北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题02 相交线与平行线 重难点题型-【高频考点】（原卷版+解析）

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专题02 相交线与平行线 重难点题型题型1、余角、补角、对顶角、垂直的相关计算解题技巧：余角、补角、对顶角这些结论在几何计算中的应用非常广泛。邻余角、补角、对顶角在解题中常常起着桥梁的作用，它们可以将未知角和已知角直接联系起来，是复杂的问题简单化。我们要善于挖掘题干中的隐含信息，充分利用邻补角和对顶角的关系，使其与已知条件相联系，从而使所求问题得到解决。1．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，AO平分，且，则的度数是________． 2．（2021·北京通州区·首师大附中通州校区七年级期末）如图，已知射线射线，射线表示北偏西20°的方向，则射线表示的方向为（ ）A．北偏东60° B．北偏东55° C．北偏东70° D．东偏北75°3．（2021·四川绵阳市·七年级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON=90°．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．65°4．（2021·湖北随州市·七年级期末）已知，与互余，则的度数为______．5．（2021·山西朔州市·七年级期末）如果∠l与∠2互补，∠2为锐角，则下列表示∠2余角的式子是（ ）A．90°-∠1 B．∠1 - 90° C．∠1 + 90° D．180°-∠16．（2021·黑龙江·七年级期中）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB．（1）如图，，求∠AOC的度数．（2）如图，在（1）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，满足射线OM平分∠BOD在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与2∠EOF度数相等的角．题型2、方程思想性质：（1）邻补角互补； （2）对顶角相等；（3）垂线夹角为90°（4）角平分线平分角解题技巧：若图形中角比较多，且关系难以理清晰，建议用设未知数的方法，利用上述几条性质，将图形中所有角度都用未知数表示出来，进而将角的关系转化为方程的形式求解。特别是题干中存在比例关系时，我们多用方程的方法解题。1．（2021·浙江台州市·七年级期末）一个角的补角是它的余角的三倍，则这个角的度数为__________．2．（2021·江苏扬州市·七年级期末）已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大20°，则∠α的度数是_____．3．（2021·山东临沂市·七年级期末）一个角的余角是它的补角的，这个角是（ ）A． B． C． D．4．（2020·四川营山.初一期末）在同－平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）A．20° B．55° C．20°或 125° D．20°或55°5．（2020·钦州市第四中学初二月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD∶∠EOB=2∶3，求∠AOF的度数． 6．（2020·全国初一课时练习）已知，如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分，：，（1）试判断OF与OE的位置关系，并说明理由．（2）求的度数．题型3、折叠问题中角的计算解题技巧：在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。1．（2020·江苏秦淮·南京一中初二月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_____． 2．（2020·江苏高邮·初一期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．3．（2020·广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________． 4．（2020·内蒙古临河.初一期末）如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________度．5．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°． 6．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．题型4、识别同位角、内错角和同旁内角解题技巧：常见的识别方法有2种，具体如下方法一、定义法：如下图： = 1 \* GB3 ①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找 = 2 \* GB3 ②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。方法二、像形识别法： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①同位角：F  = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②内错角：Z  = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③同旁内角：C1.（2021•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（　　）A．∠3和∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁内角 C．∠2和∠4是对顶角 D．∠2和∠5是内错角 2．（2021·浙江长兴·七年级期末）如图，与是（ ）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角3．（2021·广东东莞·七年级期末）如图所示，下列四个选项中不正确的是（ ）A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是邻补角4．（2021·山西忻州·七年级期末）如图，与是同旁内角，它们是由（ ）A．直线，被直线所截形成的 B．直线，被直线所截形成的C．直线，被直线所截形成的 D．直线，被直线所截形成的 5．（2021·山东郯城·七年级期末）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）A．∠2 和∠4 B．∠6和∠4 C．∠2 和∠6 D．∠6和∠36．（2021·辽宁朝阳·七年级期中）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：.试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径；（2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？题型5 尺规作图1．（2020·惠州市第七中学初二月考）如图，线段交于．（1）尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹并写出结论）（2）判断与的位置关系并说明理由；2．（2020·广东阳山·初一期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．3．（2020·广东省深圳市龙岗区南芳学校期中）如图，已知直线AB和点P，用尺规作直线CD，使CD//AB，且CD过点P；4．（2020·陕西渭滨·）请按以下要求作图：如图，打台球时，小球从A点出发撞击到台球桌边CD的点O处，请用尺规作图的方法作出小球反弹后的运动方向（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．5．（2020·广东南山·初一期中）如图，已知点为的边上一点，请在边上确定一点，使得(要求：尺规做图、保留作图痕迹、不写作法)6．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）题型6 平行线间距离与面积问题解题技巧：两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。1．（2020·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点,那么,在网格图中找出格点,使以和格点为顶点的三角形的面积为．这样的点可找到的个数为（ ） A． B． C． D．2．（2020·南通市通州区育才中学八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积 3．（2020·江苏泰州市·昭阳湖初中八年级期中）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）A． B． C． D．