山东省泰安市肥城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省泰安市肥城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共31页。

2．答题前请将答题纸上的考生信息项目填写清楚，然后将试题答案书写在答题纸的规定位置。
3．请认真书写，规范答题；考试结束，只交答题纸。
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置）
1. 正比例函数与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A. 图象经过点B. 函数值随的增大而减小
C. 图象与坐标轴有交点D. 图象在第二、四象限都有分布
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质和反比例函数的图象与性质，根据正比例函数与反比例函数对每个选项进行判断后得出结论．
【详解】解：A．当时，正比例函数，故本选项不符合题意；
B．反比例函数，在每一象限内函数值随的增大而增大，故本选项不符合题意；
C．反比例函数图象与坐标轴没有交点，故本选项不符合题意；
D．正比例函数，经过第二、四象限；反比例函数，双曲线的两个分支在第二、四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
，
∴．
故选：A．
3. 在一个不透明的袋中装着3个红球和2个黄球，它们除颜色外其它均相同，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好都是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能结果，两球恰好都是红球的有6种情况，
∴两球恰好都是红球的概率为，
故选：C．
4. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，先根据一次函数的图象判断出的取值，再根据反比例函数的图象判断出的取值，二者一致即为正确答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：A、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故不符合题意；
B、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故符合题意；
C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故不符合题意；
D、由函数的图象可知，一次函数与轴交于负半轴，相矛盾，故不符合题意；
故选：B．
5. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
6. 数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点处测得灯塔最高点的仰角，再沿方向前进至处测得最高点的仰角，则灯塔的高度大约是（结果精确到，参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，由题意得：，设，则，，再结合得出，求出的值即可得解，熟练掌握锐角三角函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
设，则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
灯塔的高度大约是，
故选：A．
7. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（ ）
A. 24寸B. 48寸C. D. 56寸
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解答本题的关键．连结，设寸，根据垂径定理求出的长，根据勾股定理列方程并求解，得到半径的长，即得答案．
【详解】解：连结，
设寸，则寸，
，
寸，
，
，
解得，
寸．
故选C．
8. 在平面直角坐标系中，二次函数，的图象如图所示，图象过．现给出以下结论①；②；③；④（为实数）．其中错误结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断．
【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，，
对称轴，
，
，故①正确；
②由对称轴可知：，
，
时，，
，
，故②正确；
③关于的对称点为，
时，，
∴当时，，故③错误；
④当时，的最小值为，
时，，
，
即，故④错误；
综上所述，错误结论个数有2个．
故选：B．
9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂足为点是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，从而得出是等边三角形，则，求出，再由勾股定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：在矩形中，对角线与相交于点，
，，，且，
，
,
是等边三角形，
，
，
于点，
为的中点，
是的中点，，
，
，
，
，
，
，
矩形的周长是，
故选：C．
10. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A. 最大值8B. 最大值C. 最小值8D. 最小值
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．依据题意，将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用公式法求出二次函数最值．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，．
二次函数，对称轴在轴左侧，
．
．
．
二次函数有最小值为：．
故选：C
11. 如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．则下列结论：①；②是的切线；③两点间的距离是；④；正确的个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接、、，于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证，，即可得到；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证，推出，不垂直，即可判断不是的切线；③证，结合、，计算出、、，最后根据勾股定理计算即可；④先计算出，然后利用勾股定理求解即可．
详解】如图，连接、、，于

是弦，，，
（垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
，即，
，
，
，
（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），
，故结论①正确；
，
，
又（同弧所对圆周角是圆心角的一半），
，
，
，于，
，
，
，
，
∴，故结论③错误；
，，
，
，
平分（垂直于弦的直径平分弦），
是的中垂线，
，
，
，
，
，即，
是弦，
是锐角，是钝角，
是钝角，，
不垂直，不是的切线，故结论②不正确；
∵，
∴
∵，
∴，故结论④正确．
综上，正确的个数有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点推理证明和计算是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题方法较多，可以用三角形两边之差的最值模型，也可用瓜豆模型．由点是中点，想到构造中位线，取中点，再利用三角形两边之差的最值模型．
【详解】解：取中点，连接，．
在中，，，
，
、分别是、的中点，
，
在中，，，
，
在中，；当运动到上时，，
，
线段的最小值是，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果）
13. 抛物线向左平移2个单位长度，再问上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先配方法为顶点式，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到
故答案为：．
14. 如图，在中，，点在边上，连接．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、求角的正切值，令，，则，由勾股定理得出，求出，再由，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
令，，
，
，
，，
，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________．

