2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=R，集合A={−1,0,1,2}，B={x|2x−1>0}，则A∩(∁RB)等于( )
A. {−1,0}B. {1,2}C. {−1,0,1}D. {0,1,2}
2.“x=0”是“sinx=0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=(12)|x|B. y=|x|−x2C. y=|x|−1D. y=x−1x
4.已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数(也称为质数)，设x是正整数，用π(x)表示不超过x的系数个数，事实上，数学家们已经证明，当x充分大时，π(x)≈xlnx，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lge≈0.4343)( )
A. 1086B. 1229C. 980D. 1060
5.古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus，公元前417−公元前369年)详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数 2， 3， 5，…，则sin∠BAD=( )
A. 2 6+3 36
B. 2 6−3 36
C. 2 3+ 66
D. 2 3− 66
6.已知a=lg32，b=ln3ln4，c=23.则a，b，c的大小关系是( )
A. a7.已知 3sinα−sin(α+π6)=35，则cs(4π3−2α)=( )
A. −725B. −1625C. 725D. 2425
8.已知函数f(x)=x3−22x+1，且f(a)+f(b)+2<0，则( )
A. a+b<0B. a+b>0C. a−b+1>0D. a+b+2<0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c满足a+b+c=0，且a>b>c，那么下列选项中一定成立的是( )
A. ac<0B. ab>acC. c(b−a)<0D. 2a+2b>2
10.下列各式中，值为12的是( )
A. sin5π6B. 2sin 15°cs 15°C. 2cs215°−1D. 32tan210°
11.以下运算中正确的有( )
A. 若lg3=m，lg2=n，则lg518=2m+n1−n
B. [(1− 2)2]12−(1+ 2)−1+(1+ 2)0=3−2 2
C. (13)−2−2ln(lnee)=7
D. lg23⋅lg94=2
12.已知函数f(x)=|cs2x+csx|，有下列四个结论正确的是( )
A. f(x)为偶函数B. f(x)的值域为[0,98]
C. f(x)在[−5π4,−π]上单调递减D. f(x)在[−2π,2π]上恰有8个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=lg2(1−x)+ x的定义域是______．
14.关于x的不等式ax2+(a+b)x+2>0的解集为(−3,1)，则a+b= ______．
15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式f(x−2)x<0的解集为______．
16.函数f(x)=sinπx−ln|2x−3|的所有零点之和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知tan(α+π4)=3．
(Ⅰ)求tanα的值；
(Ⅱ)求cs(5π2+α)sin(3π2−α)的值．
18.(本小题12分)
已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, 2)．
(1)求出函数y=f(x)的解析式；
(2)判断y=f(x)在[0,+∞)上的单调性并用定义法证明．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)=lg13(−x+1)．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式，并判断其单调性(无需证明)；
(Ⅱ)若f(3a−1)>−2，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin2ωx+2 3sinωxcsωx−1(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为π．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移2π3个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(2θ+π3)=−27，θ∈(0,π2)，求sinθ的值．
21.(本小题12分)
如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，计划在矩形ECFG区域种值蔬菜.E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，AM=60米，设矩形ECFG的面积为S(单位：平方米)
(Ⅰ)若∠GAM=θ，请写出S(单位：平方米)关于θ的函数关系式；
(Ⅱ)求S的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg44x+1−12x，x∈R．
(1)证明：f(x)为偶函数；
(2)若函数f(x)的图象与直线y=12x+a没有公共点，求a的取值范围；
(3)若函数g(x)=4f(x)+x2+m⋅2x−1,x∈0,lg23，是否存在m，使g(x)最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为B={x|2x−1>0}={x|x>12}，