4．（2020·湖南茶陵·初一期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为（　　）A．10 B．9 C．8 D．7 5．（2020·河北滦州·初一期中）如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，三角形的面积（ ）A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定6．（2020·上海市培佳双语学校初一月考）已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6题型7、 证平行线的技巧解题技巧：1）、借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。2）、转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。1．（2020·河北宣化·初三二模）如图是某节数学课上王老师和琪琪的对话，根据对话内容，判定的依据是（ ）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．内错角互补，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 2．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤；⑥，能得的有_________ (只填序号)．3．（2020·山西期末）综合与探究问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．问题发现：（1）如图1，当时，____________°；（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．4．（2020·陕西省西安市育才中学初一月考）如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠ADB=36°，求∠EFC的度数．5．（2020·南阳市油田教育教学研究室初一期末）如图，在中，是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．（1）求和的度数；（2）若，问：//吗，请说明理由．6．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．题型8 平行线的性质解题技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。1．（2020·河南西华·初一期中）如图所示，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，过点E作EF∥AB交直线BC于点F，若∠ABC＝50°，则∠DEF的度数___．2．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点．（1）求的度数；（2）过点作，交的延长线于点，求的度数．3．（2020·山东安丘·东埠初中初二月考）如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于，若，，求的长4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图1，已知，，；（1）请探索与之间满足的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：如图1，，点，分别为，上一点．（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．6．（2020·上海静安·初一期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．题型9、构造辅助线之添加平行线解题技巧：1）证平行的题目，辅助线技巧比较单一，常见题型仅“添加平行线”这一种方法。当要求解的几个角之间“距离”比较远，3类角难以扯上关系时，通常用“添加平行线”的方法，过渡出“距离”较远角之间的关系。2）“M”型图形，通常通过添加平行线辅助线来与平行联系上1．（2020·湖北随县·初二月考）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（ ）A．125° B．75° C．65° D．55°2．（2020·山东日照·二模）如图，直线，，则（ ）A．150° B．180° C．210° D．240°3．（2020·深圳市高级中学初二月考）如图，，，则，，之间的关系是（ ）A． B． C． D．4．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是( )A．° B．° C．° D． 6．（2020·山东青岛·初一期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__ °．7．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图所示，点，分别在，上，，，，，则，，之间满足的关系式是______．题型10、平行线的压轴题1．（2021·河南驻马店市·七年级期末）已知：△ABC和平面内一点D．（1）如图1，点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E，作DF//CA交AB于点F，判断∠EDF与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF//CA，∠EDF＝∠A，请你判断DE与BA的位置关系．并说明理由． （3）如图3，点D在△ABC的外部，若作DE//BA，DF//CA，请直接写出∠EDF与∠A数量关系．2．（2020·山东临沂市河东区教育科学研究中心初一期末）（1）问题情境：如图1，，，．求度数．小明的思路是：如图2，过点作，通过平行线性质，可得．（2）问题迁移（1）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．猜想、、之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出、、之间的数量关系．选择其中一种情况画图并证明．3．（2020·北京海淀实验中学初二开学考试）已知ABCD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为　 　；（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系　 　．4．（2020·河南舞钢·初一期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．5．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学初一月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）问题情境2 如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝　 　．6．（2020·洛阳市第二外国语学校初一期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．专题02 相交线与平行线 重难点题型题型1、余角、补角、对顶角、垂直的相关计算解题技巧：余角、补角、对顶角这些结论在几何计算中的应用非常广泛。邻余角、补角、对顶角在解题中常常起着桥梁的作用，它们可以将未知角和已知角直接联系起来，是复杂的问题简单化。我们要善于挖掘题干中的隐含信息，充分利用邻补角和对顶角的关系，使其与已知条件相联系，从而使所求问题得到解决。1．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，AO平分，且，则的度数是________．【答案】【分析】根据，，求出，利用AO平分，求得，即可得到∠DOB=．【详解】∵，，∴，∵AO平分，∴,∴∠DOB=,故答案为：．【点睛】此题考查求一个角的补角，角平分线的性质，对顶角相等，正确理解补角定义求出是解题的关键．2．（2021·北京通州区·首师大附中通州校区七年级期末）如图，已知射线射线，射线表示北偏西20°的方向，则射线表示的方向为（ ）A．北偏东60° B．北偏东55° C．北偏东70° D．东偏北75°【答案】C【分析】由垂直的定义及方位角的意义可以得解．【详解】解：∵OA⊥ OB，∴∠AOB=90°，∴由90°-20°=70° 可得：射线 OB 表示的方向为北偏东70°，故选C．【点睛】本题考查垂直和方位角的综合应用，熟练掌握垂直和方位角的意义是解题关键 ．3．（2021·四川绵阳市·七年级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON=90°．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON-∠MOC得出答案．