云南省昆明市五华区云南师范大学实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份云南省昆明市五华区云南师范大学实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作元，那么元表示（ ）
A. 收入100元B. 支出100元C. 收入50元D. 支出50元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正数负数．利用正数负数的意义解答即可．
【详解】解：∵支出150元记作元，
∴元表示收入50元，
故选：C．
2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是米．将数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故选：A．
3. 如图，四条直线，其中，，，则=（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，

，，，
，
是外角，
．
故选：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方．根据幂的乘方，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘除法的运算方法，逐项判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
5. 点关于y轴的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此解答．
【详解】解：点关于y轴的对称点是，
故选：C．
【点睛】此题考查关于y轴对称的点的坐标特征：关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
6. 若一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形的外角和为求解即可．
【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都是，
∴这个多边形的边数为，
故选：D．
【点睛】本题考查多边形的外角和，熟知多边形的外角和为是解答的关键．
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据判别式的值确定根的情况即可．
【详解】解：，
∴有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查判别式与根的关系，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键．
8. 如图，在中，，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，求一个角的余弦值，先根据勾股定理求出，再结合，即可作答．
【详解】解：∵，，，
∴
∴
故选：B．
9. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. y随x的增大而减小B. 图象分布在一、三象限
C. 图象与坐标轴无交点D. 图象关于直线对称
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法即可判断．
【详解】解：∵反比例函数，
∴该函数图象在第一、三象限，故选项B正确，不符合题意；
在每个象限内，随的增大而减小，故选项A错误，符合题意；
反比例函数图象坐标轴无交点，故选项C正确，不符合题意；
函数图象关于直线对称，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
10. 市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天绿化面积为x万平方米，
根据题意得，
故选：A．
【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意，找出对应的关系是解题的关键．
11. 如图，已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.
根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得的值，设，，则可得，由此可求得的值.
熟练掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键.
【详解】，
，
.
，
，
，
设，
则，
，
即.
故选：D
12. 观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了单项式找规律，根据题意分别找出单项式系数和指数的规律即可解题．
【详解】解：由题可知：
系数依次为连续的奇数，次数为连续的正整数，
则第n个单项式为：，
所以第2024个单项式为：，
故选：C．
13. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，则下列说法错误的是（ ）
A. 样本的方差是2B. 样本的中位数是3
C. 样本的众数是3D. 样本的平均数是3
【答案】A
【解析】
【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，样本平均数，方差，再根据中位数与众数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：由方差的计算公式得：这组样本数据为，
∴样本的平均数是，故D正确，不符合题意；
∴
，故A错误，符合题意；
样本的中位数是，故B正确，不符合题意；
样本众数是3，故C正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出各统计量是解题关键．
14. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识．由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，据此求解即可．
【详解】解：由图中的尺规作图得：是的平分线，
∵，
∴是等腰三角形
∴，，
∴，
∴
∵点F为的中点，
∴，
∴的周长，
故选：D．
15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆的综合、等边三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征．连接、，作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得，，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解．
【详解】解：连接、，作于，如图：

