河南省周口市太康县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省周口市太康县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。

2．请同学们认真审题，规范做答，字体工整，卷面整洁．
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后被开方数相同的二次根式为同类二次根式，据此判断即可．
【详解】解：，
A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、与是同类二次根式，故此选项符合题意；
D、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴四个选项中，只有A选项，符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，．
3. 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆周角定理可得，然后求出∠AED的正切值即可．
【详解】解：由圆周角定理得：，
∴tan∠AED=tan∠ABD=．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正切三角函数、圆周角定理等知识点，利用圆周角定理得出是解答本题的关键．
4. 如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，证明，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，，
∵，，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的判定，熟知三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是
C. 该函数的最大值是D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了的图象性质，根据顶点坐标为，对称轴，开口方向，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、因为中的，函数图象的开口向上，故该选项是错误的；
B、因为，所以函数图象的顶点坐标是，故该选项是错误的；
C、因为，函数图象的开口向上，该函数的最小值是，故该选项是错误的；
D、因为对称轴，，函数图象的开口向上，当时，y随x的增大而增大，故该选项是正确的；
故选：D
6. 如图，是的弦，半径于点B，且，，则的长为（ ）

A. 1B. 2C. 2.5D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】连接，设，在中，用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图，

∴，
设，
∵，
∴，
在中，，即，解得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理，涉及到勾股定理解三角形，灵活运用所学知识是关键．
7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下．
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法求概率，熟练掌握该知识点是解题关键．
8. 如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（ ）

A. 10B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：如图：连接，

是的中点，，
，
是的中点，
，，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线利用性质是解题的关键．
9. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，已知点横坐标为，当时，的取值范围是（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．过点作轴，轴，则，证明，求出点的横坐标即可．
【详解】解：过点作轴，轴，则，

，
，
，
点横坐标为，即，
，
∴的取值范围是：或，
故选：B．
10. 如图，在中，，以为直径的交于点D．过点C作，在上取一点E，使，连接．对于下列结论：①；②；③为的切线；④，其中一定正确的结论是（ ）
A ①②B. ①②③C. ①②④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，圆的切线的判定，圆的性质，熟练掌握圆的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵，以为直径的交于点D．
∴，，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴是三角形的中线，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线，
故③正确；
无法判断，
故④错误，
故选B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 如果函数是二次函数，那么m的值是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】直接利用二次函数的定义计算得出答案；
【详解】解：∵ 函数 是二次函数，
且，
解得： ，
故答案为：3 ；
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键
12. 一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有______个．
【答案】15
【解析】
【分析】设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．
13. 如图，一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是_______cm．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，过作于，由，设cm，cm，则cm，即可求解．
【详解】解：如图，过作于，
由，
设cm，cm，
由勾股定理得：，
解得，
（cm）．
故答案为：20．
14. 如图，等边三角形的边长为20，动点Р从点B出发沿运动到点C，连接，作，交于点D，线段的最大值为___________．

【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，求二次函数的解析式及求其最值，证得是解题的关键．设，，利用三角形外角的性质、等边三角形的性质可得，证明，得出，从而得出，然后再求y的最大值即可．
【详解】解：设，，
∵等边三角形的边长为20，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴
，
∴当时，y有最大值，最大值为5，
∴线段的最大值为5．
故答案为：5．
15. 已知二次函数（，a、b、c为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①；②；③；④（k为常数，且）．其中正确的结论序号是 _______．