所以∁RB={x|x≤12}，
所以A∩(∁RB)={−1,0}．
故选：A．
先求∁RB，然后由交集运算可得．
本题考查了交集和补集的定义及运算，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵“x=0”能推出“sinx=0”，即充分性成立；
反过来，“sinx=0”不能推出“x=0”，例如sinπ=0，但π≠0，即必要性不成立；
若“x=y”，一定有“sinx=siny”，即必要性成立；
故“x=0”是“sinx=0”的充分不必要条件．
故选：A．
本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，关键在于掌握其定义，属于中档题．下附注判断规则：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
3.【答案】C
【解析】解：由y=(12)|x|为偶函数，在(0,+∞)上y=(12)x为单调递减函数，故A错误；
y=|x|−x2为偶函数，在(0,12)内递增，在(12,+∞)内递减，故B错误；
y=|x|−1为偶函数，在(0,+∞)内递增，故C正确；
f(x)=x−1x的定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数，故D错误．
故选：C．
由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意知：π(10000)≈10000 ln10000=100004ln10=100004×1ln10=2500×lge≈2500×0.4343=1086，
故选：A．
根据π(x)≈xlnx，进行计算，从而确定正确选项．
本题考查函数的新定义，考查学生的运算能力，属中档题．
5.【答案】C
【解析】解：记∠BAC=α，∠CAD=β，
由图知：sinα=csα= 22，csβ= 63，sinβ= 33，
所以sin∠BAD=sin(∠BAC+∠CAD)=sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ
= 22× 63+ 22× 33=2 3+ 66．
故选：C．
利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解；∵c=23=lg3323=lg339>lg338=lg32=a，∴c>a，
又c=23=lg4423=lg4316∴a故选：B．
根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解： 3sinα−sin(α+π6)= 3sinα−( 32sinα+12csα)= 32sinα−12csα=sin(α−π6)=35，
cs(4π3−2α)=cs[π+(π3−2α)]=−cs(π3−2α)=−cs(2α−π3)=−cs[2(α−π6)]=−1+2sin2(α−π6)=−1+2×(35)2=−725．
故选：A．
化简已知等式，得出sin(α−π6)=35，利用二倍角公式代入化简求值即可．
本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及二倍角公式的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：令g(x)=f(x)+1=x3−22x+1+1=x3+2x−12x+1，
则g(−x)=(−x)3+2−x−12−x+1=−x3−2x−12x+1=−g(x)，则g(x)是奇函数，
由g′(x)=3x2+2(2x+1)2>0，得g(x)在R递增，
则f(a)+f(b)+2=f(a)+1+f(b)+1=g(a)+g(b)<0，
∴g(a)<−g(b)=g(−b)，即a<−b，得a+b<0．
故选：A．
令g(x)=f(x)+1，求出函数的导数，可得g(x)的单调性，再判断g(x)的奇偶性，问题转化为g(a)本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查化归转化思想，是中档题，
9.【答案】ABD
【解析】解：由于a+b+c=0，且a>b>c，所以a>0，c<0，故ac<0，A正确，
由于b>c，∴b−c>0，又a>0，所以ab−ac=a(b−c)>0，所以ab>ac，B正确，
由于a>b，∴b−a<0，又c<0，所以c(b−a)>0，故C错误，
由于a>b，，则2a+2b>2 2a+b=2 2−c，又c<0，∴−c>0，因此2a+2b>2 2−c>2，D正确．
故选：ABD．
根据条件可得a>0，c<0，即可判断A，根据作差法即可判断BC，由基本不等式，结合指数幂的性质即可求解D．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，sin5π6=sinπ6=12，正确；
对于B，2sin 15°cs15°=sin30°=12，正确；
对于C，2cs215°−1=cs30°= 32，错误；
对于D， 32tan210°= 32tan(180°+30°)= 32tan30°= 32× 33=12，正确．
故选：ABD．
利用诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值即可逐一求解．
本题考查了诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：A：若lg3=m，lg2=n，则lg518=lg18lg5=lg2+2lg31−lg2=n+2m1−n，A正确；
B：原式=( 2−1)2×12−11+ 2+1= 2−1− 2+1+1=1，B错误；
C：原式=32−2lne=9−2=7，C正确；
D：原式=lg3lg2⋅lg4lg9=lg3lg2⋅2lg22lg3=1，D错误．
