山东省青岛市胶州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省青岛市胶州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。
说明：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图的大致形状是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
【详解】解：根据视图的定义，选项D中的图形符合题意，
故选：D．
2. 2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据锐角的正弦可直接进行求解．
【详解】解：如图，由题意可得：，
∴，
∴．
这名滑雪运动员的高度下降了；
故选：A．
3. 小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是（ ）
A. 线段B. 一个点C. 等边三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析.
【详解】解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影如图：；
当等边三角形木框与阳光垂直时，投影如图：；
当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影如图：；
投影不可能是B.
故选B.
【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子大小、形状可能不同
4. 如图是一把直角三角尺，，，，，且，则这把三角尺中与的周长比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了含的直角三角形性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．先求解，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴这把三角尺中与的周长比为，
故选：C．
5. 已知，则下列各式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是比例的基本性质，利用比例的基本性质逐一分析即可，熟记比例的基本性质是解本题的关键．
【详解】解：A．由，可得到，变形正确，不符合题意；
B．两边平方，即可得到，变形正确，不符合题意；
C． 由，得不到，变形错误，符合题意；
D． ，左边和右边同时加上1，即可得到，不符合题意；
故选C．
6. 若点A是二次函数图象的最低点，则点A的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质；根据顶点式即可确定函数图象的顶点坐标．
【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为，
∵二次项系数为1，
∴函数图象开口向上，其图象的最低点就是抛物线的顶点，
∴点A的坐标是；
故选：B．
7. 在中，，，则的形状（ ）
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，得，
，
故是锐角三角形，
故选：A．
8. 已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线分线段成比例的应用，根据平行线分线段成比例列出比例式，再化为等积式即可判断．
【详解】解：A选项：
由同位角相等可得平行线，
∴，则，故A不符合题意；
B选项：
由同位角相等可得平行线，
∴，则，故B不符合题意；
C选项：
由内错角相等可得平行线，
∴，则，故C不符合题意；
D选项：
由内错角相等可得平行线，
∴，则，故D符合题意；
故选D
9. 如图，在一个长为80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为，那么列出的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设行车通道的宽度为，则停车区域的长总和为，宽总和为，根据“它们的面积之和为”即可列出方程．
【详解】设行车通道的宽度为．根据题意，得
．
故选：D．
10. 已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，从而得出，函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，结合二次函数的对称轴位置即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，
，
函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，
函数对称轴为直线，
函数的对称轴在直线的右侧，
故选：B．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 某校九年级共有男生800名，从中随机抽取100名进行身高情况统计．抽取的100名男生身高在170~180cm之间的有63名，那么估计该校九年级男生身高在170~180cm之间的大约有______名．
【答案】504
【解析】
【分析】本题考查了用样本估计总体数量；用样本中男生身高在170~180cm之间的占比乘男生总人数即可．
【详解】解：（名）；
即估计该校九年级男生身高在170~180cm之间的大约有504名．
12. 如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为．点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为，则点N的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或成为解题的关键，根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点M坐标为，
∴点N的坐标为，即．
故答案为：．
13. 一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是______．（填写相应的数字序号即可）
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了中心投影，关键是正确确定投影中心位置．根据中心投影的意义，画出图形即可确定亮灯窗口．
【详解】解：如图所示，亮灯窗口为3楼窗口；
故答案为：3．
14. 如图，在菱形中，点E为对角线上一点，且，连接，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及线段的和差关系，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理求出的长度．连接，与相交于点O，则，，由，根据勾股定理求出，求出，由勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接交于，
∵菱形，
∴，，，
在中，由勾股定理，
得：，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得
．
故答案为：．
15. 已知关于x的方程的一个根是5，则它的另一个根是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．据此得出，进而可得出答案．
【详解】解：设方程的两根为，，
则，
该方程的一个根是5，
则另一个根是：，
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，点E为边的中点，交于点F，过点D作于点G，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，找出合适的相似三角形，利用相似三角形的性质得出相关线段之间的关系式解题关键． 设正方形的边长为，由勾股定理求得，易证，得到，进而求得，再证 ，利用相似三角形的性质求得 于是，最后进一步求比值即可．
【详解】解：设正方形的边长为，
∵四边形为正方形，
，
∵点为边的中点，
，
在中，，
∵，
，
，
又
，

，
，
，
，
， 即，
，
，
∴．
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17. 已知：线段a．求作：矩形，使得，．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图：作矩形；先作边长为a的等边，分别延长，得射线，在射线上分别截取，佽次连接即得满足条件的矩形．
【详解】解：所作满足条件矩形如下．
四、解答题（本大题共8小题，共68分）
18. （1）解方程：．
（2）已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
【答案】（1），．（2）且．
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解法和根的判别式的含义，准确计算是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据一元二次方程有实数根和二次项系数不等于0列出不等式，解得答案即可．
【详解】解：（1）
∴，
∴
∴，．
（2）∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且．