【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．故选：C．【点睛】本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．4．（2021·湖北随州市·七年级期末）已知，与互余，则的度数为______．【答案】90°或50°【分析】根据互余的特点，分射线OC在内部和外部进行求解即可；【详解】∵，与互余，∴，当OC在内部时，；当OC在外部时，；故答案是90°或50°．【点睛】本题主要考查了角的计算，准确计算是解题的关键．5．（2021·山西朔州市·七年级期末）如果∠l与∠2互补，∠2为锐角，则下列表示∠2余角的式子是（ ）A．90°-∠1 B．∠1 - 90° C．∠1 + 90° D．180°-∠1【答案】B【分析】首先根据补角的定义可得∠2=180°-∠1，再根据余角定义可得∠2余角的式子是90°-∠2，再进行等量代换即可．【详解】解：∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1，∴∠2余角的式子是，90°-∠2=90°-（180°-∠1）=∠1-90°，故选：B．【点睛】本题主要考查了补角和余角，关键是掌握余角和补角的定义．6．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB．（1）如图，，求∠AOC的度数．（2）如图，在（1）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，满足射线OM平分∠BOD在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与2∠EOF度数相等的角．【答案】（1）60°；（2）∠BOC，∠AOD，∠NOF，∠EOM【分析】（1）根据对顶角的性质得出，再根据列出方程即可求解；（2））根据（1）中∠AOC＝60°，分别计算各角的度数，得其中∠EOF＝60°，根据各角的度数可得结论．【详解】：（1）如图1，∵，且，∴，∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠COB-∠COE-＝90°，，，∴，（2）如图2，由（1）知：∠AOC＝60°，∵射线OM平分∠BOD，∴∠BOM＝∠DOM＝∠AON＝∠CON＝30°，∵OE⊥AB，OC⊥OF，∴∠AOE＝∠COF＝90°，∴∠AOC＝∠EOF＝60°，∴∠AOD＝∠BOC＝∠FON＝∠EOM＝180°﹣60°＝120°＝2∠EOF，∴与2∠EOF度数相等的角是：∠AOD，∠BOC，∠FON，∠EOM．【点睛】本题考查的是垂直的性质，角平分线的定义，以及对顶角和邻补角，熟练掌握这些性质和定义是关键，并会识图，明确角的和与差．题型2、方程思想性质：（1）邻补角互补； （2）对顶角相等；（3）垂线夹角为90°（4）角平分线平分角解题技巧：若图形中角比较多，且关系难以理清晰，建议用设未知数的方法，利用上述几条性质，将图形中所有角度都用未知数表示出来，进而将角的关系转化为方程的形式求解。特别是题干中存在比例关系时，我们多用方程的方法解题。1．（2021·浙江台州市·七年级期末）一个角的补角是它的余角的三倍，则这个角的度数为__________．【答案】45°【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列方程求出这个角的度数即可．【详解】解：设这个角是α，则它的补角为180°-α，余角为90°-α，根据题意得，180°-α=3（90°-α），解得α=45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了余角与补角，是基础题，熟记概念并列出方程是解题的关键．2．（2021·江苏扬州市·七年级期末）已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大20°，则∠α的度数是_____．【答案】80【分析】首先根据补角的定义，设∠α为x，则∠β＝180°−x，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解.【详解】设∠α为x，则∠β＝180°−x．∴180°−x-x＝20°，解得：x＝80°，∴∠α的度数是80°，故答案为：80【点睛】此题综合考查余角与补角，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．3．（2021·山东临沂市·七年级期末）一个角的余角是它的补角的，这个角是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设这个角的度数是x°，根据题意得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设这个角的度数是x°，则，解得：x=30，即这个角的度数是30°，故选A．【点睛】本题考查了余角和补角，注意：∠A的余角是90°-∠A，∠A的补角是180°-∠A．4．（2020·四川营山.初一期末）在同－平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）A．20° B．55° C．20°或 125° D．20°或55°【答案】C【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少40°，所以它们互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．【解析】解：设∠B是x度，根据题意，得①两个角相等时，如图1：∠B=∠A=x°，x=3x-40解得，x=20，故∠A=20°，②两个角互补时，如图2：x+3x-40=180，所以x=55，3×55°-40°=125°故∠A的度数为：20°或125°．故选：C．【点睛】此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠A与∠B互补．5．（2020·钦州市第四中学初二月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD∶∠EOB=2∶3，求∠AOF的度数． 【答案】．【分析】设，从而可得，先根据角平分线的定义，再根据平角的定义可得求出x的值，然后根据垂直的定义可得，最后根据平角的定义即可得．【解析】设，则，∵OE平分，∴，，，解得，，，，又，，解得．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、垂直的定义等知识点，熟练掌握并理解各定义是解题关键．6．（2020·全国初一课时练习）已知，如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分，：，（1）试判断OF与OE的位置关系，并说明理由．（2）求的度数．【答案】（1），证明详见解析；（2）105°【分析】（1）利用角平分线的性质结合平角的定义得出答案；（2）利用邻补角的定义，结合角平分线的性质求出即可．【解析】（1）结论：．∵OE平分，OF平分，∴, ∵直线AB，CD相交于点O，∴．∵，．∴．（2）∵，∴设，则，．∵，∴，∴．∴∵，∴【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键．题型3、折叠问题中角的计算解题技巧：在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。1．（2020·江苏秦淮·南京一中初二月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_____．【答案】25°．【解析】首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∵∠ABE=40°，∴∠EBC=90°﹣40°=50°，根据折叠可得∠EBD=∠CBD，∴∠CBD=25°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=25°，故答案为25°．考点：翻折变换（折叠问题）．2．（2020·江苏高邮·初一期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．【答案】【分析】先根据两直线平行，内错角相等，由AD∥BC得到∠DEF＝∠EFB＝68°，再利用折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝68°，然后利用平角的定义求解．【解析】∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝68°，∵长方形纸片沿EF折叠后，点DC分别落在点D′、C′的位置，∴∠D′EF＝∠DEF＝68°，∴∠AED′＝180°−∠D′EF−∠DEF＝180°−2×68°＝44°．故答案为44°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．3．（2020·广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．【答案】30°．【分析】根据平角的定义计算出∠DED′=150°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，所以∠DEF=∠DED′=75°．