河南省信阳市羊山新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省信阳市羊山新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了 抛物线的顶点坐标是， 一元二次方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 抛物线的顶点坐标是( )
A. （3，1）B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为：．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．
【详解】解：
一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4. 为验证“掷一个质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率是0.5”，下列模拟实验中，不科学的是（ ）
A. 袋中装有1个红球一个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率
B. 用计算器随机地取不大于10的正整数，计算取得奇数的概率
C. 随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率
D. 如图，将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，计算指针指向甲的概率
【答案】D
【解析】
【分析】分析每个试验的概率后，与原来掷一个质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率比较．
【详解】A、袋中装有1个红球一个绿球，它们出颜色外都相同，随机摸出红球的概率是，不符合题意；
B、用计算器随机地取不大于10的正整数，取得奇数的概率是，不符合题意；
C、随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，不符合题意；
D、将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，指针指向甲的概率是，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了模拟试验的概率，熟练掌握简单事件的概率求法，比较后作出判断是解题的关键．
5. 如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到位置，使，则旋转角的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵在平面内绕点A旋转到，
∴，
∴，
∴，
∴旋转角的度数为．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，求得的度数是解题的关键．
6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下．
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法求概率，熟练掌握该知识点是解题关键．
7. 若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y1＞y2＞y3B. y3＞y2＞y1C. y2＞y1＞y3D. y1＞y3＞y2
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论.
【详解】∵点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数图象上，
∴，，，
又∵﹣＜＜，
∴y3＜y1＜y2，
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
8. 如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ）
A. 135°B. 90°C. 60°D. 45°
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°，即可得出．
【详解】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．
9. 已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．
【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
10. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
当时，
则，
∵，翻折，使点落在直角边上某一点处，
∴，
解得；
当时，
则，
∵，翻折，使点落在直角边上某一点处，
解得；
由上可得，的长为或，
故选：D．
二、填空题（每题3分，本大题共5小题，共30分．）
11. 如果反比例函数y＝的图象位于第二、四象限内，那么k的取值范围为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，求解即可．
【详解】解：反比例函数y＝图象位于第二、四象限
∴，即
故答案为
【点睛】此题考查了反比例函数图像与系数的关系，解题的关键是掌握反比例函数的有关性质．
12. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如，a、b、c都是常数的方程叫做一元二次方程．
13. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是___________m．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质配方找出顶点坐标，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
小球运动中的最大高度是m，
故答案．
【点睛】本题考查二次函数性质的实际应用，解题的关键是配方化成顶点式．
14. 喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：、香山叶正红、建党伟业、建军大业．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有16种可能的结果，其中两人恰好抽到同一部的结果由4种，再由概率公式求解即可．
【详解】把写有、香山叶正红、建党伟业、建军大业的四张卡片分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有种，
甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】3-6
【解析】
【分析】连接BE，可得是等腰直角三角形，弓形BE的面积=，再根据阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积，即可求解．
【详解】连接BE，
∵在正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，
∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE，
∵∠CAB=45°，
∴是等腰直角三角形，即：AE=BE，
∴弓形BE的面积=，
∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积
=+-=3-6．
故答案是：3-6．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共30分．）
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x₁=3，x₂=-1
（2）x₁=4，x₂=-1
【解析】
【分析】(1)由直接开平方法求解即可；
(2)先因式分解然后求解即可．
【小问1详解】
解：方程两边直接开平方得：x－1＝±2，
∴x－1＝2或x－1=-2
解得，x₁=3，x₂=-1．
【小问2详解】
解：原方程可以变形为(x－4)(x+1)=0
∴x－4=0或x+1=0
解得，x₁=4，x₂=-1．
【点睛】本题考查了直接开平方法及因式分解法解一元二次方程，属于基础题，熟练掌握一元二次方法的解法是解题的关键．
17. 为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》为贯彻《通知》精神，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）此游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1）（2，1）（2，3）（2，5）（3，1）（3，3）（3，5）（4，1）（4，3）（4，5）；（2）公平，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）利用树状图法表示所有可能出现的结果情况，
（2）利用树状图法表示两次得数之和的所有可能的结果，得出“和大于6”“和小于6”的概率即可．
【详解】解：（1）用树状图法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种不同结果，即（2，1）（2，3）（2，5）（3，1）（3，3）（3，5）（4，1）（4，3）（4，5）；
（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中“两数字之和大于6”的有4种，“两数字之和小于6”的有4种，
∴P（两数字之和大于6）=，P（两数字之和小于6）=，
因此游戏对双方是公平的．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析，点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；
（3）是，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）利用点A和坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．
【详解】（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)与时间(时)的关系可近似地用二次函数刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数(k＞0)刻画(如图所示)．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?
②当＝5时，y＝45．求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班?请说明理由．
【答案】（1）①200；②225；（2）不能，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）①根据二次函数的最值求解即可.
②根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（5，45）代入即可求得k的值．
（2）求出时（即酒精含量等于20毫克／百毫升）对应的x值（所需时间），推出结论．
【详解】（1）①当时，，
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克／百毫升.
②∵当时，，且（5，45）在反比例函数(k＞0)图象上，
∴把（5，45）代入得，解得.
（2）把代入反比例函数得.
∴喝完酒经过11.25时（即11：20时）为早上7：20.
∴第二天早上7：20以后才可以驾驶，7：00时不能驾车去上班.
20. 阅读下面材料，完成学习任务：数学活动：测量树的高度在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米；
③计算树的高度AB：设米，米．
∵，
∴
∴……
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．
【答案】15米，见解析
【解析】
【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
【详解】解：设米，米．
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
把代入中得
解得
∴树的高度AB为15米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题．
21. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=．
【解析】
【分析】（1）连接AD，根据条件证明AD是BC的垂直平分线即可；
（2）连接OD，根据三角形中位线定理证得：OD∥AC ，从而证出OD⊥DE即可；
（3）根据条件可得△ABC是等边三角形，根据三线合一可得出CD的长，然后在Rt△CDE中利用勾股定理可求出DE的长．
【详解】（1）连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
又BD=CD
∴AD是BC的垂直平分线
∴AB=AC
（2）连接OD
∵点O、D分别是AB、BC的中点
∴OD∥AC
又DE⊥AC
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线
（3）∵AB=AC， ∠BAC=60°
∴△ABC等边三角形
∵⊙O的半径为5
∴AB=BC=10， CD=BC=5
又∠C=60°，DE⊥AC
∴∠CDE=90°-60°=30°，
∴CE=
∴ ．
开关一
开关二
S1
S2
S3
S1
S2，S1
S3，S1
S2
S1，S2
S3，S2
S3
S1，S3
S2，S3