六边形是正六边形，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
的估计值为，
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 代数式有意义时，x应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数得到．
【详解】解：由题意，得，
解得．
故答案：．
17. 因式分解：= ．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，解题的关键是掌握完全平方差公式进行因式分解．
18. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆锥的计算．先确定几何体的形状，再计算．
【详解】解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为5，
则底面周长为4π，
设该几何体的侧面展开图的圆心角度数为,
所以，
解得，
所以扇形的圆心角的度数为，
故答案为：
19. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质．首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合即可解决问题．
【详解】解：由题意及旋转变换的性质得，
又∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本答题共8小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知负指数幂、特殊角的三角函数值．根据实数的性质化简即可求解．
【详解】解：
．
21. 已知：如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质．先根据平行线的性质得出，然后证明，即可根据全等三角形的性质得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
22. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才，已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学，某省为了解中学生的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）本次调查的样本容量是______，在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______度，并补全条形统计图；
（2）某省有1000名中学生参加本次活动，估计选择A大学的大约有多少人？
【答案】22. 50，，补全条形统计图见解析
23. 该市有1000名中学生参加本次活动，估计选择大学的大约有200人．
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找到题眼．
（1）根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，用总人数减去其它人数可计算出选择的人数，根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数，将条形统计图补充完整；
（2）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
本次抽取的学生有：（人，
其中选择的学生有：（人，
在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：，
补全的条形统计图如图所示；
故答案为：50，；
【小问2详解】
该市有1000名中学生参加本次活动，则选择大学的大约有：（人，
答：该市有1000名中学生参加本次活动，估计选择大学的大约有200人．
23. 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和是5的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是9的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
【答案】游戏是公平的．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．使用树状图法或列表法将所有可能出现的结果表示出来，转盘共有3种不同的抽取情况，摸球同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种；然后统计“和为5的倍数”、“和为9的倍数”出现的次数，并算出概率，通过概率的比较得出结论．
【详解】解：列表如下所示，
由表格可知一共有9种等可能性的结果，其中得到的两数字之和是5的倍数的结果数有2个，其中等到的两数字之和是9的倍数的结果数为有2个，
小杰赢的概率为，小玉赢的概率为，
∴游戏是公平．
24. 商场分两次购进A、B两种型号的商品进行销售，两次购进同一型号的商品进价相同，具体情况如下表所示：
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A商品以每件30元出售，B商品以每件100元出售，为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【答案】（1）A商品每件进价为20元，B商品每件进价为80元
（2）当A商品购进800件，B商品购进200件时利润最大，最大利润为12000元
【解析】
【分析】（1）设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元，根据题意可列二元一次方程组，解得可求A、B两种商品每件的进价．
（2）设购进A种商品m件，获得的利润为w元，则购进B种商品件，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，根据利润A商品利润B商品利润列出w与m之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设A商品每件进价为x元，B商品每件进价为y元，
根据题意得：
解得：
答：A商品每件进价为20元，B商品每件进价为80元
【小问2详解】
解：设A商品购进m件，则B商品购进件，设获得利润为W元，
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴，
∴，
，
∵
∴当m增大时，W减少，
当时，W取最大值，
最大利润为：（元）
当A商品购进800件，B商品购进200件时利润最大，最大利润为12000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．
25. 如图，的对角线相交于点O，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，四边形的面积是，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接，交于，由菱形的性质得，，，再由菱形的面积求出及长，然后由勾股定理得出，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图，连接，交于，

四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
即的长为．
26. 如图，内接于，AB为直径，作交 AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点E且．
（1）求证：直线CE是的切线；
（2）如果，，求弦AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出，则 ，则可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出，，的长，证明，得出比例线段即可求出 的长．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在和中，
，，
，
，
即，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
27. 已知二次函数（b，c为常数）．
（1）当时，与其对应的x的值分别是和4，求二次函数的顶点坐标；
（2）当时，抛物线的顶点在直线上，求二次函数的解析式；
（3）当，且时，的最大值为20，求b的值．
【答案】（1）二次函数的最大值是9；
（2）或；
（3）或．
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数综合以及配方法求二次函数顶点坐标以及函数最值求法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
（1）根据已知条件可以求得抛物线解析式，然后利用配方法求最大值；
（2）根据当时，若在函数值的情况下，只有一个自变量的值与其对应，得到有两个相等的实数根，求此时二次函数的解析式；
（3）当时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．
【小问1详解】
解：∵当时，与其对应的的值分别是和4，
∴．
解得．
则该抛物线解析式是：，即．
∵，
∴二次函数的最大值是9；
【小问2详解】
解：当时，二次函数的表达式为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴抛物线与直线有唯一公共点，
即，方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴此时二次函数的表达式为：或；
【小问3详解】
解：当时，，
它的图象开口向下，对称轴为：，
①若，即，
在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值随的增大而减小
故当时，为最大值，
∴，
解得：或（舍去），
②若，即，
故当时，为最大值，
∴，
解得：（舍去） 或，
③若，即，
在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值随的增大而增大
故当时，为最大值，
∴，
解得：（舍去）
综上所述，或．
摸球
转盘
2
4
6
1
3
5
购进数量（件）
购进所需费用
（元）
A
B
第一次
30
40
3800
第二次
40
30
3200