2x＜3x−m2x−4≤2m的子方程，求m的取值范围．
23．（12分）△ADE和△ABC都是等腰三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE中点，连接DP．
（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转，当AD落在图2所示位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断并证明线段BF与DF的数量关系．
2022-2023学年广东省深圳市盐田区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（ ）
A．3x＞3B．﹣3x＞﹣3C．3x＜﹣3D．﹣3x＜3
【考点】解一元一次不等式．
【分析】分别求出各不等式的解集即可．
【解答】解：A、∵3x＞3，∴x＞1，不符合题意；
B、∵﹣3x＞3，∴x＜﹣1，不符合题意；
C、∵3x＜﹣3，∴x＜﹣1，不符合题意；
D、∵﹣3x＜3，∴x＞﹣1，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而求解．
【解答】解：A、该图形是中心对称图形，符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）若x＞y，则（ ）
A．xz＞yzB．x﹣3＞y+3C．x2＜x2D．2x+1＞2y+1
【考点】不等式的性质．
【分析】运用不等式的性质对各选项进行逐一辨别．
【解答】解：∵x＞y，
∴仅当z＞0时，xz＞yz成立，
∴选项A不符合题意；
∵x＞y，
∴x﹣3＞x﹣3，
∴选项B符合题意；
∵x＞y，
∴x2＞y2，
∴选项C不符合题意；
∵x＞y，
∴2x+1＞2y+1，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4．（3分）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（ ）
A．4B．6C．7D．5
【考点】多边形内角与外角．
【分析】方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解；
方法二：设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程求解即可．
【解答】解：方法一：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，
∴边数＝360°÷72°＝5，
方法二：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，
解得n＝5，
所以，这个多边形的边数为5．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
5．（3分）下列从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．am+an+1＝a（m+n）+1
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．am+an+1＝a（m+n）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2+4x+4＝（x+2）2，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6．（3分）菱形的两条对角线的长分别是4cm和6cm，则菱形的面积是（ ）
A．10cm2B．12cm2C．24cm2D．48cm2
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为4cm和6cm，
∴面积为12×4×6=12（cm2），
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的面积，解题的关键是熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半．
7．（3分）由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定．
【分析】分别根据作图的痕迹，判断是否符合题意．
【解答】解：A：根据作图得：∠A＝∠B，不合题意；
B：根据作图得：AB＝AC，符合题意；
C：根据作图得：AB＝BC，不符合题意；
D：根据作图得：AC＝BC，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握常见 几种基本作图方法是解题的关键．
8．（3分）如图，将△ABC绕顶点A旋转一定的角度得到△AB′C′，点B′落在BC上，∠CB′C′＝44°，则∠B＝（ ）
A．68°B．56°C．46°D．44°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质得出∠B＝∠AB'C'，AB＝AB'，再根据平角的定义即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕顶点A旋转一定的角度得到△AB′C′，
∴∠B＝∠AB'C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝∠AB'C'，
又∵∠CB'C'＝44°，
∴∠B=180°−44°2=68°，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
9．（3分）将一个边长为2cm的正方形与一个长、宽分别为4cm、1cm的矩形重叠在一起．下列图形中，重叠部分的面积最大的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】正方形的性质；矩形的性质．
【分析】分别计算出各个图形的重叠部分面积即可求解．
【解答】解：B．S阴影＝1×2＝2（cm2）；
C．设重叠的平行四边形的较短边为x，则较长边为4+(2−x)2，由正方形的面积＝重叠部分的面积+2个小直角三角形面积，可得4＝1×4+(2−x)2+2（2﹣x），
解得x=27−23（负值已舍去），
∴S重叠部分＝2x=47−43，
D．S重叠部分=(22−2+22)×12=22−1；
A．图A与图C对比，因为图A的倾斜度比图C的倾斜度小，
∴图A的底比图C的底小，
∵两图为等高不等底，
∴图A阴影部分的面积小于图C阴影部分的面积；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质、三角形面积的计算，找出阴影部分四边形的特征，得出倾斜度越大的面积越大，是解答本题的关键．
10．（3分）矩形OABC在直角坐标系中，直线y1＝ax+b过点B（3，2），D（0，﹣2），直线y2＝mx+n过点A，C．给出4个结论：①当x=32时，y1＝0；②当x＞2时，y1＞y2；③AC⊥BD；④P为x轴上动点，当点P运动到OA中点时，PC+PE的值最小，其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【考点】一次函数与一元一次不等式；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题；一次函数的性质．
【分析】利用待定系数法求得直线l1的解析式，然后把x=32代入求得对应的函数值即可判断①；求得直线l2的解析式，两直线解析式联立，求得交点E的坐标，根据图象即可判断②；假设AC⊥BD，则∠CED＝90°＝∠COA，由∠DCE＝∠ACO，则∠CDE＝∠CAO，通过解直角三角形求得sin∠CDE≠sin∠CAO，即可判断③；作点E的对称点E′，连接CE′，交x轴于点P，求得直线CE′与x轴的交点即可判断④．
【解答】解：∵直线y1＝ax+b过点B（3，2），D（0，﹣2），
∴3a+b=2b=−2，解得a=43b=−2，
∴y1=43x﹣2，