故选：AC．
结合对数的换底公式检验选项A，D；结合指数幂的运算性质及对数恒等式检验选项B，C．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：由f(x)=|cs2x+csx|可知，f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(−x)=|cs(−2x)+cs(−x)|=f(x)=|cs2x+csx|=f(x)，
所以f(x)为R上的偶函数，故A正确；
f(x)=|cs2x+csx|=|2cs2x−1+csx|=|2(csx+14)2−98|，
设t=csx∈[−1,1]，则y=2cs2x+csx−1=2(t+14)2−98，
当t=1时，y取得最大值2，当t=−14时，y取得最小值为−98，
即y=2cs2x+csx−1=2(t+14)2−98的值域为[−98,2]，
所以f(x)的值域为[0,2]，故B错误；
f(x)在[−5π4,−π]上的单调性与它在[π,5π4]上的单调性刚好相反，
当x∈[π,5π4]时，t=csx单调递增，且t∈[−1,− 22]，
而y=2t2+t−1=2(t+14)2−98在t∈[−1,− 22]时单调递减，
故y=2cs2x+csx−1在[π,5π4]上单调递减，
又此时y=2t2+t−1∈[− 22,0]，故函数f(x)在[π,5π4]上单调递增，
所以f(x)在[−5π4,−π]单调递减，故C正确；
令2t2+t−1=0，得t=−1或12，而当x∈[0,2π]时，csx=−1及csx=12恰有3个不等的实根π,π3,5π3，
即f(x)在区间[0,2π]上恰有3个零点，
结合奇偶性可知，即f(x)在区间[−2π,2π]上恰有6个零点，故D错误．
故选：AC．
A.根据已知函数即可得出函数的奇偶性；B.化简函数，即可求出函数的值域；C.求出y=2cs2x+csx−1的单调性，即可求出函数的单调性；D.求出2t2+t−1=0(t=csx)的解，即可求出函数在[−2π,2π]上的零点个数．
本题考查了函数的奇偶性和单调性，函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题．
13.【答案】[0,1)
【解析】解：根据题意可得，1−x>0x≥0，
解得0≤x<1．
故答案为：[0,1)．
根据开偶次方根被开方数大于等于0，对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域．
本题考查求函数的定义域的求法，属于基础题．
14.【答案】−43
【解析】解：因为关于x的不等式ax2+(a+b)x+2>0的解集为(−3,1)，
则a<0，且−3、1是关于x的方程ax2+(a+b)x+2=0的两根，
由韦达定理可得−3+1=−a+ba，−3×1=2a，解得a=−23，
所以，a+b=2a=−43．
故答案为：−43．
分析可知，−3、1是关于x的方程ax2+(a+b)x+2=0的两根，利用韦达定理可得出a+b的值．
本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，还考查了方程的根与系数关系，属于基础题．
15.【答案】(−1,0)∪(5,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，
所以f(x)在(−∞,0]上为增函数，
由f(3)=0，得f(−3)=0，f(x−2)x<0，
当x<0时，f(x−2)>0=f(−3)，
有x−2<0x−2>−3，解得−1当x>0时，f(x−2)<0=f(3)，
有x−2>0x−2>3，解得x>5，
综上，不等式f(x−2)x<0的解集为(−1,0)∪(5,+∞)．
故答案为：(−1,0)∪(5,+∞)．
由题意和偶函数的性质可知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，在(−∞,0]上为增函数，结合f(3)=f(−3)=0，分类讨论当x<0、x>0时，利用函数的单调性解不等式即可．
本题主要考查了函数单调性的判断与性质，属于中档题．
16.【答案】9
【解析】解：由f(x)=0，sinπx=ln|2x−3|，
令y=sinπx，y=ln|2x−3|，
显然y=sinπx与y=ln2x−3的图象都关于直线x=32对称，
在同一坐标系内作出函数y=sinπx，y=ln|2x−3|的图象，如图，
观察图象知，函数y=sinπx，y=ln|2x−3|的图象有6个公共点，其横坐标依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，
这6个点两两关于直线x=32对称，有x1+x6=x2+x5=x3+x4=3，则x1+x2+x3+x4+x5+x6=9，
所以函数f(x)=sinπx−ln|2x−3|的所有零点之和为9．
故答案为：9．
根据给定条件，构造函数y=sinπx，y=ln|2x−3|，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答．
本题考查函数零点问题，属于中档题．
17.【答案】解：(I)由tan(α+π4)=tanα+11−tanα=3，
解得：tanα=12；
(Ⅱ)cs(5π2+α)sin(3π2−α)
=sinαcsα
=sinαcsαcs2α+sin2α=tanα1+tan2α=121+14=25．
【解析】(Ⅰ)利用三角函数的诱导公式化简即可；
(Ⅱ)利用两角和与差的三角函数化简求值即可．
本题考查了三角函数的诱导公式及其化简求值，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为y=f(x)是幂函数，所以设f(x)=xα．
代入点(2, 2)，得到2α= 2，解得α=12．
故解析式为f(x)=x12．
(2)f(x)在[0,+∞)上单调递增．
证明：令x1>x2≥0，