再由平行线的性质可得∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，即可得∠EFC=105°，由折叠的性质可得∠EFC=∠EF C′=105°，由此可得∠BFC′=∠EF C′-∠EFB=105°-75°30°.【解析】∵∠AED′=30°，∴∠DED′=180°-∠AED′=180°-30°=150°，∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，∴∠DEF=∠D′EF，∴∠DEF=∠DED′=×150°=75°．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，∴∠EFC=105°，∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，∴∠EFC=∠EF C′=105°，∴∠BFC′=∠EF C′-∠EFB=105°-75°30°.故答案为30°．【点睛】本题考查了折叠的性质及平行线的性质，熟练运用折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键.4．（2020·内蒙古临河.初一期末）如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________度．【答案】65【分析】根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．【解析】解：如图，由题意可知，AB∥CD，∴∠1+∠2=130°，由折叠可知，∠1=∠2，∴2∠1＝130°，解得∠1＝65°．故答案为：65．【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般．5．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．【答案】110【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决．【详解】如图：由折叠的性质可得，∠1＝∠3，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，∵长方形纸片的两条长边平行，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠2＝110°，故答案为：110．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．【答案】【分析】先根据两直线平行，内错角相等，由AD∥BC得到∠DEF＝∠EFB＝68°，再利用折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝68°，然后利用平角的定义求解．【详解】∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝68°，∵长方形纸片沿EF折叠后，点DC分别落在点D′、C′的位置，∴∠D′EF＝∠DEF＝68°，∴∠AED′＝180°−∠D′EF−∠DEF＝180°−2×68°＝44°．故答案为44°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．题型4、识别同位角、内错角和同旁内角解题技巧：常见的识别方法有2种，具体如下方法一、定义法：如下图： = 1 \* GB3 ①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找 = 2 \* GB3 ②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。方法二、像形识别法： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①同位角：F  = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②内错角：Z  = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③同旁内角：C1.（2021•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（　　）A．∠3和∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁内角 C．∠2和∠4是对顶角 D．∠2和∠5是内错角【分析】根据同位角，同旁内角，对顶角以及内错角的定义进行判断．【答案】解：A、∠3和∠5是同位角，故本选项不符合题意．B、∠4和∠5是同旁内角，故本选项不符合题意．C、∠2和∠4是对顶角，故本选项不符合题意．D、∠2和∠5不是内错角，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．2．（2021·浙江长兴·七年级期末）如图，与是（ ）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角【答案】A【分析】先确定基本图形中的截线与被截线，进而确定这两个角的位置关系即可．【详解】解：根据图象，∠A与∠1是两直线被第三条直线所截得到的两角，因而∠A与∠1是同位角， 故选：A．【点睛】本题主要考查了同位角的定义，是需要识记的内容，比较简单．3．（2021·广东东莞·七年级期末）如图所示，下列四个选项中不正确的是（ ）A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是对顶角 D．与是邻补角【答案】B【分析】根据同旁内角，内错角，对顶角，邻补角的定义逐项分析．【详解】A. 与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意； B. 与不是内错角，故该选项不正确，符合题意；C. 与是对顶角，故该选项正确，不符合题意； D. 与是邻补角，故该选项正确，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了同旁内角，内错角，对顶角，邻补角的定义，理解定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线的同侧,且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线之间,且在第三条直线的两侧,那么这两个角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线之间,且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同旁内角．两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．4．（2021·山西忻州·七年级期末）如图，与是同旁内角，它们是由（ ）A．直线，被直线所截形成的 B．直线，被直线所截形成的C．直线，被直线所截形成的 D．直线，被直线所截形成的【答案】A【分析】根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角．【详解】解：与是同旁内角，它们是由直线，被直线所截形成的故选A．【点睛】本题考查了同旁内角的含义，熟练掌握含义是解题的关键．5．（2021·山东郯城·七年级期末）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）A．∠2 和∠4 B．∠6和∠4 C．∠2 和∠6 D．∠6和∠3【答案】A【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，根据此定义即可得出答案．【详解】解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠4是内错角，故选A．【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题关键是熟记内错角和同位角的定义．6．（2021·辽宁朝阳·七年级期中）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如：从起始位置跳到终点位置有两种不同路径，路径1：；路径2：.试一试：（1）写出从起始位置跳到终点位置的一种路径；（2）从起始位置依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置？【答案】（1）（答案不唯一）；（2）能跳到终点位置.其路径为（答案不唯一）【分析】（1）根据同旁内角、内错角和同位角的定义进行选择路径即可；（2）先判断能够到达终点位置，在根据定义给出具体路径即可.【详解】（1）（答案不唯一）路径：.（2）从起始位置依次按同位角内错角同旁内角的顺序跳，能跳到终点位置.其路径为（答案不唯一）.【点睛】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知这些角的特征是解题的关键.题型5 尺规作图1．（2020·惠州市第七中学初二月考）如图，线段交于．