广西壮族自治区百色市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份广西壮族自治区百色市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共21页。

注意事项
1．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡上
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
3．考试结束后，请把答题卡上交，试卷自行保存．
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义：“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是二次函数，则此项不符合题意；
B、是正比例函数，不是二次函数，则此项不符合题意；
C、是一次函数，不是二次函数，则此项不符合题意；
D、是二次函数，则此项符合题意；
故选：D．
2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3. 已知，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例性质求解即可．
【详解】解：A、由得，故此选项不符合题意；
B、由得，故此选项不符合题意；
C、由得 ，故此选项符合题意；
D、由得，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查比例性质，熟知两内项之积等于两外项之积是解答的关键．
4. 函数的图象位于第（ ）象限
A. 一、二B. 一、三C. 二、三D. 二、四
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是正确理解当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
【详解】解：由可得，，
∴图象分别位于第一、三象限，
故选：．
5. 对于二次函数图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上B. 经过原点C. 对称轴是y轴D. 最小值是1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点为，对称轴为直线，
当时，函数有最小值0，
故选：A
6. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形和的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查位似比的运用，理解并掌握相似图形的周长比等于相似比即可求解，掌握相似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，四边形与是位似图形，且位似比，
∴四边形与的周长比为：，
故选：．
7. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长是（ ）
A. 5米B. 10米C. 15米D. 20米
【答案】D
【解析】
【分析】根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵迎水坡的坡比为，，
∴ ，即 ，
解得，（米），
故选D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡度的概念、勾股定理是解题的关键．
8. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
9. 如图，点是反比例函数是图象上一点，轴于点，则的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】从反比例函数图象上任意找一点向某一坐标轴引垂线，加上它与原点的连线所构成的直角三角形面积等于|k|的一半.
【详解】解：设A点坐标为(x，y)，
∵AB⊥x轴，
∴OB=y，AB=x，
∴S△AOB=×OB×AB=xy，
∵y=，
∴S△AOB=×4=2.
故选B.
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义.
10. 如图，在中，，分别为，边上的点，根据已知的信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉：若，连接，则．
淇淇：若，则．
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（ ）

A. 两人都正确B. 两人都错误
C 嘉嘉正确，淇淇错误D. 嘉嘉错误，淇淇正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理即可得到结论，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，

，，
，
，
；
如图，连接，

，，
，
故嘉嘉正确，淇淇正确，
故选：A．
11. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，计算出即可得到．
【详解】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
12. 定义：若两个函数图像与x轴有一个共同的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”．如与y=(x+1)(x−2)的图像与x轴的共同交点为(2，0)，那么这两个函数就是“共根函数”．若与为“共根函数”，则m的值为( )
A. 1B. 1或3C. 1或2D. 2或3
【答案】B
【解析】
【分析】先求出与x轴的交点坐标，分别代入函数中，求出m的值即可．
【详解】解：令=0，则x=0或x=2，
∴函数与x轴的交点为(0，0)，(2，0)，
当两个函数同时过点(0，0)时，有0=0−0+m−1，解得m=1，
当两个函数同时过点(2，0)时，有0=4−6+m−1，解得m=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，本题属于新定义类问题，解题关键是理解给出的定义，并对结果进行分类讨论．
二、填空题（本大题共6题，每小题2分，共12分）
13. 函数的图像经过点，则_________．
【答案】12
【解析】
【分析】把点代入中，求出k的值即可．本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的坐标都满足函数关系式．
详解】把点代入中，得
，
解得，
故答案为：12．
14. 函数的图象与x轴交点坐标为和，则方程的两个解为：_________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的意义，解题时要熟练掌握并能由抛物线与x轴的交点的横坐标就是方程的解进行判断是关键．依据题意，由方程的两个解是函数的图象与x轴交点的横坐标进行判断可以得解．
【详解】解：由题意，∵函数的图象与x轴交点坐标为和，
∴方程的两个解是函数的图象与x轴交点的横坐标．
∴，．
故答案为：，．
15. 如图，已知直线，直线、与直线、、分别交于点，若，，则的值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题的关键．求出，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16. 如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离______米．

【答案】11
【解析】
【分析】求出抛物线与x轴的交点A的坐标即可解答．
【详解】解：对于，令，则，
解得：，（舍），
∴，
∴米．
故答案为：11．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．求出抛物线与x轴的交点A的坐标是解题关键．
17. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为_________cm．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的三线合一性质得到的值，再利用正切定义求解即可．
本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．
【详解】∵， ，，
，
中，
，
故答案为：11.2．
18. 如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是____．
【答案】
【解析】
【分析】观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB＝BE＝6，那么BD＝EC＝2，即可得到EC、AD的长，由此得解．
【详解】解：由题意知：AB＝BE＝6，BD＝AD﹣AB＝2，AD＝AB﹣BD＝4；
∵CE∥AB，
∴△ECF∽△ADF，
得
即DF＝2CF，
∴CF：FD＝1：2＝，
即
故答案为．
【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握变换的性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角函数的混合计算，根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式
．
20. 如图所示，的三个顶点都在正方形网格的格点上．
（1）以点O为位似中心，在位似中心的异侧将放大为，使，放大后点A、B两点的对应点分别为、，画出；
（2）以点O为旋转中心，画出按顺时针方向旋转后得到的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了位似变换，画旋转图形，根据题意得出对应点位置是解题关键．
（1）利用位似图形的性质得出对应点位置进而求出即可；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而求出即可．
【小问1详解】
解：如图即为所求，
【小问2详解】
解：如图即为所求，
21. 如图，，两地被池塘隔开，在外选一点，测得，，．根据测得的数据，求的长．（结果保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，设 ，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为点，

