山东省聊城市东阿县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份山东省聊城市东阿县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 在的正方形网格中，把3个小正方形涂上阴影，下列各图中，这三个小正方形组成的图案不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B符合题意；
C．是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2. 如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，证明，，据此得出选项即可．
【详解】解：，
，，，，
，即，
如图，记与的交点为，

∵，
∴，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 分式是最简分式B. 根据分式的基本性质，可以变形为
C. 分式中的，都扩大为原来的3倍，分式的值不变D. 分式的值为零，则的值为
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的有意义的概念，最简分式的概念，分式的基本性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据分式的有意义的概念，最简分式的概念及分式的基本性质，即可判断答案．
【详解】选项A，正确，符合题意；
选项B，当时，x不能出现在分母上，B选项错误，不符合题意；
选项C，当，都扩大为原来的3倍时，分式的值也扩大为原来的3倍，所以C选项错误，不符合题意；
选项D，当分式的值为零时，，所以D选项错误，不符合题意；
故选：A．
4. 如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
【详解】解：∵且，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
故选B
【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
5. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可．
【详解】解：当，时，，而，
∴命题“若，则”是假命题，
故选：D．
【点睛】本题考查是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的所有运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员跳高成绩的众数和中位数分别是（ ）
A. 1.75和1.65B. 1.75和1.70C. 1.70和1.60D. 1.60和1.70
【答案】B
【解析】
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：跳高成绩为的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；
共15名学生，成绩按从小到大排列，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为，故中位数为1.70．
故选：B．
【点睛】本题为统计题，考查求众数与中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
7. 如图，将ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD∥AC交A′C于点D，若∠1＝30°，∠2＝140°，则∠A的度数为（ ）
A. 115°B. 120°C. 125°D. 130°
【答案】D
【解析】
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质得到∠BCD＝∠CBD，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：设∠A′BD＝α，
∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，
∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，∠A＝∠A′，
∵AC∥BD，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴∠BCD＝∠CBD，
∵∠2＝140°，
∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣140°）＝20°，
∵∠CBA′＝30°，
∴∠A′BD＝10°，
∴∠A′＝∠2﹣∠A′BD＝140°﹣10°＝130°，
∴∠A＝∠A′＝130°，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解．
【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵和的角平分线交于点O，，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF=3cm，
∵的周长是，
∴AB+BC+AC=36cm，
∵，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键．
9. 已知关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A. 0B. 0或C. D. 0或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母想，得到或，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】解：方程两边都乘
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
所以增根的值为0．
故选：A
10. 甲、乙两地之间的高速公路全长，比原来国道的长度减少了．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为．则正确的是（ ）
A. 依题意B. 依题意
C. 在国道上的速度是D. 在高速上的速度是
【答案】D
【解析】
【分析】设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，根据题意列分式方程并求解，据此即可得到答案．
【详解】解：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，则在高速公路上行驶的速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
即在国道上的速度是，在高速上的速度是，
结论正确的是D选项，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意正确列方程是解题关键．
11. 如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为（ ）

A. 7B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：如图，∵是等边三角形，
∴，
∵D为中点，
∴
作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
12. 如图，在和中，，．连接，连接并延长交于点，若恰好平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键．利用证明可得，，可判断①选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断②选项正确，由等腰三角形的判定可得，，即可判断③选项正确，进而可求解．
【详解】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故②选项符合题意；
，
，
，
∴，
故③选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故④选项不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13. 若点关于x轴的对称点为，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标化为相反数得到a，b的值，代入求值即可．
【详解】解：∵点关于x轴的对称点为，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了关于坐标轴对称的点坐标的特点，熟练掌握关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标化为相反数是解题的关键．
14. 已知，则________
【答案】
【解析】
【详解】∵，
∴8b=3(3a-b)，即9a=11b，
∴，
故答案为：.
15. 小明同学在德，智，体，美，劳五项评价的成绩分别为：10分，9分，8分，9分，8分．已知这5项成绩的比例依次为，则小明同学5项评价的平均成绩________分．
【答案】8.9
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，小明同学5项评价的平均成绩：
分．
故答案为8.9．
【点睛】本题主要考查了加权平均数，明确加权平均数的计算方法是解答本题的关键．
16. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键，根据分式加减的运算得到，再根据，得到，解出的值，代入即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
17. 如图，是一钢架，且，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管、、、……添加的钢管长度都与相等最多能添加这样的钢管_________根．
【答案】8
【解析】
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵添加的钢管长度都与OP相等，且∠AOB＝10°，
∴∠P1PP2＝∠P1P2P＝20°，∠P2P1P3＝∠P1P3P2＝30°，…，
即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个就不存在了，所以最多能添加8根这样的钢管，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18. 化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，异分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据分式的乘法计算法则求解即可；
（2）先通分，然后把分子合并同类项即可得到答案；
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 先化简，再求值，其中
【答案】，3
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求出a的值，最后代值计算即可．
详解】解：
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
20. 解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可；
（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可．
【小问1详解】
解：
，
解得，
经检验是分式方程的解
【小问2详解】
解：
，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
∴原方程无解
21. 如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证．
【详解】证明：如图，连接．
∵在等边中，点是的中点，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
又∵，
∴点是的中点．
22. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会召开，某校开展“爱祖国跟党走"的知识竞赛．在竞赛中甲组五名学生的成绩分别为：75，90，90，95，100（单位：分），乙组五名学生的成绩分析如下表（单位：分）：
（1）计算甲组学生的平均成绩为_______分；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了95分，在我们小组中属于中游偏上！”，则小明可能是_______组的学生；（选填“甲”或“乙”）
（3）从方差角度分析两个组的成绩．
【答案】（1）90； （2）甲；
（3）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、方差的意义，掌握平均数、中位数、方差的定义是关键．
（1）根据平均数的定义进行计算即可；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）求出甲组的方差，利用方差的意义即可得出答案．
【小问1详解】
解：甲组的平均数为，
故答案为：90；
【小问2详解】
小明可能是甲组的学生，理由如下：
甲组的中位数是90，乙组的中位数是95，小明得了95（分），所以在甲组属中上游水平，
故答案为：甲；
【小问3详解】
甲组的成绩比较稳定
理由如下：，
，
甲组的成绩比较稳定．
23 某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费， 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．
【解析】
【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20， 由等量关系列出方程求解．
（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用， 比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．
【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，
则： 解得：x＝16
经检验，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品
（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天
需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元
方案二：乙工厂单独完成此项任务，则
需要的时间为：960÷24＝40 天
需要的总费用为：40×（120+15）＝5400元
方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5160元
综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
24. 如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分．
（1）求证：；
（2）若的面积是18，，求长．
【答案】24. 见解析
25. 6
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质，平行线的性质，可判断是等腰三角形，再根据等腰三角形的“三线合一”可得是中线，由“”可证；
（2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据中线的性质可得，由三角形的面积公式可求解．
小问1详解】
解：平分
，
，
．
是角平分线，
．
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：过点作于点，
，
，
平分，
，
，
，
即，
．
25. 在中，，点在边上，过点作于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在边上，连接，使，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作，交边于，点是中点，求证：是等边三角形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）见解析．
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判断三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）首先根据和三角形内角和定理得到，然后利用得到，最后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）首先根据结合三角形内角和定理得到，然后利用，证明出，根据全等三角形的性质求解即可；
（3）连接，首先由得到，然后证明出，进而得到，，证明出是等边三角形，
【小问1详解】
解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解∵，，，
∴．
，
，
，
．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴；
【小问3详解】
连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵点G是中点，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1
组别
平均数
中位数
众数
方差
乙组
90
95
100
110