（1）尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹并写出结论）（2）判断与的位置关系并说明理由；【答案】（1）作图见详解；（2）∥.理由见详解.【分析】(1)利用作一个角等于已知角的尺规作图可得； (2)根据,得到∠B=∠1，由作图知∠B=∠F,得到∠1=∠F即可得出结论．【解析】解：（1）如图所示，∠EFG即为所求；(2) ∥.理由，如图，∵,∴∠B=∠1，∵由作图知∠B=∠F,∴∠1=∠F，∴∥.【点睛】本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．2．（2020·广东阳山·初一期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．【答案】详见解析．【解析】【分析】先根据题意可得，再根据平行线的性质可得，然后根据作一个角等于已知角的尺规作图法即可得．【详解】由题意得：，，根据作一个角等于已知角的尺规作图法作图如下：则即为所求作．【点睛】本题考查了平行线的性质、作一个角等于已知角的尺规作图法，根据平行线的性质将问题进行转化是解题关键．3．（2020·广东省深圳市龙岗区南芳学校期中）如图，已知直线AB和点P，用尺规作直线CD，使CD//AB，且CD过点P；【答案】见解析【分析】利用P点作∠EPF=∠PMB，进而得出答案；【解析】解：如图，作∠EPF=∠PMB【点睛】此题主要考查了作一角等于已知角以及过一点作一直线的平行线，正确作一角等于已知角是解题关键．4．（2020·陕西渭滨·）请按以下要求作图：如图，打台球时，小球从A点出发撞击到台球桌边CD的点O处，请用尺规作图的方法作出小球反弹后的运动方向（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．【答案】见解析【分析】根据入射角等于反射角，作即可．【解析】解：如图，作，则射线的方向即为所求的小球反弹后的运动方向．【点睛】本题考查基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角是解题的关键．5．（2020·广东南山·初一期中）如图，已知点为的边上一点，请在边上确定一点，使得(要求：尺规做图、保留作图痕迹、不写作法)【答案】答案见解析．【分析】作∠ADE=∠B即可解决问题．【解析】解：如图示，以D为顶点，作∠ADE=∠B， ∴，则与等高，∴【点睛】本题考查作一个角等于已知角度，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，能熟练运用．6．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）【答案】见解析【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．题型6 平行线间距离与面积问题解题技巧：两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。1．（2020·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点,那么,在网格图中找出格点,使以和格点为顶点的三角形的面积为．这样的点可找到的个数为（ ） A． B． C． D．【答案】C【分析】因为每个小正方形的边长是1，则可以先找到一点C，则三角形ABC的面积是2，满足题目要求，再过C点作AB的平行线，平行线与网格点重合的点，因这些点与A、B组成的三角形都是同底等高，则这些三角形的面积都是2，所以这些点即为符合要求的点；同理，过D点作AB的平行线，与网格点重合的点也是符合要求的格点．将所有的符合要求的格点数加起来，就是问题的答案．【详解】解：如图所示，在网格图中可以找到点C，则三角形ABC的面积是2，再过C点作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点，这样的点有5个；同样的方法，过D点作AB的平行线，又能得到4个不同符合要求的格点，所以符合要求的格点共有：5+4=9（个）；故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形面积的求法，解答此题的关键是：作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点；主要依据是两条平行线间的距离处处相等及同底等高的三角形面积相等．2．（2020·南通市通州区育才中学八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积【答案】D【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．【详解】解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，故△ABC的面积等于△PBC的面积．故选D．【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．3．（2020·江苏泰州市·昭阳湖初中八年级期中）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由AF是的高，可得．【详解】解：是中线，，，故A、D说法正确；是角平分线，，，故C说法错误；是的高，，，故B说法正确；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．4．（2020·湖南茶陵·初一期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为（　　）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，从而可以得到S△ACD的值．【解析】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD=10cm2，∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，∴S△ACD=10cm2，故选A．【点睛】本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．5．（2020·河北滦州·初一期中）如图，直线，点是直线上一个动点，当点的位置发生变化时，三角形的面积（ ）A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定【答案】C【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变．【解析】解：∵直线，点是直线上一个动点，∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，∴三角形的底不变，高不变，面积也不变，故选：C．【点睛】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．6．（2020·上海市培佳双语学校初一月考）已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用平行线间的距离相等可知与的高相等，底边之比等于面积之比，设的面积为，建立方程即可求解．【解析】∵∴与的高相等∵∴设的面积为，则，∴解得∴故选B．【点睛】本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是解题的关键．题型7、 证平行线的技巧解题技巧：1）、借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。2）、转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。1．（2020·河北宣化·初三二模）如图是某节数学课上王老师和琪琪的对话，根据对话内容，判定的依据是（ ）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．内错角互补，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行【答案】B【分析】根据三角板中的度数，结合图形，利用平行线的判定即可做出选择．【解析】∵，，，故根据内错角相等，两直线平行得故选：B．【点睛】本题考查平行线的判定，熟知三角板中的度数，掌握平行线的判定是解答的关键．2．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤；⑥，能得的有_________ (只填序号)．【答案】①③⑥【分析】根据平行线的判定逐一判断即可．【解析】解：①，，故本条件正确；②，，故本条件错误；③，，故本条件正确；④，不能判定任何直线平行，故本条件错误；⑤，，故本条件错误；⑥，，故本条件正确．故答案为：①③⑥．【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．3．（2020·山西期末）综合与探究问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．