【答案】##
【解析】
【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴，
∵，
∴
∴
∴
∵点的坐标为．
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
16. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
【详解】解：正五边形的内角为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
17. 如图，是的直径，与的平分线交于点，延长交于点，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接、、，交于，由角平分线的定义及圆周角定理可得，，根据外角性质及角的和差关系可得，可得，根据是直径可得是等腰直角三角形，可求出的长，根据圆周角、弦、弧的关系可得，得出垂直平分，根据垂径定理及勾股定理求出的长即可得答案．
【详解】解：如图，连接、、，交于，
∵与的平分线交于点，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵是的直径，
∴，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，
在和中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理及弦、弧、圆心角的关系，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在直线上，顶点在轴上，垂直轴；且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于，过点作垂直轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于，过点作垂直轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是______．
【答案】或或
【解析】
【分析】先求出，证明出，，得出，，从而得出规律，由此即可得出答案．
【详解】解：，
，
轴，
点的横坐标为，
点在直线上，
点的纵坐标为：，
，
，
点在直线上，
，
,
，
，
点的横坐标为：，
,
，，，
，
，
，
，，
轴，轴，
，
，，
，
，，
，
，
，
同理可得：，
，，
，
，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的面积计算、一次函数规律探索、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，得出规律是解此题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程）
19. （1）计算：；
（2）在中，若和满足，求的度数．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，三角形内角和定理等知识，
（1）根据零指数幂，有理数的乘方，特殊角的三角函数进行计算即可求解；
（2）根据非负数之和为0，可得，，进而得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴．
20. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？并将条形统计图补充完整；
（2）求组所对应的扇形圆心角的度数？
（3）若该校共有学生1600人，请估计该校喜欢跳绳的学生人数？
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）总人数为名，统计图见解析
（2）
（3）人
（4）
【解析】
【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
（1）由组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去、、人数求出组人数即可补全图形；
（2）用乘以组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
本次调查的学生总人数为（名，组人数为（名，
补全图形如下：
答：本次共调查了40名学生；
【小问2详解】
组所对应的扇形圆心角为，
【小问3详解】
估计该校喜欢跳绳的学生人数约是（人，
【小问4详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
21. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，过点A作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接．若的面积是9．
（1）求反比例函数解析式．
（2）点为直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，根据三角形面积，先求出反比例函数解析式．
（1）连接，根据的面积是9，，得出，再根据图象在第二象限，求出，即可得出答案；
（2）先求出直线的解析式为，得出，求出，设直线上的点，根据的面积等于面积的2倍，得出，求出m的值即可得出答案．
【小问1详解】
解：连接，如图所示：
的面积是9，
，
，
图象在第二象限，
，
反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：点，在的图象上，
，
．
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
轴交轴于点，
，
，
设直线上的点，
，
或，
或
22. 如图，是某水库大坝的横截面，，为迎水坡，为背水坡，高度米，现要防洪加固背水坡，已知的坡比为，加固后背水坡的坡比为
（1）求的长度．
（2）若大坝长100米，则加固背水坡所用的土石为多少立方米．
【答案】（1）2米 （2）400立方米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形——坡度坡比问题．
（1）根据和的坡比求出，的长，从而可解答；
（2）先求出截面的长，进而可解答．
【小问1详解】
∵的坡比为，即，
∴米，
∵的坡比为，即，
∴（米），
∴（米）．
答：的长为2米．
【小问2详解】
（平方米），
∴加固背水坡所用的土石为（立方米）．
答：加固背水坡所用的土石为400立方米．
23. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
【答案】（1）35元
（2）销售单价应定为30元或40元
（3）3600元
【解析】
【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润（定价进价）销售量，从而列出关系式；
（2）令，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；
（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
【详解】解：（1）由题意，得：，
，
，
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：，
解这个方程得：，，
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
（3），
抛物线开口向下，
当时，，
，
当时，，
设成本为（元，由题意，得：，
，
随的增大而减小，
当时，，
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，解题的关键是还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
24. 如图，抛物线经过三点．
（1）求拋物线的函数表达式；
（2）如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为，求点的坐标；
（3）如图2，为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为或
（3）存在；点M的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2）过P点作垂直x轴，交于Q，把分成两个与，把作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积；
（3）通过三角形函数计算可得，使得以M，A，O为顶点的三角形与相似，则有两种情况，，即为，若，则为，然后由直线解析式可求与的交点M．
【小问1详解】
解：把代入抛物线解析式得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：如解（2）图1，过P点作平行y轴，交于Q点，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
设P点坐标为，则Q点坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
当时，P点坐标为，
当时，P点坐标为，
综上所述：若面积为，点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：如解（3）图1，过D点作垂直x轴于F点，过A点作于E点，
∵D为抛物线的顶点，
∴D点坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线为，
∵，，
∴同理可得：直线的解析式为，
∵，，
∴，
∵，，
∴，， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
∴使得以M，A，O为顶点的三角形与相似，则有两种情况，如解（3）图2
当时，，
即点在直线上，
联立，
解得，
即点为．
当，即时，，
∵直线解析式为，
∴直线为，
联立，
解得，
即点，
综上所述：存在使得以，A，为顶点的三角形与相似的点，其坐标为或．
【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，求一次函数解析式，平行线的判定和性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25. 如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长．
【答案】（1）相切，见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用证明，则有，结合题意即可得，即可证明直线与相切；
（2）设的半径为，则，由题意得，利用，求得，利用勾股定理求得半径，即可求得答案．
【小问1详解】
解：连接，如图，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与的半径，
∴直线与相切；
【小问2详解】
设的半径为，则，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，则，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，解得，
∴，
则．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数以及勾股定理，解题的关键是正确作辅助线并熟练三角函数知识．