当x=32时，y1=43×32−2=0，故①正确；
由题意可知A（3，0），C（0，2），
∵直线y2＝mx+n过点A，C，
∴3m+n=0n=2，解得m=−23n=2，
∴y2=−23x+2，
由y=43x−2y=−23x+2，解得x=2y=23，
∴E（2，23），
由图象可知，当x＞2时，y1＞y2，故②正确；
假设AC⊥BD，则∠CED＝90°＝∠COA，
由∠DCE＝∠ACO，则∠CDE＝∠CAO，
∵A（3，0），C（0，2），E（2，23），
∴AC=32+22=13，CE=22+(2−23)2=373，
∵C（0，2），D（0，﹣2），
∴OC＝2，CD＝4，
∴sin∠CDE=CECD=3734=3712，sin∠CAO=OCAC=213=21313，
∴∠CDE≠∠CAO，故③错误；
作点E的对称点E′，连接CE′，交x轴于点P，此时PC+PE的值最小，
∵点E（2，23），
∴点E关于x轴的对称点为E′（2，−23），
设直线CE′的解析式为y＝kx+2，
∴−23=2k+2，解得k=−43，
∴直线CE′的解析式为y=−43x+2，
令y＝0，则0=−43x+2，解得x=32，
∴P（32，0），
∴当点P运动到OA中点时，PC+PE的值最小，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求两条直线的交点，一次函数与一元一次不等式，矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）若代数式11−x有意义，则实数x的取值范围是 x≠1 ．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：1﹣x≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
12．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）如图，两条射线AE∥BF，点C，D分别在射线BF，AE上，只需添加一个条件，即可判断四边形ABCD为平行四边形．这个条件可以是 AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一） ．
【考点】平行四边形的判定．
【分析】在四边形ABCD中，AD∥BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形与一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可求得答案．
【解答】解：在四边形ABCD中，AD∥BC，
∴再加条件AB∥CD或AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）．
【点评】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
14．（3分）若分式x2x−1的值为0，则x＝ 0 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：根据题意，得x＝0且2x﹣1≠0．
解得x＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
15．（3分）如图，Rt△ABC沿某方向平移一定距离得到Rt△DEF，直角顶点C恰为DE中点，连接AD，CF，BE．给出结论：①AB∥DE；②∠CBE＝∠BCE；③四边形ACFD为菱形，其中正确结论的序号是 ①② ．
【考点】菱形的判定；平移的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质．
【分析】由平移的性质得出AB∥DE，得出①正确；
由平移的性质得出AC∥DF，AC＝DF，得出四边形ACFD是平行四边形，③错误，
由四边形ACFD是平行四边形得出AD＝CF，由C恰为DE中点，得出CF＝CE，由平移的性质得出AB∥DE，AB＝DE，得出四边形ABED是平行四边形，得出AD＝BE，继而得出CE＝BE，得出∠CBE＝∠BCE，②正确；
【解答】解：∵Rt△ABC平移，得到Rt△DEF，
∴AB∥DE，得出①正确；
∵平移，
∴AC∥DF，AC＝DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，得出③错误；
∴AD＝CF，
∵C恰为DE中点，
∴CF＝CE，
∴AD＝CE，
∵平移，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，
∴BE＝CE，
∴∠CBE＝∠BCE，②正确；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握平移的性质和菱形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．（8分）增加一个单项式，使得多项式16a2+1能运用完全平方公式进行因式分解．写出所有这样的单项式，并进行因式分解．
【考点】因式分解﹣运用公式法；单项式．
【分析】根据完全平方公式的结构进行解答即可．
【解答】解：∵16a2+8a+1＝（4a+1）2，
16a2﹣8a+1＝（4a﹣1）2，
64a4+16a2+1＝（8a2+1）2，
∴新增单项式为：8a或﹣8a或64a4．
【点评】本题主要考查的是因式分解﹣运用公式法、单项式，掌握完全平方公式的结构是解决此题的关键．
17．（8分）买入奉节脐橙、赣南脐橙，1kg奉节脐橙买入价比1kg赣南脐橙买入价低4元，用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同．
（1）求这两种脐橙的买入价；
（2）某商家购进相同重量的两种脐橙，以10元/kg售价卖出奉节脐橙，若售完全部脐橙后所获利润不低于20%，赣南脐橙售价至少为多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设奉节脐橙的买入价为x元/kg，则赣南脐橙的买入价为（x+4）元/kg，利用数量＝总价÷单价，结合用240元买入奉节脐橙与用360元买入赣南脐橙重量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出奉节脐橙的买入价，再将其代入x+4中，即可求出赣南脐橙的买入价；
（2）设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进akg奉节脐橙，则购进了akg赣南脐橙，利用总利润＝销售单价×购进数量﹣买入单价×购进数量，结合所获利润不低于20%，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设奉节脐橙的买入价为x元/kg，则赣南脐橙的买入价为（x+4）元/kg，
根据题意得：240x=360x+4，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意，
∴x+4＝8+4＝12．
答：奉节脐橙的买入价为8元/kg，赣南脐橙的买入价为12元/kg；
（2）设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进akg奉节脐橙，则购进了akg赣南脐橙，
根据题意得：10a﹣8a+ay﹣12a≥（8a+12a）×20%，
解得：y≥14，
∴y的最小值为14．
答：赣南脐橙售价至少为14元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．（8分）如图，在边长为单位1的小正方形组成的网格中，完成如下操作：
（1）将四边形ABCD向右平移4个单位长度，得到四边形A1B1C1D1；
（2）以点B1为对称中心，画出与四边形A1B1C1D1成中心对称的四边形A2B1C2D2．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C、D的对应点即可；