问题发现：（1）如图1，当时，____________°；（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3），证明见解析；（4）答案不唯一，例如【分析】（1）根据角平分线的性质得∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，即可求得；（2）根据角平分线的性质得，，即可求得；（3）在Rt△EFG中，得到，结合，得到∠2=∠EGF，即可得到；（4）根据角平分线的性质得∠1=∠AOB，∠2=∠DEF，即可求得．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，∴；故答案为：90；（2）．理由如下：∵，分别是，的平分线，∴，，∴，∵，∴；（3）和的位置关系为OC∥GE．证明：∵于点，∴．∴．∵，∴，∴OC∥GE；（4）答案不唯一，例如．理由如下：∵，分别是，的平分线，∴，，∴，∵，∴；【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．4．（2020·陕西省西安市育才中学初一月考）如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠ADB=36°，求∠EFC的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)36°.【分析】(1)求出∠ABC+∠A=180°，根据平行线的判定推出即可；(2)根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．【解析】 (1)证明：∵∠ABC=180°-∠A，∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC；(2)∵AD∥BC，∠ADB=36°，∴∠DBC=∠ADB=36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC=∠EFC=36°【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．5．（2020·南阳市油田教育教学研究室初一期末）如图，在中，是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．（1）求和的度数；（2）若，问：//吗，请说明理由．【答案】(1) 105°，30°；(2)平行，理由见解析【分析】(1)根据折叠求出∠BAD=∠DAF，根据三角形内角和定理求出∠AFB的度数后进而求得∠AFC；由三角形内角和定理求出∠ADB，进而求得∠ADF，再用∠ADB-∠ADF即可求解；(2)求出∠C=∠EDF=30°，即可证DE∥AC．【解析】解：(1)由折叠前后对应的角相等可知，∠BAD=∠DAF=30°，∴∠BAF=∠BAD+∠DAF=30°+30°=60°，在△ABF中，由三角形内角和定理可知，∠AFB=180°-∠BAF-∠B=180°-60°-45°=75°，∴∠AFC=180°-∠AFB=180°-75°=105°，在△ABD中，由三角形内角和定理可知，∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-30°-45°=105°，∴∠ADF=180°-∠ADB=75°，由折叠前后对应的角相等可知，∠ADE=∠ADB=105°，∴∠EDF=∠ADE-∠ADF=105°-75°=30°，故答案为：105°，30°；(2) //，理由如下：∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠B=∠E=45°，∵∠E：∠C=3：2，∴∠C=30°，∴∠C=∠EDF=30°，∴DE∥AC．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的判定等知识点，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键．6．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．【答案】EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC，见解析【分析】根据同角的补角相等，和平行线的判定定理即可作出判断．【详解】解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC．理由：∵∠EOD＋∠OBF＝180°，又∠EOD＋∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠OBF，∴EC∥BF；∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵EC∥BF，∴∠ECB＝∠CBF，∴∠DBC＝∠CBF，又∵∠DBC＝∠G，∴∠CBF＝∠G，∴DG∥BF；∵EC∥BF，DG∥BF，∴DG∥EC．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理及补角定理是解题关键．　题型8 平行线的性质解题技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。1．（2020·河南西华·初一期中）如图所示，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，过点E作EF∥AB交直线BC于点F，若∠ABC＝50°，则∠DEF的度数___．【答案】130°．【分析】先求出∠ABC＝∠ADE＝50°，再求出∠DEF＝180°﹣50°＝130°即可．【解析】解：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE＝50°（两直线平行，同位角相等），∵EF∥AB，∴∠ADE+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠DEF＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查了平行线线段的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．2．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点．（1）求的度数；（2）过点作，交的延长线于点，求的度数．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可；(2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.【详解】（1）在中，，，，是的平分线，；（2），，，，.【点睛】本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.3．（2020·山东安丘·东埠初中初二月考）如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于，若，，求的长【答案】5【分析】由BE平分ABC可得DBE=EBC，由DEBC可得EBC=DEB，所以DEB=DBE，所以DE=BD，同理可证EF=CF，由已知线段的长度求解即可．【解析】BE平分ABC，DBE=EBC，DEBC，EBC=DEB，DEB=DBE， DE=BD，同理可证：EF=CF，BD=8，DE=8，DF=3，EF=5，CF=5．【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及平行线的性质，熟记相关性质是解题关键．4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图1，已知，，；（1）请探索与之间满足的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．【答案】（1），理由见解析；（2）15°【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；（2）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．【详解】解：（1）如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（2）如图2，过点作，由（2）知，，设，则，平分，平分，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：如图1，，点，分别为，上一点．（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．证明：过点M作MP∥AB．∵AB∥CD，∴MP∥CD．∴∠4=∠3．∵MP∥AB，∴∠1=∠2．∵∠EMF=∠2+∠3，∴∠EMF=∠1+∠4．∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；证明：过点M作MQ∥AB．∵AB∥CD，∴MQ∥CD．∴∠CFM+∠1=180°；∵MQ∥AB，∴∠AEM+∠2=180°．∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．