则f(x1)−f(x2)=x112−x212=x1−x2 x1+ x2，因为x1>x2≥0，所以f(x1)−f(x2)>0．
故f(x)在[0,+∞)上单调递增．
【解析】(1)代入点(2, 2)，求解即可．
(2)判断f(x)在[0,+∞)上单调递增；根据定义法证明即可．
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
19.【答案】解：(I)当x>0时，−x<0，
故f(x)=f(−x)=lg13(x+1)，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=lg13(−x+1),x≤0,lg13(x+1),x>0.，
函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．
(Ⅱ)由(I)可知：f(−8)=f(8)=−2．
所以不等式f(3a−1)>−2可化为f(3a−1)>−2=f(8)=f(−8)，
结合函数的单调性可知：|3a−1|<8，
解得：−73所以实数a的取值范围为(−73,3)．
【解析】(Ⅰ)设x>0，则−x<0，根据题意得出f(−x)=lg13(x+1)，然后利用函数为偶函数即可求解；
(Ⅱ)结合(1)的结论，求出f(−8)=f(8)=−2，将不等式等价转化为|3a−1|<8，解之即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知：f(x)=2sin2ωx+2 3sinωxcsωx−1=−cs2ωx+ 3sin2ωx=2sin(2ωx−π6)，
且可得f(x)的周期T=2π，得：ω=2π2T=2π4π=12，
所以：f(x)=2sin(x−π6)，
故：f(x)=2sin(x−π6)．
(2)由题意得：g(x)=2sin[12(x−2π3)−π6]=2sin(12x−π2)=−2csx2，
因为：g(2θ+π3)=−27，所以：−2cs(θ+π6)=−27，得：cs(θ+π6)=17，
因为：θ∈(0,π2)，所以：θ+π6∈(π6,2π3)，由cs(θ+π6)=17>0，
所以：sin(θ+π6)=4 37，
所以：sinθ=sin[(θ+π6)−π6]=sin(θ+π6)csπ6−cs(θ+π6)sinπ6=1114．
故：sinθ=1114．
【解析】(1)化简f(x)解析式，根据f(x)的对称轴求出周期从而求出ω，进而求得f(x)的解析式．
(2)根据三角函数图象变换求得g(x)=−2csx2，由g(θ+π6)=−27，求得cs(θ+π6)=17，sin(θ+π6)=4 37，然后构造方程组结合余弦的二倍角公式，即可求解．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的值的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(I)延长FG交AB于H，
则GH=60sinθ米，AH=60csθ米，
则GE=HB=(80−60csθ)米，FG=(80−60sinθ)米，
所以S=(80−60csθ)(80−60sinθ)，0≤θ≤π2．
(Ⅱ)由(I)得：
S=400×[16−12(sinθ+csθ)+9sinθcsθ]，0≤θ≤π2．
令t=sinθ+csθ，则sinθcsθ=t2−12，
因为t=sinθ+csθ= 2sin(θ+π4)，0≤θ≤π2，
所以t∈[1, 2]，
所以S=400×(16−12t+9t2−92)=1800(t−43)2+1400，
因为t∈[1, 2]，
所以当t=43时，Smin=1400．
即当sinθ+csθ=43时，
矩形ECFG面积的最小值为1400平方米．
【解析】(I)延长FG交AB于H，求出GH，AH和GE，FG，计算矩形的面积S．
(Ⅱ)利用换元法，设t=sinθ+csθ，求面积S的最小值即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】(1)证明：因为x∈R，
又f(−x)−f(x)=lg4(4−x+1)+12x−lg4(4x+1)+12x
=lg44−x+14x+1+x=lg4(4−x+14x+1⋅4x)=lg41=0，
故f(−x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数；
(2)解：原题意等价于方程lg4(4x+1)−12x=12x+a无解，
即方程a=lg4(4x+1)−x无解，
令h(x)=lg4(4x+1)−x，
又h(x)=lg4(4x+1)−x=lg44x+14x=lg4(1+14x)，
因为1+14x>1，
所以h(x)>0，
故函数h(x)的值域是(0,+∞)，
因此当a≤0时满足题意，故实数a的取值范围为(−∞,0]；
(3)解：由题意可得g(x)=4f(x)+12x+m⋅2x−1=4x+m⋅2x,x∈[0,lg23]，
令t=2x，则t∈[1,3]，
则y=t2+mt，t∈[1,3]，
①当m≥−2时，−m2≤1，所以g(x)min=g(1)=1+m=0，解得m=−1；
②当−6③当m≤−6时，−m2≥3，所以g(x)min=g(3)=9+3m=0，解得m=−3(舍)．
综上所述，存在m=−1，使得g(x)最小值为0．
【解析】本题考查了函数与方程的综合应用，涉及了函数奇偶性的判断、二次函数最值的应用，解题的关键是利用换元法将复杂函数问题转化为常见函数问题进行研究，属于拔高题．
(1)直接利用偶函数的定义以及对数的运算性质证明f(−x)−f(x)=0即可；
(2)将问题等价转化为方程lg4(4x+1)−12x=12x+a无解，令h(x)=lg4(4x+1)−x，研究h(x)的值域即可得到a的取值范围；
(3)表示出g(x)的解析式，令t=2x，则t∈[1,3]，将问题转化为二次函数y=t2+mt，t∈[1,3]的最值问题进行分析，按照对称轴与区间[1,3]的位置关系分类讨论，分别求解即可．