（2）利用网格特点，画出点A1、C1、D1关于点B1的对称点即可．
【解答】解；（1）如图，四边形A1B1C1D1为所作；
（2）如图，四边形A2B1C2D2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）供应商处甲物品600元/套，乙物品40元/套，佳佳拟采购甲物品50套，乙物品若干套（超过200套）．供应商给出两种优患方案一一方案一（“买一送一”）：购买一套甲物品，赠送一套乙物品；方案二（“打折”）：购买乙物品200套以上超出部分按原价打八折，但甲物品不打折，佳佳选择哪种方案更划算？说明理由．
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式；一元一次方程的应用．
【分析】当购买乙物品的数量超过200套不足450套时，选择优惠方案一更划算；当购买乙物品的数量等于450套时，选择优惠方案一和优惠方案二所需费用相同；当购买乙物品的数量超过450套时，选择优惠方案二更划算，设购进乙物品x（x＞200）套，则选择优惠方案一所需费用为（40x+28000）元，选择优惠方案二所需费用为（32x+31600）元，分40x+28000＜32x+31600，40x+28000＝32x+31600及40x+28000＞32x+31600三种情况，求出x的取值范围或x的值，进而即可得出结论．
【解答】解：当购买乙物品的数量超过200套不足450套时，选择优惠方案一更划算；当购买乙物品的数量等于450套时，选择优惠方案一和优惠方案二所需费用相同；当购买乙物品的数量超过450套时，选择优惠方案二更划算，理由如下：
设购进乙物品x（x＞200）套，则选择优惠方案一所需费用为600×50+40（x﹣50）＝（40x+28000）元，选择优惠方案二所需费用为600×50+40×200+40×0.8（x﹣200）＝（32x+31600）元，
若40x+28000＜32x+31600，则x＜450，
∴当200＜x＜450时，选择优惠方案一更划算；
若40x+28000＝32x+31600，则x＝450，
∴当x＝450时，选择优惠方案一和优惠方案二所需费用相同；
若40x+28000＞32x+31600，则x＞450，
∴当x＞450时，选择优惠方案二更划算．
答：当购买乙物品的数量超过200套不足450套时，选择优惠方案一更划算；当购买乙物品的数量等于450套时，选择优惠方案一和优惠方案二所需费用相同；当购买乙物品的数量超过450套时，选择优惠方案二更划算．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出选择优惠方案一及选择优惠方案二所需费用是解题的关键．
20．（9分）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，点B的对应点B′恰好落在BA的延长线上，B′C与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．
（1）求证：△B′BC是等边三角形；
（2）求对折后重叠部分的面积．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得DE＝DC＝EC，∠D＝∠DCE＝60°，故可得出∠BCD＝120°，由此得出∠BCB′＝60°，根据翻折变换的性质得出BC＝B′C，据此可得出结论；
（2）根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CD长，进而可得AD的长，利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ACE=12S△ACD，进而可得答案．
【解答】（1）证明：∵△CDE为等边三角形，
∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠BCB′＝60°，
∵△AB′C由△ABC翻折而成，
∴BC＝B′C，
∴△B′BC是等边三角形；
（2）解：根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA=12∠BCB′＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，
∴∠EAC＝∠BCA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴EA＝EC＝3cm，
∴∠DAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝2CD＝6cm，
∴BC＝6cm，
∵CD＝3cm，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，
∴AC＝33cm，
∴S△ACE=12S△ACD=12×12AC×CD=14×33×3=934（cm2）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BD＝2CD，E是AB的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：①连接ED；②连接CE，交BD于点F；③连接AF，交DE于点P；④作射线BP，交AD于点H．
（1）判断四边形BCDE的形状，并说明理由；
（2）求证：BH⊥AD；
（3）若EF＝3cm，BH＝8cm，求四边形ABCD的面积．
【考点】三角形的面积；平行线的性质．
【分析】（1）说明AB∥CD且AB＝CD；
（2）利用三角形中线交于一点和等腰三角形三线合一；
（3）将四边形ABCD分割成△ABD、△BFC、△DFC，分别求出面积．
【解答】（1）解：四边形BCDE是平行四边形，理由如下：
∵AB＝2CD，E为AB的中点，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（2）证明：由（1）知四边形BCDE是平行四边形，
∴F为BD中点，
∴AF是△ABD的中线，
∵DE是△ABD的中线，
∴BH是△ABD的中线，
∵AB＝BD，
∴BH⊥AD；
（3）解：∵E是AB的中点，F为BD中点，
∴AD＝2EF＝6cm，
∴S△ABD=12×AD×BH=12×6×8＝24cm2，
∵S△BEFS△ABD=14，
∴S△BEF=14S△ABD＝6cm2，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴S△BFC＝S△DFC＝S△BEF＝6cm2，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BFC+S△DFC＝24+6+6＝36cm2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形三线合一，三角形面积的计算，关键是看出三角形的重心和平行四边形对角线分成的四个三角形面积相等．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．（12分）定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程4x﹣16＝0的解为x＝4，不等式组x−2＞0x＜5的解集为2＜x＜5，因2＜4＜5，故方程4x﹣16＝0是不等式组x−2＞0x＜5的子方程．
（1）在方程①5x+2＝0，②34x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组8x+6＜9x+52x−1＜7的子方程是 ③ （填序号）；
（2）若不等式组x−12≤14x3+x2≥−1的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是 ﹣1或0 ；
（3）若方程2x+3＝x+6，2x+5=32（x+4）都是关于x的不等式组2x＜3x−m2x−4≤2m的子方程，求m的取值范围．
