2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第五章）培优卷

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2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第五章）培优卷一、选择题1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）A． B．C． D．2．如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD=AE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；第三步：作射线AF交BC于点M；第四步：过点M作MN⊥AB于点N．下列结论一定成立的是（　　）A．CM=MN B．AC=AN C．∠CAM=∠BAM D．∠CMA=∠NMA3．如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是（　　）A．45° B．60° C．75° D．70°4．如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（　　）A．4 B．6 C．8 D．105．如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（　　）A．△ABC的三条中线的交点处B．△ABC三边的垂直平分线的交点处C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三条高所在直线的交点处6．等腰三角形的一个角是50°，则它顶角的度数是（　　）A．80°或50° B．80° C．80°或65° D．65°7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BO＝B′OC．AA′⊥MN D．AB ∥ B′C′8．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（　　）A．48° B．36° C．30° D．24°9．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD=CD；④∠BDE=∠CDF．其中正确的是（　　）A．①④ B．②④ C．②③④ D．①②③④10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（　　）A．1 B．32 C．2 D．52二、填空题11．如图，已知∠ABC=50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是 　 　度．12．如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA=34°，则∠CAB的度数为 　 　． 13．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是　 　。14．如图，在Rt △ ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为　 　°．15．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为　 　．16．如图，在△ABC中，AB=5，AC=7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为　 　．三、解答题17．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知 △ABC 的三个顶点在格点上． （1）画出 △A1B1C1 ，使它与 △ABC 关于直线a对称； （2）求出 △A1B1C1 的面积； （3）在直线a上画出点P，使 PA+PC 最小 18．已知：如图，AD平分∠CAB，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC的延长线于点N，且∠NCD=∠B．求证：CN=BM．19．如图，点D是线段BC的中点，AD⊥BC，点P是线段AD上的一点，射线BP交边AC于点E，EH⊥AB于点H，过B作BF⊥AC于点F．（1）求证：∠BAD=∠CBF；（2）如果PD=BD，求证：EF=EH．20． 已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M.（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；（2）求证：AC＝BM+CM．21．如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且∠BDP=∠CEP．（1）求证：△BDP≌△CEP．（2）若PD⊥AB，∠A＝110°，求∠EPC的度数．22．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）求证：BE=CF；（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．23．数学模型学习与应用：白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使PA+PB的值最小．作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为点P．此时PA+PB的值最小．（1）模型应用：如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点．①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．②则PD+PB的最小值为 ▲ cm．（2）模型变式：如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q、R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值.24．综合与实践（1）问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：　 　；（2）类比迁移：小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；（3）拓展实践：小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）答案解析部分1．D2．C3．D4．C5．B6．A7．D8．A9．D10．C11．6512．56°13．414．4015．80°16．1217．（1）解：如图，△A1B1C1即为所求． （2）解： S△A1B1C1 =2×2- 12 ×1×2×2- 12 ×1×1= 32 ． （3）解：如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求． 18．证明： ∵AD 平分∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，∴ DN=DM.又∠N=∠DMB=90°， ∠NCD=∠B，∴△DNC≌△DMB(AAS)，∴CN=BM.19．（1）证明：∵点D是线段BC的中点，AD⊥BC，∴BD=CD，∠ADB=90°=∠ADC，又∵AD=AD，∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠ABD=∠ACD，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BF⊥AC，∴∠BFC=90°=∠ADB，∵∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB，∠CBF=180°−∠BCF−∠BFC，∴∠BAD=∠CBF；（2）证明：∵PD=BD，∴∠BPD=∠PBD，∵∠BPD=∠APE，∴∠APE=∠ABP+∠BAP，∵∠DBP=∠FBP+∠CBF，∴∠EBH=∠EBF，∵EH⊥AB， BF⊥AC，∴∠BHE=∠BFE=90°，∵∠EBH=∠EBF，∠BHE=∠BFE=90°，BE=BE，∴△EBH≌△EBF(AAS)，∴EF=EH．20．（1）解：如图作DN⊥AC于N．∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，∴DM＝DN＝2，∴S△ADC＝15AC•DN＝12；（2）证明：∵CD＝CD，DM＝DN，∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），∴CN＝CM，∵AD＝BD，DN＝DM，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN＝BM，∴AC＝AN+CN＝BM+CM.21．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵P为BC的中点，∴BP＝CP，又∵∠BDP＝∠CEP．在△BDP和△CEP中，∠B=∠C∠BDP=∠CEPBP=CP，∴△BDP≌△CEP（AAS）；（2）解：∵∠A＝110°，AB＝AC∴∠B＝∠C＝35°，∵PD⊥AB，∴∠PDB＝90°，在△BDP和△CEP，BD=CE∠B=∠CBP=CP，∵△BDP≌△CEP（AAS），∴∠PEC＝∠PDB＝90°，在△EPC中，∠EPC＝90°-∠C＝90°-35°＝55°．22．（1）证明：连接DB、DC， ∵DG⊥BC且平分BC，∴DB=DC．∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°在Rt△DBE和Rt△DCF中DB=DCDE=DF ，Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BE=CF（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中 AD=ADDE=DF ，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AC+CF=AF，∴AE=AC+CF．∵AE=AB﹣BE，∴AC+CF=AB﹣BE，∵AB=8，AC=6，∴6+BE=8﹣BE，∴BE=1，∴AE=8﹣1=7．即AE=7，BE=1．23．（1）解：①如图所示点P为所求的点：②8；（2）解：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点N，M，连接OM，ON，MN，MN交OB、OA于点R、Q，连接PR，PQ．由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠NOB＝∠POB，∴∠MON＝5∠AOB＝2×30°＝60°，则△MON为等边三角形，即NM＝ON＝OP＝10cm．即△PQR周长的最小值等于10cm．24．（1）SSS（2）解：∵OM=ON，CM=CN，OC=OC， ∴△OCM≌△OCN(SSS)，∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分线；（3）解：如图，点E即为所求作的点； ．