设 ，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
的长为．
22. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【答案】（1）该圆的半径为5米
（2）水面上涨的高度为1米
【解析】
【分析】此题考查勾股定理，垂径定理．
（1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可；
（2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度．
【小问1详解】
解：过O作于点C，交于点D，则，
∴（米）
设圆的半径为r米，则米，（米），
在中，，
即，
解得，
∴该圆半径为5米；
【小问2详解】
设水面升到如图，过点O作于点，交于点，
∴（米），
∵的半径为5米，
∴米
∴在中，（米），
∴（米），
∴水面上涨的高度为（米）．
23. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE于F．
（1）求证：△ADF∽△EAB；
（2）若DF=6，求线段EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质得，，，然后利用得到，最后结合，即可证明；
（2）先利用勾股定理得出AF=8，由△ADF∽△EAB得，可求出，然后利用勾股定理求出AE，最后根据线段的和差即可求出EF的长．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：在中，，
，
，即，解得，
在中，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，利用图形中发现公共角、公共边等隐含条件证明相似三角形是解答本题的关键．
24. 如图，在中，，，，点P是边上由B向C运动（不与点B，C重合）的一动点，P点的运动速度是，设点P的运动时间为，过P点作的平行线交于点N，连接．
（1）请用含有x的代数式表示线段的长；
（2）设的面积为 ，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）请描述的面积随运动时间的增大如何变化（写出一种即可）．
【答案】（1）
（2）
（3）①当时，的面积y随x的增大而增大；②当时，的面积y有最大值，最大值是6；③当时，的面积y随x的增大而减小
【解析】
【分析】此题重点考查锐角三角函数与解直角三角形、根据面积等式求函数解析式、二次函数的图象与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
（1）根据题意得，由，则，所以；
（2）由，得，由，得，所以；
（3）由，且，可知当时，的面积随的增大而增大；当时，的面积最大，等于6；当时，的面积随的增大而减小，写出其中的一条即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知：，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
【小问3详解】
∵点P不与B，C重合，抛物线开口向下，对称轴直线：，
∴①当时，的面积y随x的增大而增大；
②当时，的面积y有最大值，最大值是6；
③当时，的面积y随x的增大而减小．
25. 【综合与实践】
如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示：
图① 图②
（1）压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，哪一个量不变？
（2）求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值；
（3）如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】（1）压力F不变
（2），
（3）这种摆放方式不安全，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格当中所给数据分别计算出F的值，可知压强P与受力面积S的乘积不变，即压力F不变；
（2）用待定系数法可得函数关系式，把代入关系式中，可得a的值；
（3）先求出S，再代入函数关系式中求出P，然后与4000比较大小即可得到答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数关系式．
【小问1详解】
由表中数据可知
当时，，
此时；
当时，，
此时；
当时，，
此时；
由此可知在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，压力F不变．
【小问2详解】
把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得；
【小问3详解】
这种摆放方式不安全．
理由：由已知，
此时，
∴这种摆放方式不安全．
26. 某兴趣小组通过探究圆的基本知识，找到了借助圆作“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法，如图，过点C作直线l的平行线．作图过程如下:
第一步：在直线l上任意取两点A，B，连接AC，BC，且AC＞BC；
第二步：作△ABC的外接圆O；
第三步：以点A为圆心，CB长为半径作弧，交于点D，连接AD；
第四步：作直线CD，则直线CD即为所求作的平行线．
（1）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，D为AC上一点，且满足 ．求证: ．
（2）聪聪认为，在△ABC中，若AC＝BC，过点C作直线l的平行线，则为⊙O的切线，你认为聪聪的想法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）AD＝BC，AB∥CD；证明过程见解析
（2）聪聪的想法正确，见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意写出已知、求证、证明，由AD＝BC得到∠DCA＝∠CAB，即可求解；
（2）证明直线CO垂直平分线段AB，即OC⊥AB，进而求解．
【小问1详解】
已知：如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，D为AC上一点，且满足于AD＝BC，
求证：AB∥CD；
证明：∵AD＝BC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴AB∥CD，
故答案为：AD＝BC，AB∥CD；
【小问2详解】
解：聪聪的想法正确，理由：
连接OA、OB、OC，如下图:
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴直线CO垂直平分线段AB，即OC⊥AB，
∵AB∥l′，
∴CO⊥l′，
∵OC是圆O的半径，
∴为⊙O的切线．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，切线的判定，平行线的判定，圆周角定理，熟练掌握三角形的外接圆，切线的判定，平行线的判定，圆周角定理是解题的关键．桌面所受压强
250
400
500
800
受力面积
0.8
0.5
a
0.25