【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．
【分析】（1）分别解不等式组和解一元一次方程，再根据“子方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，即可求得此子方程的解；
（3）解不等式组得出m＜x≤m+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【解答】解：（1）解不等式组8x+6＜9x+52x−1＜7，得：1＜x＜4，
∵方程①5x﹣2＝0的解为x=25；方程②34x+1＝0的解为x=−43；方程③x﹣（3x+1）＝﹣5的解为x＝2，
∴不等式组的子方程是是③，
故答案为：③；
（2）解不等式组x−12≤14x3+x2≥−1得：−65≤x≤34，
所以不等式组的整数解为﹣1，0，
则此子方程的解是﹣1或0，
故答案为：﹣1或0；
（3）2x＜3x−m①2x−4≤2m②，
解不等式①，得：x＞m，
解不等式②，得：x≤m+2，
所以不等式组的解集为m＜x≤m+2．
方程2x+3＝x+6的解为x＝3，
方程2x+5=32（x+4）的解为x＝2，
所以m的取值范围是1≤m＜2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“子方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
23．（12分）△ADE和△ABC都是等腰三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE中点，连接DP．
（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转，当AD落在图2所示位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断并证明线段BF与DF的数量关系．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）由AD＝DE，P是AE的中点得出DP⊥AE；
（2）①可推出∠BAE+∠PAC＝90°，∠ACP+∠PAC＝90°，从而∠BAE＝∠ACP；
②可证得△ABG≌△CAP，从而AP＝BG，进而得出PD＝BG，进一步证明△BFG≌△DFP，从而BF＝DF．
【解答】（1）解：∵AD＝DE，P是AE的中点，
∴DP⊥AE；
（2）①证明：如图1，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠PAC＝90°，
由（1）知：DP⊥AE，
∴∠APC＝90°，
∴∠ACP+∠PAC＝90°，
∴∠BAE＝∠ACP；
②解：BF＝DF，理由如下：
作BG⊥AE，交AE的眼产线于G，
∴∠G＝∠APC＝90°，
由①得：∠BAE＝∠ACP，AB＝AC，
∴△ABG≌△CAP（AAS），
∴AP＝BG，
∵点P是AE的中点，
∴AD＝AP=12AE，
∴PD＝BG，
∵∠G＝∠DPE＝90°，∠BFG＝∠DFP，
∴△BFG≌△DFP （AAS），
∴BF＝DF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
3．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
4．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
5．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
6．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
7．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
8．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
9．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
10．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
11．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
12．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
13．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
14．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
16．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
17．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（−bk，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜−bk；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞−bk．
18．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
19．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
22．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
23．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
24．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
25．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
26．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
27．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
28．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
29．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
30．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
31．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
32．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
33．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
34．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
35．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
36．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
37．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
38．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
39．几何变换综合题
几何变换综合题．
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