∵∠EMF=∠1+∠2，∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2+∠3=180°，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4=∠2+∠3=180°；如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2=∠3，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6．（2020·上海静安·初一期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．【答案】（1）；（2）①∠1+∠2-∠E=180°；②见解析【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得到∠A=∠AEF和∠FEC=∠C，再相加即可；（2）①、②过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF+∠1=180°和∠FEC=∠2，从而可得三者之间的关系．【解析】解：（1）过点E作EF∥AB，∴∠A=∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，∴∠AEC=∠A+∠C；（2）①∠1+∠2-∠E=180°，②过点E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠2，即∠CEA+∠AEF=∠2，∴∠AEF=∠2-∠CEA，∴∠2-∠CEA+∠1=180°，即∠1+∠2-∠AEC=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．题型9、构造辅助线之添加平行线解题技巧：1）证平行的题目，辅助线技巧比较单一，常见题型仅“添加平行线”这一种方法。当要求解的几个角之间“距离”比较远，3类角难以扯上关系时，通常用“添加平行线”的方法，过渡出“距离”较远角之间的关系。2）“M”型图形，通常通过添加平行线辅助线来与平行联系上1．（2020·湖北随县·初二月考）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（ ）A．125° B．75° C．65° D．55°【答案】D【分析】延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．【解析】延长CB，延长CB，∵AD∥CB,∴∠1=∠ADE=145，∴∠DBC=180−∠1=180−125=55.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.2．（2020·山东日照·二模）如图，直线，，则（ ）A．150° B．180° C．210° D．240°【答案】C【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.【解析】解：作直线l平行于直线l1和l2 故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.3．（2020·深圳市高级中学初二月考）如图，，，则，，之间的关系是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【解析】如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，∵，∴，∴，，，∴，又∵，∴，∴，即，故选C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b，b//c⇒a//c．4．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①如图1，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；③如图3，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故选C.5．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是( )A．° B．° C．° D．【答案】B【分析】根据平行线的性质可得∠CEF=180°-y，x=z+∠CEF，利用等量代换可得x=z+180°-y，再变形即可．【解析】解：∵CD∥EF，∴∠C+∠CEF=180°，∴∠CEF=180°-y，∵AB∥CD，∴x=z+∠CEF，∴x=z+180°-y，∴x+y-z=180°，故选：B．6．（2020·山东青岛·初一期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__ °．【答案】46【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．【解析】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，∴∠BCD＝46°，故答案为：46．【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．7．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图所示，点，分别在，上，，，，，则，，之间满足的关系式是______．【答案】【分析】过B作BH∥DF，由 DF//EG，可知BH∥EG，由平行线∠ABH=∠ADF=α，∠CBH=∠CEG=β，由∠ABC=∠ABH+∠CBH即可的结论．【解析】过B作BH∥DF，∵DF//EG，∴BH∥EG，∵DF//EG，∴∠ABH=∠ADF=α∵BH∥EG，∠CBH=∠CEG=β ．．故答案为：【点睛】本题考查三个角之间的关系问题，掌握利用平行线把两角和问题转化为与之相等的两角是关键．题型10、平行线的压轴题1．（2021·河南驻马店市·七年级期末）已知：△ABC和平面内一点D．（1）如图1，点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E，作DF//CA交AB于点F，判断∠EDF与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF//CA，∠EDF＝∠A，请你判断DE与BA的位置关系．并说明理由． （3）如图3，点D在△ABC的外部，若作DE//BA，DF//CA，请直接写出∠EDF与∠A数量关系．【答案】（1）相等，理由见解析；（2）平行，理由见解析；（3）相等或互补【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到∠A=∠EDF；（2）延长BA交DF于G．根据平行线的性质以及判定进行推导即可；（3）分两种情况讨论，即可得到∠EDF与∠A的数量关系：∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°． 【详解】解：（1）∠EDF=∠A．理由：∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠A=∠DEC，∠DEC=∠EDF，∴∠A=∠EDF；（2）DE∥BA．证明：如图，延长BA交DF于G．∵DF∥CA，∴∠2=∠3．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．∴DE∥BA．（3）∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．理由：①如图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠E=180°，∠E+∠EAF=180°，∴∠EDF=∠EAF=∠BAC； ②如图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠F=180°，∠F=∠CAB，∴∠EDF+∠BAC=180°．综上，∠EDF与∠A相等或互补【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．2．（2020·山东临沂市河东区教育科学研究中心初一期末）（1）问题情境：如图1，，，．求度数．小明的思路是：如图2，过点作，通过平行线性质，可得．（2）问题迁移（1）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．猜想、、之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出、、之间的数量关系．选择其中一种情况画图并证明．【答案】（1），证明见解析；（2）当点在两点之间时，；当点在两点之间时，，证明见解析．【分析】（1）如图，过点作交于点，证明，利用平行线的性质与角的和差关系可得答案；（2）分两种情况讨论，当点在两点之间时，如图，过点作交于点，证明，利用平行线的性质与角的和差关系可得结论；当点在两点之间时，如图，过点作交于点，证明，利用平行线的性质与角的和差关系可得结论．【解析】解：（1）．如图，过点作交于点，，，，，（2）当点在两点之间时，，当点在两点之间时，．