【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向和对称轴判断①；特殊点判断②；对称轴结合特殊点判断③；最值判断④．从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，，，
∴，
∴，故①正确；
由图象可知，当时，，即，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
当时，y的值最大．此时，，
而当时，，
∵k为常数，且，
所以，故，故④错误．
故①③正确．
故答案为：①③．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16. （1）计算；
（2）化简求值，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的化简求值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键；
（1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可；
（2）先计算分式的加法，再计算乘法得到化简的结果，再把代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
∵，
∴原式
．
17. 河南省将于2025年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门；
（1）请用画树状图的方法，列出“在首选科目中选择物理，从4门再选科目中选择2门科目”的所有可能的选择方案；
（2）求下列事件发生的概率：
：从（1）的结果中随机选择一种方案，其中恰好有化学科目；
：从（1）的结果中随机选择一种方案，其中恰好有化学和生物科目．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】本题考查了树状图法求概率，
（1）利用树状图画出所有等可能的结果；
（2）分别找出选择的科目中恰好有化学科目和恰好有化学和生物科目的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
画树状图如下：
∴共有12种等可能得结果；
【小问2详解】
从（1）的结果中随机选择一种方案，其中恰好有化学科目的结果有6种，
∴；
从（1）结果中随机选择一种方案，其中恰好有化学和生物科目的结果有2种，
∴．
18. 已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【详解】解：
=
=
，
顶点坐标为，对称轴方程为．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
其图象为：

故答案为（1）；（2）见解析.
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
19. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）

（1）求的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度的长（结果精确到米）．
（参考数据：，）
【答案】（1）米
（2）山峰高度的长约为米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
米，
米，
的长为米；
【小问2详解】
解：设米，
在中，，
（米），
∵米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
米，
∴山峰高度的长约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及A字模型相似三角形是解题的关键．
20. 如图，在中，，点D是的中点，以为直径的与边交于点E，连接．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）相切 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为直角得出，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，则利用等腰三角形的性质得，,再结合，即得出，问题随之得解；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可得到结论．
【小问1详解】
直线是的切线．
理由：连接，如图，

∵为直径，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
由（1）知，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查切线的判定定理，圆周角定理的推论，直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的判定与性质等知识．连接常用的辅助线是解题关键．
21. 某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【答案】（1）元
（2）房价定为300元或320元．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出方程．
（1）根据利润房价的净利润入住的房间数可得；
（2）设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得．
【小问1详解】
若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
（元）；
【小问2详解】
设每个房间的定价为a元，
根据题意，得：，
解得：或．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
22. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．
（1）______，______，______；
（2）t为何值时的面积为？
（3）t为何值时的面积最大？
【答案】（1），，
（2）当秒或4秒时，的面积是；
（3）当为3时的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）由题意可直接利用t表示出，和；
（2）由三角形面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可；
（3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
根据题意得：，，
∴，
【小问2详解】
，
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合题意，
∴即当秒或4秒时，的面积是；
【小问3详解】
由（2）可知，
∵，，
∴当为3时的面积最大，最大面积是．
23. 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短．
作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______．
（2）实践运用
如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值．
（3）拓展迁移
如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值．
【答案】（1）
（2）的最小值为
（3）①；②点M的坐标为；周长的最小值为
【解析】
【分析】（1）过点A作于点M，作于点N，求出，，，证明四边形为平行四边形，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案；
（2）取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，证明，根据，利用勾股定理求出即可；
（3）①先利用对称性求出点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式即可；
②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，根据勾股定理求出周长的最小值为；求出直线的解析式为，把代入求出点M的坐标即可．
小问1详解】
解：过点A作于点M，作于点N，如图所示：
则，
∵四边形等腰梯形，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，如图所示：
∵A关于的对称点，为直径，
∴点在上，
∵，
∴，
∵点A关于的对称点，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵直径，
∴，
∴，
即的最小值为．
【小问3详解】
解：①∵抛物线的对称轴为，且抛物线经过，
∴抛物线与x轴的另外一个交点B的坐标为：，
∴抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，如图所示：
∵点A、B关于直线对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴最小，即最小，
∵为定值，
∴此时的周长最小，
∵，，
∴周长的最小值为；
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴点M的坐标为．
【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，二次函数的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，求出二次函数解析式，求一次函数解析，解题的关键是理解题意，数形结合，作出相应的辅助线．
开关一
开关二
S1
S2
S3
S1
S2，S1
S3，S1
S2
S1，S2
S3，S2
S3
S1，S3
S2，S3