19. 杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．现有三张不透明的卡片，其正面图案分别为杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”图案（卡片依次记为A，B，C），卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用画树状图法或列表法求概率，画出树状图，共有9个等可能的结果，两次抽到的卡片图案上都是宸宸的结果是1个，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意可画树状图如下：
共有9个等可能的结果，两次抽到的卡片图案上都是宸宸的结果是1个，
两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率为．
20. 如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形：方位角的应用；过点C作于M，过D作于N，则可得四边形是矩形；设，则可表示出，利用两人所走的路程相同建立方程，求得x，即可求出小区北门A与南门B之间的距离．
【详解】解：过点C作于M，过D作于N，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，；
设，则；
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，，
∵两人所走的路程相同，
∴，解得：；
∵，
∴
即小区北门A与南门B之间的距离为．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象直接写出的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为
（2）
【解析】
【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，借助图象求不等式解集，注意数形结合．
（1）把点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得m的值，从而得A、B的坐标，再用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）观察图象，位于x轴下方，且反比例函数图象在直线下方的自变量取值即为不等式的解集．
【小问1详解】
解：∵是一次函数与反比例函数图象的交点，
∴，
解得：，检验知是方程解；
∴，，
∵直线过点A、点B，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：观察图象知，不等式解集为：．
22. 在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．

【探究1】
如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在同一条直线上，则 ；
【探究2】
如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，延长交于点D，则 ．
【探究3】
如图3，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交于点D，若，则 （用含m的式子表示）．
【探究4】
如图4，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交的延长线于点D，若，则 ．
【答案】探究1：90；探究2：90；探究3：m；探究4：60
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理：
（1）证明，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案；
（2）证明，得出，即可得出答案；
（3）证明，得出，即可得出答案；
（4）证明，得出，即可得出答案．
【详解】探究1
解：∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故答案为：90；
探究2：∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故答案为：90；
探究3：同（2）可得，
∴，
∴
，
故答案为：m；
探究4：∵，
∴，即，
和中，
∴，
∴，
∴，
故答案为：60．
23. 如图，在四边形中，两条对角线相交于点O，，垂足为点B，，垂足为点D，，点E，F分别是，的中点，连接，，，．
（1）求证：；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
①，②．
选择的条件：______（填写序号）．
（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了矩形的判定与性质．
（1）先证明得到，然后利用点E，F分别是，的中点，得到；
（2）若选择①，四边形为矩形．理由为：根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则可判断为等边三角形，所以，，从而可判断四边形为矩形．
若选择②，四边形为矩形．理由为：利用，，得到，然后利用点E，F分别是，的中点，，得到，从而可判断四边形为矩形．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴；
【小问2详解】
解：选择①，四边形为矩形．
理由如下：
∵为的斜边上的中线，
∴，
∵ ，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
故答案为：①
若选择②，四边形为矩形．
理由如下：
∵，，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，，
∴，
∴四边形为矩形．
24. “活力海洋之都，精彩宜人之城”，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市．为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售．已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6000元，每件文创纪念品的定价应为多少元？
（3）若规定该文创纪念品利润率不得高于60%，当销售单价定为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6000元，每件文创纪念品的定价应为40元或80元
（3）销售单价定为32元时，每天的获利最大，最大利润是4080元
【解析】
【分析】（1）依据题意，设函数关系式为，又过点，，进而由待定系数法可以得解；
（2）依据题意，由每天的销售利润，根据条件列方程得解；
（3）依据题意，由每天的销售利润，再结合利润率不得高于60%，结合x的取值范围和二次函数的增减性解决问题．
【小问1详解】
解：由题意，设函数关系式为，
又过点，，
，
．
所求函数关系式为．
【小问2详解】
解：由题意，每天的销售利润，
销售利润每天达到6000元，得．
或．
答：该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6000元，每件文创纪念品的定价应为40元或80元．
【小问3详解】
解：由题意，每天的销售利润，
该文创纪念品的利润率不得高于60%，
每款纪念品利润不超过元=12元．
售价，即．
，
当时，销售单价定为32元时，每天的获利最大，最大利润是4080元．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合应用问题，涉及到待定系数法求一次函数解析式、二次函数的销售问题、二次函数的最值、一元二次方程的营销问题等，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键．
25. 如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：
（1）当t为何值时，？
（2）设的面积为，求S与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，点O为的中点，连接．当为等腰三角形时，请直接写出t的值．
【答案】25.
26. （）
27.
28. 或
【解析】
【分析】本题是四边形的综合问题，主要考查矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，割补法求三角形的面积，
（1）当运动时，，，，由可得，从而得到．当时，四边形是矩形，因此，即，求解即可；
（2）用含t的式子分别表示出梯形，，的面积，由可得函数解析式；
（3）根据三角形的面积公式得，由得，再由（2）中求得，可得方程，求解即可；
（4）由，，可得，由勾股定理在中，求得，进而．当为等腰三角形时，分三种情况讨论：①，②，③，分别求出满足条件的t值即可．
【小问1详解】
当运动时，，，
∵在矩形中，，，
∴ ，
∵，
∴，即，
∴，
∵在矩形中，，
∴当时，，
∴四边形是矩形，
∴，即，
解得：，
∴当时，；
【小问2详解】
∵，，，，
∴，
，
∴，
即S与t之间的函数关系式为（）
【小问3详解】
当时，，理由如下：
∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴，
由（2）求得
∴，
解得，
∴ 当时，；
【小问4详解】
∵，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵点O是的中点，
∴．
当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①若，如图，
又，
∴，
解得；
②若，如图，
过点E作于点N，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
③若，
连接，
∵在中，点O是斜边的中点，
∴，
∵，
∴点E与点B重合，，
∴，
解得，
∵，
∴不合题意，舍去．
综上所述，当为等腰三角形时，或．