理由如下：①当点在两点之间时，如图，过点作交于点，，，，．②当点在两点之间时，．如图，过点作交于点，，，，．【点睛】本题考查的是平行公理，平行线的性质的应用，角的和差关系，掌握以上知识是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．3．（2020·北京海淀实验中学初二开学考试）已知ABCD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为　 　；（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系　 　．【答案】（1）45°；（2）∠MEN＝2∠MFN，证明见解析；（3）【分析】（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，根据角平分线的定义得到∠BMF+∠DNF＝（∠BME+∠DNE）＝45°，于是得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝∠EGB﹣∠EMB，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠END，∠FHB＝∠FND，根据角平分线的定义得到∠EMB＝2∠FMB，∠END＝2∠FND，于是得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠5＝∠END，根据角平分线的定义得到∠5＝∠END＝2∠4，∠BME＝2∠1＝∠E+∠5＝∠E+2∠4，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．【解析】解：（1）如图1，过E作EH∥AB，FG∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，FG∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝90°，同理∠MFN＝∠BMF+∠DNF，∵ME平分∠BMF，FN平分∠CNE，∴∠BME+∠DNF＝（∠BME+∠DNE）＝45°，∴∠MFN的度数为45°；故答案为：45°；（2）∵∠EGB＝∠EMB+∠E，∴∠E＝∠EGB﹣∠EMB，∵AB∥CD，∴∠EGB＝∠END，∠FHB＝∠FND，∴∠E＝∠END﹣∠EMB，∵MF、NF分别平分∠BME和∠DNE，∴∠EMB＝2∠FMB，∠END＝2∠FND，∴∠E＝2∠FND﹣2∠FMB＝2（∠FND﹣∠FMB），∵∠FHB＝∠FMB+∠F，∴∠F＝∠FHB﹣∠FMB，＝∠FND﹣∠FMB，∴∠MEN＝2∠MFN；（3）∠E+∠MFN＝180°， 证明：如图3，∵AB∥CD，∴∠MGE＝∠ENC，∵NF平分∠ENC，∴∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG，∵MF平分∠AME，∴∠AME＝2∠1＝∠E+∠MGE＝∠E+2∠FNG，∴∠FMG＝∠1＝∠E+∠FNG，∵∠E+∠MFN＝360°﹣∠FNG﹣∠FMG﹣∠EMG＝360°﹣∠FNG﹣（180°﹣∠E﹣2∠FNG）﹣（∠E+∠FNG）＝180°+∠E，∴∠MFN+∠E＝180°．故答案为：∠E+∠MFN＝180°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，结合三角形外角性质是解题的关键．4．（2020·河南舞钢·初一期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．【答案】（1）∠C＝∠1+∠2，理由见解析；（2）60°；（3）2【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1＋∠2；（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°−2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°−∠CEM＝90°−x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°−x，据此可得的值．【解析】（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．5．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学初一月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）问题情境2 如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝　 　．【答案】问题情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）【分析】问题情境1：过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，得到∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，进而得出：∠B+∠P+∠D=360°；问题情境2：过点P作EP∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；②，③根据①中的方法可得出结论；问题迁移：（1）如图4，根据角平分线定义得：∠EBF=∠ABE，∠EDF=∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，再根据四边形的内角和可得结论；（2）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论．【解析】问题情境1：如图2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：过P作PE∥AB， ∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°，故答案为∠B+∠P+∠D＝360°；问题情境2：如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是：过点P作EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，∴∠BPD＝∠B+∠D，即∠P＝∠B+∠D；故答案为∠P＝∠B+∠D；问题迁移：（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）如图5，∠E+∠M＝60°，理由是：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∠E＝60﹣x﹣y，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；（3）如图5，∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，∴∠M＝；故答案为∠M＝．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．6．（2020·洛阳市第二外国语学校初一期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝∠ACB；理由见解析．【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，然后通过等量代换即可得出答案；（2）首先根据角平分线的定义得出∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，进而得出∠F＝（∠HAD+∠ECD），然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD的度数，进而可得出答案；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义得出，， ，再通过等量代换即可得出∠MQN＝∠ACB．【解析】解：（1）∵CEAB，∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD，∴∠ACD＝∠A+∠B；（2）∵CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，∴∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，∴∠F＝∠HAD+∠ECD＝（∠HAD+∠ECD），∵CHAB，∴∠ECD＝∠B，∵AHBC，∴∠B+∠HAB＝180°，∵∠BAD＝70°，， ∴∠F＝（∠B+∠HAD）＝55°；（3）∠MQN＝∠ACB，理由如下：平分，． 平分，． ， ．∴∠MQN＝∠MQG﹣∠NQG＝180°﹣∠QGR﹣∠NQG＝180°﹣（∠AQG+∠QGD）＝180°﹣（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC）＝（∠CQG+∠QGC）＝∠ACB．【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．